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5.10: Cambiando la condicionalidad y la estadística bayesiana

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    A una compañía de camiones le preocupa que algunos de sus conductores puedan estar usando drogas anfetamínicas para mantenerse despiertos, exponiendo a la compañía a demandas. Contratan a una agencia de pruebas para probar aleatoriamente a los conductores. El material de comercialización para esta agencia de pruebas afirma que el 99% de los conductores que están usando anfetaminas tendrán un resultado positivo en la prueba, por lo que la compañía puede estar segura de que cualquier conductor que dé positivo seguramente estará usando las anfetaminas.

    Este material de marketing presentado por la agencia de pruebas representa un razonamiento defectuoso. El 99% representa la probabilidad de que un conductor dé positivo dado que el conductor está usando anfetaminas, mientras que la afirmación fue que la probabilidad estaría casi segura de que un conductor estuviera usando anfetaminas dado que la prueba era positiva. La condicionalidad se ha cambiado incorrectamente porque en general:\(P(A \mid B) \neq P(B \mid A)\).

    Para cambiar la condicionalidad se requieren varias piezas de información y a menudo se explica en los libros de estadísticas utilizando el Teorema de Bayes:

    clipboard_e71d98473ba5261f125b10d93d6822b96.png

    Si el espacio muestral es la unión de eventos mutuamente\(\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}, \ldots, \mathrm{A}_{n}\), entonces

    \[P\left(A_{i} \mid B\right)=\frac{P\left(A_{i}\right) \times P\left(B \mid A_{i}\right)}{P\left(A_{1}\right) \times P\left(B \mid A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) \times P\left(B \mid A_{2}\right)+\cdots+P\left(A_{n}\right) \times P\left(B \mid A_{n}\right)} \nonumber \]

    Un enfoque más directo para resolver este tipo de problemas es utilizar técnicas que ya se han cubierto en esta sección:

    • Primero construya un diagrama de árbol.
    • En segundo lugar, cree una Tabla de Contingencia utilizando una base conveniente (tamaño de muestra).
    • De la tabla Contingencia es fácil calcular todas las probabilidades condicionales.

    Ejemplo: Pruebas de diagnóstico

    El 10% de los presos en una prisión canadiense son VIH positivos. (Esto también se conoce en la investigación médica como la tasa de incidencia o prevalencia). Una prueba detectará correctamente el VIH 95% de las veces, pero incorrectamente “detectará” el VIH en presos no infectados 15% del tiempo (falso positivo). Si un preso seleccionado al azar da positivo, encuentra la probabilidad de que el recluso sea VIH+.

    Solución

    Que A sea el evento de que un preso sea VIH positivo y B el evento de que un preso dé positivo. Entonces A' sería el evento de que un preso sea VIH negativo y B' sería el evento que el preso diera negativo.

    Hay cuatro resultados posibles en este modelo de probabilidad:

    • Verdadero Positivo (también conocido como en la investigación médica como sensibilidad) ‐ El preso da positivo correctamente y en realidad es VIH positivo.
    • Falso Negativo ‐ El preso incorrectamente da negativo y en realidad es VIH positivo.
    • Falso Positivo ‐ El preso da positivo incorrectamente y en realidad es VIH negativo.
    • Verdadero Negativo (también conocido como en la investigación médica como especificidad) ‐ El preso correctamente da negativo y en realidad es VIH negativo.

    A partir de la información dada, primero construya un diagrama de árbol.

    \(P(A) = 0.10 P(A')\)= 1 ‐ 0.10 = 0.90

    \(P(B|A)\)= 0.95\(P(B|A')\) = 0.15\(P(B'|A)\) = 1 ‐ 0.95 = 0.05\(P(B'|A')\) = 1 ‐ 0.15 = 0.85

    clipboard_ed82d046c8dd5cebcdedfeebc3d88a9d4.png

    A continuación, construir una tabla de contingencia. Es útil elegir una base conveniente (tamaño de muestra) como 10000 y multiplicar por cada probabilidad conjunta del diagrama de árbol:

    • Muestras en A y B = (.095) (10000) = 950
    • Muestras en A y B' = (.005) (10000) = 50
    • Muestras en A' y B = (.135) (10000) = 1350
    • Muestras en A' y B' = (.765) (10000) = 7650
      HIV+ A VIH- A' Total
    Prueba+ B 950 1350 2300
    Prueba- B' 50 7650 7700
    Total 1000 9000 10000

    Para encontrar la probabilidad de que un preso que da positivo realmente sea VIH positivo, encuentre\(P(A|B)\):

    \[P(A \mid B)=\dfrac{950}{2300}=0.413 \nonumber \]

    Entonces, la probabilidad de que un preso que da positivo realmente sea VIH positivo es de sólo 41.3%. Este resultado puede parecer inusual, pero cuando la tasa de incidencia es menor que la tasa de falsos positivos, es más probable que un resultado positivo en una prueba sea incorrecto.

    Este problema también podría haber sido respondido directamente, pero mucho menos sencillo usando el Teorema de Bayes:

    \ [\ begin {alineado}
    P (B\ mid A) &=\ dfrac {P (A)\ times P (B\ mid A)} {P (A)\ times P (B\ mid A) +P\ left (A^ {\ prime}\ right)\ times P\ left (B\ mid A^ {\ prime}\ right)}\\
    &=\ dfrac {(0.10) (0.95)} {(0.10) (0.95) + (0.90) (0.85)}\\ &=0.413
    \ end {alineado}\ nonumber\]


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