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6.3: Función de distribución de probabilidad (PDF) para variables aleatorias discretas

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Todas las variables aleatorias tienen el valor asignado de acuerdo con un modelo de probabilidad. Para las variables discretas, esta asignación de probabilidades a cada valor posible de la variable aleatoria se denomina función de distribución de probabilidad, o PDF para abreviar.

    Esta función de distribución de probabilidad se escribe como\(P(X=x)\) o\(P(x)\) para abreviar. Este PDF se puede leer como “La probabilidad de que la variable aleatoria\(X\) sea igual al valor”\(x\).

    Adicionalmente, las declaraciones de probabilidad pueden escribirse como desigualdades.

    \(P(X < x)\)significa que la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria sea menor que\(x\).

    \(P(X \leq x)\)significa la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria sea como máximo\(x\).

    \(P(X > x)\)significa que la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria sea mayor que\(x\).

    \(P(X \geq x)\)significa la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria sea al menos\(x\).

    Como cualquier función en Matemáticas, una función de distribución de probabilidad puede definirse mediante una descripción, una tabla, una gráfica o una fórmula. El método general de asignación de probabilidades a valores sigue este procedimiento.

    Procedimiento para crear una función de distribución de probabilidad discreta

    1. Definir la variable aleatoria\(X\)
    2. Enumere todos los valores posibles
    3. Asignar probabilidades a cada valor. Se pueden utilizar métodos de conteo o frecuencias relativas.
    4. Esta asignación debe seguir estas dos reglas:\(P(x) \geq 0\) y\(\sum P(x)=1\)

    Ejemplo: Voltear dos monedas

    Se voltean dos monedas y se cuenta el número de cabezas.

    \(X\)= el número de cabezas cuando se voltean dos monedas

    Valores Posibles = {0, 1, 2}

    Aquí hay 5 posibles funciones de distribución de probabilidad:

    A B C D E
    \ (x\)\(x\)\(x\) 1\(x\)\(x\) "class="lt-stats-20889">
    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">0 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">1/3
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">1 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">1/3
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">2 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">1/3
    \ (P (x)\)\(P(x)\)\(P(x)\)\(P(x)\)\(P(x)\) "class="lt-stats-20889">
    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">0 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.25
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">1 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.50
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">2 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.25
    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">0 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">1 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">2 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">1
    1\(x\) \(P(x)\)
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">0 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.3
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">1 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.3
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">2 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.3
    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">0 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.6
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">1 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">-0.1
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">2 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.5

    Los modelos A, B y C son válidos porque cada asignación de probabilidad no es negativa y todas las probabilidades son totales a 1.

    El modelo B es el modelo correcto para voltear monedas justas ya que hay dos formas de obtener una cabeza.

    El modelo C (una moneda que solo sube de cabeza) es válido ya que se permite la probabilidad cero.

    El modelo D no es válido ya que las probabilidades no suman a 1.

    El modelo E no es válido porque no se permiten probabilidades negativas.

    Ejemplo: Prueba de opción múltiple

    A los estudiantes se les da un examen de opción múltiple con 4 preguntas.

    La variable aleatoria X = el número de respuestas correctas. Valores posibles = {0, 1, 2, 3, 4}

    De datos anteriores, el 10% de los estudiantes obtienen cero respuestas correctas, el 10% obtiene exactamente una respuesta correcta, el 20% obtiene dos correctas y el 40% obtiene tres correctas. Dado que las probabilidades deben sumar a 1, se puede determinar que el 20% de los estudiantes obtuvo todo correcto, y el PDF se puede terminar.

    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">0 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.1
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">1 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.1
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">2 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.2
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">3 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.. 4
    \ (x\)” class="lt-estados-20889">4 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.2

    Solución

    Podemos usar la tabla para responder a cualquier tipo de pregunta de probabilidad:

    La probabilidad de exactamente 2 preguntas correctas:\(P(X =2) = P(2) = 0.2\)

    La probabilidad de que menos de 2 preguntas corrijan:\(P(X < 2) = P(0) + P(1) = 0.1 + 0.1 = 0.2\)

    La probabilidad de que más de 2 preguntas corrijan:\(P(X > 2) = P(3) + P(4) = 0.4 + 0.2 = 0.6\)

    La probabilidad de que al menos 2 preguntas corrijan:\(P(X \geq 2) = P(2) + P(3) + P(4) = 0.2 + 0.4 + 0.2 = 0.8\)

    La probabilidad de que como máximo 2 preguntas corrijan:\(P(X \leq 2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.1 + 0.1 + 0.2 = 0.4\)

    La probabilidad de al menos 1 pregunta correcta:\(P(X >1) = 1 – P(0) = 1 – 0.1 = 0.9\)

    El último ejemplo se hizo usando la Regla de Complemento. El complemento de “al menos una respuesta correcta” es “cero respuestas correctas”.


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