Saltar al contenido principal
Library homepage
 
LibreTexts Español

6.7: Distribución geométrica

  • Page ID
    151514
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Considere estas dos variables aleatorias, que ambas comienzan con ensayos repetidos de Bernoulli:

    1. Voltear una moneda justa 10 veces. Let\(X\) = el número de cabezas.
    2. Voltear una moneda justa repetidamente hasta obtener una cabeza. Let\(X\) = el número de volteretas totales.

    La primera variable aleatoria es una variable aleatoria binomial donde\(n =10\) y\(p=0.5\). Los valores posibles de\(X\) son {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

    La segunda variable aleatoria es inusual ya que hay un número infinito de posibilidades para\(X\). El número posible de volteretas hasta obtener una cabeza son {1, 2, 3,...}. A esto se le llama la distribución geométrica y sus características se muestran en la caja.

    Distribución geométrica de probabilidad (parámetro=\(p\))

    Dos posibles resultados (Éxito/Fracaso) o (Sí/No)

    \(p = P\)(sí/éxito) en un solo juicio

    \(q = 1‐p = P\)(no/fracaso) en un solo juicio

    \(X\)= Número de ensayos independientes hasta el primer éxito. (1, 2, 3,...)

    \(\mu=\dfrac{1}{p}\)

    \(\sigma^{2}=\dfrac{1-p}{p^{2}}\)

    \(\sigma=\sqrt{\dfrac{1-p}{p^{2}}}\)

    \(P(x)=p(1-p)^{x-1}\)

    Ejemplo: Tiro libre

    Volvamos de nuevo al ejemplo de Draymond Green, un tirador de tiros libres del 70%. Ahora vamos\(X\) = el número de tiros libres que lleva Draymond hasta que hace un remate. \(X\)sigue una distribución geométrica.

    Solución

    El número esperado de disparos:\(\mu=\dfrac{1}{p}=1.43\) disparos

    La varianza:\(\sigma^{2}=\dfrac{1-0.7}{0.7^{2}}=0.612\)

    La probabilidad de que Draymond Green haga exactamente 3 tiros para hacer un tiro libre:

    \(P(X=3)=0.7(0.3)^{2}=0.063\)

    La probabilidad de que Draymond Green realice 3 o más tiros para hacer un tiro libre:

    Ya que\(P(X \geq 3)=P(3)+P(4)+\ldots\) es una suma infinita, es mejor usar Regla de Complemento.

    \(P(X \geq 3)=1-P(1)-P(2)=(0.7)(0.3)^{0}+(0.7)(0.3)^{1}=1-0.91=0.09\)


    This page titled 6.7: Distribución geométrica is shared under a CC BY-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Maurice A. Geraghty via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.