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10.3: Hipótesis de Investigación de Diseño y Experimento

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    Después de desarrollar una pregunta general y tener algún sentido de los datos que están disponibles o que se recopilan, luego diseñamos y un experimento y un conjunto de hipótesis.

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    Hipótesis e hipótesis

    Pruebas Para propósitos de prueba, necesitamos diseñar hipótesis que sean declaraciones sobre los parámetros de la población. Algunos ejemplos de hipótesis:

    Al menos 20% de los delincuentes juveniles son capturados y condenados a prisión.

    • El ingreso mensual medio para los graduados universitarios es superior a los 5000 dólares.
    • El puntaje promedio de exámenes estandarizados para escuelas en Cupertino es el mismo que el promedio de puntajes para escuelas de Los Altos.
    • Las tasas de cáncer de pulmón en California son menores que las tasas en Texas.
    • La desviación estándar de la Bolsa de Valores de Nueva York en la actualidad es mayor a 10 puntos porcentuales al año.

    Estas mismas hipótesis podrían escribirse en notación simbólica:

    • \(p \geq 0.20\)
    • \(\mu>5000\)
    • \(\mu_{1}=\mu_{2}\)
    • \(p_{1}<p_{2}\)
    • \(\sigma>10\)

    La Prueba de Hipótesis es un procedimiento, basado en evidencia de muestra y teoría de probabilidad, utilizado para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable y no debe ser rechazada, o es irrazonable y debe ser rechazada. Esta hipótesis que se prueba se llama Hipótesis Null y es designada por el símbolo Ho. Si la Hipótesis Nula no es razonable y necesita ser rechazada, entonces la investigación apoya una Hipótesis Alternativa designada por el símbolo Ha.

    Definición: Hipótesis nula (\(H_o\))

    Una declaración sobre el valor de un parámetro de población que se supone que es cierto para fines de prueba.

    Definición: Hipótesis alternativa (\(H_a\))

    Una declaración sobre el valor de un parámetro de población que se supone que es verdadera si la Hipótesis Null es rechazada durante la prueba.

    A partir de estas definiciones queda claro que la Hipótesis Alternativa necesariamente contradecirá la Hipótesis Nula; ambas no pueden ser ciertas al mismo tiempo. Algunos otros puntos importantes sobre las hipótesis:

    • Las hipótesis deben ser declaraciones sobre parámetros poblacionales, nunca sobre estadísticas de muestra.
    • En la mayoría de las pruebas de hipótesis, la igualdad (\(=, \leq, \geq\)) se asociará con la Hipótesis Null mientras que la no-igualdad (\(\neq,<,>\)) se asociará con la Hipótesis Alternativa.
    • Es la Hipótesis Null la que siempre se prueba para intentar “desmentirla” y apoyar la Hipótesis Alternativa. Este proceso es análogo en concepto a una “prueba por contradicción” en Matemáticas o Lógica, pero apoyar una hipótesis con un nivel de confianza no es lo mismo que una prueba matemática absoluta.

    Ejemplos de hipótesis nulas y alternativas:

    • \(H_{o}: p \leq 0.20 \qquad H_{a}: p>0.20\)
    • \(H_{o}: \mu \leq 5000 \qquad H_{a}: \mu>5000\)
    • \(H_{o}: \mu_{1}=\mu_{2} \qquad H_{a}: \mu_{1} \neq \mu_{2}\)
    • \(H_{o}: p_{1} \geq p_{2} \qquad H_{a}: p_{1}<p_{2}\)
    • \(H_{o}: \sigma \leq 10 \qquad H_{a}: \sigma>10\)

    Modelo estadístico y estadística de prueba

    Para probar una hipótesis necesitamos usar un modelo estadístico que describa el comportamiento de los datos y el tipo de parámetro poblacional que se está probando. Debido al Teorema del Límite Central, muchos modelos estadísticos son de la Familia Normal, lo que es más importante el\(Z, t, \chi^{2}\), y\(F\) distribuciones. Otros modelos que se utilizan cuando el Teorema de Límite Central no es apropiado se denominan Modelos no paramétricos y no se discutirán aquí.

    Cada modelo elegido tiene requisitos de los datos llamados supuestos del modelo que deben verificarse para su idoneidad. Por ejemplo, muchos modelos requieren que la media de la muestra tenga aproximadamente una Distribución Normal, algo que puede no ser cierto para algunos conjuntos de datos más pequeños o fuertemente sesgados.

    Una vez elegido el modelo, podemos entonces determinar una estadística de prueba, un valor derivado de los datos que se utilizan para decidir si rechazar o no rechazar la Hipótesis Null.

    Ejemplos de Modelos Estadísticos y Estadísticas de Pruebas

    Modelo Estadístico Estadística de prueba
    Media vs. valor hipotético \(t=\dfrac{\overline{X}-\mu_{o}}{s / \sqrt{n}}\)
    Proporción vs. valor hipotético \(Z=\dfrac{\hat{p}-p_{o}}{\sqrt{\frac{p_{o}\left(1-p_{0}\right)}{n}}}\)
    Varianza vs. valor hipotético \(\chi^{2}=\dfrac{(n-1) s^{2}}{\sigma^{2}}\)

    Errores en la toma de decisiones

    Siempre que tomamos una decisión o apoyamos una posición, siempre existe la posibilidad de que tomemos la decisión equivocada. El proceso de prueba de hipótesis nos obliga a rechazar la hipótesis nula y apoyar la hipótesis alternativa o no rechazar la hipótesis nula. Esto crea la posibilidad de dos tipos de error:

    • Tipo I Error Rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera.
    • Error tipo II No rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa.

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    Al diseñar pruebas de hipótesis, debemos considerar cuidadosamente la probabilidad de cometer cualquiera de estos errores.

    Ejemplo: Investigación farmacéutica

    Recordemos las dos noticias discutidas anteriormente. En la primera historia, una compañía farmacéutica comercializó un supositorio que luego se encontró ineficaz (y a menudo peligroso) en el tratamiento. Antes de comercializar el medicamento, la compañía determinó que el medicamento era efectivo en el tratamiento, lo que significa que la compañía rechazó una hipótesis nula de que el supositorio no tuvo efecto sobre la enfermedad. Este es un ejemplo de error Tipo I.

    En la segunda historia, la investigación fue abandonada cuando las pruebas mostraron que el interferón era ineficaz en el tratamiento de una enfermedad pulmonar. La empresa en este caso no logró rechazar una hipótesis nula de que el medicamento era ineficaz. ¿Y si el medicamento realmente fuera efectivo? ¿La compañía cometió el error Tipo II? Posiblemente, pero como el medicamento nunca se comercializó, no tenemos forma de saber la verdad.

    Estas historias resaltan el problema de la investigación estadística: los errores se pueden analizar utilizando modelos de probabilidad, pero a menudo no hay forma de identificar errores específicos. Por ejemplo, en estos momentos hay inocentes desconocidos en prisión porque un jurado cometió el error Tipo I al condenar injustamente a los acusados. Debemos estar abiertos a la posibilidad de modificación o rechazo de teorías actualmente aceptadas cuando se descubren nuevos datos.

    Al diseñar un experimento, establecemos una probabilidad máxima de cometer un error de Tipo I. Esta probabilidad se denomina nivel de significancia o nivel de significancia de la prueba y es designada por la letra griega \(\alpha\), leída como alfa. El análisis del error Tipo II es más problemático ya que existen muchos valores posibles que satisfagan la Hipótesis Alternativa. Para un valor específico de la Hipótesis Alternativa, la probabilidad de diseño de cometer un error Tipo II se denomina Beta (\(\beta\)) la cual se analizará en detalle más adelante en esta sección.

    Valor crítico y región de rechazo

    Una vez elegido el nivel de significancia de la prueba, entonces es posible encontrar la (s) región (es) de la función de distribución de probabilidad del estadístico de prueba que permitiría rechazar la Hipótesis Null. Esto se llama Región de Rechazo, y el límite entre la Región de Rechazo y el “No Rechazar” se llama el Valor Crítico.

    Puede haber más de una región de valor crítico y rechazo. Lo que importa es que el área total de la región de rechazo sea igual al nivel de significancia\(\alpha\).

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    Pruebas de una y dos colas

    Una prueba es de una cola cuando la Hipótesis Alternativa\(H_{a}\),, establece una dirección, como:

    \(H_{o}\): El ingreso medio de las mujeres es menor o igual que el ingreso medio de los varones.

    \(H_{a}\): El ingreso medio de las mujeres es mayor que el de los varones.

    Dado que la igualdad suele formar parte de la Hipótesis Null, es la Hipótesis Alternativa la que determina qué cola probar.

    Una prueba es de dos colas cuando no se especifica ninguna dirección en la hipótesis alternativa Ha, como:

    \(H_{o}\): El ingreso medio de las mujeres es igual al ingreso medio de los varones.

    \(H_{a}\): El ingreso medio de las mujeres no es igual al ingreso medio de los varones.

    En una prueba de dos colas, el nivel de significancia se divide en dos partes ya que hay dos regiones de rechazo. En las pruebas de hipótesis, en las que el modelo estadístico es simétrico (por ejemplo: la Normal Estándar\(Z\) o la distribución t de Student) estas dos regiones serían iguales. Existe una relación entre un intervalo de confianza y una prueba de dos colas: si el nivel de confianza para un intervalo de confianza es igual a\(1-\alpha\), dónde\(\alpha\) está el nivel de significancia de la prueba de dos colas, los valores críticos serían los mismos.

    Aquí hay algunos ejemplos para probar la media\(\mu\) contra un valor hipotético\(\mu_{0}\):

    Nota

    \(H_{a}: \mu>\mu_{0}\)significa probar la cola superior y también se llama prueba de cola derecha.

    \(H_{a}: \mu<\mu_{0}\)significa probar la cola inferior y también se llama prueba de cola izquierda.

    \(H_{a}: \mu \neq \mu_{0}\)significa probar ambas colas.

    Decidir cuándo realizar una prueba de una o dos colas suele ser controvertido y muchas autoridades incluso llegan a decir que solo deben realizarse pruebas de dos colas. En definitiva, la decisión depende de la redacción del problema. Si queremos demostrar que una nueva dieta reduce el peso, realizaríamos una prueba de cola baja, ya que no nos importa si la dieta provoca aumento de peso. Si en cambio quisiéramos determinar si la tasa media de criminalidad en California era diferente de la tasa media de delincuencia en Estados Unidos, realizaríamos una prueba de dos colas, ya que diferente implica mayor o menor que.


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