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11.3: Muestreo dependiente — Pares emparejados t‐test

  • Page ID
    151877
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    Los modelos independientes mostrados anteriormente compararon muestras que no estaban relacionadas. Sin embargo, a menudo es ventajoso tener muestras relacionadas que se emparejen, dos mediciones de una sola población. El modelo que consideraremos aquí se llama la \(t\)prueba de pares coincidentes, también conocida como\(t\) prueba de diferencia pareada. La ventaja de este diseño es que podemos eliminar la variabilidad porque no se están estudiando otros factores, aumentando la potencia del diseño.

    En este modelo tomamos la diferencia de cada par y creamos una nueva población de diferencias, por lo que si efecto, la prueba de hipótesis es una prueba de una población de media que ya cubrimos en la sección anterior.

    Pares emparejados\(t\)‐test to compare the means for two dependent populations

    Supuestos de modelo

    • Muestreo Dependiente
    • \(X_{d}=X_{1}-X_{2}\)
    • \(\overline{X}_{d}=\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}\)aproximadamente Normal

    Estadística de prueba

    • \(t=\dfrac{\overline{X}_{d}-\mu_{d}}{s_{d} / \sqrt{n}}\)
    • \(d f=n-1\)

    Ejemplo: Autos de renta

    Una agencia de pruebas independiente está comparando el costo diario de alquiler de un auto compacto de Hertz y Avis.

    clipboard_e7932122021c14e748922d7c3df58e948.png

    Se obtiene una muestra aleatoria de 15 ciudades y se obtiene la siguiente información de renta.

    clipboard_e3864ae1455184ed92a227db8ae460063.png

    En el nivel de significancia .05 ¿puede la agencia de pruebas concluir que hay una diferencia en el alquiler cobrado?

    Observe en este ejemplo que las ciudades son la población única que se está muestreando y que se están tomando dos medidas (Hertz y Avis) de cada ciudad. Usando el diseño de par emparejado, podemos eliminar la variabilidad debido a que las ciudades tienen un precio diferente (¡Honolulu es barato porque no puedes conducir muy lejos en Oahu!)

    Solución

    Diseño

    Hipótesis de investigación:

    \(H_o: \mu_{1}=\mu_{2}\)(Hertz y Avis tienen el mismo precio medio para los autos compactos).

    \(H_a: \mu_{1} \neq \mu_{2}\)(Hertz y Avis no tienen el mismo precio medio para los autos compactos).

    El modelo será emparejado par t‐test y estas hipótesis se pueden replantear como:\(Ho: \mu_{d}=0 \quad Ha: \mu_{d} \neq 0\)

    La prueba se ejecutará a un nivel de significancia (\(\alpha\)) del 5%.

    El modelo es de pares emparejados con dos colas\(t\), prueba con 14 grados de libertad. Rechazar\(H_o\) si\(t < ‐2.145\) o\(t >2.145\)

    Datos/Resultados

    clipboard_e3170763f0a1ddba188ba37221a736cc7.png

    Tomamos la diferencia para cada par y encontramos la media de la muestra y la desviación estándar.

    \ (\ begin {alineado}
    \ overline {X} _ {d} &=1.80\\
    s_ {d} & = 2.513\\
    n &= 15\\
    t&=\ dfrac {1.80-0} {2.513/\ sqrt {15}} =2.77
    \ end {alineado}\)

    clipboard_ed30171c8caf4351437af4c53b97207f7.png

    Rechazar\(H_o\) bajo el método del valor crítico o del valor p.

    Conclusión

    Hay una diferencia en el precio medio de los autos compactos entre Hertz y Avis. Avis tiene precios medios más bajos.

    La ventaja del diseño del par emparejado es clara en este ejemplo. La desviación estándar de la muestra para los precios de Hertz es de $5.23 y para Avis es de $5.62. Gran parte de esta variabilidad se debe a las ciudades, y el diseño de pares emparejados reduce drásticamente la desviación estándar a $2.51, lo que significa que la prueba t de pares emparejados tiene significativamente más potencia en este ejemplo.


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