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14.4: Prueba de hipótesis para regresión lineal simple

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ahora describiremos una prueba de hipótesis para determinar si el modelo de regresión es significativo; en otras palabras, ¿el valor de de\(X\) alguna manera ayuda a predecir el valor esperado de\(Y\)?

    Prueba de hipótesis ANOVA de regresión lineal simple

    Supuestos de modelo

    • Los errores residuales son aleatorios y normalmente se distribuyen.
    • La desviación estándar del error residual no depende de\(X\)
    • Existe una relación lineal entre\(X\) y\(Y\)
    • Las muestras se seleccionan aleatoriamente

    Hipótesis de prueba

    \(H_o\):\(X\) y no\(Y\) están correlacionados

    \(H_a\):\(X\) y\(Y\) están correlacionados

    \(H_o\):\(\beta_1\) (pendiente) = 0

    \(H_a\):\(\beta_1\) (pendiente) ≠ 0

    Estadística de prueba

    \(F=\dfrac{M S_{\text {Regression }}}{M S_{\text {Error }}}\)

    \(d f_{\text {num }}=1\)

    \(d f_{\text {den }}=n-2\)

    Suma de Cuadrados

    \(S S_{\text {Total }}=\sum(Y-\bar{Y})^{2}\)

    \(S S_{\text {Error }}=\sum(Y-\hat{Y})^{2}\)

    \(S S_{\text {Regression }}=S S_{\text {Total }}-S S_{\text {Error }}\)

    En regresión lineal simple, esto equivale a decir “¿X es una Y correlacionada?”

    Al revisar el modelo\(Y=\beta_{0}+\beta_{1} X+\varepsilon\), siempre que la pendiente (\(\beta_{1}\)) tenga algún valor distinto de cero,\(X\) agregará valor para ayudar a predecir el valor esperado de\(Y\). Sin embargo, si no hay correlación entre X e Y, el valor de la pendiente (\(\beta_{1}\)) será cero. El modelo que podemos usar es muy similar al ANOVA de One Factor.

    Los resultados de la prueba se pueden resumir en una tabla ANOVA especial:

    Fuente de Variación Suma de Cuadrados (SS) Grados de libertad (df) Cuadrado medio (MS) \(F\)
    Factor (debido a X) \(\mathrm{SS}_{\text {Regression }}\) 1 \(\mathrm{MS}_{\text {Factor }}=\mathrm{SS}_{\text {Factor }} / 1\) \ (F\)” class="lt-estados-20929">\(\mathrm{F}=\mathrm{MS}_{\text {Factor }} / \mathrm{MS}_{\text {Error }}\)
    Error (Residual) \(\mathrm{SS}_{\text {Error }}\) \(n-2\) \(\mathrm{MS}_{\text {Error }}=\mathrm{SS}_{\text {Error }} / \mathrm{n}-2\) \ (F\)” class="lt-estados-20929">
    Total \(\mathrm{SS}_{\text {Total }}\) \(n-1\)   \ (F\)” class="lt-estados-20929">
    Ejemplo: Lluvia y venta de gafas de sol

    Diseño: ¿Existe una correlación significativa entre la lluvia y la venta de gafas de sol?

    Hipótesis de investigación s:

    \(H_o\): Las ventas y las precipitaciones no están correlacionadas\(H_o\): 1 (pendiente) = 0

    \(H_a\): Las ventas y las precipitaciones se correlacionan\(H_a\): 1 (pendiente) ≠ 0

    El error tipo I sería rechazar la Hipótesis Null y\(t\) afirmar que la lluvia se correlaciona con las ventas de gafas de sol, cuando no están correlacionadas. La prueba se ejecutará a un nivel de significancia (\(\alpha\)) del 5%.

    El estadístico de prueba de la tabla será\(\mathrm{F}=\dfrac{\text { MSRegression }}{\text { MSError }}\). Los grados de libertad para el numerador serán 1, y los grados de libertad para el denominador serán 5‐2=3.

    Valor Crítico para\(F\) a\(\alpha\) de 5% con\(df_{num}=1\) y\(df_{den}=3} is 10.13.  Reject \(H_o\) si\(F >10.13\). También realizaremos esta prueba usando el método\(p\) ‐value con software estadístico, como Minitab.

    Datos/Resultados

    clipboard_eb53a719f76cee3cc8dba624ad935461d.png

    \(F=341.422 / 12.859=26.551\), que es más que el valor crítico de 10.13, por lo que Rechazar\(H_o\). Además, el\(p\) ‐valor = 0.0142 < 0.05 que también soporta rechazo\(H_o\).

    Conclusión

    Las ventas de Gafas de Sol y Lluvia están negativamente correlacionadas.


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