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1.13: Logaritmos

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    Objetivos de aprendizaje

    • Compute los registros usando diferentes bases
    • Realizar operaciones aritméticas básicas usando registros
    • Indicar la relación entre los registros y el cambio proporcional

    La transformación logarítmica reduce el sesgo positivo. Esto puede ser valioso tanto para hacer que los datos sean más interpretables como para ayudar a cumplir con los supuestos de las estadísticas inferenciales.

    Conceptos básicos de logaritmos (Logaritmos)

    Los registros son, en cierto sentido, lo contrario de los exponentes. Considera la siguiente expresión simple:

    \[10^2 = 100\]

    Aquí podemos decir que la base de\(10\) se eleva a la segunda potencia. Aquí hay un ejemplo de un registro:

    \[\log_{10}(100) = 2\]

    Esto se puede leer como: La base logarítmica diez de\(100\) iguales\(2\). El resultado es el poder al que se\(10\) tiene que elevar la base para igualar el valor (\(100\)). Del mismo modo,

    \[\log_{10}(1000) = 3\]

    ya que\(10\) tiene que elevarse al tercer poder para igualar\(1,000\).

    Todos estos ejemplos usaban base\(10\), pero se podría haber utilizado cualquier base. Hay una base que da como resultado “logaritmos naturales” y que se llama\(e\) e iguala aproximadamente\(2.718\). Aquí está más allá del alcance explicar lo que es “natural” al respecto. Los logaritmos naturales pueden indicarse ya sea como:\(\ln (x)\; or\; \log_e(x)\).

    Al cambiar la base del registro se cambia el resultado por una constante multiplicativa. Para convertir de\(\log _{10}\) a troncos naturales, se multiplica por\(2.303\). Análogamente, para convertir en la otra dirección, se divide por\(2.303\).

    \[ \ln X =2.303 \log_{10} X \]

    Tomando el\(\text{antilog}\) de un número deshace la operación de tomar el\(\log\). Por lo tanto\(\log_{10}(1000) = 3\), ya que, el\(antilog_{10}\) de\(3\) es\(10^3 = 1,000\). Tomando el\(\text{antilog}\) de un número simplemente eleva la base del logaritmo en cuestión a ese número.

    Registros y Cambio Proporcional

    Una serie de números que aumentan proporcionalmente aumentarán en cantidades iguales cuando se conviertan en logs. Por ejemplo, los números en la primera columna de Tabla\(\PageIndex{1}\)
    aumentan en un factor de\(1.5\) para que cada fila sea\(1.5\) veces tan alta como la fila anterior. Los números\(\log_{10}\) transformados aumentan en pasos iguales de\(0.176\).

    Tabla\(\PageIndex{1}\): Los cambios brutos proporcionales son iguales en unidades logarí
    Crudo Log
    4.0 0.602
    6.0 0.778
    9.0 0.954
    13.5 1.130

    Como otro ejemplo, si un estudiante incrementó su puntaje de\(100\) a\(200\) mientras que un segundo estudiante aumentó el suyo de\(150\) a\(300\), el cambio porcentual (\(100\%\)) es el mismo para ambos estudiantes. La diferencia logarítmica también es la misma, como se muestra a continuación.

    \[Log_{10}(100) = 2.000\\ \log_{10}(200) = 2.301\\ Difference: 0.301\\ \; \\ \log_{10}(150) = 2.176\\ \log_{10}(300) = 2.477\\ Difference: 0.301\]

    Operaciones Aritméticas

    A continuación se muestran las reglas para los registros de productos y cocientes.

    \[\log(AB) = \log(A) + \log(B)\]

    \[\log\left(\dfrac{A}{B}\right) = \log(A) - \log(B)\]

    Por ejemplo,

    \[\log_{10}(10 \times 100) = \log_{10}(10) + \log_{10}(100) = 1 + 2 = 3.\]

    Del mismo modo,

    \[\log_{10}\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log_{10}(100) - \log_{10}(10) = 2 - 1 = 1.\]

    Colaboradores y Atribuciones



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