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3.2: Qué es la Tendencia Central

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    Objetivos de aprendizaje

    • Identificar situaciones en las que sería valioso conocer el centro de una distribución
    • Dar tres formas diferentes de definir el centro de una distribución
    • Describir cómo el saldo es diferente para distribuciones simétricas que para distribuciones asimétricas

    ¿Qué es la “tendencia central” y por qué queremos conocer la tendencia central de un grupo de puntajes? Tratemos primero de responder a estas preguntas de manera intuitiva. Entonces procederemos a una discusión más formal.

    Imagina esta situación: Estás en una clase con solo otros cuatro estudiantes, y los cinco de ustedes tomaron un cuestionario pop de\(5\) puntos. Hoy tu instructor está caminando por la habitación, entregando los cuestionarios. Ella se detiene en tu escritorio y te entrega tu papel. Escrito en negrita tinta negra en el frente es "\(3/5\).” ¿Cómo reaccionas? ¿Estás contento con tu puntuación de\(3\) o decepcionado? ¿Cómo decides? Podrías calcular tu porcentaje correcto, darte cuenta de que lo es\(60\%\) y estar horrorizado. Pero es más probable que a la hora de decidir cómo reaccionar ante tu desempeño, quieras información adicional. ¿Qué información adicional le gustaría?

    Si eres como la mayoría de los estudiantes, inmediatamente preguntarás a tus vecinos, “¿Qué obtienes?” y luego preguntar al instructor: “¿Cómo le fue a la clase?” En otras palabras, la información adicional que deseas es cómo se compara tu puntaje de prueba con los puntajes de otros estudiantes. Por lo tanto, comprende la importancia de comparar su puntaje con la distribución de calificaciones en clase. Si tu puntaje de\(3\) resulta estar entre los puntajes más altos, entonces estarás satisfecho después de todo. Por otro lado, si\(3\) está entre las puntuaciones más bajas de la clase, no vas a estar tan contenta.

    Esta idea de comparar puntuaciones individuales con una distribución de puntajes es fundamental para la estadística. Así que vamos a explorarlo más a fondo, usando el mismo ejemplo (el cuestionario pop que hiciste con tus cuatro compañeros de clase). En la Tabla se muestran tres posibles resultados\(\PageIndex{1}\). Están etiquetados "\(\text{Dataset A}\),” "\(\text{Dataset B}\)” y "”\(\text{Dataset C}\).” ¿Cuál de los tres conjuntos de datos te haría más feliz? Es decir, al comparar tu puntuación con las puntuaciones de tus compañeros de estudios, ¿en qué conjunto de datos sería tu puntuación de\(3\) la más impresionante?

    En\(\text{Dataset A}\), la puntuación de todos es\(3\). Esto pone tu puntaje en el centro exacto de la distribución. Puedes sacar satisfacción por el hecho de que lo hiciste tan bien como todos los demás. Pero claro que corta en ambos sentidos: todos los demás lo hicieron tan bien como tú.

    Tabla\(\PageIndex{1}\): Tres posibles conjuntos de datos para el cuestionario\(5\) de maquillaje de puntos
    Alumno Dataset A Conjunto de datos B Conjunto de datos C
    Usted 3 3 3
    John's 3 4 2
    Maria's 3 4 2
    Shareecia 3 4 2
    Lutero 3 5 1

    Ahora considere la posibilidad de que los puntajes se describan como en\(\text{Dataset B}\). Este es un resultado deprimente a pesar de que su puntaje no es diferente al de\(\text{Dataset A}\). El problema es que los otros cuatro alumnos tuvieron calificaciones superiores, poniendo el tuyo por debajo del centro de la distribución.

    Por último, veamos\(\text{Dataset C}\). ¡Esto es más parecido! Todos tus compañeros obtienen puntajes más bajos que tú por lo que tu puntaje está por encima del centro de la distribución.

    Ahora cambiemos el ejemplo para desarrollar más perspicacia en el centro de una distribución. La figura\(\PageIndex{1}\) muestra los resultados de un experimento de memoria para posiciones de ajedrez. A los sujetos se les mostró una posición de ajedrez y luego se les pidió que la reconstruyeran en un tablero vacío. Se registró el número de piezas correctamente colocadas. Esto se repitió para dos posiciones más de ajedrez. Las puntuaciones representan el número total de piezas de ajedrez colocadas correctamente para las tres posiciones de ajedrez. El puntaje máximo posible fue\(89\).

    Se comparan dos grupos. A la izquierda hay gente que no juega al ajedrez. A la derecha hay gente que juega mucho (jugadores de torneo). Es claro que la ubicación del centro de la distribución para los no jugadores es mucho menor que el centro de la distribución para los jugadores del torneo.

    figure1.jpg
    Figura\(\PageIndex{1}\): Visualización de tallo y hoja espalda con espalda. El lado izquierdo muestra las puntuaciones de memoria de los no jugadores. El lado derecho muestra las puntuaciones de los jugadores del torneo.

    Estamos seguros de que ya tienes la idea del centro de una distribución. Es hora de ir más allá de la intuición. Necesitamos una definición formal del centro de una distribución. De hecho, ¡te ofreceremos tres definiciones! Esto no es sólo generosidad de nuestra parte. Resulta haber (al menos) tres formas distintas de pensar sobre el centro de una distribución, todas ellas útiles en diversos contextos. En el resto de esta sección intentamos comunicar la idea detrás de cada concepto. En las secciones siguientes daremos medidas estadísticas para estos conceptos de tendencia central.

    Definiciones de Centro

    Ahora explicamos las tres formas diferentes de definir el centro de una distribución. Los tres se llaman medidas de tendencia central.

    Balanza de Balanza

    Una definición de tendencia central es el punto en el que la distribución está en equilibrio. La figura\(\PageIndex{2}\) muestra la distribución de los cinco números\(2, 3, 4, 9, 16\) colocados en una escala de balance. Si cada número pesa una libra, y se coloca en su posición a lo largo de la línea numérica, entonces sería posible equilibrarlos colocando un punto de apoyo en\(6.8\).

    balance1.jpg
    Figura\(\PageIndex{2}\): Una escala de balance

    Para otro ejemplo, considere la distribución mostrada en la Figura\(\PageIndex{3}\). Se equilibra colocando el fulcro en el medio geométrico.

    balance.jpg
    Figura\(\PageIndex{3}\): Una distribución equilibrada en la punta de un triángulo.

    La figura\(\PageIndex{4}\) ilustra que la misma distribución no se puede equilibrar colocando el fulcro a la izquierda del centro.

    unbalance.jpg
    Figura\(\PageIndex{4}\): La distribución no está equilibrada

    La figura\(\PageIndex{5}\) muestra una distribución asimétrica. Para equilibrarlo, no podemos poner el punto de apoyo a mitad de camino entre los valores más bajos y altos (como hicimos en la Figura\(\PageIndex{3}\)). Colocar el fulcro en el punto “a mitad de camino” provocaría que volcara hacia la izquierda.

    asymmetric.jpg
    Figura\(\PageIndex{5}\): Una distribución asimétrica equilibrada en la punta de un triángulo

    El punto de equilibrio define un sentido del centro de una distribución. La simulación en la siguiente sección “Simulación de escala de balance” muestra cómo encontrar el punto en el que se equilibra la distribución.

    Desviación absoluta más pequeña

    Otra forma de definir el centro de una distribución se basa en el concepto de la suma de las desviaciones absolutas (diferencias). Considera la distribución conformada por los cinco números\(2, 3, 4, 9, 16\). Veamos a qué distancia está la distribución\(10\) (escogiendo un número arbitrariamente). El cuadro\(\PageIndex{2}\) muestra la suma de las desviaciones absolutas de estos números con respecto al número\(10\).

    Tabla\(\PageIndex{2}\): Un ejemplo de la suma de las desviaciones absolutas
    Valores Desviaciones absolutas de 10
    2 8
    3 7
    4 6
    9 1
    16 6
    Suma 28

    La primera fila de la tabla muestra que el valor absoluto de la diferencia entre\(2\) y\(10\) es\(8\); la segunda fila muestra que la diferencia absoluta entre\(3\) y\(10\) es\(7\), y de manera similar para las otras filas. Cuando sumamos las cinco desviaciones absolutas, obtenemos\(28\). Entonces, la suma de las desviaciones absolutas de\(10\) es\(28\). Asimismo, la suma de las desviaciones absolutas de\(5\) iguales\(3 + 2 + 1 + 4 + 11 = 21\). Entonces, la suma de las desviaciones absolutas de\(5\) es menor que la suma de las desviaciones absolutas de\(10\). En este sentido,\(5\) está más cerca, en general, de los otros números de lo que está\(10\).

    Ahora estamos en condiciones de definir una segunda medida de tendencia central, esta vez en términos de desviaciones absolutas. Específicamente, según nuestra segunda definición, el centro de una distribución es el número para el que la suma de las desviaciones absolutas es menor. Como acabamos de ver, la suma de las desviaciones absolutas de\(10\) es\(28\) y la suma de las desviaciones absolutas de\(5\) es\(21\). ¿Hay un valor para el que la suma de las desviaciones absolutas sea incluso menor que\(21\)? Sí. Para estos datos, existe un valor para el cual la suma de las desviaciones absolutas es sólo\(20\). A ver si lo puedes encontrar. Un método general para encontrar el centro de una distribución en el sentido de desviaciones absolutas se proporciona en la simulación “Simulación de diferencias absolutas”.

    Desviación cuadrada más pequeña

    Discutiremos una forma más de definir el centro de una distribución. Se basa en el concepto de la suma de desviaciones cuadradas (diferencias). De nuevo, considere la distribución de los cinco números\(2, 3, 4, 9, 16\). El cuadro\(\PageIndex{3}\) muestra la suma de las desviaciones cuadradas de estos números con respecto al número\(10\).

    Tabla\(\PageIndex{3}\): Un ejemplo de la suma de desviaciones cuadradas
    Valores Desviaciones Cuadradas de 10
    2 64
    3 49
    4 36
    9 1
    16 36
    Suma 186

    La primera fila de la tabla muestra que el valor cuadrado de la diferencia entre\(2\) y\(10\) es\(64\); la segunda fila muestra que la diferencia cuadrada entre\(3\) y\(10\) es\(49\), y así sucesivamente. Cuando sumamos todas estas desviaciones cuadradas, obtenemos\(186\). Cambiando el objetivo de\(10\) a\(5\), calculamos la suma de las desviaciones cuadradas de\(5\) as\(9 + 4 + 1 + 16 + 121 = 151\). Entonces, la suma de las desviaciones cuadradas de\(5\) es menor que la suma de las desviaciones cuadradas de\(10\). ¿Hay algún valor para el que la suma de las desviaciones cuadradas sea incluso menor que\(151\)? Sí, es posible llegar\(134.8\). ¿Puedes encontrar el número objetivo para el que es la suma de las desviaciones cuadradas\(134.8\)?

    El objetivo que minimiza la suma de desviaciones cuadradas proporciona otra definición útil de tendencia central (la última que se discutirá en esta sección). Puede ser un reto encontrar el valor que minimice esta suma. Verás cómo lo haces en la próxima sección “Simulación de Diferencias Cuadradas”.

    Colaborador


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