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3.3: Medidas de Tendencia Central

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    Objetivos de aprendizaje

    • Modo cómputo

    En el apartado anterior vimos que hay varias formas de definir tendencia central. Esta sección define las tres medidas más comunes de tendencia central: la media, la mediana y el modo. Las relaciones entre estas medidas de tendencia central y las definiciones dadas en el apartado anterior probablemente no te serán obvias. En lugar de simplemente decirte estas relaciones, te permitiremos descubrirlas en las simulaciones en las secciones que siguen. En esta sección se dan únicamente las definiciones básicas de la media, mediana y modo. En una sección posterior se presenta una discusión adicional sobre los méritos relativos y las aplicaciones adecuadas de estas estadísticas.

    Media Aritmética

    La media aritmética es la medida más común de tendencia central. Es simplemente la suma de los números divididos por el número de números. El símbolo "\(\mu\)" se utiliza para la media de una población. Se utiliza el símbolo\(M\) "" para la media de una muestra. La fórmula para\(\mu\) se muestra a continuación:

    \[\mu =\dfrac{\sum X}{N}\]

    donde\(\sum X\) está la suma de todos los números en la población y\(N\) es el número de números en la población.

    La fórmula para\(M\) es esencialmente idéntica:

    \[M = \dfrac{\sum X}{N}\]

    donde\(\sum X\) is the sum of all the numbers in the sample and \(N\) is the number of numbers in the sample.

    A modo de ejemplo, la media de los números\(1, 2, 3, 6, 8\) es\(20/5 = 4\) independientemente de que los números constituyan toda la población o sólo una muestra de la población.

    En la tabla se\(\PageIndex{1}\) muestra el número de pases de touchdown (TD) lanzados por cada uno de los\(31\) equipos en la Liga Nacional de Futbol en la\(2000\) temporada.

    Tabla\(\PageIndex{1}\) : Número de pases de touchdown

    \[\begin{matrix} 37 & 33 & 33 & 32 & 29 & 28 & 28 & 23 & 22 & 22 & 22 & 21\\ 21 & 21 & 20 & 20 & 19 & 19 & 18 & 18 & 18 & 18 & 16 & 15\\ 14 & 14 & 14 & 12 & 12 & 9 & 6 & & & & & \end{matrix}\]

    El número medio de pases de touchdown lanzados es\(20.4516\) as shown below.

    \[\begin{align*} \mu &= \sum X/N\\ &= 634/31\\ &= 20.4516 \end{align*}\]

    Si bien la media aritmética no es la única “media” (también hay una media geométrica), es con mucho la más utilizada. Por lo tanto, si se usa el término “media” sin especificar si es la media aritmética, la media geométrica, o alguna otra media, se supone que se refiere a la media aritmética.

    Mediana

    La mediana es también una medida de tendencia central de uso frecuente. La mediana es el punto medio de una distribución: el mismo número de puntuaciones está por encima de la mediana que por debajo de ella. Para los datos en Tabla\(\PageIndex{1}\), hay\(31\) puntuaciones. La puntuación\(16^{th}\) más alta (que es igual\(20\)) es la mediana porque hay\(15\) puntuaciones por debajo de la\(16^{th}\) puntuación y\(15\) puntuaciones por encima de la\(16^{th}\) puntuación. La mediana también se puede considerar como el\(50^{th}\) percentil.

    Computación de la Mediana

    Cuando hay un número impar de números, la mediana es simplemente el número medio. Por ejemplo, la mediana de\(2, 4\), y\(7\) es\(4\). Cuando hay un número par de números, la mediana es la media de los dos números medios. Así, la mediana de los números\(2, 4, 7, 12\) es\((4+7)/2 = 5.5\). Cuando hay números con los mismos valores, entonces se debe usar la fórmula para la tercera definición del\(50^{th}\) percentil.

    Modo

    El modo es el valor que ocurre con mayor frecuencia. Para los datos en Table\(\PageIndex{2}\), el modo es\(18\) ya que más equipos (\(4\)) tuvieron pases de\(18\) touchdown que cualquier otro número de pases de touchdown. Con datos continuos como el tiempo de respuesta medido a muchos decimales, la frecuencia de cada valor es uno ya que no hay dos puntuaciones exactamente iguales (ver discusión de variables continuas). Por lo tanto, el modo de datos continuos normalmente se calcula a partir de una distribución de frecuencia agrupada. \(\PageIndex{2}\)La tabla muestra una distribución de frecuencia agrupada para los datos de tiempo de respuesta objetivo. Dado que el intervalo con la frecuencia más alta es\(600-700\), el modo es el medio de ese intervalo (\(650\)).

    Tabla\(\PageIndex{2}\): Distribución de frecuencias agrupadas
    Rango Frecuencia
    500-600 3
    600-700 6
    700-800 5
    800-900 5
    900-1000 0
    1000-1100 1

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