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3.17: Efectos de las Transformaciones Lineales

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    Objetivos de aprendizaje

    • Calcule la media de una variable transformada
    • Calcule la varianza de una variable transformada

    Esta sección cubre los efectos de las transformaciones lineales sobre medidas de tendencia central y variabilidad. Empecemos con un ejemplo que vimos antes en la sección que definió la transformación lineal: las temperaturas de las ciudades. En la tabla se\(\PageIndex{1}\) muestran las temperaturas de\(5\) las ciudades.

    Tabla\(\PageIndex{1}\): Temperaturas en\(5\) ciudades\(11/16/2002\)
    Ciudad Grados Fahrenheit Grados Centígrados
    Houston
    Chicago
    Mineápolis
    Miami
    Phoenix
    54
    37
    31
    78
    70
    12.22
    2.78
    -0.56
    25.56
    21.11

    Mediana media
    54.000
    54.000
    12.220
    12.220
    Varianza 330.00 101.852
    SD 18.166 10.092

    Recordemos que para transformar los grados Fahrenheit a grados centígrados, utilizamos la fórmula

    \[C = 0.556F - 17.778\]

    lo que significa que multiplicamos cada temperatura Fahrenheit por\(0.556\) y luego restamos\(17.778\). Como habrías esperado, multiplicas la temperatura media en Fahrenheit por\(0.556\) y luego restas\(17.778\) para obtener la media en Centígrados. Es decir,\((0.556)(54) - 17.778 = 12.22\). Lo mismo es cierto para la mediana. Obsérvese que esta relación se mantiene aunque la media y la mediana no sean idénticas como están en la Tabla\(\PageIndex{1}\).

    La fórmula para la desviación estándar es igual de simple: la desviación estándar en grados centígrados es igual a la desviación estándar en grados Fahrenheit veces\(0.556\). Dado que la varianza es la desviación estándar al cuadrado, la varianza en grados centígrados es igual a\(0.5562^2\) veces la varianza en grados Fahrenheit.

    Para resumir, si una variable\(X\) tiene una media de\(\mu\), una desviación estándar de\(\sigma\), y una varianza de\(\sigma ^2\), entonces una nueva variable\(Y\) creada usando la transformación lineal

    \[Y = bX + A\]

    tendrá una media de\(b\mu + A\), una desviación estándar de\(b\sigma\), y una varianza de\(b^2\sigma ^2\).

    Cabe señalar que el término “transformación lineal” se define de manera diferente en el campo del álgebra lineal. Para más detalles, siga este enlace.


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