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5.2: Conceptos básicos de probabilidad

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    152450
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    • Compute la probabilidad en una situación en la que hay resultados igualmente probables
    • Aplicar conceptos a tarjetas y dados
    • Compute la probabilidad de que ocurran dos eventos independientes
    • Compute la probabilidad de que ocurra cualquiera de dos eventos independientes
    • Hacer problemas que involucren probabilidades condicionales
    • Compute la probabilidad de que en una habitación de\(N\) personas, al menos dos compartan un cumpleaños
    • Describe la falacia del jugador

    Probabilidad de un solo evento

    Si se tira un dado de seis caras, hay seis resultados posibles, y cada uno de estos resultados es igualmente probable. Un seis es tan probable que surja como un tres, y de igual manera para los otros cuatro lados del dado. ¿Cuál es entonces la probabilidad de que surja uno? Dado que hay seis posibles resultados, la probabilidad es\(1/6\). ¿Cuál es la probabilidad de que surja un uno o un seis? Los dos resultados sobre los que nos preocupa (un uno o un seis próximos) se denominan resultados favorables. Dado que todos los resultados son igualmente probables, podemos calcular la probabilidad de un uno o un seis usando la fórmula:

    \[\text{probability}=\frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Number of possible equally-likely outcomes}}\]

    En este caso hay dos resultados favorables y seis posibles resultados. Entonces la probabilidad de lanzar ya sea un uno o un seis es\(1/3\). No se deje engañar por nuestro uso del término “favorable”, por cierto. Debe entenderlo en el sentido de “favorable al acontecimiento en cuestión que sucede”. Ese evento podría no ser favorable para tu bienestar. Podrías estar apostando por un tres, por ejemplo.

    La fórmula anterior se aplica a muchos juegos de azar. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que una carta extraída al azar de una baraja de naipes sea un as? Dado que la baraja tiene cuatro ases, hay cuatro resultados favorables; dado que la baraja tiene\(52\) cartas, hay\(52\) posibles resultados. Por lo tanto, la probabilidad es\(4/52 = 1/13\). ¿Y la probabilidad de que la tarjeta sea un club? Ya que hay\(13\) clubes, la probabilidad es\(13/52 = 1/4\).

    Digamos que tienes una bolsa con\(20\) cerezas:\(14\)\(6\) agridulces. Si eliges una cereza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea dulce? Hay\(20\) posibles cerezas que podrían ser recolectadas, por lo que el número de posibles resultados es\(20\). De estos\(20\) posibles resultados,\(14\) son favorables (dulces), por lo que la probabilidad de que la cereza sea dulce es\(14/20 = 7/10\). Sin embargo, existe una posible complicación en este ejemplo. Se debe suponer que la probabilidad de recoger cualquiera de las cerezas es la misma que la probabilidad de recoger cualquier otra. Esto no sería cierto si (imaginemos) las cerezas dulces son más pequeñas que las ácidas. (Las cerezas agrias llegarían a la mano más fácilmente cuando tomaras muestras de la bolsa). Tengamos en cuenta, por tanto, que cuando evaluamos las probabilidades en términos de la proporción de casos favorables a todos los casos potenciales, nos basamos en gran medida en el supuesto de igual probabilidad para todos los resultados.

    Aquí hay un ejemplo más complejo.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Tiras\(2\) dados. ¿Cuál es la probabilidad de que sea la suma de los dos dados\(6\)? Para resolver este problema, enumere todos los resultados posibles. Hay\(36\) de ellos ya que cada dado puede llegar de una de seis maneras. A continuación se muestran\(36\) las posibilidades.

    Tabla\(\PageIndex{1}\):\(36\) posibilidades de lanzamiento de\(2\) dados
    Muere 1 Muere 2 Total Muere 1 Muere 2 Total Muere 1 Muere 2 Total
    1 1 2 3 1 4 5 1 6
    1 2 3 3 2 5 5 2 7
    1 3 4 3 3 6 5 3 8
    1 4 5 3 4 7 5 4 9
    1 5 6 3 5 8 5 5 10
    1 6 7 3 6 9 5 6 11
    2 1 3 4 1 5 6 1 7
    2 2 4 4 2 6 6 2 8
    2 3 5 4 3 7 6 3 9
    2 4 6 4 4 8 6 4 10
    2 5 7 4 5 9 6 5 11
    2 6 8 4 6 10 6 6 12

    Se puede ver eso\(5\) de las\(36\) posibilidades totales\(6\). Por lo tanto, la probabilidad es\(5/36\).

    Si conoce la probabilidad de que ocurra un evento, es fácil calcular la probabilidad de que el evento no ocurra. Si\(P(A)\) es la probabilidad de Evento\(A\), entonces\(1-P(A)\) es la probabilidad de que el evento no ocurra. Para el último ejemplo, la probabilidad de que el total es\(6\) es\(5/36\). Por lo tanto, la probabilidad de que el total no sea lo\(6\) es\(1 - 5/36 = 31/36\).

    Probabilidad de dos (o más) eventos independientes

    Los eventos\(A\) y\(B\) son eventos independientes si la probabilidad de\(B\) que ocurra el Evento es la misma independientemente de que\(A\) ocurra o no el Evento. Tomemos un ejemplo sencillo. Una moneda justa es arrojado dos veces. La probabilidad de que aparezca una cabeza en el segundo lanzamiento es\(1/2\) independientemente de si una cabeza subió o no en el primer lanzamiento. Los dos eventos son

    1. primer lanzamiento es una cabeza y
    2. segundo lanzamiento es una cabeza.

    Por lo que estos eventos son independientes.

    Considera los dos eventos:

    1. “Lloverá mañana en Houston” y
    2. “Lloverá mañana en Galveston” (una ciudad cercana a Houston)

    Estos eventos no son independientes porque es más probable que llueva en Galveston los días que llueve en Houston que en días que no lo hace.

    Probabilidad de A y B

    Cuando dos eventos son independientes, la probabilidad de que ambos ocurran es producto de las probabilidades de los eventos individuales. Más formalmente, si los eventos\(A\) y\(B\) son independientes, entonces la probabilidad de que ambos\(A\) y\(B\) ocurran es:

    \[P(A\; \text{and}\; B)=P(A)\times P(B)\]

    donde\(P(A\; \text{and}\; B)\) está la probabilidad de que ocurran eventos\(A\) y\(B\) ambos,\(P(A)\) es la probabilidad de\(A\) que ocurra un evento, y\(P(B)\) es la probabilidad de\(B\) que ocurra un evento.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Si lanzas una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga de cabeza en ambas ocasiones?

    Solución

    El evento\(A\) es que la moneda sube de cabeza en el primer flip y Event\(B\) es que la moneda sube de cabeza en el segundo flip. Dado que ambos\(P(A)\) e\(P(B)\) iguales\(1/2\), la probabilidad de que ocurran ambos eventos es

    \[\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Si lanzas una moneda y tiras un dado de seis caras, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda suba de cabeza y aparezca el dado\(1\)?

    Solución

    Dado que los dos eventos son independientes, la probabilidad es simplemente la probabilidad de que una cabeza (que es\(1/2\)) multiplicada por la probabilidad de que el dado suba\(1\) (que es\(1/6\)). Por lo tanto, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es

    \[\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{12}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Sacas una carta de una baraja de cartas, la vuelves a poner y luego robarás otra carta. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea un corazón y la segunda sea negra?

    Solución

    Ya que hay\(52\) cartas en una baraja y\(13\) de ellas son corazones, la probabilidad de que la primera carta sea un corazón es\(13/52 = 1/4\). Dado que hay cartas\(26\) negras en la baraja, la probabilidad de que la segunda carta sea negra es\(26/52 = 1/2\). Por lo tanto, la probabilidad de que ocurran ambos eventos es

    \[\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\]

    Consulte la sección sobre probabilidades condicionales en esta página para ver cómo calcular\(P(A\; \text{and}\; B)\) cuándo\(A\) y no\(B\) son independientes.

    Probabilidad de A o B

    Si los Eventos\(A\) y\(B\) son independientes, la probabilidad de que\(B\) ocurra Evento\(A\) o Evento es:

    \[P(A\; \text{or}\; B)=P(A)+P(B)-P(A\; \text{and}\; B)\]

    En esta discusión, cuando decimos "\(A\)u\(B\) ocurre” incluimos tres posibilidades:

    1. \(A\)ocurre y\(B\) no ocurre
    2. \(B\)ocurre y\(A\) no ocurre
    3. Ambos\(A\) y\(B\) ocurren

    Este uso de la palabra “o” se denomina técnicamente inclusivo o porque incluye el caso en el que ambos\(A\) y\(B\) ocurren. Si incluimos solo los dos primeros casos, entonces estaríamos usando un exclusivo o.

    (Opcional) Podemos derivar la ley para\(P(A\; \mathbf{or}\; B)\) de nuestra ley sobre\(P(A\; \mathbf{and}\; B)\). El suceso\(\textbf{A-or-B}\) "" puede ocurrir de cualquiera de las siguientes maneras:

    1. \(\textbf{A-and-B}\)sucede
    2. \(\textbf{A-and-not-B}\)sucede
    3. \(\textbf{not-A-and-B}\)sucede

    El simple evento\(A\) puede ocurrir si\(\textbf{A-and-B}\) ocurre o\(\textbf{A-and-not-B}\) sucede. De igual manera, el simple evento\(B\) ocurre si\(\textbf{A-and-B}\) ocurre o\(\textbf{not-A-and-B}\) sucede. \(P(A) + P(B)\)es por lo tanto\(P(A-and-B) + P(A-and-not-B) + P(A-and-B) + P(not-A-and-B)\), mientras que\(P(A-or-B)\) es\(P(A-and-B) + P(A-and-not-B) + P(not-A-and-B)\). Podemos igualar estas dos sumas restando una ocurrencia\(P(A-and-B)\) de la primera. De ahí,\(P(A-or-B) = P(A) + P(B) - P(A-and-B)\).

    Ahora para algunos ejemplos.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Si volteas una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que obtengas una cabeza en la primera vuelta o una cabeza en la segunda vuelta (o ambas)?

    Solución

    Dejar que Event\(A\) sea una cabeza en el primer flip y Event\(B\) sea una cabeza en el segundo flip, entonces\(P(A) = 1/2\),\(P(B) = 1/2\), y\(P(A\; \text{and}\; B) = 1/4\). Por lo tanto,

    \[P(A\; \text{or}\; B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Si lanzas un dado de seis lados y luego volteas una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que consigas ya sea un dado\(6\) en el dado o una cabeza en el flip de la moneda (o ambos)?

    Solución

    Usando la fórmula,

    \[\begin{align*} P(6\; \text{or head}) &= P(6)+P(\text{head})-P(6\; \text{and head})\\ &= \frac{1}{6}+\frac{1}{2}-\left ( \frac{1}{6} \right )\left ( \frac{1}{2} \right )\\ &= \frac{7}{12} \end{align*}\]

    Un enfoque alternativo para calcular este valor es comenzar calculando la probabilidad de no obtener ni una cabeza\(6\) ni una cabeza. Después restar este valor\(1\) para calcular la probabilidad de obtener una\(6\) o una cabeza. Si bien se trata de un método complicado, tiene la ventaja de ser aplicable a problemas con más de dos eventos. Aquí está el cálculo en el presente caso. La probabilidad de no obtener ni una cabeza\(6\) ni una cabeza se puede reformular como la probabilidad de

    \[(\text{not getting a 6})\; AND\; (\text{not getting a head})\]

    Esto sigue porque si no obtuviste una\(6\) y no obtuviste una cabeza, entonces no obtuviste una\(6\) o una cabeza. La probabilidad de no conseguir un seis es\(1 - 1/6 = 5/6\). La probabilidad de no conseguir cabeza es\(1 - 1/2 = 1/2\). La probabilidad de no conseguir un seis y no conseguir cabeza es\(5/6 \times 1/2 = 5/12\). Por lo tanto, esta es la probabilidad de no obtener una\(6\) o una cabeza. Por lo tanto, la probabilidad de obtener un seis o una cabeza es (una vez más)\(1 - 5/12 = 7/12\).

    Si lanzas un dado tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que uno o más de tus lanzamientos surjan con un\(1\)? Es decir, ¿cuál es la probabilidad de conseguir un\(1\) en el primer tiro O un\(1\) en el segundo tiro O un\(1\) en el tercer lanzamiento? La forma más fácil de abordar este problema es calcular la probabilidad de

    • NO conseguir una\(1\) en el primer lanzamiento
    • Y no conseguir un\(1\) en el segundo tiro
    • Y no conseguir un\(1\) en el tercer tiro

    La respuesta será\(1\) menos esta probabilidad. La probabilidad de no conseguir una\(1\) en ninguno de los tres tiros es\(5/6 \times 5/6 \times 5/6 = 125/216\). Por lo tanto, la probabilidad de conseguir un\(1\) en al menos uno de los lanzamientos es\(1 - 125/216 = 91/216\).

    Probabilidades condicionales

    A menudo se requiere calcular la probabilidad de un evento dado que se ha producido otro evento. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que dos cartas sorteadas al azar de una baraja de naipes sean ambas ases? Podría parecer que podrías usar la fórmula para la probabilidad de dos eventos independientes y simplemente multiplicar\(4/52 \times 4/52 = 1/169\). Esto sería incorrecto, sin embargo, porque los dos hechos no son independientes. Si la primera carta extraída es un as, entonces la probabilidad de que la segunda carta sea también un as sería menor porque solo quedarían tres ases en la baraja.

    Una vez que la primera carta elegida es un as, la probabilidad de que la segunda carta elegida sea también un as se denomina probabilidad condicional de sacar un as. En este caso, la “condición” es que la primera carta sea un as. Simbólicamente, escribimos esto como:

    \[P(\text{ace on second draw}\; |\; \text{an ace on the first draw})\]

    La barra vertical “|” se lee como “dada”, por lo que la expresión anterior es la abreviatura de: “La probabilidad de que se dibuje un as en el segundo sorteo dado que se dibujó un as en el primer sorteo”. ¿Cuál es esta probabilidad? Ya que después de que se dibuja un as en el primer sorteo, quedan\(3\) ases del\(51\) total de cartas que quedan. Esto significa que la probabilidad de que uno de estos ases sea sorteado es\(3/51 = 1/17\).

    Si los eventos\(A\) y no\(B\) son independientes, entonces\[P(A\; \text{and} B) = P(A) \times P(B|A)\]

    Aplicando esto al problema de dos ases, la probabilidad de sacar dos ases de una baraja es\(4/52 \times 3/51 = 1/221\).

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Si rotas dos cartas de una baraja, ¿cuál es la probabilidad de que consigas el As de Diamantes y una carta negra?

    Solución

    Hay dos formas de satisfacer esta condición:

    1. Puedes obtener primero el As de Diamantes y luego una tarjeta negra
    2. Primero puedes obtener una tarjeta negra y luego el As de Diamantes

    Vamos a calcular Caso\(A\).

    La probabilidad de que la primera carta sea el As de Diamantes es\(1/52\). La probabilidad de que la segunda carta sea negra dado que la primera carta es el As de Diamantes es\(26/51\) porque\(26\) las\(51\) cartas restantes son negras. Por lo tanto, la probabilidad es\(1/52 \times 26/51 = 1/102\).

    Ahora para Case\(B\):

    La probabilidad de que la primera carta sea negra es\(26/52 = 1/2\). La probabilidad de que la segunda carta sea el As de Diamantes dado que la primera carta es negra es\(1/51\). La probabilidad de Caso\(B\) es por lo tanto\(1/2 \times 1/51 = 1/102\), la misma que la probabilidad de Caso\(A\). Recordemos que la probabilidad de\(A\) o\(B\) es\(P(A)+P(B)-P(A\; \text{and}\; B)\). En este problema,\(P(A\; \text{and}\; B) = 0\) ya que una carta no puede ser el As de Diamantes y ser una carta negra. Por lo tanto, la probabilidad de Caso\(A\) o Caso\(B\) es\(1/102 + 1/102 = 2/102 = 1/51\). Entonces,\(1/51\) es la probabilidad de que obtengas el As de Diamantes y una carta negra al sacar dos cartas de una baraja.

    Problema de cumpleaños

    Si hay\(25\) gente en una habitación, cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellas compartan el mismo cumpleaños. Si tu primer pensamiento es que lo es\(25/365 = 0.068\), te sorprenderá saber que es mucho más alto que eso. Este problema requiere la aplicación de las secciones on\(P(A\; \text{and}\; B)\) y probabilidad condicional.

    Este problema se aborda mejor preguntando cuál es la probabilidad de que no dos personas tengan el mismo cumpleaños. Una vez que conocemos esta probabilidad, simplemente podemos restarla\(1\) para encontrar la probabilidad de que dos personas compartan un cumpleaños.

    Si elegimos a dos personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no compartan un cumpleaños? De los\(365\) días en que la segunda persona podría tener un cumpleaños,\(364\) de ellos son diferentes al cumpleaños de la primera persona. Por lo tanto la probabilidad es\(364/365\). Definamos\(P2\) como la probabilidad de que la segunda persona dibujada no comparta un cumpleaños con la persona dibujada anteriormente. \(P2\)es por lo tanto\(364/365\). Ahora definimos\(P3\) como la probabilidad de que la tercera persona sorteada no comparta un cumpleaños con nadie sorteado previamente dado que no hay partidos de cumpleaños anteriores. \(P3\)es, por lo tanto, una probabilidad condicional. Si no hay partidos de cumpleaños anteriores, entonces dos de los\(365\) días se han “agotado”, dejando días\(363\) no coincidentes. Por lo tanto\(P3 = 363/365\). De igual manera,\(P4 = 362/365\),\(P5 = 361/365\), y así sucesivamente hasta\(P25 = 341/365\).

    Para que no haya partidos, la segunda persona no debe coincidir con ninguna persona anterior y la tercera persona no debe coincidir con ninguna persona anterior, y la cuarta persona no debe coincidir con ninguna persona anterior, etc. ya que\(P(A\; \text{and}\; B) = P(A)P(B)\), todo lo que tenemos que hacer es multiplicar\(P2, P3, P4 ...P25\) juntos. El resultado es\(0.431\). Por lo tanto la probabilidad de al menos un partido es\(0.569\).

    Falacia del jugador

    Una moneda justa es volteada cinco veces y cada vez sale de cabeza. ¿Cuál es la probabilidad de que salga de cabeza en la sexta vuelta? La respuesta correcta es, por supuesto,\(1/2\). Pero mucha gente cree que es más probable que ocurra una cola después de arrojar cinco cabezas. Su razonamiento defectuoso puede ir algo como esto: “A la larga, el número de cabezas y colas será el mismo, así que las colas tienen algo que ponerse al día”. Las fallas en esta lógica se exponen en la simulación de este capítulo.


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