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3.2: Terminología

  • Page ID
    153201
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La probabilidad es una medida que se asocia con cuán seguros estamos de los resultados de un experimento o actividad en particular. Un experimento es una operación planificada llevada a cabo bajo condiciones controladas. Si el resultado no está predeterminado, entonces se dice que el experimento es un experimento casual. Voltear una moneda justa dos veces es un ejemplo de un experimento.

    Un resultado de un experimento se llama resultado. El espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los resultados posibles. Tres formas de representar un espacio de muestra son: enumerar los posibles resultados, crear un diagrama de árbol o crear un diagrama de Venn. La letra mayúscula S se utiliza para denotar el espacio muestral. Por ejemplo, si volteas una moneda justa,\(S = \{\text{H, T}\}\) donde\(\text{H} =\) las cabezas y\(\text{T} =\) las colas son los resultados.

    Un evento es cualquier combinación de resultados. A las letras mayúsculas les gusta\(\text{A}\) y\(\text{B}\) representan eventos. Por ejemplo, si el experimento es voltear una moneda justa, el evento\(\text{A}\) podría estar recibiendo como máximo una cabeza. Se escribe la probabilidad de\(\text{A}\) un evento\(P(\text{A})\).

    Definición: Probabilidad

    La probabilidad de cualquier resultado es la frecuencia relativa a largo plazo de ese resultado. Las probabilidades están entre cero y uno, inclusive (es decir, cero y uno y todos los números entre estos valores).

    • \(P(\text{A}) = 0\)significa que el evento nunca\(\text{A}\) puede suceder.
    • \(P(\text{A}) = 1\)significa que el evento\(\text{A}\) siempre ocurre.
    • \(P(\text{A}) = 0.5\)significa que el evento\(\text{A}\) es igualmente probable que ocurra o no ocurra. Por ejemplo, si voltea una moneda justa repetidamente (de 20 a 2,000 a 20,000 veces) la frecuencia relativa de cabezas se acerca a 0.5 (la probabilidad de cabezas).

    Igualmente probable significa que cada resultado de un experimento ocurre con igual probabilidad. Por ejemplo, si tiras un dado justo de seis lados, cada cara (1, 2, 3, 4, 5 o 6) es tan probable que ocurra como cualquier otra cara. Si arrojas una moneda justa, es igualmente probable que se produzcan una Head (\(\text{H}\)\(\text{T}\)) y una Tail (). Si adivina aleatoriamente la respuesta a una pregunta verdadera/falsa en un examen, es igualmente probable que seleccione una respuesta correcta o una respuesta incorrecta.

    Para calcular la probabilidad de un evento A cuando todos los resultados en el espacio muestral son igualmente probables, cuente el número de resultados para el evento\(\text{A}\) y divídalo por el número total de resultados en el espacio muestral. Por ejemplo, si arrojas un centavo justo y un níquel justo, el espacio de muestra es\(\{\text{HH, TH, HT,TT}\}\) donde\(\text{T} =\) las colas y las\(\text{H} =\) cabezas. El espacio muestral tiene cuatro resultados. \(\text{A} =\)conseguir una cabeza. Hay dos resultados que cumplen con esta condición\(\text{\{HT, TH\}}\), entonces\(P(\text{A}) = \frac{2}{4} = 0.5\).

    Supongamos que rozas un dado justo de seis lados, con los números {1, 2, 3, 4, 5, 6} en sus caras. Deje que el evento\(\text{E} =\) rodando un número que sea al menos cinco. Hay dos resultados {5, 6}. \(P(\text{E}) = \frac{2}{6}\). Si fueras a rodar el dado solo unas cuantas veces, no te sorprendería que tus resultados observados no coincidieran con la probabilidad. Si fueras a rodar el dado un número muy grande de veces, esperarías que, en general,\(\frac{2}{6}\) de los rollos resultaría en un desenlace de “al menos cinco”. No se esperaría exactamente\(\frac{2}{6}\). La frecuencia relativa a largo plazo de obtención de este resultado se acercaría a la probabilidad teórica de que el número de repeticiones crece cada vez más.\(\frac{2}{6}\)

    Definición: Ley de Números Grandes

    Esta característica importante de los experimentos probabilísticos se conoce como la ley de los grandes números que establece que a medida que aumenta el número de repeticiones de un experimento, la frecuencia relativa obtenida en el experimento tiende a acercarse cada vez más a la probabilidad teórica. Aunque los resultados no ocurren de acuerdo con ningún patrón u orden establecido, en general, la frecuencia relativa observada a largo plazo se acercará a la probabilidad teórica. (A menudo se usa la palabra empírica en lugar de la palabra observada).

    Es importante darse cuenta de que en muchas situaciones, los resultados no son igualmente probables. Una moneda o un dado pueden ser injustos, o sesgados. Dos profesores de matemáticas en Europa hicieron que sus estudiantes de estadística prueben la moneda belga de un euro y descubrieron que en 250 ensayos, se obtuvo una cabeza 56% del tiempo y se obtuvo una cola 44% de las veces. Los datos parecen mostrar que la moneda no es una moneda justa; más repeticiones serían útiles para sacar una conclusión más precisa sobre tal sesgo. Algunos dados pueden estar sesgados. Mira los dados en un juego que tienes en casa; las manchas en cada cara suelen ser pequeños agujeros tallados y luego pintados para hacer visibles las manchas. Tus dados pueden estar sesgados o no; es posible que los resultados se vean afectados por las ligeras diferencias de peso debido a los diferentes números de agujeros en las caras. Los casinos de juego ganan mucho dinero dependiendo de los resultados de lanzar dados, por lo que los dados de casino se hacen de manera diferente para eliminar el sesgo. Los dados de casino tienen caras planas; los agujeros están completamente llenos de pintura que tiene la misma densidad que el material del que están hechos los dados para que cada cara sea igualmente probable que ocurra. Posteriormente aprenderemos técnicas a utilizar para trabajar con probabilidades de eventos que no son igualmente probables.

    El evento “OR”

    Un resultado es en el evento\(\text{A OR B}\) si el resultado está en\(\text{A}\) o está en\(\text{B}\) o está en ambos\(\text{A}\) y\(\text{B}\). Por ejemplo, vamos\(\text{A} = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) y\(\text{B} = \{4, 5, 6, 7, 8\}\). \(\text{A OR B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Observe que 4 y 5 NO están listados dos veces.

    El evento “Y”

    Un resultado es en el evento\(\text{A AND B}\) si el resultado es en ambos\(\text{A}\) y\(\text{B}\) al mismo tiempo. Por ejemplo, let\(\text{A}\) and\(\text{B}\) be {1, 2, 3, 4, 5} y {4, 5, 6, 7, 8}, respectivamente. Entonces\(\text{A AND B} = {4, 5}\).

    \(\text{A}\)Se denota el complemento del evento\(\text{A'}\) (léase “Un primo”). \(\text{A'}\)consiste en todos los resultados que NO están en\(\text{A}\). Observe que

    \[P(\text{A}) + P(\text{A′}) = 1. \nonumber\]

    Por ejemplo, vamos\(\text{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) y vamos\(\text{A} = {1, 2, 3, 4}\). Entonces,\(\text{A′} = {5, 6}\) y\(P(A) = \frac{4}{6}\),\(P(\text{A′}) = \frac{2}{6}\), y

    \[P(\text{A}) + P(\text{A′}) = \frac{4}{6} + \frac{2}{6} = 1. \nonumber\]

    Se escribe la probabilidad condicional\(\text{B}\) de\(\text{A}\) dado\(P(\text{A|B})\). \(P(\text{A|B})\)es la probabilidad de que\(\text{A}\) ocurra el evento dado que el evento ya se\(\text{B}\) ha producido. Un condicional reduce el espacio muestral. Se calcula la probabilidad de\(\text{A}\) a partir del espacio muestral reducido\(\text{B}\). La fórmula a calcular\(P(\text{A|B})\) es

    \[P(\text{A|B}) = \frac{\text{P(A AND B)}}{\text{P(B)}} \nonumber\]

    donde\(P(\text{B})\) es mayor que cero.

    Por ejemplo, supongamos que tiramos un dado justo, de seis lados. El espacio muestral\(\text{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Dejar\(\text{A} =\) cara es 2 o 3 y\(\text{B} =\) la cara es pareja (2, 4, 6). Para calcular\(P(\text{A|B})\), contamos el número de resultados 2 o 3 en el espacio muestral\(\text{B} = \{2, 4, 6\}\). Entonces dividimos eso por el número de resultados\(\text{B}\) (en lugar de\(\text{S}\)).

    Obtenemos el mismo resultado usando la fórmula. Recuerda que\(\text{S}\) tiene seis resultados.

    \[ \begin{align*} P(\text{A|B}) &= \dfrac{ \text{ P(A AND B) } } {P(\text{B})} \\[4pt] &= \dfrac{\dfrac{\text{the number of outcomes that are 2 or 3 and even in S}}{6}}{\dfrac{\text{the number of outcomes that are even in S}}{6}} \\[4pt] &= \dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}} = \dfrac{1}{3} \end{align*}\]

    Comprender la terminología y los símbolos

    Es importante leer cada problema detenidamente para pensar y entender cuáles son los eventos. Comprender la redacción es el primer paso muy importante para resolver problemas de probabilidad. Vuelva a leer el problema varias veces si es necesario. Identificar claramente el evento de interés. Determinar si existe una condición enunciada en la redacción que indicaría que la probabilidad es condicional; identificar cuidadosamente la condición, si la hubiera.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    El espacio muestral\(S\) es el número entero comenzando en uno y menos de 20.

    1. \(S =\)_____________________________

      Dejar evento\(A =\) los números pares y los\(B =\) números de eventos mayores a 13.

    2. \(A =\)_____________________,\(B =\) _____________________
    3. \(P(\text{A}) =\)_____________,\(P(\text{B}) =\) ________________
    4. \(\text{A AND B} =\)____________________,\(\text{A OR B} =\) ________________
    5. \(P(\text{A AND B}) =\)_________,\(P(\text{A OR B}) =\) _____________
    6. \(\text{A′} =\)_____________,\(P(\text{A′}) =\) _____________
    7. \(P(\text{A}) + P(\text{A′}) =\)____________
    8. \(P(\text{A|B}) =\)___________,\(P(\text{B|A}) =\) _____________; ¿son iguales las probabilidades?

    Contestar

    1. \(\text{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}\)
    2. \(\text{A} = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18\}, \text{B} = \{14, 15, 16, 17, 18, 19\}\)
    3. \(P(\text{A}) = \frac{9}{19}\),\(P(\text{B}) = \frac{6}{19}\)
    4. \(\text{A AND B} = \{14,16,18\}\),\(\text{A OR B} = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}\)
    5. \(P(\text{A AND B}) = \frac{3}{19}\),\(P(\text{A OR B}) = \frac{12}{19}\)
    6. \(\text{A′} = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19\);\(P(\text{A′}) = \frac{10}{19}\)
    7. \(P(\text{A}) + P(\text{A′}) = 1\left((\frac{9}{19} + \frac{10}{19} = 1\right)\)
    8. \(P(\text{A|B}) = \frac{\text{P(A AND B)}}{\text{P(B)}} = \frac{3}{6}, P(\text{B|A}) = \frac{\text{P(A AND B)}}{\text{P(A)}} = \frac{3}{9}\), No

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    El espacio muestral S son los pares ordenados de dos números enteros, el primero de uno a tres y el segundo de uno a cuatro (Ejemplo: (1, 4)).

    1. \(S =\)_____________________________
      Dejar evento\(A =\) la suma es par y evento\(B =\) el primer número es primo.
    2. \(A =\)_____________________,\(B =\) _____________________
    3. \(P(\text{A}) =\)_____________,\(P(\text{B}) =\) ________________
    4. \(\text{A AND B} =\)____________________,\(\text{A OR B} =\) ________________
    5. \(P(\text{A AND B}) =\)_________,\(P(\text{A OR B}) =\) _____________
    6. \(\text{B′} =\)_____________,\(P(\text{B′)} =\) _____________
    7. \(P(\text{A}) + P(\text{A′}) =\)____________
    8. \(P(\text{A|B}) =\)___________,\(P(\text{B|A}) =\) _____________; ¿son iguales las probabilidades?

    Contestar

    1. \(\text{S} = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)\}\)
    2. \(\text{A} = \{(1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3)\}\)
      \(\text{B} = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)\}\)
    3. \(P(\text{A}) = \frac{1}{2}\),\(P(\text{B}) = \frac{2}{3}\)
    4. \(\text{A AND B} = \{(2,2), (2,4), (3,1), (3,3)\}\)
      \(\text{A OR B} = \{(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)\}\)
    5. \(P(\text{A AND B}) = \frac{1}{3}, P(\text{A OR B}) = \frac{5}{6}\)
    6. \(\text{B′} = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4)\}, P(\text{B′}) = \frac{1}{3}\)
    7. \(P(\text{B}) + P(\text{B′}) = 1\)
    8. \(P(\text{A|B}) = \frac{P(\text{A AND B})}{P(\text{B})} = \frac{1}{2}, P(\text{B|A}) = \frac{P(\text{A AND B})}{P(\text{B})} = \frac{2}{3}\), No.

    Ejemplo\(\PageIndex{2A}\)

    Se enrolla un troquel justo de seis lados. Describir el espacio muestral S, identificar cada uno de los siguientes eventos con un subconjunto de S y calcular su probabilidad (un resultado es el número de puntos que aparecen).

    1. Evento\(\text{T} =\) el resultado es dos.
    2. Evento\(\text{A} =\) el resultado es un número par.
    3. Evento\(\text{B} =\) el resultado es menos de cuatro.
    4. El complemento de\(\text{A}\).
    5. \(\text{A GIVEN B}\)
    6. \(\text{B GIVEN A}\)
    7. \(\text{A AND B}\)
    8. \(\text{A OR B}\)
    9. \(\text{A OR B′}\)
    10. Evento\(\text{N} =\) el resultado es un número primo.
    11. Evento\(\text{I} =\) el resultado es siete.

    Solución

    1. \(\text{T} = \{2\}\),\(P(\text{T}) = \frac{1}{6}\)
    2. \(A = \{2, 4, 6\}\),\(P(\text{A}) = \frac{1}{2}\)
    3. \(\text{B} = \{1, 2, 3\}\),\(P(\text{B}) = \frac{1}{2}\)
    4. \(\text{A′} = \{1, 3, 5\}, P(\text{A′}) = \frac{1}{2}\)
    5. \(\text{A|B} = \{2\}\),\(P(\text{A|B}) = \frac{1}{3}\)
    6. \(\text{B|A} = \{2\}\),\(P(\text{B|A}) = \frac{1}{3}\)
    7. \(\text{A AND B} = {2}, P(\text{A AND B}) = \frac{1}{6}\)
    8. \(\text{A OR B} = \{1, 2, 3, 4, 6\}\),\(P(\text{A OR B}) = \frac{5}{6}\)
    9. \(\text{A OR B′} = \{2, 4, 5, 6\}\),\(P(\text{A OR B′}) = \frac{2}{3}\)
    10. \(\text{N} = \{2, 3, 5\}\),\(P(\text{N}) = \frac{1}{2}\)
    11. Un dado de seis lados no tiene siete puntos. \(P(7) = 0\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2B}\)

    En el cuadro se describe la distribución\(S\) de una muestra aleatoria de 100 individuos, organizados por género y si son diestros o zurdos.

      Diestro Zurdo
    Machos 43 9
    Hembras 44 4

    Denotemos los eventos\(M =\) el sujeto es masculino,\(F =\) el sujeto es femenino,\(R =\) el sujeto es diestro,\(L =\) el sujeto es zurdo. Calcule las siguientes probabilidades:

    1. \(P(\text{M})\)
    2. \(P(\text{F})\)
    3. \(P(\text{R})\)
    4. \(P(\text{L})\)
    5. \(P(\text{M AND R})\)
    6. \(P(\text{F AND L})\)
    7. \(P(\text{M OR F})\)
    8. \(P(\text{M OR R})\)
    9. \(P(\text{F OR L})\)
    10. \(P(\text{M'})\)
    11. \(P(\text{R|M})\)
    12. \(P(\text{F|L})\)
    13. \(P(\text{L|F})\)

    Contestar

    1. \(P(\text{M}) = 0.52\)
    2. \(P(\text{F}) = 0.48\)
    3. \(P(\text{R}) = 0.87\)
    4. \(P(\text{L}) = 0.13\)
    5. \(P(\text{M AND R}) = 0.43\)
    6. \(P(\text{F AND L}) = 0.04\)
    7. \(P(\text{M OR F}) = 1\)
    8. \(P(\text{M OR R}) = 0.96\)
    9. \(P(\text{F OR L}) = 0.57\)
    10. \(P(\text{M'}) = 0.48\)
    11. \(P(\text{R|M}) = 0.8269\)(redondeado a cuatro decimales)
    12. \(P(\text{F|L}) = 0.3077\)(redondeado a cuatro decimales)
    13. \(P(\text{L|F}) = 0.0833\)

    Referencias

    1. “Lista de Países por Continente”. Worldatlas, 2013. Disponible en línea en http://www.worldatlas.com/cntycont.htm (consultado el 2 de mayo de 2013).

    Revisar

    En este módulo aprendimos la terminología básica de probabilidad. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se llama espacio muestral. Los eventos son subconjuntos del espacio muestral, y se les asigna una probabilidad que es un número entre cero y uno, inclusive.

    Revisión de Fórmula

    \(\text{A}\)y\(\text{B}\) son eventos

    \(P(\text{S}) = 1\)donde\(\text{S}\) esta el espacio de muestreo

    \(0 \leq P(\text{A}) \leq 1\)

    \(P(\text{A|B}) = \frac{\text{P(A AND B)}}{\text{P(B)}}\)

    Glosario

    Probabilidad Condicional
    la probabilidad de que ocurra un evento dado que ya se ha producido otro evento
    Igual de Probable
    Cada resultado de un experimento tiene la misma probabilidad.
    Evento
    un subconjunto del conjunto de todos los resultados de un experimento; el conjunto de todos los resultados de un experimento se denomina espacio de muestra y generalmente se denota por\(S\). Un evento es un subconjunto arbitrario en\(S\). Puede contener un resultado, dos resultados, ningún resultado (subconjunto vacío), todo el espacio muestral y similares. Las notaciones estándar para eventos son letras mayúsculas como\(A, B, C\), y así sucesivamente.
    Experimento
    una actividad planificada realizada en condiciones controladas
    Resultado
    un resultado particular de un experimento
    Probabilidad
    un número entre cero y uno, inclusive, que da la probabilidad de que ocurra un evento específico; la base de la estadística viene dada por los siguientes 3 axiomas (por A.N. Kolmogorov, 1930's): Vamos a\(S\) denotar el espacio muestral\(A\) y y\(B\) son dos eventos en S. Entonces:
    • \(0 \leq P(\text{A}) \leq 1\)
    • Si\(\text{A}\) y\(\text{B}\) son cualesquiera dos eventos mutuamente excluyentes, entonces\(\text{P}(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B})\).
    • \(P(\text{S}) = 1\)
    Espacio de muestra
    el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento
    El evento AND
    Un resultado es en el evento\(\text{A AND B}\) si el resultado es en ambos\(\text{A AND B}\) al mismo tiempo.
    El Evento Complemento
    El complemento del evento\(\text{A}\) consiste en todos los resultados en los que NO se encuentran\(\text{A}\).
    La probabilidad condicional de A DADO B
    \(P(\text{A|B})\)es la probabilidad de que\(\text{A}\) ocurra el evento dado que el evento ya se\(\text{B}\) ha producido.
    El evento O
    Un resultado es en el evento\(\text{A OR B}\) si el resultado está en\(\text{A}\) o está en\(\text{B}\) o está en ambos\(\text{A}\) y\(\text{B}\).

    Ejercicio 3.2.2

    En una clase universitaria en particular, hay estudiantes de sexo masculino y femenino. Algunos estudiantes tienen el pelo largo y algunos estudiantes tienen el pelo corto. Escriba los símbolos para las probabilidades de los eventos para las partes de la a a a la j. (Tenga en cuenta que aquí no puede encontrar respuestas numéricas. Aún no se le dio suficiente información para encontrar ningún valor de probabilidad; concéntrese en comprender los símbolos).

    • Que\(\text{F}\) sea el evento de que una alumna sea femenina.
    • Que\(\text{M}\) sea el evento de que un estudiante sea masculino.
    • Que\(\text{S}\) sea el evento de que un estudiante tenga el pelo corto.
    • Que\(\text{L}\) sea el evento de que un estudiante tenga el pelo largo.
    1. La probabilidad de que un estudiante no tenga el pelo largo.
    2. La probabilidad de que un estudiante sea masculino o tenga el pelo corto.
    3. La probabilidad de que un estudiante sea femenino y tenga el pelo largo.
    4. La probabilidad de que un estudiante sea masculino, dado que el estudiante tiene el pelo largo.
    5. La probabilidad de que un estudiante tenga el pelo largo, dado que el estudiante es masculino.
    6. De todas las alumnas, la probabilidad de que una estudiante tenga el pelo corto.
    7. De todos los estudiantes con pelo largo, la probabilidad de que un estudiante sea femenino.
    8. La probabilidad de que un estudiante sea femenino o tenga el pelo largo.
    9. La probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea un estudiante masculino con pelo corto.
    10. La probabilidad de que un estudiante sea femenino.

    Contestar

    1. \(P(\text{L′)} = P(\text{S})\)
    2. \(P(\text{M OR S})\)
    3. \(P(\text{F AND L})\)
    4. \(P(\text{M|L})\)
    5. \(P(\text{L|M})\)
    6. \(P(\text{S|F})\)
    7. \(P(\text{F|L})\)
    8. \(P(\text{F OR L})\)
    9. \(P(\text{M AND S})\)
    10. \(P(\text{F})\)

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes cuatro ejercicios. Una caja está llena de varios favores de fiesta. Contiene 12 sombreros, 15 fabricantes de ruido, diez trampas para los dedos y cinco bolsas de confeti.

    Deja que\(H =\) el evento de conseguir un sombrero.

    Deja que\(N =\) el evento de conseguir un ruidoso.

    Deja que\(F =\) el evento de conseguir una trampa para los dedos.

    Deja que\(C =\) el evento de conseguir una bolsa de confeti.

    Ejercicio 3.2.3

    Encuentra\(P(\text{H})\).

    Ejercicio 3.2.4

    Encuentra\(P(\text{N})\).

    Contestar

    \(P(\text{N}) = \frac{15}{42} = \frac{5}{14} = 0.36\)

    Ejercicio 3.2.5

    Encuentra\(P(\text{F})\).

    Ejercicio 3.2.6

    Encuentra\(P(\text{C})\).

    Contestar

    \(P(\text{C}) = \frac{5}{42} = 0.12\)

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes seis ejercicios. Un frasco de 150 gominolas contiene 22 gominolas rojas, 38 amarillas, 20 verdes, 28 moradas, 26 azules y el resto son naranjas.

    Deja que\(B =\) el evento de conseguir un frijol de gelatina azul

    Deja que\(G =\) el evento de conseguir un frijol de gelatina verde.

    Deja que\(O =\) el evento de conseguir un frijol de gelatina de naranja.

    Deja que\(P =\) el evento de conseguir una gominola morada.

    Deja que\(R =\) el evento de conseguir un frijol de gelatina roja.

    Deja que\(Y =\) el evento de conseguir una gominola amarilla.

    Ejercicio 3.2.7

    Encuentra\(P(\text{B})\).

    Ejercicio 3.2.8

    Encuentra\(P(\text{G})\).

    Contestar

    \(P(\text{G}) = \frac{20}{150} = \frac{2}{15} = 0.13\)

    Ejercicio 3.2.9

    Encuentra\(P(\text{P})\).

    Ejercicio 3.2.10

    Encuentra\(P(\text{R})\).

    Contestar

    \(P(\text{R}) = \frac{22}{150} = \frac{11}{75} = 0.15\)

    Ejercicio 3.2.11

    Encuentra\(P(\text{Y})\).

    Ejercicio 3.2.12

    Encuentra\(P(\text{O})\).

    Contestar

    \(P(text{O}) = \frac{150-22-38-20-28-26}{150} = \frac{16}{150} = \frac{8}{75} = 0.11\)

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes seis ejercicios. Hay 23 países en Norteamérica, 12 países en Sudamérica, 47 países en Europa, 44 países en Asia, 54 países en África y 14 en Oceanía (región del Océano Pacífico).

    Que\(\text{A} =\) el evento de que un país esté en Asia.

    Que\(\text{E} =\) el evento de que un país esté en Europa.

    Que\(\text{F} =\) el evento de que un país esté en África.

    Que\(\text{N} =\) el evento de que un país esté en Norteamérica.

    Que\(\text{O} =\) el evento de que un país esté en Oceanía.

    Que\(\text{S} =\) el evento de que un país esté en Sudamérica.

    Ejercicio 3.2.13

    Encuentra\(P(\text{A})\).

    Ejercicio 3.2.14

    Encuentra\(P(\text{E})\).

    Contestar

    \(P(\text{E}) = \frac{47}{194} = 0.24\)

    Ejercicio 3.2.15

    Encuentra\(P(\text{F})\).

    Ejercicio 3.2.16

    Encuentra\(P(\text{N})\).

    Contestar

    \(P(\text{N}) = \frac{23}{194} = 0.12\)

    Ejercicio 3.2.17

    Encuentra\(P(\text{O})\).

    Ejercicio 3.2.18

    Encuentra\(P(\text{S})\).

    Contestar

    \(P(\text{S}) = \frac{12}{194} = \frac{6}{97} = 0.06\)

    Ejercicio 3.2.19

    ¿Cuál es la probabilidad de sacar una tarjeta roja en una baraja estándar de 52 cartas?

    Ejercicio 3.2.20

    ¿Cuál es la probabilidad de sacar un palo en una baraja estándar de 52 cartas?

    Contestar

    \(\frac{13}{52} = \frac{1}{4} = 0.25\)

    Ejercicio 3.2.21

    ¿Cuál es la probabilidad de rodar un número par de puntos con un dado justo de seis lados numerado del uno al seis?

    Ejercicio 3.2.22

    ¿Cuál es la probabilidad de rodar un número primo de puntos con un dado justo de seis lados numerado del uno al seis?

    Contestar

    \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5\)

    Utilice la siguiente información para responder a los dos ejercicios siguientes. Se ve un partido en una feria local. Tienes que lanzar un dardo a una rueda de colores. Cada sección de la rueda de colores es igual en área.

    Figura\(\PageIndex{1}\).

    Deja que\(\text{B} =\) el evento de aterrizar en azul.

    Deja que\(\text{R} =\) el evento de aterrizar en rojo.

    Deje que\(\text{G} =\) el evento de aterrizar en verde.

    Deja que\(\text{Y} =\) el evento de aterrizar en amarillo.

    Ejercicio 3.2.23

    Si aterrizas\(\text{Y}\), obtienes el mayor premio. Encuentra\(P(\text{Y})\).

    Ejercicio 3.2.24

    Si aterrizas en rojo, no obtienes premio. ¿Qué es\(P(\text{R})\)?

    Contestar

    \(\text{P}(R) = \frac{4}{8} = 0.5\)

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes diez ejercicios. En un equipo de beisbol, hay infielders y outfielders. Algunos jugadores son grandes bateadores, y algunos jugadores no son grandes bateadores.

    Deje que\(\text{I} =\) el evento de que un jugador en un infielder.

    Deje que\(\text{O} =\) el evento de que un jugador sea un jardinero.

    Que\(\text{H} =\) el evento de que un jugador sea un gran bateador.

    Que\(\text{N} =\) el evento de que un jugador no sea un gran bateador.

    Ejercicio 3.2.25

    Escribe los símbolos para la probabilidad de que un jugador no sea un jardinero.

    Ejercicio 3.2.26

    Escribe los símbolos para la probabilidad de que un jugador sea un jardinero o sea un gran bateador.

    Contestar

    \(P(\text{O OR H})\)

    Ejercicio 3.2.27

    Escribe los símbolos para la probabilidad de que un jugador sea un infielder y no sea un gran bateador.

    Ejercicio 3.2.28

    Escribe los símbolos para la probabilidad de que un jugador sea un gran bateador, dado que el jugador es un jugador de cuadro.

    Contestar

    \(P(\text{H|I})\)

    Ejercicio 3.2.29

    Escribe los símbolos para la probabilidad de que un jugador sea un infielder, dado que el jugador es un gran bateador.

    Ejercicio 3.2.30

    Escribe los símbolos para la probabilidad de que de todos los jardinero, un jugador no sea un gran bateador.

    Contestar

    \(P(\text{N|O})\)

    Ejercicio 3.2.31

    Escribe los símbolos para la probabilidad de que de todos los grandes bateadores, un jugador sea un jardinero.

    Ejercicio 3.2.32

    Escribe los símbolos para la probabilidad de que un jugador sea un infielder o no sea un gran bateador.

    Contestar

    \(P(\text{I OR N})\)

    Ejercicio 3.2.33

    Escribe los símbolos para la probabilidad de que un jugador sea un jardinero y sea un gran bateador.

    Ejercicio 3.2.34

    Escribe los símbolos para la probabilidad de que un jugador sea un infielder.

    Contestar

    \(P(\text{I})\)

    Ejercicio 3.2.35

    ¿Cuál es la palabra para el conjunto de todos los resultados posibles?

    Ejercicio 3.2.36

    ¿Qué es la probabilidad condicional?

    Contestar

    La probabilidad de que ocurra un evento dado que ya se ha producido otro evento.

    Ejercicio 3.2.37

    Una repisa tiene capacidad para 12 libros. Ocho son ficción y el resto no ficción. Cada uno es un libro diferente con un título único. Los libros de ficción están numerados del uno al ocho. Los libros de no ficción están numerados del uno al cuatro. Selecciona aleatoriamente un libro

    Deja que\(\text{F} =\) el evento ese libro sea ficción

    Deja que\(\text{N} =\) el evento ese libro sea de no ficción

    ¿Cuál es el espacio de muestreo?

    Ejercicio 3.2.38

    ¿Cuál es la suma de las probabilidades de un evento y su complemento?

    Contestar

    1

    Utilice la siguiente información para responder a los dos ejercicios siguientes. Estás rodando un cubo numérico justo de seis lados. Que\(\text{E} =\) el suceso que aterrice en un número par. Que\(\text{M} =\) el suceso que aterrice en un múltiplo de tres.

    Ejercicio 3.2.39

    ¿Qué\(P(\text{E|M})\) significa en palabras?

    Ejercicio 3.2.40

    ¿Qué\(P(\text{E OR M})\) significa en palabras?

    Contestar

    la probabilidad de aterrizar en un número par o un múltiplo de tres


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