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3.4: Dos reglas básicas de probabilidad

  • Page ID
    153200
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Al calcular la probabilidad, hay dos reglas a considerar al determinar si dos eventos son independientes o dependientes y si son mutuamente excluyentes o no.

    La regla de la multiplicación

    Si A y B son dos eventos definidos en un espacio de muestreo, entonces:

    \[P(A \text{ AND } B) = P(B)P(A|B) \label{eq1}\]

    Esta regla también podrá escribirse como:

    \[P(A|B) = \dfrac{P(A \text{ AND } B)}{P(B)} \nonumber\]

    (La probabilidad de\(A\) dado\(B\) es igual a la probabilidad de\(A\) y\(B\) dividida por la probabilidad de\(B\).)

    Si\(A\) y\(B\) son independientes, entonces

    \[P(A|B) = P(A). \nonumber\]

    y la ecuación\ ref {eq1} se convierte en

    \[P(A \text{ AND } B) = P(A)P(B). \nonumber\]

    La regla de adición

    Si A y B se definen en un espacio de muestreo, entonces:

    \[P(A \text{ OR } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ AND } B) \label{eq5}\]

    Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces

    \[P(A \text{ AND } B) = 0. \nonumber\]

    y la Ecuación\ ref {eq5} se convierte en

    \[P(A \text{ OR } B) = P(A) + P(B). \nonumber\]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Klaus está tratando de elegir a dónde ir de vacaciones. Sus dos opciones son:\(\text{A} = \text{New Zealand}\) y\(\text{B} = \text{Alaska}\).

    • Klaus sólo puede permitirse unas vacaciones. La probabilidad que elija\(\text{A}\) es\(P(\text{A}) = 0.6\) y la probabilidad de que elija\(\text{B}\) es\(P(\text{B}) = 0.35\).
    • \(P(\text{A AND B}) = 0\)porque Klaus solo puede darse el lujo de tomar unas vacaciones
    • Por lo tanto, la probabilidad de que elija ya sea Nueva Zelanda o Alaska es\(P(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) = 0.6 + 0.35 = 0.95\). Tenga en cuenta que la probabilidad de que no elija ir a ningún lado de vacaciones debe ser de 0.05.

    Carlos juega futbol universitario. Hace un gol el 65% de las veces que dispara. Carlos va a intentar dos goles seguidos en el próximo juego. \(\text{A} =\)el evento Carlos es exitoso en su primer intento. \(P(\text{A}) = 0.65\). \(\text{B} =\)el evento Carlos es exitoso en su segundo intento. \(P(\text{B}) = 0.65\). Carlos tiende a disparar en rayas. La probabilidad de que haga el segundo gol DADO que hizo el primer gol es de 0.90.

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que haga ambos goles?
    2. ¿Cuál es la probabilidad de que Carlos haga el primer gol o el segundo gol?
    3. ¿Son\(\text{A}\) e\(\text{B}\) independientes?
    4. ¿Son\(\text{A}\) y\(\text{B}\) mutuamente excluyentes?

    Soluciones

    a. El problema es pedirte que encuentres\(P(\text{A AND B}) = P(\text{B AND A})\). Desde\(P(\text{B|A}) = 0.90: P(\text{B AND A}) = P(\text{B|A}) P(\text{A}) = (0.90)(0.65) = 0.585\)

    Carlos hace el primer y segundo goles con probabilidad 0.585.

    b. El problema es pedirle que encuentre\(P(\text{A OR B})\).

    \[P(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) - P(\text{A AND B}) = 0.65 + 0.65 - 0.585 = 0.715\]

    Carlos hace ya sea el primer gol o el segundo gol con probabilidad 0.715.

    c. No, no lo son, porque\(P(\text{B AND A}) = 0.585\).

    \[P(\text{B})P(\text{A}) = (0.65)(0.65) = 0.423\]

    \[0.423 \neq 0.585 = P(\text{B AND A})\]

    Entonces, no\(P(\text{B AND A})\) es igual a\(P(\text{B})P(\text{A})\).

    d. no, no lo son porque\(P(\text{A and B}) = 0.585\).

    Para ser mutuamente excluyentes,\(P(\text{A AND B})\) debe ser igual a cero.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Helen juega basquetbol. Por tiros libres, ella hace el tiro el 75% del tiempo. Ahora Helen debe intentar dos tiros libres. \(\text{C} =\)el suceso que Helen hace el primer disparo. \(P(\text{C}) = 0.75\). \(\text{D} =\)el evento Helen hace el segundo disparo. \(P(\text{D}) = 0.75\). La probabilidad de que Helen haga el segundo tiro libre dado que hizo el primero es de 0.85. ¿Cuál es la probabilidad de que Helen realice ambos tiros libres?

    Responder

    \[P(\text{D|C}) = 0.85\]

    \[P(\text{C AND D}) = P(\text{D AND C})\]

    \[P(\text{D AND C}) = P(\text{D|C})P(\text{C}) = (0.85)(0.75) = 0.6375\]

    Helen realiza el primer y segundo tiros libres con probabilidad 0.6375.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Un equipo de natación comunitario cuenta con 150 miembros. Setenta y cinco de los integrantes son nadadores avanzados. Cuarenta y siete de los integrantes son nadadores intermedios. El resto son nadadores novatos. Cuarenta de los nadadores avanzados practican cuatro veces a la semana. Treinta de los nadadores intermedios practican cuatro veces a la semana. Diez de los nadadores novatos practican cuatro veces a la semana. Supongamos que un miembro del equipo de natación es elegido al azar.

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que el miembro sea nadador novato?
    2. ¿Cuál es la probabilidad de que el miembro practique cuatro veces a la semana?
    3. ¿Cuál es la probabilidad de que el miembro sea un nadador avanzado y practique cuatro veces a la semana?
    4. ¿Cuál es la probabilidad de que un miembro sea un nadador avanzado y un nadador intermedio? ¿Ser un nadador avanzado y un nadador intermedio son mutuamente excluyentes? ¿Por qué o por qué no?
    5. ¿Ser nadador novato y practicar cuatro veces a la semana eventos independientes? ¿Por qué o por qué no?

    Responder

    1. \(\dfrac{28}{150}\)
    2. \(\dfrac{80}{150}\)
    3. \(\dfrac{40}{150}\)
    4. \(P(\text{advanced AND intermediate}) = 0\), por lo que estos son eventos mutuamente excluyentes. Un nadador no puede ser un nadador avanzado y un nadador intermedio al mismo tiempo.
    5. No, estos no son eventos independientes. \[P(\text{novice AND practices four times per week}) = 0.0667\]\[P(\text{novice})P(\text{practices four times per week}) = 0.0996\]\[0.0667 \neq 0.0996\]

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Una escuela cuenta con 200 adultos mayores de los cuales 140 irán a la universidad el próximo año. Cuarenta van a ir directamente a trabajar. El resto están tomando un año sabático. Cincuenta de los adultos mayores que van a la universidad practican deportes. Treinta de los adultos mayores que van directamente al trabajo practican deportes. Cinco de los adultos mayores que toman un año sabático practican deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un senior esté tomando un año sabático?

    Responder

    \[P = \dfrac{200-140-40}{200} = \dfrac{20}{200} = 0.1\]

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Felicity asiste a Modesto JC en Modesto, CA. La probabilidad de que Felicity se inscriba en una clase de matemáticas es 0.2 y la probabilidad de que se inscriba en una clase de discurso es 0.65. La probabilidad de que se inscriba en una clase de matemáticas DADO que se inscriba en clase de habla es de 0.25.

    Let: clase de\(\text{M} =\) matemáticas, clase de\(\text{S} =\) discurso, discurso dado de\(\text{M|S} =\) matemáticas

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que Felicity se inscriba en matemáticas y habla?
      Encuentra\(P(\text{M AND S}) = P(\text{M|S})P(\text{S})\).
    2. ¿Cuál es la probabilidad de que Felicity se inscriba en clases de matemáticas o de habla?
      Encuentra\(P(\text{M OR S}) = P(\text{M}) + P(\text{S}) - P(\text{M AND S})\).
    3. ¿Son\(\text{M}\) e\(\text{S}\) independientes? ¿Es\(P(\text{M|S}) = P(\text{M})\)?
    4. ¿Son\(\text{M}\) y\(\text{S}\) mutuamente excluyentes? ¿Es\(P(\text{M AND S}) = 0\)?

    Responder

    a. 0.1625, b. 0.6875, c. No, d. No

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Un estudiante va a la biblioteca. Deje eventos\(\text{B} =\) en los que el estudiante saque un libro y\(\text{D} =\) el estudiante revise un DVD. Supongamos que\(P(\text{B}) = 0.40, P(\text{D}) = 0.30\) y\(P(\text{D|B}) = 0.5\).

    1. Encuentra\(P(\text{B AND D})\).
    2. Encuentra\(P(\text{B OR D})\).

    Responder

    1. \(P(\text{B AND D}) = P(\text{D|B})P(\text{B}) = (0.5)(0.4) = 0.20\).
    2. \(P(\text{B OR D}) = P(\text{B}) + P(\text{D}) − P(\text{B AND D}) = 0.40 + 0.30 − 0.20 = 0.50\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Los estudios muestran que alrededor de una mujer de cada siete (aproximadamente 14.3%) que vive hasta los 90 años desarrollará cáncer de mama. Supongamos que de aquellas mujeres que desarrollan cáncer de mama, una prueba es negativa 2% de las veces. También supongamos que en la población general de mujeres, la prueba de cáncer de mama es negativa alrededor del 85% de las veces. Deje que la\(\text{B} =\) mujer desarrolle cáncer de mama y deje que\(\text{N} =\) las pruebas sean negativas Supongamos que una mujer es seleccionada al azar.

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer desarrolle cáncer de mama? ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer dé negativo?
    2. Dado que la mujer tiene cáncer de mama, ¿cuál es la probabilidad de que dé negativo en las pruebas?
    3. ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer tenga cáncer de mama Y dé negativo?
    4. ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer tenga cáncer de mama o dé negativo en las pruebas?
    5. ¿Están teniendo cáncer de mama y probando eventos independientes negativos?
    6. ¿Tener cáncer de mama y las pruebas negativas son mutuamente excluyentes?

    RESPUESTAS

    1. \(P(\text{B}) = 0.143; P(\text{N}) = 0.85\)
    2. \(P(\text{N|B}) = 0.02\)
    3. \(P(\text{B AND N}) = P(\text{B})P(\text{N|B}) = (0.143)(0.02) = 0.0029\)
    4. \(P(\text{B OR N}) = P(\text{B}) + P(\text{N}) - P(\text{B AND N}) = 0.143 + 0.85 - 0.0029 = 0.9901\)
    5. No. \(P(\text{N}) = 0.85; P(\text{N|B}) = 0.02\). Entonces,\(P(\text{N|B})\) no es igual\(P(\text{N})\).
    6. No. \(P(\text{B AND N}) = 0.0029\). Para\(\text{B}\) y\(\text{N}\) para ser mutuamente excluyentes,\(P(\text{B AND N})\) debe ser cero

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Una escuela cuenta con 200 adultos mayores de los cuales 140 irán a la universidad el próximo año. Cuarenta van a ir directamente a trabajar. El resto están tomando un año sabático. Cincuenta de los adultos mayores que van a la universidad practican deportes. Treinta de los adultos mayores que van directamente al trabajo practican deportes. Cinco de los adultos mayores que toman un año sabático practican deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un senior vaya a la universidad y practique deportes?

    Responder

    Deja que el\(\text{A} =\) estudiante sea un senior yendo a la universidad.

    Deja que el\(\text{B} =\) estudiante haga deporte.

    \(P(\text{B}) = \dfrac{140}{200}\)

    \(P(\text{B|A}) = \dfrac{50}{140}\)

    \(P(\text{A AND B}) = P(\text{B|A})P(\text{A})\)

    \(P(\text{A AND B}) = (\dfrac{140}{200}\)) (\(\dfrac{50}{140}) = \dfrac{1}{4}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Consulte la información en Ejemplo\(\PageIndex{4}\). \(\text{P} =\)da positivo.

    1. Dado que una mujer desarrolla cáncer de mama, cuál es la probabilidad de que dé positivo en la prueba. Encuentra\(P(\text{P|B}) = 1 - P(\text{N|B})\).
    2. Cuál es la probabilidad de que una mujer desarrolle cáncer de mama y dé positivo. Encuentra\(P(\text{B AND P}) = P(\text{P|B})P(\text{B})\).
    3. Cuál es la probabilidad de que una mujer no desarrolle cáncer de mama. Encuentra\(P(\text{B′}) = 1 - P(\text{B})\).
    4. Cuál es la probabilidad de que una mujer dé positivo por cáncer de mama. Encuentra\(P(\text{P}) = 1 - P(\text{N})\).

    Responder

    a. 0.98; b. 0.1401; c. 0.857; d. 0.15

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Un estudiante va a la biblioteca. Deje eventos\(\text{B} =\) en los que el estudiante saque un libro y\(\text{D} =\) el estudiante saque un DVD. Supongamos que\(P(\text{B}) = 0.40, P(\text{D}) = 0.30\) y\(P(\text{D|B}) = 0.5\).

    1. Encontrar\(P(\text{B′})\).
    2. Encontrar\(P(\text{D AND B})\).
    3. Encontrar\(P(\text{B|D})\).
    4. Encontrar\(P(\text{D AND B′})\).
    5. Encontrar\(P(\text{D|B′})\).

    Responder

    1. \(P(\text{B′}) = 0.60\)
    2. \(P(\text{D AND B}) = P(\text{D|B})P(\text{B}) = 0.20\)
    3. \(P(\text{B|D}) = \dfrac{P(\text{B AND D})}{P(\text{D})} = \dfrac{(0.20)}{(0.30)} = 0.66\)
    4. \(P(\text{D AND B′}) = P(\text{D}) - P(\text{D AND B}) = 0.30 - 0.20 = 0.10\)
    5. \(P(\text{D|B′}) = P(\text{D AND B′})P(\text{B′}) = (P(\text{D}) - P(\text{D AND B}))(0.60) = (0.10)(0.60) = 0.06\)

    Referencias

    1. DiCamillo, Mark, Mervin Field. “La Encuesta de Archivo”. Corporación de Investigación de Campo. Disponible en línea en www.field.com/fieldpollonline... rs/Rls2443.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013).
    2. Jinete, David, “El apoyo de Ford se desploma, sugiere encuesta”, The Star, 14 de septiembre de 2011. Disponible en línea en www.thestar.com/news/gta/2011... _suggests.html (consultado el 2 de mayo de 2013).
    3. “Aprobación del Alcalde Abajo”. Comunicado de prensa por Forum Research Inc. disponible en línea en www.forumresearch.com/forms/News Archives/News Release/74209_to_issues_-_mayoral_approval_%28forum_research% 29% 2820130320% 29.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013).
    4. “Ruleta”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.Wikipedia.org/wiki/Roulette (consultado el 2 de mayo de 2013).
    5. Shin, Hyon B., Robert A. Kominski. “El uso del lenguaje en Estados Unidos: 2007”. Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en www.census.gov/hhes/socdemo/l... acs/ACS-12.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013).
    6. Datos del Basebol-Almanaque, 2013. Disponible en línea en www.baseball-almanac.com (consultado el 2 de mayo de 2013).
    7. Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos.
    8. Datos del Wall Street Journal.
    9. Datos de The Roper Center: Archivos de opinión pública de la Universidad de Connecticut. Disponible en línea en www.roporcenter.uconn.edu/ (consultado el 2 de mayo de 2013).
    10. Datos de la Corporación de Investigación de Campo. Disponible en línea en www.field.com/fieldpollonline (consultado el 2,2 de mayo 013).

    Revisar

    La regla de multiplicación y la regla de suma se utilizan para calcular la probabilidad de\(\text{A}\) y\(\text{B}\), así como la probabilidad de\(\text{A}\) o\(\text{B}\) para dos eventos dados\(\text{A}\),\(\text{B}\) definidos en el espacio muestral. En el muestreo con reemplazo cada miembro de una población es reemplazado después de ser escogido, por lo que ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez, y los eventos se consideran independientes. En el muestreo sin reemplazo, cada miembro de una población podrá ser elegido solo una vez, y los eventos se consideran no independientes. Los eventos\(\text{A}\) y\(\text{B}\) son eventos mutuamente excluyentes cuando no tienen ningún resultado en común.

    Revisión de Fórmula

    La regla de multiplicación:\(P(\text{A AND B}) = P(\text{A|B})P(\text{B})\)

    La regla de adición:\(P(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) - P(\text{A AND B})\)

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes diez ejercicios. Cuarenta y ocho por ciento de todos los votantes registrados californianos prefieren la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. Entre los votantes latinos registrados en California, 55% prefiere cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. El 37.6% de todos los californianos son latinos.

    En este problema, vamos:

    • \(\text{C} =\)Californianos (votantes registrados) que prefieren la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado.
    • \(\text{L} =\)Californianos latinos

    Supongamos que un californiano es seleccionado al azar.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Encontrar\(P(\text{C})\).

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Encontrar\(P(\text{L})\).

    Responder

    0.376

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Encontrar\(P(\text{C|L})\).

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    En palabras, ¿qué es\(\text{C|L}\)?

    Responder

    \(\text{C|L}\)significa, dado que la persona elegida es un latino californiano, la persona es un elector registrado que prefiere cadena perpetua sin libertad condicional para una persona condenada por asesinato en primer grado.

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Encuentra\(P(\text{L AND C})\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    En palabras, ¿qué es\(\text{L AND C}\)?

    Responder

    \(\text{L AND C}\)es el caso de que la persona elegida sea un votante latino registrado en California que prefiere la vida sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado.

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    ¿Son\(\text{L}\) y eventos\(\text{C}\) independientes? Mostrar por qué o por qué no.

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Encontrar\(P(\text{L OR C})\).

    Responder

    0.6492

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    En palabras, ¿qué es\(\text{L OR C}\)?

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    ¿Son\(\text{L}\) y eventos\(\text{C}\) mutuamente excluyentes? Mostrar por qué o por qué no.

    Responder

    No, porque\(P(\text{L AND C})\) no equivale a 0.

    Glosario

    Eventos Independientes
    La ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de que ocurra otro evento. Eventos\(\text{A}\) y\(\text{B}\) son independientes si uno de los siguientes es cierto:
    1. \(P(\text{A|B}) = P(\text{A})\)
    2. \(P(\text{B|A}) = P(\text{B})\)
    3. \(P(\text{A AND B}) = P(\text{A})P(\text{B})\)
    Mutuamente Exclusivos
    Dos eventos son mutuamente excluyentes si la probabilidad de que ambos sucedan al mismo tiempo es cero. Si los eventos\(\text{A}\) y\(\text{B}\) son mutuamente excluyentes, entonces\(P(\text{A AND B}) = 0\).

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