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3.6: Diagramas de Árbol y Venn

  • Page ID
    153207
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    En ocasiones, cuando los problemas de probabilidad son complejos, puede ser útil graficar la situación. Los diagramas de árbol y los diagramas de Venn son dos herramientas que se pueden utilizar para visualizar y resolver probabilidades condicionales.

    Diagramas de árbol

    Un diagrama de árbol es un tipo especial de gráfico utilizado para determinar los resultados de un experimento. Consiste en “ramas” que están etiquetadas con frecuencias o probabilidades. Los diagramas de árbol pueden hacer que algunos problemas de probabilidad sean más fáciles de visualizar y resolver. El siguiente ejemplo ilustra cómo usar un diagrama de árbol.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Probabilities from Sampling with replacement

    En una urna, hay 11 bolas. Tres bolas son rojas (\(\text{R}\)) y ocho bolas son azules (\(\text{B}\)). Dibuja dos bolas, una a la vez, con reemplazo (recuerda que “con reemplazo” significa que vuelves a poner la primera bola en la urna antes de seleccionar la segunda bola). A continuación se muestra el diagrama de árbol utilizando frecuencias que muestran todos los resultados posibles.

    Figura\(\PageIndex{1}\): Total = 64 + 24 + 24 + 9 = 121

    El primer conjunto de ramas representa el primer sorteo. El segundo conjunto de ramas representa el segundo sorteo. Cada uno de los resultados es distinto. De hecho, podemos enumerar cada bola roja como R 1, R2 y R 3 y cada bola azul como B 1, B 2, B 3, B 4, B 5, B 6, B 7 y B 8. Entonces los nueve resultados de RR pueden escribirse como:

    R 1 R 1 R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 1 R 2 R 2 R 2 R 3 R 3 R 1 R 3 R 3 R 2 R 3 R

    Los otros resultados son similares.

    Hay un total de 11 bolas en la urna. Dibuja dos bolas, una a la vez, con reemplazo. Hay 11 (11) = 121 resultados, el tamaño del espacio muestral.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    En una baraja estándar, hay 52 cartas. 12 cartas son cartas faciales (evento\(\text{F}\)) y 40 cartas no son cartas faciales (evento\(\text{N}\)). Roba dos cartas, una a la vez, con reemplazo. Todos los resultados posibles se muestran en el diagrama de árbol como frecuencias. Usando el diagrama de árbol, calcule\(P(\text{FF})\).

    Figura\(\PageIndex{2}\):

    Contestar

    El número total de resultados es 144 + 480 + 480 + 1600 = 2,704.

    \[P(\text{FF}) = \frac{144}{144+480+480+1,600} = \frac{144}{2,704} = \frac{9}{169}\]

    1. a. enumerar los 24 resultados BR: B 1 R 1, B 1 R 2, B 1 R 3,...
    2. b. Usando el diagrama de árbol, calcule P (RR).
    3. c. Usando el diagrama de árbol, calcule\(P(\text{RB OR BR})\).
    4. d. Usando el diagrama de árbol, calcule\(P(\text{R on 1st draw AND B on 2nd draw})\).
    5. e. usando el diagrama de árbol, calcular P (R en el 2do sorteo DADO B en el 1er sorteo).
    6. Usando el diagrama de árbol, calcule\(P(\text{BB})\).
    7. g. Usando el diagrama de árbol, calcule\(P(\text{B on the 2nd draw given R on the first draw})\).

    Solución

    1. B 1 R 1; B 1 R 2; B 1 R 3; B 2 R 1; B 2 R 2; B 2 R 3; B 3 R 1; B 3 R 2; B 3 R 3; B 4 R 1; B 4 R 2; B 4 R 3; B 5 R 1; B 5 R 2; B 5 R 3; B 6 R 1; B 6 R 2; B 6 R 3 B 7 R 1; B 7 R 2; B 7 R 3; B 8 R 1; B 8 R 2; B 8 R 3
    2. \(P(\text{RR}) = \left(\frac{3}{11}\right) \left(\frac{3}{11}\right) = \frac{9}{121}\)
    3. \(P(\text{RB OR BR}) = \left(\frac{3}{11}\right) \left(\frac{8}{11}\right) + \left(\frac{8}{11}\right) \left(\frac{3}{11}\right) = \frac{48}{121}\)
    4. \(P(\text{R on 1st draw AND B on 2nd draw}) = P(\text{RB}) = \left(\frac{3}{11}\right) \left(\frac{8}{11}\right) = \frac{24}{121}\)
    5. P (R en el 2do sorteo DADO B en el 1er sorteo) = P (R en 2nd| B el 1er)\(\frac{24}{88}\) = =\(\frac{3}{11}\) Este problema es condicional. El espacio muestral se ha reducido a aquellos resultados que ya tienen un azul en el primer sorteo. Hay 24 + 64 = 88 posibles resultados (24 BR y 64 BB). Veinticuatro de los 88 posibles resultados son BR. \(\frac{24}{88}\)=\(\frac{3}{11}\)
    6. \(P(\text{BB}) = \frac{64}{121}\)
    7. \(P(\text{B on 2nd draw|R on 1st draw}) = \frac{8}{11}\). Hay 9 + 24 resultados que tienen\(\text{R}\) en el primer sorteo (9 RR y 24 RB). El espacio muestral es entonces 9 + 24 = 33. 24 de los 33 resultados tienen\(\text{B}\) en el segundo sorteo. La probabilidad es entonces\(\frac{24}{33}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Probabilities from Sampling without replacement

    Una urna tiene tres canicas rojas y ocho canicas azules en ella. Dibuja dos canicas, una a la vez, esta vez sin reemplazo, de la urna. (recuerda que “sin reemplazo” significa que no vuelves a poner la primera bola antes de seleccionar la segunda canica). A continuación se presenta un diagrama de árbol para esta situación. Las ramas están etiquetadas con probabilidades en lugar de frecuencias. Los números en los extremos de las ramas se calculan multiplicando los números en las dos ramas correspondientes, por ejemplo,\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{2}{10}\right) = \frac{6}{110}\).

    Figura\(\PageIndex{3}\): Total\(= \frac{56+24+24+6}{110} = \frac{110}{110} = 1\)

    Si dibujas un rojo en el primer sorteo de las tres posibilidades rojas, quedan dos canicas rojas para dibujar en el segundo sorteo. No vuelves a poner ni reemplazar la primera canica después de haberla dibujado. Se dibuja sin reemplazo, para que en el segundo sorteo queden diez canicas en la urna.

    Calcula las siguientes probabilidades usando el diagrama de árbol.

    1. \(P(\text{RR}) =\)________
    2. Rellene los espacios en blanco:\(P(\text{RB OR BR}) = \left(\frac{3}{11}\right) \left(\frac{8}{10}\right) +\) (___) (___)\(= \frac{48}{110}\)
    3. \(P(\text{R on 2nd|B on 1st}) =\)
    4. Rellene los espacios en blanco:\(P(\text{R on 1st AND B on 2nd}) = P(\text{RB}) =\) (___) (___)\(= \frac{24}{110}\)
    5. Encuentra\(P(\text{BB})\).
    6. Encuentra\(P(\text{B on 2nd|R on 1st})\).

    RESPUESTAS

    1. \(P(\text{RR}) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{2}{10}\right) = \frac{6}{110}\)
    2. \(P(\text{RB OR BR}) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right) + \left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{3}{10}\right) = \frac{48}{110}\)
    3. \(P(\text{R on 2nd|B on 1st}) = \frac{3}{10}\)
    4. \(P(\text{R on 1st AND B on 2nd}) = P(\text{RB}) = \left(\frac{3}{11}\right) \left(\frac{8}{10}\right) = \frac{24}{110}\)
    5. \(P(\text{BB}) = \left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{7}{10}\right)\)
    6. Usando el diagrama de árbol,\(P(\text{B on 2nd|R on 1st}) = P(\text{R|B}) = \frac{8}{10}\).

    Si estamos usando probabilidades, podemos etiquetar el árbol de la siguiente manera general.

    • \(P(\text{R|R})\)aquí significa\(P(\text{R on 2nd|R on 1st})\)
    • \(P(\text{B|R})\)aquí significa\(P(\text{B on 2nd|R on 1st})\)
    • \(P(\text{R|B})\)aquí significa\(P(\text{R on 2nd|B on 1st})\)
    • \(P(\text{B|B})\)aquí significa\(P(\text{B on 2nd|B on 1st})\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    En una baraja estándar, hay 52 cartas. Doce cartas son cartas faciales (\(\text{F}\)) y 40 cartas no son cartas faciales (\(\text{N}\)). Roba dos cartas, una a la vez, sin reemplazo. El diagrama de árbol está etiquetado con todas las probabilidades posibles.

    Figura\(\PageIndex{4}\):
    1. Encuentra\(P(\text{FN OR NF})\).
    2. Encuentra\(P(\text{N|F})\).
    3. Encuentra\(P(\text{at most one face card})\).
      Pista: “A lo sumo una carta de cara” significa cero o una carta de cara.
    4. Encuentra\(P(\text{at least on face card})\).
      Pista: “Al menos una carta facial” significa una o dos cartas de cara.

    Contestar

    1. \(P(\text{FN OR NF}) = \frac{480}{2,652} + \frac{480}{2,652} = \frac{960}{2,652} = \frac{80}{221}\)
    2. \(P(\text{N|F}) = \frac{40}{51}\)
    3. \(P(\text{at most one face card}) = \frac{(480+480+1,560)}{2,652} = \frac{2,520}{2,652}\)
    4. \(P(\text{at least one face card}) = \frac{(132+480+480)}{2,652} = \frac{1,092}{2,652}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Una camada de gatitos disponibles para adopción en la Humane Society tiene cuatro gatitos atigrados y cinco gatitos negros. Entra una familia y selecciona aleatoriamente dos gatitos (sin reemplazo) para su adopción.

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos gatitos estén atigrados?
      a.\(\left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)\) b.\(\left(\frac{4}{9}\right) \left(\frac{4}{9}\right)\) c.\(\left(\frac{4}{9}\right) \left(\frac{3}{8}\right)\) d.\(\left(\frac{4}{9}\right) \left(\frac{5}{9}\right)\)
    2. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione un gatito de cada coloración?
      a.\(\left(\frac{4}{9}\right) \left(\frac{5}{9}\right)\) b.\(\left(\frac{4}{9}\right) \left(\frac{5}{8}\right)\) c.\(\left(\frac{4}{9}\right) \left(\frac{5}{9}\right)\) +\(\left(\frac{5}{9}\right) \left(\frac{4}{9}\right)\) d.\(\left(\frac{4}{9}\right) \left(\frac{5}{8}\right)\) +\(\left(\frac{5}{9}\right) \left(\frac{4}{8}\right)\)
    3. ¿Cuál es la probabilidad de que un atigrado sea elegido como el segundo gatito cuando se eligió a un gatito negro como el primero?
    4. ¿Cuál es la probabilidad de elegir dos gatitos del mismo color?

    Contestar

    a. c, b. d, c.\(\frac{4}{8}\), d.\(\frac{32}{72}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Supongamos que hay cuatro bolas rojas y tres bolas amarillas en una caja. Se extraen tres bolas de la caja sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una bola de cada coloración?

    Contestar

    \(\left(\frac{4}{7}\right) \left(\frac{3}{6}\right)\)+\(\left(\frac{3}{7}\right) \left(\frac{4}{6}\right)\)

    Diagrama de Venn

    Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en una caja que representa el espacio muestral S junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan eventos.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Supongamos que un experimento tiene los resultados 1, 2, 3,..., 12 donde cada desenlace tiene la misma probabilidad de ocurrir. Dejar evento\(\text{A} =\) {1, 2, 3, 4, 5, 6} y evento\(\text{B} =\) {6, 7, 8, 9}. Después\(\text{A AND B} =\) {6} y\(\text{A OR B} =\) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. El diagrama de Venn es el siguiente:

    Figura\(\PageIndex{5}\):

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Supongamos que un experimento tiene resultados en negro, blanco, rojo, naranja, amarillo, verde, azul y morado, donde cada resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir. Dejar evento\(\text{C} =\) {verde, azul, morado} y evento\(\text{P} =\) {rojo, amarillo, azul}. Después\(\text{C AND P} =\) {azul} y\(\text{C OR P} =\) {verde, azul, morado, rojo, amarillo}. Dibuja un diagrama de Venn que represente esta situación.

    Contestar

    Figura\(\PageIndex{6}\):

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Voltear dos monedas justas. Dejar\(\text{A} =\) colas en la primera moneda. Dejar\(\text{B} =\) colas en la segunda moneda. Después\(\text{A} =\) {TT, TH} y\(\text{B} =\) {TT, HT}. Por lo tanto,\(\text{A AND B} =\) {TT}. \(\text{A OR B} =\){TH, TT, HT}.

    El espacio de muestra cuando volteas dos monedas justas es\(X =\) {HH, HT, TH, TT}. El resultado HH está en\(\text{NEITHER A NOR B}\). El diagrama de Venn es el siguiente:

    Figura\(\PageIndex{7}\):

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Enrolle un dado justo de seis lados. Deje que\(\text{A} =\) se enrolla un número primo de puntos. Dejar que\(\text{B} =\) se enrolla un número impar de puntos. Después\(\text{A} =\) {2, 3, 5} y\(\text{B} =\) {1, 3, 5}. Por lo tanto,\(\text{A AND B} =\) {3, 5}. \(\text{A OR B} =\){1, 2, 3, 5}. El espacio de muestra para enrollar una matriz justa es\(\text{S} =\) {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dibuja un diagrama de Venn que represente esta situación.

    Contestar

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Probability and Venn Diagrams

    El cuarenta por ciento de los estudiantes de una universidad local pertenecen a un club y el 50% trabaja a tiempo parcial. El cinco por ciento de los estudiantes trabajan a tiempo parcial y pertenecen a un club. Dibuja un diagrama de Venn que muestre las relaciones. Deje que el\(\text{C} =\) estudiante pertenezca a un club y el\(\text{PT} =\) estudiante trabaje a tiempo parcial.

    Figura\(\PageIndex{8}\):

    Si un estudiante es seleccionado al azar, busque

    • la probabilidad de que el alumno pertenezca a un club. \(P(\text{C}) = 0.40\)
    • la probabilidad de que el alumno trabaje a tiempo parcial. \(P(\text{PT}) = 0.50\)
    • la probabilidad de que el alumno pertenezca a un club Y trabaje a tiempo parcial. \(P(\text{C AND PT}) = 0.05\)
    • la probabilidad de que el alumno pertenezca a un club dado que el alumno trabaja a tiempo parcial. \(P(\text{C|PT}) = \frac{P(\text{C AND PT})}{P(\text{PT})} = \frac{0.05}{0.50} = 0.1\)
    • la probabilidad de que el alumno pertenezca a un club O trabaje a tiempo parcial. \(P(\text{C OR PT}) = P(\text{C}) + P(\text{PT}) - P(\text{C AND PT}) = 0.40 + 0.50 - 0.05 = 0.85\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    El cincuenta por ciento de los trabajadores de una fábrica trabaja un segundo empleo, el 25% tiene un cónyuge que también trabaja, el 5% trabaja un segundo empleo y tiene un cónyuge que también trabaja. Dibuja un diagrama de Venn que muestre las relaciones. Deja\(\text{W} =\) trabaja un segundo trabajo y el\(\text{S} =\) cónyuge también trabaja.

    Contestar

    Figura\(\PageIndex{9}\):

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Una persona con sangre tipo O y un factor Rh negativo (Rh-) puede donar sangre a cualquier persona con cualquier tipo de sangre. Cuatro por ciento de los afroamericanos tienen sangre tipo O y un factor RH negativo, 5− 10% de los afroamericanos tienen el factor Rh- y 51% tienen sangre tipo O.

    Figura\(\PageIndex{10}\):

    El círculo “O” representa a los afroamericanos con sangre tipo O. El óvalo “Rh- “representa a los afroamericanos con el factor Rh-.

    Tomaremos el promedio de 5% y 10% y usaremos 7.5% como porcentaje de afroamericanos que tienen el factor Rh-. Deje que\(\text{O} =\) los afroamericanos con sangre Tipo O y\(\text{R} =\) los afroamericanos con factor Rh-.

    1. \(P(\text{O}) =\)___________
    2. \(P(\text{R}) =\)___________
    3. \(P(\text{O AND R}) =\)___________
    4. \(P(\text{O OR R}) =\)____________
    5. En el Diagrama de Venn, describa el área superpuesta usando una oración completa.
    6. En el Diagrama de Venn, describa el área en el rectángulo pero fuera tanto del círculo como del óvalo usando una oración completa.

    Contestar

    a. 0.51; b. 0.075; c. 0.04; d. 0.545; e. El área representa a los afroamericanos que tienen sangre tipo O y el factor Rh-. f. El área representa a los afroamericanos que no tienen sangre tipo O ni el factor Rh-.

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    En una librería, la probabilidad de que el cliente compre una novela es 0.6, y la probabilidad de que el cliente compre un libro de no ficción es 0.4. Supongamos que la probabilidad de que el cliente compre ambos es 0.2.

    1. Dibuja un diagrama de Venn que represente la situación.
    2. Encuentra la probabilidad de que el cliente compre ya sea un libro de novela o de anon-ficción.
    3. En el diagrama de Venn, describa el área superpuesta usando una oración completa.
    4. Supongamos que algunos clientes compran solo discos compactos. Dibuja un óvalo en tu diagrama de Venn que represente este evento.

    Contestar

    a. y d. En el siguiente diagrama de Venn a continuación, el óvalo azul representa a los clientes que compran una novela, el óvalo rojo representa al cliente que compra no ficción, y el cliente ovalado amarillo que compra discos compactos.

    Figura\(\PageIndex{11}\):

    b\(P(\text{novel or non-fiction}) = P(\text{Blue OR Red}) = P(\text{Blue}) + P(\text{Red}) - P(\text{Blue AND Red}) = 0.6 + 0.4 - 0.2 = 0.8\).

    c. El área superpuesta del óvalo azul y el óvalo rojo representa a los clientes que compran tanto una novela como un libro de no ficción.

    Referencias

    1. Datos de Clara County Public H.D.
    2. Datos de la Sociedad Americana contra el Cáncer.
    3. Datos de La Biblioteca de Datos y Cuentos, 1996. Disponible en línea en http://lib.stat.cmu.edu/DASL/ (consultado el 2 de mayo de 2013).
    4. Datos de la Administración Federal de Carreteras, parte del Departamento de Transporte de Estados Unidos.
    5. Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos, parte del Departamento de Comercio de los Estados Unidos.
    6. Datos de USA Today.
    7. “Medio ambiente”. El Banco Mundial, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/topic/environment (consultado el 2 de mayo de 2013).
    8. “Buscar conjuntos de datos”. Roper Center: Archivos de opinión pública, Universidad de Connecticut., 2013. Disponible en línea en www.ropercentage er.uconn.edu/data_access/data/search_for_datasets.html (consultado el 2 de mayo de 2013).

    Revisar

    Un diagrama de árbol utiliza ramas para mostrar los diferentes resultados de los experimentos y hace que las preguntas de probabilidad complejas sean fáciles de visualizar. Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en una caja que representa el espacio muestral S junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan eventos. Un diagrama de Venn es especialmente útil para visualizar el evento OR, el evento AND, y el complemento de un evento y para comprender las probabilidades condicionales.

    Glosario

    Diagrama de árbol
    la representación visual útil de un espacio muestral y eventos en forma de “árbol” con ramas marcadas por posibles resultados junto con probabilidades asociadas (frecuencias, frecuencias relativas)
    Diagrama de Venn
    la representación visual de un espacio muestral y eventos en forma de círculos u óvalos mostrando sus intersecciones

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