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4.2: Función de distribución de probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta

  • Page ID
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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Una función de distribución de probabilidad discreta tiene dos características:

    1. Cada probabilidad está entre cero y uno, inclusive.
    2. La suma de las probabilidades es una.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    A un psicólogo infantil le interesa la cantidad de veces que el llanto de un bebé recién nacido despierta a su madre después de la medianoche. Para una muestra aleatoria de 50 madres, se obtuvo la siguiente información. Deje que\(X =\) el número de veces por semana que el llanto de un bebé recién nacido despierte a su madre después de medianoche. Para este ejemplo,\(x = 0, 1, 2, 3, 4, 5\).

    \(P(x) =\)probabilidad que\(X\) toma un valor\(x\).

    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\) ">0 \ (P (x)\) ">\(P(x = 0) = \dfrac{2}{50}\)
    \ (x\) ">1 \ (P (x)\) ">\(P(x = 1) = \dfrac{11}{50}\)
    \ (x\) ">2 \ (P (x)\) ">\(P(x = 2) = \dfrac{23}{50}\)
    \ (x\) ">3 \ (P (x)\) ">\(P(x = 3) = \dfrac{9}{50}\)
    \ (x\) ">4 \ (P (x)\) ">\(P(x = 4) = \dfrac{4}{50}\)
    \ (x\) ">5 \ (P (x)\) ">\(P(x = 5) = \dfrac{1}{50}\)

    \(X\)toma los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5. Este es un PDF discreto porque:

    1. Cada uno\(P(x)\) está entre cero y uno, inclusive.
    2. La suma de las probabilidades es una, es decir,

    \[\dfrac{2}{50} + \dfrac{11}{50} + \dfrac{23}{50} + \dfrac{9}{50} + \dfrac{4}{50} + \dfrac{1}{50} = 1\]

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Un investigador del hospital está interesado en la cantidad de veces que el paciente posoperatorio promedio llamará a la enfermera durante un turno de 12 horas. Para una muestra aleatoria de 50 pacientes se obtuvo la siguiente información. Deje que\(X =\) el número de veces que un paciente llame a la enfermera durante un turno de 12 horas. Para este ejercicio,\(x = 0, 1, 2, 3, 4, 5\). \(P(x) =\)la probabilidad que\(X\) adquiere valor\(x\). ¿Por qué es esta una función de distribución de probabilidad discreta (dos razones)?

    \(X\) \(P(x)\)
    \ (X\) ">0 \ (P (x)\) ">\(P(x = 0) = \dfrac{4}{50}\)
    \ (X\) ">1 \ (P (x)\) ">\(P(x = 1) = \dfrac{8}{50}\)
    \ (X\) ">2 \ (P (x)\) ">\(P(x = 2) = \dfrac{16}{50}\)
    \ (X\) ">3 \ (P (x)\) ">\(P(x = 3) = \dfrac{14}{50}\)
    \ (X\) ">4 \ (P (x)\) ">\(P(x = 4) = \dfrac{6}{50}\)
    \ (X\) ">5 \ (P (x)\) ">\(P(x = 5) = \dfrac{2}{50}\)

    Contestar

    Cada uno\(P(x)\) está entre 0 y 1, inclusive, y la suma de las probabilidades es 1, es decir:

    \[\dfrac{4}{50} + \dfrac{8}{50} +\dfrac{16}{50} +\dfrac{14}{50} +\dfrac{6}{50} + \dfrac{2}{50} = 1\]

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Supongamos que Nancy tiene clases tres días a la semana. Ella asiste a clases tres días a la semana 80% del tiempo, dos días 15% del tiempo, un día 4% del tiempo, y no días 1% del tiempo. Supongamos que se selecciona aleatoriamente una semana.

    1. Let\(X\) = el número de días Nancy ____________________.
    2. \(X\)toma en qué valores?
    3. Supongamos que se elige aleatoriamente una semana. Construir una tabla de distribución de probabilidad (llamada tabla PDF) como la de Ejemplo. La tabla debe tener dos columnas etiquetadas\(x\) y\(P(x)\). ¿A qué suma la\(P(x)\) columna?

    Soluciones

    a. let\(X\) = el número de días que Nancy asiste a clase por semana.

    b. 0, 1, 2 y 3

    c

    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\) ">0 \ (P (x)\) ">0.01
    \ (x\) ">1 \ (P (x)\) ">0.04
    \ (x\) ">2 \ (P (x)\) ">0.15
    \ (x\) ">3 \ (P (x)\) ">0.80

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Jeremías tiene práctica de basquetbol dos días a la semana. El noventa por ciento del tiempo, asiste a ambas prácticas. Ocho por ciento del tiempo, asiste a una práctica. Dos por ciento del tiempo, no asiste a ninguna de las prácticas. ¿Qué es X y qué valores adquiere?

    Contestar

    \(X\)es el número de días que Jeremías asiste a la práctica de básquetbol por semana. X toma los valores 0, 1 y 2.

    Revisar

    Las características de una función de distribución de probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta son las siguientes:

    1. Cada probabilidad está entre cero y uno, inclusive (inclusive significa incluir cero y uno).
    2. La suma de las probabilidades es una.

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes cinco ejercicios: Una empresa quiere evaluar su tasa de desgaste, es decir, cuánto tiempo permanecen las nuevas contrataciones en la empresa. A lo largo de los años, han establecido la siguiente distribución de probabilidad.

    Que\(X =\) el número de años que una nueva contratación se quede con la empresa.

    Deje que\(P(x) =\) la probabilidad de que una nueva contratación se quede con la empresa x años.

    Ejercicio 4.2.3

    Tabla Completa utilizando los datos aportados.

    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\) ">0 \ (P (x)\) ">0.12
    \ (x\) ">1 \ (P (x)\) ">0.18
    \ (x\) ">2 \ (P (x)\) ">0.30
    \ (x\) ">3 \ (P (x)\) ">0.15
    \ (x\) ">4 \ (P (x)\) ">
    \ (x\) ">5 \ (P (x)\) ">0.10
    \ (x\) ">6 \ (P (x)\) ">0.05

    Contestar

    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\) ">0 \ (P (x)\) ">0.12
    \ (x\) ">1 \ (P (x)\) ">0.18
    \ (x\) ">2 \ (P (x)\) ">0.30
    \ (x\) ">3 \ (P (x)\) ">0.15
    \ (x\) ">4 \ (P (x)\) ">0.10
    \ (x\) ">5 \ (P (x)\) ">0.10
    \ (x\) ">6 \ (P (x)\) ">0.05

    Ejercicio 4.2.4

    \(P(x = 4) =\)_______

    Ejercicio 4.2.5

    \(P(x \geq 5) =\)_______

    Contestar

    0.10 + 0.05 = 0.15

    Ejercicio 4.2.6

    En promedio, ¿cuánto tiempo esperarías que una nueva contratación se quedara con la compañía?

    Ejercicio 4.2.7

    ¿A qué suma la columna “P (x)”?

    Contestar

    1

    Utiliza la siguiente información para responder a los siguientes seis ejercicios: Un panadero está decidiendo cuántos lotes de magdalenas hacer para vender en su panadería. Quiere hacer lo suficiente para vender a todos y nada menos. A través de la observación, el panadero ha establecido una distribución de probabilidad.

    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\) ">1 \ (P (x)\) ">0.15
    \ (x\) ">2 \ (P (x)\) ">0.35
    \ (x\) ">3 \ (P (x)\) ">0.40
    \ (x\) ">4 \ (P (x)\) ">0.10

    Ejercicio 4.2.8

    Define la variable aleatoria\(X\).

    Ejercicio 4.2.9

    ¿Cuál es la probabilidad de que el panadero venda más de un lote? \(P(x > 1) =\)_______

    Contestar

    0.35 + 0.40 + 0.10 = 0.85

    Ejercicio 4.2.10

    ¿Cuál es la probabilidad de que el panadero venda exactamente un lote? \(P(x = 1) =\)_______

    Ejercicio 4.2.11

    En promedio, ¿cuántos lotes debe hacer el panadero?

    Contestar

    1 (0.15) + 2 (0.35) + 3 (0.40) + 4 (0.10) = 0.15 + 0.70 + 1.20 + 0.40 = 2.45

    Usa la siguiente información para responder los siguientes cuatro ejercicios: Ellen tiene práctica musical tres días a la semana. Practica durante todos los tres días 85% del tiempo, dos días 8% del tiempo, un día 4% del tiempo, y no días 3% del tiempo. Se selecciona una semana al azar.

    Ejercicio 4.2.12

    Define la variable aleatoria\(X\).

    Ejercicio 4.2.13

    Construir una tabla de distribución de probabilidad para los datos.

    Contestar

    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\) ">0 \ (P (x)\) ">0.03
    \ (x\) ">1 \ (P (x)\) ">0.04
    \ (x\) ">2 \ (P (x)\) ">0.08
    \ (x\) ">3 \ (P (x)\) ">0.85

    Ejercicio 4.2.14

    Sabemos que para que una función de distribución de probabilidad sea discreta, debe tener dos características. Una es que la suma de las probabilidades es una. ¿Cuál es la otra característica?

    Utiliza la siguiente información para responder a los siguientes cinco ejercicios: Javier es voluntario en eventos comunitarios cada mes. No realiza más de cinco eventos en un mes. Asiste exactamente a cinco eventos 35% del tiempo, cuatro eventos 25% del tiempo, tres eventos 20% del tiempo, dos eventos 10% del tiempo, un evento 5% del tiempo, y ningún evento 5% del tiempo.

    Ejercicio 4.2.15

    Define la variable aleatoria\(X\).

    Contestar

    Deje que\(X =\) el número de eventos Javier sea voluntario para cada mes.

    Ejercicio 4.2.16

    ¿Qué\(x\) valores adquiere?

    Ejercicio 4.2.17

    Construir una tabla PDF.

    Contestar

    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\) ">0 \ (P (x)\) ">0.05
    \ (x\) ">1 \ (P (x)\) ">0.05
    \ (x\) ">2 \ (P (x)\) ">0.10
    \ (x\) ">3 \ (P (x)\) ">0.20
    \ (x\) ">4 \ (P (x)\) ">0.25
    \ (x\) ">5 \ (P (x)\) ">0.35

    Ejercicio 4.2.18

    Encuentra la probabilidad de que Javier sea voluntario por menos de tres eventos cada mes. \(P(x < 3) =\)_______

    Ejercicio 4.2.19

    Encuentra la probabilidad de que Javier sea voluntario para al menos un evento cada mes. \(P(x > 0) =\)_______

    Contestar

    1 — 0.05 = 0.95

    Glosario

    Función de distribución de probabilidad (PDF)
    una descripción matemática de una variable aleatoria discreta (RV), dada ya sea en forma de ecuación (fórmula) o en forma de tabla que enumera todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad asociada a cada resultado.

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