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5.2: Funciones de Probabilidad Continua

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    153263
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Comenzamos definiendo una función de densidad de probabilidad continua. Usamos la notación de funciones\(f(x)\). El álgebra intermedia puede haber sido su primera introducción formal a las funciones. En el estudio de la probabilidad, las funciones que estudiamos son especiales. Definimos la función\(f(x)\) para que el área entre ésta y el eje x sea igual a una probabilidad. Dado que la probabilidad máxima es uno, el área máxima también es uno. Para distribuciones continuas de probabilidad, PROBABILIDAD = ÁREA.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Considera la función\(f(x) = \frac{1}{20}\) para\(0 \leq x \leq 20\). \(x =\)un número real. La gráfica de\(f(x) = \frac{1}{20}\) es una línea horizontal. Sin embargo, ya que\(0 \leq x \leq 20\),\(f(x)\) se restringe a la porción entre\(x = 0\) y\(x = 20\), inclusive.

    Esto muestra la gráfica de la función f (x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) creando un rectángulo.
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    \[f(x) = \frac{1}{20} \text{ for } 0 \leq x \leq 20.\]

    La gráfica de\(f(x) = \frac{1}{20}\) es un segmento de línea horizontal cuando\(0 \leq x \leq 20\).

    El área entre\(f(x) = \frac{1}{20}\) donde\(0 \leq x \leq 20\) y el eje x es el área de un rectángulo con base = 20 y altura =\(\frac{1}{20}\).

    \[AREA = 20 \left(\frac{1}{20} \right) = 1\]

    Supongamos que queremos encontrar el área entre\(f(x) = \frac{1}{20}\) y el eje x donde\(0 < x < 2\).

    5.1.2.pngEsto muestra la gráfica de la función f (x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) creando un rectángulo. Una región se sombrea dentro del rectángulo de x = 0 a x = 2.
    Figura\(\PageIndex{2}\)

    \[AREA = (2 - 0) \left(\dfrac{1}{20} \right) = 0.1\]

    \((2 - 0) = 2 = \text{base of a rectangle}\)

    RECORDATORIO: área de un rectángulo = (base) (altura).

    El área corresponde a una probabilidad. La probabilidad de que x esté entre cero y dos es 0.1, que se puede escribir matemáticamente como\(P(0 < x < 2) = P(x < 2) = 0.1\).

    Supongamos que queremos encontrar el área entre\(f(x) = \frac{1}{20}\) y el eje x donde\(4 < x < 15\).

    Esto muestra la gráfica de la función f (x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) creando un rectángulo. Una región está sombreada dentro del rectángulo de x = 4 a x = 15.
    Figura\(\PageIndex{3}\)

    \(\text{AREA} = (15 – 4)(\frac{1}{20}) = 0.55\)

    \(\text{AREA} = (15 – 4)(\frac{1}{20}) = 0.55\)

    \((15 – 4) = 11 = \text{the base of a rectangle}(15 – 4) = 11 = \text{the base of a rectangle}\)

    El área corresponde a la probabilidad\(P(4 < x < 15) = 0.55\).

    Supongamos que queremos encontrar\(P(x = 15)\). En una gráfica x-y,\(x = 15\) hay una línea vertical. Una línea vertical no tiene ancho (o ancho cero). Por lo tanto,\(P(x = 15) = (\text{base})(\text{height}) = (0)\left(\frac{1}{20}\right) = 0\)

    Esto muestra la gráfica de la función f (x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) creando un rectángulo. Una línea vertical se extiende desde el eje horizontal hasta la gráfica en x = 15.
    Figura\(\PageIndex{4}\)

    \(P(X \leq x)\)(se puede escribir como\(P(X < x)\) para distribuciones continuas) se llama la función de distribución acumulativa o CDF. Observe el símbolo “menor o igual a”. Podemos usar el CDF para calcular\(P(X > x)\). El CDF da “área a la izquierda” y\(P(X > x)\) da “área a la derecha”. Calculamos\(P(X > x)\) para distribuciones continuas de la siguiente manera:\(P(X > x) = 1 – P(X < x)\).

    Esto muestra la gráfica de la función f (x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) creando un rectángulo. El área a la izquierda de un valor, x, está sombreada.
    Figura\(\PageIndex{5}\)

    Etiquete la gráfica con\(f(x)\) y\(x\). Escala los\(y\) ejes\(x\) y con el máximo\(x\) y\(y\) los valores. \(f(x) = \frac{1}{20}\),\(0 \leq x \leq 20\).

    Para calcular la probabilidad que\(x\) se encuentra entre dos valores, mira la siguiente gráfica. Sombra la región entre\(x = 2.3\) y\(x = 12.7\). Después calcula el área sombreada de un rectángulo.

    Esto muestra la gráfica de la función f (x) = 1/20. Una línea horizontal va desde el punto (0, 1/20) hasta el punto (20, 1/20). Una línea vertical se extiende desde el eje x hasta el final de la línea en el punto (20, 1/20) creando un rectángulo. Una región está sombreada dentro del rectángulo de x = 2.3 a x = 12.7
    Figura\(\PageIndex{6}\)

    \[P(2.3 < x < 12.7) = (\text{base})(\text{height}) = (12.7−2.3)\left(\dfrac{1}{20}\right) = 0.52\]

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Considera la función\(f(x) = \frac{1}{8}\) para\(0 \leq x \leq 8\). Dibuja la gráfica de\(f(x)\) y encuentra\(P(2.5 < x < 7.5)\).

    Responder
    5.1.7.png
    Figura\(\PageIndex{7}\)

    \(P (2.5 < x < 7.5) = 0.625\)

    Resumen

    La función de densidad de probabilidad (pdf) se utiliza para describir probabilidades para variables aleatorias continuas. El área bajo la curva de densidad entre dos puntos corresponde a la probabilidad de que la variable caiga entre esos dos valores. En otras palabras, el área bajo la curva de densidad entre los puntos a y b es igual a\(P(a < x < b)\). La función de distribución acumulativa (cdf) da la probabilidad como área. Si\(X\) es una variable aleatoria continua, la función de densidad de probabilidad (pdf),\(f(x)\), se utiliza para dibujar la gráfica de la distribución de probabilidad. El área total bajo la gráfica de\(f(x)\) es uno. El área bajo la gráfica de\(f(x)\) y entre los valores a y b da la probabilidad\(P(a < x < b)\).

    La gráfica de la izquierda muestra una curva de densidad general, y = f (x). La región bajo la curva y por encima del eje x está sombreada. El área de la región sombreada es igual a 1. Esto demuestra que todos los resultados posibles están representados por la curva. La gráfica de la derecha muestra la misma curva de densidad. Las líneas verticales x = a y x = b se extienden desde el eje hasta la curva, y el área entre las líneas está sombreada. El área de la región sombreada representa la probabilidad de que un valor x caiga entre a y b.
    Figura\(\PageIndex{8}\)

    La función de distribución acumulativa (cdf) de\(X\) se define por\(P(X \leq x)\). Es una función de\(x\) que da la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual a\(x\).

    Revisión de Fórmula

    Función de densidad de probabilidad (pdf)\(f(x)\):

    • \(f(x) \geq 0\)
    • El área total bajo la curva\(f(x)\) es uno.

    Función de distribución acumulativa (cdf):\(P(X \leq x)\)


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