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5.4: La distribución exponencial

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    153275
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La distribución exponencial a menudo se refiere a la cantidad de tiempo hasta que ocurre algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (comenzando ahora) hasta que ocurra un sismo tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos incluyen la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas de negocios de larga distancia, y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un automóvil. Se puede demostrar, también, que el valor del cambio que tienes en tu bolsillo o bolso aproximadamente sigue una distribución exponencial.

    Los valores para una variable aleatoria exponencial ocurren de la siguiente manera. Hay menos valores grandes y más valores pequeños. Por ejemplo, la cantidad de dinero que los clientes gastan en un viaje al supermercado sigue una distribución exponencial. Hay más gente que gasta pequeñas cantidades de dinero y menos gente que gasta grandes cantidades de dinero.

    La distribución exponencial es ampliamente utilizada en el campo de la confiabilidad. La confiabilidad se ocupa de la cantidad de tiempo que dura un producto.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Let\(X\) = cantidad de tiempo (en minutos) que un empleado postal pasa con su cliente. Se sabe que el tiempo tiene una distribución exponencial con la cantidad promedio de tiempo igual a cuatro minutos.

    \(X\)es una variable aleatoria continua ya que se mide el tiempo. Se da esa\(\mu = 4\) minuta. Para hacer cualquier cálculo, debes conocer\(m\), el parámetro de decaimiento.

    \(m = \dfrac{1}{\mu}\). Por lo tanto,\(m = \dfrac{1}{4} = 0.25\).

    La desviación estándar,\(\sigma\), es la misma que la media. \(\mu = \sigma\)

    La notación de distribución es\(X \sim Exp(m)\). Por lo tanto,\(X \sim Exp(0.25)\).

    La función de densidad de probabilidad es\(f(x) = me^{-mx}\). El número\(e = 2.71828182846\)... Se trata de un número que se utiliza a menudo en matemáticas. Las calculadoras científicas tienen la clave "”\(e^{x}\). Si ingresa uno para\(x\), la calculadora mostrará el valor\(e\).

    La curva es:

    \(f(x) = 0.25e^{-0.25x}\)donde\(x\) es al menos cero y\(m = 0.25\).

    Por ejemplo,\(f(5) = 0.25e^{-(0.25)(5)} = 0.072\). El valor 0.072 es la altura de la curva cuando x = 5. En Ejemplo\(\PageIndex{2}\) a continuación, aprenderá a encontrar probabilidades usando el parámetro decaimiento.

    La gráfica es la siguiente:

    Gráfica exponencial con incrementos de 2 de 0-20 en el eje x de μ = 4 e incrementos de 0.05 de 0.05-0.25 en el eje y de m = 0.25. La línea curva comienza en la parte superior en el punto (0, 0.25) y se curva hacia abajo hasta el punto (20, 0). El eje x es igual a una variable aleatoria continua.
    Figura\(\PageIndex{1}\).

    Observe que la gráfica es una curva decreciente. Cuando\(x = 0\),

    \(f(x) = 0.25e^{(-0.25)(0)} = (0.25)(1) = 0.25 = m\). El valor máximo en el eje y es m.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    La cantidad de tiempo que los cónyuges compran tarjetas de aniversario puede ser modelada por una distribución exponencial con la cantidad promedio de tiempo igual a ocho minutos. Escribe la distribución, indica la función de densidad de probabilidad y grafica la distribución.

    Contestar

    \(X \sim Exp(0.125)\);

    \(f(x) = 0.125e^{-0.125x}\);

    Figura\(\PageIndex{2}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    1. Usando la información en Ejercicio, encuentre la probabilidad de que un empleado pase de cuatro a cinco minutos con un cliente seleccionado al azar.
    2. ¿La mitad de todos los clientes están terminados dentro de cuánto tiempo? (Encuentra el percentil 50)
    3. ¿Cuál es mayor, la media o la mediana?

    Contestar

    a. Encontrar\(P(4 < x < 5)\).

    La función de distribución acumulativa (CDF) da el área a la izquierda.

    \[P(x < x) = 1 – e^{-mx}\]

    \[P(x < 5) = 1 – e(–0.25)(5) = 0.7135\]

    y

    \[(P(x < 4) = 1 – e^{(-0.25)(4)} = 0.6321\]

    Gráfica exponencial con la línea curva comenzando en el punto (0, 0.25) y se curva hacia abajo hacia el punto (∞, 0). Dos líneas verticales ascendentes se extienden desde los puntos 4 y 5 hasta la línea curva. La probabilidad se encuentra en el área entre los puntos 4 y 5.
    Figura\(\PageIndex{3}\).

    Puedes hacer estos cálculos fácilmente en una calculadora.

    La probabilidad de que un empleado postal pase de cuatro a cinco minutos con un cliente seleccionado al azar es

    \[P(4 < x < 5) = P(x < 5) – P(x < 4) = 0.7135 − 0.6321 = 0.0814.\]

    En la pantalla de inicio, ingrese (1 — e^ (—0.25*5)) — (1 — e^ (—0.25*4)) o ingrese e^ (—0.25*4) — e^ (—0.25*5).

    b. Encontrar el percentil 50.

    Gráfica exponencial con la línea curva comenzando en el punto (0, 0.25) y se curva hacia abajo hacia el punto (∞, 0). Una línea vertical hacia arriba se extiende desde el punto k hasta la línea curva. El área de probabilidad de 0-k es igual a 0.50.
    Figura\(\PageIndex{4}\).

    \(P(x < k) = 0.50\),\(k = 2.8\) minutos (calculadora o computadora)

    La mitad de todos los clientes están terminados en 2.8 minutos.

    También puedes hacer el cálculo de la siguiente manera:

    \[P(x < k) = 0.50\]

    y

    \[P(x < k) = 1 – e^{-0.25k}\]

    Por lo tanto,

    \[0.50 = 1 − e^{-0.25k}\]

    y

    \[e^{-0.25k} = 1 − 0.50 = 0.5\]

    Tome troncos naturales:

    \[\ln(e^{-0.25k}) = \ln(0.50).\]

    Entonces,

    \[-0.25k = ln(0.50).\]

    Resuelve por\(k: k = \dfrac{ln(0.50)}{-0.25} = 0.28\) minutos. La calculadora simplifica el cálculo para el percentil k. Ver las dos notas siguientes.

    Una fórmula para el percentil\(k\) es\(k = ln(1 − \text{Area To The Left}) - mk = ln(1 - \text{Area To The Left}) - m\) donde\(ln\) está el tronco natural.

    c. De la parte b, la mediana o percentil 50 es de 2.8 minutos. La media teórica es de cuatro minutos. La media es mayor.

    Nota

    Ejercicio Colaborativo

    En la pantalla de inicio, ingrese ln (1 — 0.50) /—0.25. Presione el (-) para el negativo.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    El número de días por delante que los viajeros compran sus boletos de avión pueden ser modelados por una distribución exponencial con la cantidad promedio de tiempo igual a 15 días. Encuentra la probabilidad de que un viajero compre un boleto con menos de diez días de anticipación. ¿Cuántos días espera la mitad de todos los viajeros?

    Contestar

    \(P(x < 10) = 0.4866\)

    percentil 50 th = 10.40

    Ejercicio Colaborativo

    Haga que cada miembro de la clase cuente el cambio que tiene en su bolsillo o bolso. Su instructor registrará los montos en dólares y centavos. Construir un histograma de los datos tomados por la clase. Usa cinco intervalos. Dibuja una curva suave a través de las barras. La gráfica debe tener un aspecto aproximadamente exponencial. Después calcula la media.

    Deja que\(X =\) la cantidad de dinero que un estudiante de tu clase tenga en su bolsillo o bolso.

    La distribución para\(X\) es aproximadamente exponencial con media,\(\mu =\) _______ y\(m =\) _______. La desviación estándar,\(\sigma =\) ________.

    Dibuja la gráfica exponencial apropiada. Debe etiquetar los ejes x e y, la tasa de decaimiento y la media. Sombra el área que representa la probabilidad de que un estudiante tenga menos de $.40 en su bolsillo o bolso. (Sombra\(P(x < 0.40)\)).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    En promedio, cierta parte de la computadora dura diez años. El tiempo que dura la parte de la computadora se distribuye exponencialmente.

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que una parte de computadora dure más de 7 años?
    2. En promedio, ¿cuánto durarían cinco partes de computadora si se usan una tras otra?
    3. El ochenta por ciento de las partes de computadoras duran como mucho, ¿cuánto tiempo?
    4. ¿Cuál es la probabilidad de que una parte de computadora dure entre nueve y 11 años?

    Contestar

    a. dejar que dure\(x =\) la cantidad de tiempo (en años) que una parte de la computadora dure.

    \[\mu = 10\]

    entonces

    \[m = \dfrac{1}{\mu} = \dfrac{1}{10} = 0.1\]

    Encuentra\(P(x > 7)\). Dibuja la gráfica.

    \[P(x > 7) = 1 – P(x < 7).\]

    Desde\(P(X < x) = 1 – e^{-mx}\) entonces

    \[P(X > x) = 1 –(1 –e^{-mx}​) = e^{-mx}\]

    \[P(x > 7) = e^{(–0.1)(7)} = 0.4966.\]

    La probabilidad de que una parte de computadora dure más de siete años es de 0.4966.

    En la pantalla de inicio, ingrese e^ (-.1*7).

    Gráfica exponencial con la línea curva comenzando en el punto (0, 0.1) y curva hacia abajo hacia el punto (∞, 0). Una línea vertical hacia arriba se extiende desde el punto 1 hasta la línea curva. El área de probabilidad ocurre desde el punto 1 hasta el final de la curva. El eje x es igual a la cantidad de tiempo que dura una parte de la computadora.
    Figura\(\PageIndex{5}\).

    b. en promedio, una parte de computadora tiene una duración de diez años. Por lo tanto, cinco partes de computadora, si se usan una justo después de la otra durarían, en promedio, (5) (10) = 50 años.

    c. Encuentra el percentil 80. Dibuja la gráfica. Dejar k = el percentil 80.

    Gráfica exponencial con la línea curva comenzando en el punto (0, 0.1) y curva hacia abajo hacia el punto (∞, 0). Una línea vertical ascendente se extiende desde el punto k hasta la línea curva. k es el percentil 80. El área de probabilidad de 0-k es igual a 0.80.
    Figura\(\PageIndex{6}\).

    Resolver por\(k: k = \dfrac{ln(1-0.80)}{-0.1} = 16.1\) años

    El ochenta por ciento de las partes de la computadora duran como máximo 16.1 años.

    En la pantalla de inicio, ingrese\(\dfrac{ln(1-0.80)}{-0.1}\)

    d. encontrar\(P(9 < x < 11)\). Dibuja la gráfica.

    Gráfica exponencial con la línea curva comenzando en el punto (0, 0.1) y curva hacia abajo hacia el punto (∞, 0). Dos líneas verticales ascendentes se extienden desde los puntos 9 y 11 hasta la línea curva. El área de probabilidad ocurre entre los puntos 9 y 11.
    Figura\(\PageIndex{7}\).

    \[P(9 < x < 11) = P(x < 11) - P(x < 9) = (1 - e^{(–0.1)(11)}) - (1 - e^{(–0.1)(9)}) = 0.6671 - 0.5934 = 0.0737.\]

    La probabilidad de que una parte de computadora dure entre nueve y 11 años es de 0.0737.

    En la pantalla de inicio, ingrese e ^ (—0.1*9) — e ^ (—0.1*11).

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    En promedio, un par de zapatillas para correr pueden durar 18 meses si se usan todos los días. El tiempo que duran las zapatillas para correr se distribuye exponencialmente. ¿Cuál es la probabilidad de que un par de zapatillas para correr dure más de 15 meses? En promedio, ¿cuánto durarían seis pares de zapatillas para correr si se usan una tras otra? El ochenta por ciento de las zapatillas para correr duran como mucho, ¿cuánto tiempo si se usan todos los días?

    Contestar

    \(P(x > 15) = 0.4346\)

    Seis pares de zapatillas para correr durarían 108 meses en promedio.

    Percentil 80° = 28.97 meses

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Supongamos que la duración de una llamada telefónica, en minutos, es una variable aleatoria exponencial con parámetro decaimiento =\(\dfrac{1}{12}\). Si otra persona llega a un teléfono público justo antes que tú, encuentra la probabilidad de que tengas que esperar más de cinco minutos. Let\(X\) = la duración de una llamada telefónica, en minutos.

    ¿Qué es\(m\)\(\mu\), y\(\sigma\)? La probabilidad de que deba esperar más de cinco minutos es _______.

    Contestar

    • \(m = \dfrac{1}{12}\)
    • \(\mu = 12\)
    • \(\sigma = 12\)

    \(P(x > 5) = 0.6592\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Supongamos que la distancia, en millas, que la gente está dispuesta a desplazarse al trabajo es una variable aleatoria exponencial con un parámetro de decaimiento\(\dfrac{1}{20}\). Deje que\(S =\) la distancia que la gente esté dispuesta a desplazarse en millas. ¿Qué es\(m\)\(\mu\), y\(\sigma\)? ¿Cuál es la probabilidad de que una persona esté dispuesta a desplazarse más de 25 millas?

    Contestar

    \(m = \dfrac{1}{20}\);\(\mu = 20\);\(\sigma = 20\);\(P(x > 25) = 0.2865\)

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    El tiempo de espera entre eventos se modela a menudo usando la distribución exponencial. Por ejemplo, supongamos que un promedio de 30 clientes por hora llegan a una tienda y el tiempo entre llegadas se distribuye exponencialmente.

    1. En promedio, ¿cuántos minutos transcurren entre dos llegadas sucesivas?
    2. Cuando la tienda abre por primera vez, ¿cuánto tiempo en promedio tardan tres clientes en llegar?
    3. Después de que llegue un cliente, encuentre la probabilidad de que tarde menos de un minuto para que llegue el siguiente cliente.
    4. Después de que llegue un cliente, encuentre la probabilidad de que tarde más de cinco minutos para que llegue el siguiente cliente.
    5. ¿El setenta por ciento de los clientes llegan dentro de cuántos minutos del cliente anterior?
    6. ¿Es razonable una distribución exponencial para esta situación?

    Contestar

    1. Como esperamos que 30 clientes lleguen por hora (60 minutos), esperamos en promedio que un cliente llegue cada dos minutos en promedio.
    2. Dado que un cliente llega cada dos minutos en promedio, tardarán seis minutos en promedio para que lleguen tres clientes.
    3. Deje que\(X =\) el tiempo entre llegadas, en minutos. Por la parte a,\(\mu = 2\), entonces\(m = \dfrac{1}{2} = 0.5\).
      Por lo tanto,\(X \sim Exp(0.5)\).
      La función de distribución acumulativa es\(P(X < x) = 1 – e(–0.5x)^{e}\).
      Por lo tanto\(P(X < 1) = 1 - e^{(–0.5)(1)} \approx 0.3935\).

      \(1 - e^(–0.5) \approx 0.3935\)

      Figura\(\PageIndex{8}\).

      \(P(X > 5) = 1 - P(X < 5) = 1 - (1 - e^{(-5)(0.5)}) = e^{-2.5} \approx 0.0821\).

      Figura\(\PageIndex{9}\).

      \(1 - (1 - e^{( – 5*0.5)}\)o\(e^{(-5*0.5)}\)

    4. Queremos resolver\(0.70 = P(X < x)\) para\(x\).
      Sustituir en la función de distribución acumulativa da\(0.70 = 1 – e^{–0.5x}\), así que eso\(e^{–0.5x} = 0.30\). Convertir esto a forma logarítmica da\(-0.5x = ln(0.30)\), o\(x = \dfrac{ln(0.30)}{-0.5} \approx 2.41\) minutos.
      Así, el setenta por ciento de los clientes llegan dentro de los 2.41 minutos del cliente anterior.
      Estás encontrando el percentil 70\(k\) para que puedas usar la fórmula\(k = \dfrac{ln(1-\text{Area To The left Of k})}{-m}\)
      \(k = \dfrac{ln(1-0.70)}{(-0.5)} \approx 2.41\) minutos

      Figura\(\PageIndex{10}\).

      Este modelo asume que un solo cliente llega a la vez, lo que puede no ser razonable ya que las personas pueden comprar en grupos, lo que lleva a que varios clientes lleguen al mismo tiempo. También asume que el flujo de clientes no cambia a lo largo del día, lo cual no es válido si algunas horas del día están más concurridas que otras.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Supongamos que en cierto tramo de carretera, los autos pasan a una tasa promedio de cinco autos por minuto. Supongamos que la duración del tiempo entre autos sucesivos sigue la distribución exponencial.

    1. En promedio, ¿cuántos segundos transcurren entre dos autos sucesivos?
    2. Después de que pase un automóvil, ¿cuánto tiempo en promedio tardará en pasar otros siete autos?
    3. Encuentra la probabilidad de que después de que pase un auto, el siguiente auto pase dentro de los próximos 20 segundos.
    4. Encuentra la probabilidad de que después de que pase un auto, el siguiente auto no pase por lo menos otros 15 segundos.

    Contestar

    1. A razón de cinco autos por minuto, esperamos que pasen\(\dfrac{60}{5} = 12\) segundos entre autos sucesivos en promedio.
    2. Usando la respuesta de la parte a, vemos que tardan\((12)(7) = 84\) segundos en pasar los siguientes siete autos.
    3. Deje que\(T =\) el tiempo (en segundos) entre autos sucesivos.
      La media de\(T\) es de 12 segundos, por lo que el parámetro de decaimiento es\(\dfrac{1}{12}\) y\(T \sim Exp\dfrac{1}{12}\). La función de distribución acumulativa de\(T\) es\(P(T < t) = 1 – e^{−\dfrac{t}{12}}\). Entonces\(P(T < 20) = 1 –e^{−\dfrac{20}{12}} \approx 0.8111\).

      Figura\(\PageIndex{11}\).

      \(P(T > 15) = 1 – P(T < 15) = 1 – (1 – e^{−\dfrac{15}{12}}) = e^{−\dfrac{15}{12}} \approx 0.2865\).

    La falta de memoria de la distribución exponencial

    En Ejemplo recordemos que la cantidad de tiempo entre clientes se distribuye exponencialmente con una media de dos minutos (\(X \sim Exp (0.5)\)). Supongamos que han transcurrido cinco minutos desde que llegó el último cliente. Dado que ahora ha transcurrido una cantidad de tiempo inusualmente larga, parecería ser más probable que un cliente llegue en el siguiente minuto. Con la distribución exponencial, este no es el caso, el tiempo adicional dedicado a esperar al siguiente cliente no depende de cuánto tiempo haya transcurrido desde el último cliente. Esto se conoce como la propiedad sin memoria. Específicamente, la propiedad sin memoria dice que

    \[P(X > r + t | X > r) = P(X > t)\]

    para todos\(r \geq 0\) y\(t \geq 0\).

    Por ejemplo, si han transcurrido cinco minutos desde que llegó el último cliente, entonces se calcula la probabilidad de que transcurra más de un minuto antes de que llegue el siguiente cliente utilizando\(r = 5\) y\(t = 1\) en la ecuación anterior.

    \(P(X > 5 + 1 | X > 5) = P(X > 1) = e(–0.5)(1) e(–0.5)(1) \approx 0.6065\).

    Esta es la misma probabilidad que la de esperar más de un minuto para que un cliente llegue después de la llegada anterior.

    La distribución exponencial se utiliza a menudo para modelar la longevidad de un dispositivo eléctrico o mecánico. En Ejemplo, la vida útil de una determinada parte de la computadora tiene la distribución exponencial con una media de diez años (\(X \sim Exp(0.1)\)). El inmueble sin memoria dice que el conocimiento de lo ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre las probabilidades futuras. En este caso significa que una parte vieja no es más probable que se descomponga en un momento determinado que una pieza completamente nueva. En otras palabras, la parte permanece tan buena como nueva hasta que de repente se rompe. Por ejemplo, si la parte ya ha durado diez años, entonces la probabilidad de que dure otros siete años lo es\(P(X > 17 | X > 10) = P(X > 7) = 0.4966\).

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Consulte Ejemplo donde el tiempo que un empleado postal pasa con su cliente tiene una distribución exponencial con una media de cuatro minutos. Supongamos que un cliente ha pasado cuatro minutos con un empleado postal. ¿Cuál es la probabilidad de que pase al menos tres minutos adicionales con el empleado postal?

    El parámetro de decaimiento de\(X\) es\(m = \dfrac{1}{4} = 0.25\), entonces\(X \sim Exp(0.25)\).

    La función de distribución acumulativa es\(P(X < x) = 1 - e^{–0.25x}\).

    Queremos encontrar\(P(X > 7 | X > 4)\). El inmueble sin memoria dice eso\(P(X > 7 | X > 4) = P(X > 3)\), así que solo necesitamos encontrar la probabilidad de que un cliente pase más de tres minutos con un empleado postal.

    Esto es\(P(X > 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - (1 - e^{-0.25 \cdot 3}) = e^{–0.75} \approx 0.4724\).

    Esta gráfica muestra una distribución exponencial. La gráfica se inclinó hacia abajo. Comienza en el punto (0, 0.25) en el eje y y se acerca al eje x en el borde derecho de la gráfica. La región debajo de la gráfica a la derecha de x = 3 está sombreada para representar P (x 3) = 0.4724." src="http://cnx.org/resources/a2baaab0fdb...5_M04_005N.jpg" width="380">
    Figura\(\PageIndex{12}\).

    \(1 - (1 - e^(-0.25*2)) = e^(-0.25*2)\).

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Supongamos que la longevidad de una bombilla es exponencial con una vida media de ocho años. Si una bombilla ya ha durado 12 años, encuentra la probabilidad de que dure un total de más de 19 años.

    Contestar

    Deja que\(T =\) la vida útil de la bombilla. Entonces\(T \sim Exp\left(\dfrac{1}{8}\right)\).

    La función de distribución acumulativa es\(P(T < t) = 1 − e^{-\dfrac{t}{8}}\)

    Tenemos que encontrar\(P(T > 19 | T = 12)\). Por la propiedad sin memoria,

    \(P(T > 19 | T = 12) = P(T > 7) = 1 - P(T < 7) = 1 - (1 - e^{-7/8}) = e^{-7/8} \approx 0.4169\).

    1 - (1 — e^ (—7/8)) = e^ (—7/8).

    Relación entre el Poisson y la Distribución Exponencial

    Existe una interesante relación entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson. Supongamos que el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos sigue la distribución exponencial con una media de\(\mu\) unidades de tiempo. También supongamos que estos tiempos son independientes, es decir, que el tiempo entre eventos no se ve afectado por los tiempos entre eventos anteriores. Si estos supuestos se mantienen, entonces el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson con media\(\lambda = \dfrac{1}{\mu}\). Recordemos del capítulo sobre Variables Aleatorias Discretas que si\(X\) tiene la distribución de Poisson con media\(\lambda\), entonces\(P(X = k) = \dfrac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\). Por el contrario, si el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson, entonces la cantidad de tiempo entre eventos sigue la distribución exponencial. \((k! = k*(k-1*)(k - 2)*(k - 3) \dotsc 3*2*1)\)

    Supongamos que\(X\) tiene la distribución de Poisson con media\(\lambda\). Calcular\(P(X = k)\) ingresando 2 nd, VARS (DISTR.CR.L), C: poissonpdf\((\lambda, k\)). Para calcular\(P(X \leq k\)), ingrese 2 nd, VARS (DISTR.C/TR.L), d:PoissonCDF (\(\lambda, k\)).

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    En una comisaría de una gran ciudad, las llamadas llegan a una tarifa promedio de cuatro llamadas por minuto. Supongamos que el tiempo que transcurre de una llamada a la siguiente tiene la distribución exponencial. Toma nota que solo nos preocupa la tarifa a la que llegan las llamadas, y estamos ignorando el tiempo que se pasa en el teléfono. También debemos asumir que los tiempos pasados entre llamadas son independientes. Esto significa que un retraso particularmente largo entre dos llamadas no significa que habrá un período de espera más corto para la siguiente llamada. Entonces podemos deducir que el número total de llamadas recibidas durante un periodo de tiempo tiene la distribución de Poisson.

    1. Encuentra el tiempo promedio entre dos llamadas sucesivas.
    2. Encuentra la probabilidad de que después de recibir una llamada, la siguiente llamada ocurra en menos de diez segundos.
    3. Encuentra la probabilidad de que exactamente cinco llamadas ocurran en un minuto.
    4. Encuentra la probabilidad de que se produzcan menos de cinco llamadas en un minuto.
    5. Encuentra la probabilidad de que ocurran más de 40 llamadas en un periodo de ocho minutos.

    Contestar

    1. En promedio hay cuatro llamadas que ocurren por minuto, por lo que 15 segundos, o los\(\dfrac{15}{60} = 0.25\) minutos ocurren entre llamadas sucesivas en promedio.
    2. Dejar que transcurra el\(T =\) tiempo entre llamadas. De la parte a,\(\mu = 0.25\), entonces\(m = \dfrac{1}{0.25} = 4\). Así,\(T \sim Exp(4)\).
      La función de distribución acumulativa es\(P(T < t) = 1 - e^{–4t}\).
      La probabilidad de que la siguiente llamada ocurra en menos de diez segundos (diez segundos\(= \dfrac{1}{6}\) minuto) es\(P(T < \dfrac{1}{6}) = 1 - e^{-4 (\dfrac{1}{6})} \approx 0.4866)\).

      Esta gráfica muestra una distribución exponencial. La gráfica se inclinó hacia abajo. Comienza en el punto (0, 0.8) en el eje y y se acerca al eje x en el borde derecho de la gráfica. La región debajo de la gráfica a la izquierda de x = 20 está sombreada para representar P (x < 1/6) = 0.4866.

      Figura\(\PageIndex{13}\)

    3. Deje que\(X =\) el número de llamadas por minuto. Como se indicó anteriormente, el número de llamadas por minuto tiene una distribución de Poisson, con una media de cuatro llamadas por minuto.
      Por lo tanto\(X \sim Poisson(4)\),, y así\(P(X = 5) = \dfrac{4^{5}e^{-4}}{5!} \approx 0.1563\). (\(5! = (5)(4)(3)(2)(1)\))

      \(\text{poissonpdf}(4, 5) = 0.1563\).

    4. Ten en cuenta que\(X\) debe ser un número entero, entonces\(P(X < 5) = P(X \leq 4)\).
      Para computar esto, podríamos tomar\(P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)\).
      Usando la tecnología, vemos eso\(P(X \approx 4) = 0.6288\).

      \(\text{poisssoncdf}(4, 4) = 0.6288\)

    5. Deje que\(Y =\) el número de llamadas que se produzcan durante un periodo de ocho minutos.
      Dado que hay un promedio de cuatro llamadas por minuto, hay un promedio de\((8)(4) = 32\) llamadas durante cada periodo de ocho minutos.
      De ahí,\(Y \sim Poisson(32)\). Por lo tanto,\(P(Y > 40) = 1 - P(Y \leq 40) = 1 - 0.9294 = 0.0707\).

      \(1 - \text{poissoncdf}(32, 40). = 0.0707\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    En una ciudad pequeña, el número de accidentes automovilísticos ocurren con una distribución de Poisson en promedio de tres por semana.

    1. Calcular la probabilidad de que haya como máximo 2 accidentes ocurran en una semana determinada.
    2. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos dos semanas entre 2 accidentes cualesquiera?

    Contestar

    1. Dejar que\(X =\) el número de accidentes por semana, para que\(X \sim Poisson(3)\). Tenemos que encontrar\(P(X \leq 2) \approx 0.4232\)

      \(\text{poissoncdf}(3, 2)\)

    2. Dejar\(T =\) el tiempo (en semanas) entre sucesivos accidentes.
      Dado que el número de accidentes ocurre con una distribución de Poisson, el tiempo entre accidentes sigue la distribución exponencial.
      Si hay un promedio de tres por semana, entonces en promedio hay\(\mu = \dfrac{1}{3}\) de una semana entre accidentes, y el parámetro de decaimiento es\(m = \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{3}\right)} = 3\).
      Para encontrar la probabilidad de que haya al menos dos semanas entre dos accidentes,\(P(T > 2) = 1 - P(T < 2) = 1 – (1 – e(–3)(2)) = e^{–6} \approx 0.0025\).

      e^ (-3*2).

    Revisar

    Si\(X\) tiene una distribución exponencial con media\(\mu\), entonces el parámetro decaimiento es\(m = \dfrac{1}{\mu}\), y escribimos\(X \sim Exp(m)\) dónde\(x \geq 0\) y\(m > 0\). La función de densidad de probabilidad de\(X\) es\(f(x) = me^{-mx}\) (o equivalentemente\(f(x) = \dfrac{1}{\mu}e^{-\dfrac{x}{\mu}}\)). La función de distribución acumulativa de\(X\) es\(P(X \leq X) = 1 - e^{-mx}\).

    La distribución exponencial tiene la propiedad sin memoria, lo que dice que las probabilidades futuras no dependen de ninguna información pasada. Matemáticamente, dice eso\(P(X > x + k | X > x) = P(X > k)\).

    Si\(T\) representa el tiempo de espera entre eventos, y si\(T \sim Exp(\lambda)\), entonces el número de eventos\(X\) por unidad de tiempo sigue la distribución de Poisson con media\(\lambda\). La función de densidad de probabilidad de\(PX\) es\((X = k) = \dfrac{\lambda^{k}e^{-k}}{k!}\). Esto puede calcularse usando una calculadora TI-83, 83+, 84, 84+ con el comando\(\text{poissonpdf}(\lambda, k)\). La función de distribución acumulativa se\(P(X \leq k)\) puede calcular usando la calculadora TI-83, 83+,84, 84+ con el comando\(\text{poissoncdf}(\lambda, k)\).

    Revisión de Fórmula

    Exponencial:\(X \sim Exp(m)\) donde\(m =\) el parámetro de decaimiento

    • pdf:\(f(x) = me^{(–mx)}\) dónde\(x \geq 0\) y\(m > 0\)
    • cdf:\(P(X \leq x) = 1 - e^{(–mx)}\)
    • media\(\mu = \dfrac{1}{m}\)
    • desviación estándar\(\sigma = \mu\)
    • percentil\(k: k = \dfrac{ln(1 - \text{Area To The Left Of k})}{-m}\)
    • Adicionalmente
      • \(P(X > x) = e^{(–mx)}\)
      • \(P(a < X < b) = e^{(–ma)} - e^{(–mb)}\)
    • Propiedad sin memoria:\(P(X > x + k | X > x) = P(X > k)\)
    • Probabilidad de Poisson:\(P(X = k) = \dfrac{\lambda^{k}e^{k}}{k!}\) con media\(\lambda\)
    • \(k! = k*(k - 1)*(k - 2)*(k - 3) \dotsc 3*2*1\)

    Referencias

    1. Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos.
    2. Datos de World Earthquakes, 2013. Disponible en línea en http://www.world-earthquakes.com/ (consultado el 11 de junio de 2013).
    3. “Sin bateadores”. Basebol-Reference.com, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-reference.com/bullpen/No-hitter (consultado el 11 de junio de 2013).
    4. Zhou, Rick. “Diapositivas de conferencias de distribución exponencial”. Disponible en línea en www.public.iastate.edu/~riczw/stat330s11/lecture/lec13.pdf (consultado el 11 de junio de 2013).

    Glosario

    parámetro decaimiento
    El parámetro de decaimiento describe la velocidad a la que las probabilidades decaen a cero para valores crecientes de\(x\). Es el valor\(m\) en la función de densidad de probabilidad\(f(x) = me^{(-mx)}\) de una variable aleatoria exponencial. También es igual a\(m = \dfrac{1}{\mu}\), donde\(\mu\) está la media de la variable aleatoria.
    propiedad sin memoria
    Para una variable aleatoria exponencial\(X\), la propiedad sin memoria es la afirmación de que el conocimiento de lo ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre las probabilidades futuras. Esto quiere decir que la probabilidad que\(X\) supera\(x + k\), dado que ha superado\(x\), es la misma que la probabilidad que\(X\) superaría\(k\) si no tuviéramos conocimiento al respecto. En símbolos decimos que\(P(X > x + k | X > x) = P(X > k)\)
    Distribución de Poisson
    Si hay un promedio conocido de\(\lambda\) eventos que ocurren por unidad de tiempo, y estos eventos son independientes entre sí, entonces el número de eventos\(X\) que ocurren en una unidad de tiempo tiene la distribución de Poisson. La probabilidad de que k eventos ocurran en una unidad de tiempo es igual a\(P(X = k) = \dfrac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\).

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