Saltar al contenido principal
Library homepage
 
LibreTexts Español

6.1: Preludio a la distribución normal

  • Page ID
    153293
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Habilidades para Desarrollar

    Al final de este capítulo, el alumno deberá ser capaz de:

    • Reconocer la distribución de probabilidad normal y aplicarla adecuadamente.
    • Reconocer la distribución normal de probabilidad estándar y aplicarla adecuadamente.
    • Compare las probabilidades normales mediante la conversión a la distribución normal estándar.

    La normal, una distribución continua, es la más importante de todas las distribuciones. Es ampliamente utilizado y aún más ampliamente abusado. Su gráfica tiene forma de campana. Se ve la curva de campana en casi todas las disciplinas. Algunos de ellos incluyen la psicología, los negocios, la economía, las ciencias, la enfermería y, por supuesto, las matemáticas. Algunos de sus instructores pueden usar la distribución normal para ayudar a determinar su calificación. La mayoría de las puntuaciones de CI se distribuyen normalmente. A menudo los precios inmobiliarios se ajustan a una distribución normal. La distribución normal es sumamente importante, pero no se puede aplicar a todo en el mundo real.

    Figura\(\PageIndex{1}\): Si le preguntas a suficientes personas sobre su talla de zapatos, encontrará que sus datos graficados tienen forma de curva de campana y pueden describirse como distribuidos normalmente. (crédito: Ömer Ünl)

    En este capítulo, estudiará la distribución normal, la distribución normal estándar y las aplicaciones asociadas a ellas. La distribución normal tiene dos parámetros (dos medidas descriptivas numéricas), la media (\(\mu\)) y la desviación estándar (\(\sigma\)). Si\(X\) es una cantidad a medir que tiene una distribución normal con media (\(\mu\)) y desviación estándar (\(\sigma\)), la designamos por escrito

    \[f(x) = \dfrac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot e^{\left(-\dfrac{1}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}\]

    La función de densidad de probabilidad es una función bastante complicada. No lo memorices. No es necesario.

    La función de distribución acumulativa es\(P(X < x)\). Se calcula ya sea por una calculadora o una computadora, o se busca en una tabla. La tecnología ha hecho que las mesas sean prácticamente obsoletas. Por esa razón, así como el hecho de que existen diversos formatos de tabla, no estamos incluyendo instrucciones de mesa.

    Figura\(\PageIndex{2}\): La distribución normal estándar

    La curva es simétrica alrededor de una línea vertical dibujada a través de la media,\(\mu\). En teoría, la media es la misma que la mediana, porque la gráfica es simétrica aproximadamente\(\mu\). Como indica la notación, la distribución normal depende únicamente de la media y de la desviación estándar. Dado que el área bajo la curva debe ser igual a uno, un cambio en la desviación estándar\(\sigma\),, provoca un cambio en la forma de la curva; la curva se vuelve más gorda o delgada dependiendo de\(\sigma\). Un cambio en\(\mu\) hace que la gráfica se desvíe hacia la izquierda o hacia la derecha. Esto significa que hay un número infinito de distribuciones de probabilidad normales. Uno de especial interés se llama la distribución normal estándar.

    Actividad de aula colaborativa

    Tu instructor registrará las alturas tanto de hombres como de mujeres en tu clase, por separado. Dibuja histogramas de tus datos. Después dibuja una curva suave a través de cada histograma. ¿Cada curva tiene forma de campana? ¿Crees que si hubieras registrado 200 valores de datos para hombres y 200 para mujeres las curvas se verían en forma de campana? Calcular la media para cada conjunto de datos. Escriba las medias en el eje x de la gráfica apropiada debajo del pico. Sombra el área aproximada que representa la probabilidad de que un macho elegido aleatoriamente sea más alto que 72 pulgadas. Sombra el área aproximada que representa la probabilidad de que una hembra elegida aleatoriamente sea más corta de 60 pulgadas. Si el área total bajo cada curva es uno, ¿alguna probabilidad parece ser superior a 0.5?

    Revisión de Fórmula

    • \(X \sim N(\mu, \sigma)\)
    • \(\mu =\)la media\(\sigma =\) de la desviación estándar

    Glosario

    Distribución Normal
    una variable aleatoria continua (RV) con pdf\[f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{\dfrac{(x \cdot \mu)}{2 \sigma^{2}}^{2}}\], donde\(\mu\) es la media de la distribución y\(\sigma\) es la desviación estándar; notación:\(X \sim N(\mu, \sigma)\). Si\(\mu = 0\) y\(\sigma = 1\), el RV se llama la distribución normal estándar.

    This page titled 6.1: Preludio a la distribución normal is shared under a CC BY 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by OpenStax via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.