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6.3: Uso de la distribución normal

  • Page ID
    153300
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    El área sombreada en la siguiente gráfica indica el área a la izquierda de\(x\). Esta área está representada por la probabilidad\(P(X < x)\). Las tablas normales, computadoras y calculadoras proporcionan o calculan la probabilidad\(P(X < x)\).

    alt
    Figura\(\PageIndex{1}\).

    El área a la derecha es entonces\(P(X > x) = 1 – P(X < x)\). Recuerde,\(P(X < x) =\) Área a la izquierda de la línea vertical a través\(x\). \(P(X > x) = 1 – P(X < x) =\)Área a la derecha de la línea vertical pasante\(x\). \(P(X < x)\)es lo mismo que\(P(X \leq x)\) y\(P(X > x)\) es lo mismo que\(P(X \geq x)\) para las distribuciones continuas.

    Cálculos de Probabilidades

    Las probabilidades se calculan utilizando la tecnología. Se dan instrucciones según sea necesario para las calculadoras TI-83+ y TI-84.Para calcular la probabilidad, utilice las tablas de probabilidad proporcionadas en [link] sin el uso de tecnología. Las tablas incluyen instrucciones sobre cómo utilizarlas.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Si el área a la izquierda es 0.0228, entonces el área a la derecha es\(1 - 0.0228 = 0.9772\).

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Si el área a la izquierda de\(x\) es\(0.012\), entonces ¿cuál es el área a la derecha?

    Contestar

    \(1 - 0.012 = 0.988\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Las puntuaciones finales de los exámenes en una clase de estadística se distribuyeron normalmente con una media de 63 y una desviación estándar de cinco.

    1. Encuentra la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar obtuvo más de 65 en el examen.
    2. Encuentra la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar tenga una puntuación menor a 85.
    3. Encuentra el percentil 90 (es decir, encuentra la puntuación\(k\) que tiene 90% de las puntuaciones por debajo de k y 10% de las puntuaciones anteriores\(k\)).
    4. Encuentra el percentil 70 (es decir, encuentra la puntuación de\(k\) tal manera que el 70% de las puntuaciones estén por debajo\(k\) y el 30% de las puntuaciones estén arriba\(k\)).

    Contestar

    a. Let\(X\) = una puntuación en el examen final. \(X \sim N(63, 5)\), dónde\(\mu = 63\) y\(\sigma = 5\)

    Dibuja una gráfica.

    Entonces, encuentra\(P(x > 65)\).

    \[P(x > 65) = 0.3446\nonumber \]

    alt
    Figura\(\PageIndex{2}\).

    La probabilidad de que cualquier estudiante seleccionado al azar puntajes superiores a 65 es de 0.3446.

    USANDO LA CALCULADORA TI-83, 83+, 84, 84+

    Ir a 2do DISTR.L.

    Después de presionar 2do DISTRC/, presione 2:normalcdf.

    La sintaxis de las instrucciones es la siguiente:

    normalcdf (valor inferior, valor superior, media, desviación estándar) Para este problema: normalcdf (65,1E99,63,5) = 0.3446. Obtienes 1E99 (= 10 99) presionando 1, la tecla EE (una 2da tecla) y luego 99. O bien, puedes ingresar 10^ 99 en su lugar. El número 10 99 está muy lejos en la cola derecha de la curva normal. Estamos calculando el área entre 65 y 10 99. En algunos casos, el menor número del área podría ser —1E99 (= —10 99). El número —10 99 está muy lejos en la cola izquierda de la curva normal.

    Nota Histórica

    El programa de probabilidad TI calcula una\(z\) -score y luego la probabilidad a partir de la\(z\) -score. Antes de la tecnología, la\(z\) -score se buscaba en una tabla de probabilidad normal estándar (porque las matemáticas involucradas son demasiado engorrosas) para encontrar la probabilidad. En este ejemplo se utilizó una tabla normal estándar con área a la izquierda de la\(z\) -score. Calcula la\(z\) -score y busca el área a la izquierda. La probabilidad es el área a la derecha.

    \[z = 65 – 63565 – 635 = 0.4\nonumber \]

    El área a la izquierda es 0.6554.

    \[P(x > 65) = P(z > 0.4) = 1 – 0.6554 = 0.3446\nonumber \]

    USANDO LA CALCULADORA TI-83, 83+, 84, 84+

    Encuentra el percentil para un estudiante que puntúa 65:

    *Prensa 2da Distr
    *Prensa 2:normalcdf (
    *Introduzca límite inferior, límite superior, media, desviación estándar seguido de)
    *Presione INTRO.
    Para este Ejemplo, los pasos son
    2do Distr
    2:normalcdf (65,1,2nd EE,99,63,5) ENTRAR

    La probabilidad de que un estudiante seleccionado califique más de 65 es de 0.3446.
    Para encontrar la probabilidad de que un estudiante seleccionado califique más de 65, restar el percentil de 1.

    Contestar

    b. Dibujar una gráfica.

    Después encuentra\(P(x < 85)\), y sombrea la gráfica.

    Usando una computadora o calculadora, encuentra\(P(x < 85) = 1\).

    \(\text{normalcdf}(0,85,63,5) = 1\)(redondea a uno)

    La probabilidad de que un estudiante tenga una puntuación inferior a 85 es aproximadamente uno (o 100%).

    Contestar

    c. Encuentra el percentil 90. Para cada problema o parte de un problema, dibuje una nueva gráfica. Dibuja el\(x\) eje -. Sombrear el área que corresponde al percentil 90.

    Dejemos que\(k =\) el percentil 90. La variable\(k\) se ubica en el\(x\) eje -eje. \(P(x < k)\)es el área a la izquierda de\(k\). El percentil 90\(k\) separa las puntuaciones de los exámenes en las que son iguales o inferiores\(k\) y las que son iguales o superiores. El noventa por ciento de los puntajes de las pruebas son iguales o menores que\(k\), y el diez por ciento son iguales o superiores. La variable a menudo\(k\) se denomina valor crítico.

    \(k = 69.4\)

    alt
    Figura\(\PageIndex{3}\).

    El percentil 90 es 69.4. Esto significa que el 90% de los puntajes de las pruebas caen en o por debajo de 69.4 y el 10% caen en o por encima. Para obtener esta respuesta en la calculadora, siga este paso:

    INVNorm en 2do DISTR..INVNorm (área a la izquierda, media, desviación estándar)

    Para este problema,\(\text{invNorm}(0.90,63,5) = 69.4\)

    Contestar

    d. Encontrar el percentil 70.

    Dibuja una nueva gráfica y etiquétela apropiadamente. \(k = 65.6\)

    El percentil 70 es 65.6. Esto significa que 70% de los puntajes de las pruebas caen en o por debajo de 65.6 y 30% caen en o por encima.

    \(\text{invNorm}(0.70,63,5) = 65.6\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Los puntajes de golf para un equipo escolar se distribuyeron normalmente con una media de 68 y una desviación estándar de tres. Encuentra la probabilidad de que un golfista seleccionado al azar haya anotado menos de 65.

    Contestar

    \(\text{normalcdf}(10^{99},65,68,3) = 0.1587\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Una computadora personal se utiliza para el trabajo de oficina en el hogar, investigación, comunicación, finanzas personales, educación, entretenimiento, redes sociales y muchas otras cosas. Supongamos que el promedio de horas que se utiliza una computadora personal doméstica para el entretenimiento es de dos horas diarias. Supongamos que los horarios para el entretenimiento se distribuyen normalmente y la desviación estándar para los tiempos es de media hora.

    1. Encuentra la probabilidad de que una computadora personal doméstica se utilice para el entretenimiento entre 1.8 y 2.75 horas diarias.
    2. Encuentra el número máximo de horas por día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para el entretenimiento.

    Contestar

    a. dejar que\(X =\) la cantidad de tiempo (en horas) se utilice una computadora personal doméstica para el entretenimiento. \(X \sim N(2, 0.5)\)dónde\(\mu = 2\) y\(\sigma = 0.5\).

    Encuentra\(P(1.8 < x < 2.75)\).

    La probabilidad por la que estás buscando es el área entre\(x = 1.8\) y\(x = 2.75\). \(P(1.8 < x < 2.75) = 0.5886\)

    alt
    Figura\(\PageIndex{4}\).

    \[\text{normalcdf}(1.8,2.75,2,0.5) = 0.5886\nonumber \]

    La probabilidad de que una computadora personal doméstica se utilice entre 1.8 y 2.75 horas diarias para el entretenimiento es de 0.5886.

    b.

    Para encontrar el número máximo de horas diarias que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para el entretenimiento, encuentra el percentil 25,\(k\), dónde\(P(x < k) = 0.25\).

    alt
    Figura\(\PageIndex{5}\).

    \[\text{invNorm}(0.25,2,0.5) = 1.66\nonumber \]

    El número máximo de horas diarias que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para el entretenimiento es de 1.66 horas.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Los puntajes de golf para un equipo escolar se distribuyeron normalmente con una media de 68 y una desviación estándar de tres. Encuentra la probabilidad de que un golfista anote entre 66 y 70.

    Contestar

    \(\text{normalcdf}(66,70,68,3) = 0.4950\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Hoy en día hay aproximadamente mil millones de usuarios de teléfonos inteligentes en el mundo. En Estados Unidos las edades de 13 a 55+ de los usuarios de teléfonos inteligentes siguen aproximadamente una distribución normal con media aproximada y desviación estándar de 36.9 años y 13.9 años, respectivamente.

    1. Determinar la probabilidad de que un usuario aleatorio de smartphone en el rango de edad de 13 a 55+ tenga entre 23 y 64.7 años.
    2. Determinar la probabilidad de que un usuario de smartphone seleccionado aleatoriamente en el rango de edad 13 a 55+ tenga como máximo 50.8 años de edad.
    3. Encuentra el percentil 80 de esta distribución, e interpretarlo en una oración completa.

    Contestar

    1. \(\text{normalcdf}(23,64.7,36.9,13.9) = 0.8186\)
    2. \(\text{normalcdf}(-10^{99},50.8,36.9,13.9) = 0.8413\)
    3. \(\text{invNorm}(0.80,36.9,13.9) = 48.6\)

    El percentil 80 es de 48.6 años.

    El 80% de los usuarios de teléfonos inteligentes en el rango de edad 13 — 55+ tienen 48.6 años o menos.

    Utilice la información de Ejemplo para responder a las siguientes preguntas.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    1. Encuentra el percentil 30, e interpretarlo en una oración completa.
    2. Cuál es la probabilidad de que la edad de un usuario de smartphone seleccionado aleatoriamente en el rango de 13 a 55+ tenga menos de 27 años.

    70.

    Contestar

    Deje que\(X =\) un usuario de teléfono inteligente cuya edad sea de 13 a 55+. \(X \sim N(36.9, 13.9)\)

    Para encontrar el percentil 30, encuentra\(k\) tal que\(P(x < k) = 0.30\).
    \(\text{invNorm}(0.30, 36.9, 13.9) = 29.6\)años
    Treinta por ciento de los usuarios de teléfonos inteligentes 13 a 55+ tienen como máximo 29.6 años y 70% son al menos 29.6 años. Encuentra\(P(x < 27)\)
    (Tenga en cuenta que\(\text{normalcdf}(-10^{99},27,36.9,13.9) = 0.2382\). Las dos respuestas difieren sólo en 0.0040.)
    alt
    Figura\(\PageIndex{6}\).

    \[\text{normalcdf}(0,27,36.9,13.9) = 0.2342\nonumber \]

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    En Estados Unidos las edades de 13 a 55+ de los usuarios de teléfonos inteligentes siguen aproximadamente una distribución normal con media aproximada y desviación estándar de 36.9 años y 13.9 años respectivamente. Con esta información, responda las siguientes preguntas (respuestas redondas a un decimal).

    1. Calcular el rango intercuartílico (\(IQR\)).
    2. ¿Cuarenta por ciento de las edades que van de 13 a 55+ son al menos qué edad?

    Contestar

    a.

    \[IQR = Q_{3} – Q_{1}\nonumber \]

    Calcula el percentil\(Q_{3} =\) 75 y el percentil\(Q_{1} =\) 25.

    \[ \begin{align*} \text{invNorm}(0.75,36.9,13.9) &= Q_{3} = 46.2754 \\[4pt] \text{invNorm}(0.25,36.9,13.9) &= Q_{1} = 27.5246 \\[4pt] IQR &= Q_{3} - Q_{1} = 18.7508 \end{align*}\]

    b.

    Encuentra\(k\) dónde\(P(x > k) = 0.40\) (“Al menos” se traduce como “mayor que o igual a”.)

    \(0.40 =\)la zona a la derecha.

    Zona a la izquierda\(= 1 – 0.40 = 0.60\).

    El área a la izquierda de\(k = 0.60\).

    \(\text{invNorm}(0.60,36.9,13.9) = 40.4215\).

    \(k = 40.42\).

    Cuarenta por ciento de los usuarios de teléfonos inteligentes de 13 a 55+ son al menos 40.4 años.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Dos mil alumnos tomaron un examen. Las puntuaciones en el examen tienen una distribución normal aproximada con una media de\(\mu = 81\) puntos y puntos de desviación\(\sigma = 15\) estándar.

    1. Calcular las puntuaciones del primer y tercer cuartil para este examen.
    2. El 50% medio de las puntuaciones de los exámenes se encuentran entre qué dos valores?

    Contestar

    1. \(Q_{1} =\)percentil 25 percentil\(= \text{invNorm}(0.25,81,15) = 70.9\)
      \(Q_{3} =\) 75 º
      \(= \text{invNorm}(0.75,81,15) = 91.9\)
    2. El 50% medio de las puntuaciones se encuentran entre 70.9 y 91.1.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Un agricultor de cítricos que cultiva mandarinas encuentra que los diámetros de las mandarinas cosechadas en su granja siguen una distribución normal con un diámetro medio de 5.85 cm y una desviación estándar de 0.24 cm.

    1. Encuentra la probabilidad de que una mandarina seleccionada al azar de esta finca tenga un diámetro mayor a 6.0 cm. Esbozar la gráfica.
    2. El 20% medio de las mandarinas de esta finca tienen diámetros entre ______ y ______.
    3. Encuentra el percentil 90 para los diámetros de las mandarinas, e interpretarlo en una oración completa.

    Contestar

    a.\(\text{normalcdf}(6,10^{99},5.85,0.24) = 0.2660\)

    alt
    Figura\(\PageIndex{7}\).

    Contestar

    b.

    \(1 – 0.20 = 0.80\)

    Las colas de la gráfica de la distribución normal tienen cada una un área de 0.40.

    Encontrar\(k1\), el percentil 40, y\(k2\), el percentil 60 (\(0.40 + 0.20 = 0.60\)).

    \(k1 = \text{invNorm}(0.40,5.85,0.24) = 5.79\)cm

    \(k2 = \text{invNorm}(0.60,5.85,0.24) = 5.91\)cm

    Contestar

    c. 6.16: El noventa por ciento del diámetro de las mandarinas es como máximo 6.15 cm.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Usando la información de Ejemplo, responda lo siguiente:

    1. El 45% medio de las mandarinas de esta granja se encuentran entre ______ y ______.
    2. Encuentra el percentil 16 e interpretarlo en una oración completa.
    Contestar a

    El área media\(= 0.40\), por lo que cada cola tiene un área de 0.30.

    \( – 0.40 = 0.60\)

    Las colas de la gráfica de la distribución normal tienen cada una un área de 0.30.

    Encontrar\(k1\), el percentil 30 y\(k2\), el percentil 70 (\(0.40 + 0.30 = 0.70\)).

    \(k1 = \text{invNorm}(0.30,5.85,0.24) = 5.72\)cm

    \(k2 = \text{invNorm}(0.70,5.85,0.24) = 5.98\)cm

    Respuesta b

    \(\text{normalcdf}(5,10^{99},5.85,0.24) = 0.9998\)

    Referencias

    1. “La regla de Naegele”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.Wikipedia.org/wiki/Naegele's_rule (consultado el 14 de mayo de 2013).
    2. “403: NUMMI.” Chicago Public Media & Ira Glass, 2013. Disponible en línea en www.thisamericanlife.org/radi... sode/403/nummi (consultado el 14 de mayo de 2013).
    3. “Consejos para jugar boletos de lotería para raspar”. Winatthelottery.com, 2013. Disponible en línea en www.winatthelottery.com/publi... partment40.cfm (consultado el 14 de mayo de 2013).
    4. “Usuarios de Teléfonos Inteligentes, Por Los Números”. Visual.ly, 2013. Disponible en línea en http://visual.ly/smart-phone-users-numbers (consultado el 14 de mayo de 2013).
    5. “Estadísticas de Facebook”. Estadísticas Cerebro. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/facebo...tics/(accessed 14 de mayo de 2013).

    Revisar

    La distribución normal, que es continua, es la más importante de todas las distribuciones de probabilidad. Su gráfica tiene forma de campana. Esta curva en forma de campana se utiliza en casi todas las disciplinas. Al tratarse de una distribución continua, el área total bajo la curva es una. Los parámetros de la normal son la media\(\mu\) y la desviación estándar σ. Una distribución normal especial, llamada distribución normal estándar es la distribución de z -scores. Su media es cero, y su desviación estándar es uno.

    Revisión de Fórmula

    • Distribución Normal:\(X \sim N(\mu, \sigma)\) donde\(\mu\) está la media y σ es la desviación estándar.
    • Distribución Normal Estándar:\(Z \sim N(0, 1)\).
    • Función calculadora para probabilidad: normalcdf (\(x\)valor inferior del área,\(x\) valor superior del área, media, desviación estándar)
    • Función calculadora para el percentil\(k\) th:\(k = \text{invNorm}\) (área a la izquierda de\(k\), media, desviación estándar)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    ¿Cómo representaría el área a la izquierda de uno en una declaración de probabilidad?

    alt
    Figura\(\PageIndex{8}\).

    Contestar

    \(P(x < 1)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    ¿Es\(P(x < 1)\) igual a\(P(x \leq 1)\)? ¿Por qué?

    Contestar

    Sí, porque son lo mismo en una distribución continua:\(P(x = 1) = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    ¿Cómo representaría el área a la izquierda de tres en una declaración de probabilidad?

    alt
    Figura\(\PageIndex{10}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    ¿Cuál es el área a la derecha de tres?

    alt
    Figura\(\PageIndex{11}\).

    Contestar

    \(1 – P(x < 3)\)o\(P(x > 3)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Si el área a la izquierda de\(x\) en una distribución normal es 0.123, ¿cuál es el área a la derecha de\(x\)?

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Si el área a la derecha de\(x\) en una distribución normal es 0.543, ¿cuál es el área a la izquierda de\(x\)?

    Contestar

    \(1 - 0.543 = 0.457\)

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes cuatro ejercicios:

    \(X \sim N(54, 8)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Encuentra la probabilidad de que\(x > 56\).

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Encuentra la probabilidad de que\(x < 30\).

    Contestar

    0.0013

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Encuentra el percentil 80.

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Encuentra el percentil 60.

    Contestar

    56.03

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    \(X \sim N(6, 2)\)

    Encuentra la probabilidad que\(x\) está entre tres y nueve.

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    \(X \sim N(–3, 4)\)

    Encuentra la probabilidad que\(x\) esté entre uno y cuatro.

    Contestar

    0.1186

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    \(X \sim N(4, 5)\)

    Encuentra el máximo de\(x\) en el cuartil inferior.

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes tres ejercicios: La vida de los reproductores de CD Sunshine se distribuye normalmente con una media de 4.1 años y una desviación estándar de 1.3 años. Un reproductor de CD está garantizado por tres años. Nos interesa el tiempo que dura un reproductor de CD. Encuentra la probabilidad de que un reproductor de CD se descomponga durante el periodo de garantía.

    1. Esbozar la situación. Etiquetar y escalar los ejes. Sombra la región correspondiente a la probabilidad.

      alt

      Figura\(\PageIndex{12}\).

      \(P(0 < x <\)____________\() =\) ___________ (Usar cero para el valor mínimo de\(x\).)

    Contestar

    1. Consulta la solución del alumno.
    2. 3, 0.1979

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    Encuentra la probabilidad de que un reproductor de CD dure entre 2.8 y seis años.

    1. Esbozar la situación. Etiquetar y escalar los ejes. Sombra la región correspondiente a la probabilidad.

      alt

      Figura\(\PageIndex{13}\).

      \(P(\)__________\(< x <\) __________\()\) = __________

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    Encuentra el percentil 70 de la distribución para el tiempo que dure un reproductor de CD.

    1. Esbozar la situación. Etiquetar y escalar los ejes. Sombra la región correspondiente al 70% inferior.

      alt

      Figura\(\PageIndex{14}\).

      \(P(x < k) =\)__________ Por lo tanto,\(k =\) _________

    Contestar

    1. Consulta la solución del alumno.
    2. 0.70, 4.78 años

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