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7.3: El teorema del límite central para las sumas

  • Page ID
    153429
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Supongamos que\(X\) es una variable aleatoria con una distribución que puede ser conocida o desconocida (puede ser cualquier distribución) y supongamos:

    • \(\mu_{x}\)= la media de\(X\)
    • \(\sigma_{x}\)= la desviación estándar de\(X\)

    Si dibuja muestras aleatorias de tamaño\(n\), entonces a medida que\(n\) aumenta, la variable aleatoria\(\sum X\) que consiste en sumas tiende a distribuirse normalmente y

    \[\sum X \sim N((n)(\mu_{x}), (\sqrt{n})(\sigma_{x})).\]

    El teorema del límite central para las sumas dice que si sigues dibujando muestras cada vez más grandes y tomando sus sumas, las sumas forman su propia distribución normal (la distribución de muestreo), que se acerca a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. La distribución normal tiene una media igual a la media original multiplicada por el tamaño de la muestra y una desviación estándar igual a la desviación estándar original multiplicada por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.

    La variable aleatoria\(\sum X\) tiene asociada la siguiente puntuación z:

    1. \(\sum x\)es una suma.
    2. \(z = \frac{\sum x - (n)(\mu_{x})}{(\sqrt{n})(\sigma_{x})}\)
      1. \((n)(\mu_{x})\)= la media de\(\sum X\)
      2. \((\sqrt{n})(\sigma_{x})\)= desviación estándar de\(\sum X\)

    Calculadora

    Para encontrar probabilidades de sumas en la calculadora, siga estos pasos.

    2 ° DISTRC/

    2: normalcdf
    normalcdf (valor inferior del área, valor superior del área, (\(n\)) (media), (\(\sqrt{n}\)) (desviación estándar))

    donde:

    • media es la media de la distribución original
    • desviación estándar es la desviación estándar de la distribución original
    • tamaño de la muestra\(= n\)

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Una distribución desconocida tiene una media de 90 y una desviación estándar de 15. De la población se extrae aleatoriamente una muestra de tamaño 80.

    1. Encuentra la probabilidad de que la suma de los 80 valores (o el total de los 80 valores) sea superior a 7,500.
    2. Encuentra la suma que es 1.5 desviaciones estándar por encima de la media de las sumas.

    Contestar

    Dejar\(X =\) un valor de la población desconocida original. La pregunta de probabilidad le pide encontrar una probabilidad para la suma (o total de) 80 valores.

    \(\sum X =\)la suma o total de 80 valores. Desde\(\mu_{x} = 90\),\(\sigma_{x} = 15\), y\(n = 80\),\(\sum X \sim N((80)(90),(\sqrt{80})(15))\)

    • media de las sumas\(= (n)(\mu_{x}) = (80)(90) = 7,200\)
    • desviación estándar de las sumas\(= (\sqrt{n})(\sigma_{x}) = (\sqrt{80})(15) = (80)(15)\)
    • suma de 80 valores\(= \sum X = 7,500\)

    a. Buscar\(P(\sum X > 7,500)\)

    \(P(\sum X > 7,500) = 0.0127\)

    Esta es una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto 7200 en el eje horizontal. También se etiqueta el punto 7500. Una línea vertical se extiende desde el punto 7500 hasta la curva. El área a la derecha de 7500 debajo de la curva está sombreada.
    Figura\(\PageIndex{1}\).

    normalcdf (valor inferior, valor superior, media de sumas, stdev de sumas)

    La lista de parámetros se abrevia\(\left(lower, upper, (n)(\mu_{x}, (\sqrt{n}(\sigma_{x})\right)\)

    normalcdf\(\left(7500,1E99,(80)(90),(\sqrt{80})(15)\right) = 0.0127\)

    RECORDATORIO

    1E99 = 10 99.

    Presione la tecla EE para E.

    b. encontrar\(\sum x\) dónde\(z = 1.5\).

    \(\sum x = (n)(\nu_{x}) + (z)(\sqrt{n})(\sigma_{x}) = (80)(90) + (1.5)(\sqrt{80})(15) = 7,401.2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Una distribución desconocida tiene una media de 45 y una desviación estándar de ocho. Un tamaño de muestra de 50 se extrae aleatoriamente de la población. Encuentra la probabilidad de que la suma de los 50 valores sea superior a 2,400.

    Contestar

    0.0040

    Calculadora

    Para encontrar percentiles de sumas en la calculadora, siga estos pasos.

    2 º Distr

    3:InvNorm

    \(k = \text{invNorm} (\text{area to the left of} k, (n)(\text{mean}), (\sqrt{n})(\text{standard deviation}))\)

    donde:

    • \(k\)es el\(k\) percentil th
    • media es la media de la distribución original
    • desviación estándar es la desviación estándar de la distribución original
    • tamaño de la muestra\(= n\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    En un estudio reciente reportado el 29 de octubre de 2012 en el Blog Flurry, la edad media de los usuarios de tabletas es de 34 años. Supongamos que la desviación estándar es de 15 años. La muestra de tamaño es de 50.

    1. ¿Cuáles son la media y la desviación estándar para la suma de las edades de los usuarios de tabletas? ¿Cuál es la distribución?
    2. Encuentra la probabilidad de que la suma de las edades esté entre 1,500 y 1,800 años.
    3. Encuentra el percentil 80 para la suma de las 50 edades.

    Contestar

    1. \(\mu_{x} - n\mu_{x} = 1,700\)y\(\sigma_{\sum X} = \sqrt{n}\sigma_{X} = (\sqrt{50})(15) = 106.01\)
      La distribución es normal para las sumas por el teorema del límite central.
    2. \(P(1500 < \sum X < 1800) = (1,500, 1,800, (50)(34), (\sqrt{50})(15)) = 0.7974\)
    3. Let\(k\) = el percentil 80.
      \(k = (0.80,(50)(34),(\sqrt{50})(15)) = 1,789.3\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    En un estudio reciente reportado el 29 de octubre de 2012 en el Blog Flurry, la edad media de los usuarios de tabletas es de 35 años. Supongamos que la desviación estándar es de diez años. El tamaño de la muestra es 39.

    1. ¿Cuáles son la media y la desviación estándar para la suma de las edades de los usuarios de tabletas? ¿Cuál es la distribución?
    2. Encuentra la probabilidad de que la suma de las edades esté entre 1,400 y 1,500 años.
    3. Encuentra el percentil 90 para la suma de las 39 edades.

    Contestar

    1. \(\mu_{\sum X} = n\mu_{X} = 1,365\)y\(\sigma_{\sum X} = \sqrt{n}\sigma_{x} = 62.4\)
      La distribución es normal para las sumas por el teorema del límite central.
    2. \(P(1400 < \sum_{X} < 1500) = \text{normalcdf} (1400,1500,(39)(35),(\sqrt{39})(10)) = 0.2723\)
    3. Let\(k\) = el percentil 90.
      \(k = \text{invNorm} (0.90,(39)(35),(\sqrt{39}) (10)) = 1445.0\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    El número medio de minutos para la interacción de la aplicación por parte de un usuario de tableta es de 8.2 minutos. Supongamos que la desviación estándar es de un minuto. Toma una muestra de talla 70.

    1. ¿Cuáles son la media y la desviación estándar para las sumas?
    2. Encuentra el percentil 95 para la suma de la muestra. Interpretar este valor en una oración completa.
    3. Encuentra la probabilidad de que la suma de la muestra sea de al menos diez horas.

    Contestar

    1. \(\mu_{\sum X} = n\mu_{X}= 70(8.2) = 574\)minutos y\(\sigma_{\sum X} (\sqrt{n})(\sigma_{x}) = (\sqrt{70})(1) = 8.37\) minutos
    2. Let\(k\) = el percentil 95.
      \(k = \text{invNorm} (0.95,(70)(8.2),(\sqrt{70})(1)) = 587.76\)minutos
      El noventa y cinco por ciento de los tiempos de interacción de la aplicación son como máximo 587.76 minutos.
    3. diez horas = 600 minutos
      \(P(\sum X \geq 600) = \text{normalcdf}(600,E99,(70)(8.2),(\sqrt{70})(1)) = 0.0009\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    El número medio de minutos para la interacción de la aplicación por el uso de una mesa es de 8.2 minutos. Supongamos que la desviación estándar es de un minuto. Toma un tamaño de muestra de 70.

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de la muestra esté entre siete horas y diez horas? ¿Qué significa esto en el contexto del problema?
    2. Encuentra los percentiles 84 y 16 para la suma de la muestra. Interpretar estos valores en contexto.

    Contestar

    1. 7 horas = 420 minutos
      10 horas = 600 minutos
      \(\text{normalcdf} P(420 \leq \sum X \leq 600) = \text{normalcdf}(420,600,(70)(8.2),\sqrt{70}(1)) = 0.9991\)
      Esto significa que para esta muestra sumas hay un 99.9% de probabilidad de que las sumas de minutos de uso sean entre 420 minutos y 600 minutos.
    2. \(\text{invNorm}(0.84,(70)(8.2)\),\(\sqrt{70}(1)) = 582.32\)
      \(\text{invNorm}(0.16,(70)(8.2),(\sqrt{70}(1)) = 565.68\)
      Dado que el 84% de los tiempos de interacción de la aplicación son como máximo 582.32 minutos y el 16% de los tiempos de interacción de la aplicación son como máximo 565.68 minutos, podemos afirmar que el 68% de los tiempos de interacción de la aplicación están entre 565.68 minutos y 582.32 minutos.

    Referencias

    1. Farago, Pedro. “La verdad sobre gatos y perros: diferencias de uso de teléfonos inteligentes vs tabletas”. El Blog de Flurry, 2013. Publicada el 29 de octubre de 2012. Disponible en línea en blog.flurry.com (consultado el 17 de mayo de 2013).

    Revisar

    El teorema del límite central nos dice que para una población con cualquier distribución, la distribución de las sumas para las medias de la muestra se acerca a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Es decir, si el tamaño muestral es suficientemente grande, la distribución de las sumas puede aproximarse por una distribución normal aunque la población original no esté distribuida normalmente. Adicionalmente, si la población original tiene una media de\(\mu_{x}\) y una desviación estándar de\(\sigma_{x}\), la media de las sumas es\(n\)\(\mu_{x}\) y la desviación estándar es (\(\sqrt{n}\)) (\(\sigma_{x}\)) donde\(n\) está el tamaño de la muestra.

    Revisión de Fórmula

    • El teorema del límite central para las sumas:\(\sum X ~ N[(n)(\mu_{x}, (\sqrt{n})(\sigma_{x}))]\)
    • Media para Sumas\((\sum X): (n)(\mu_{x})\)
    • El Teorema de Límite Central para Sumas\(z\) -score y desviación estándar para sumas:\(z \text{ for the sample mean} = \frac{\sum x - (n)(\mu_{x})}{(\sqrt{n})(\sigma_{x})}\)
    • Desviación estándar para Sumas\((\sum X): (\sqrt{n})(\sigma_{x})\)

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