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8.1: Preludio a los intervalos de confianza

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    Objetivos de aprendizaje

    Al final de este capítulo, el alumno deberá ser capaz de:

    • Calcular e interpretar intervalos de confianza para estimar una media poblacional y una proporción poblacional.
    • Interpretar la distribución de probabilidad t de Student conforme cambia el tamaño de la muestra.
    • Discriminar entre problemas aplicando lo normal y las distribuciones t de Student.
    • Calcular el tamaño muestral requerido para estimar una media poblacional y una proporción poblacional dado un nivel de confianza deseado y margen de error.

    Supongamos que estaba tratando de determinar la renta media de un departamento de dos dormitorios en su ciudad. Podrías buscar en la sección de clasificados del periódico, anotar varias rentas listadas y promediarlas juntas. Habrías obtenido una estimación puntual de la media verdadera. Si estás tratando de determinar el porcentaje de veces que haces una canasta al disparar una básquetbol, podrías contar el número de tiros que haces y dividirlo por el número de tiros que intentaste. En este caso, habrías obtenido una estimación puntual para la verdadera proporción.

    Utilizamos datos de muestra para hacer generalizaciones sobre una población desconocida. Esta parte de la estadística se llama estadística inferencial. Los datos de la muestra nos ayudan a hacer una estimación de un parámetro poblacional. Nos damos cuenta de que lo más probable es que la estimación puntual no sea el valor exacto del parámetro poblacional, sino cercano a él. Después de calcular las estimaciones puntuales, construimos estimaciones de intervalos, llamadas intervalos de confianza.

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    Figura\(\PageIndex{1}\). ¿Alguna vez te has preguntado cuál es el promedio de M&Ms en una bolsa en la tienda de abarrotes? Puedes usar intervalos de confianza para responder a esta pregunta. (crédito: comedy_nose/flickr)

    En este capítulo, aprenderás a construir e interpretar intervalos de confianza. También aprenderás una nueva distribución, la T-T del estudiante, y cómo se usa con estos intervalos. A lo largo del capítulo, es importante tener en cuenta que el intervalo de confianza es una variable aleatoria. Es el parámetro poblacional el que se fija.

    Si trabajaste en el departamento de marketing de una compañía de entretenimiento, te podría interesar el número medio de canciones que un consumidor descarga al mes de iTunes. Si es así, podrías realizar una encuesta y calcular la media de la muestra,\(\bar{x}\), y la desviación estándar de la muestra,\(s\). Se utilizaría\(\bar{x}\) para estimar la media poblacional y\(s\) estimar la desviación estándar poblacional. La media muestral,\(\bar{x}\), es la estimación puntual para la media poblacional,\(\mu\). La desviación estándar de la muestra\(s\),, es la estimación puntual para la desviación estándar de la población,\(\sigma\).

    Cada uno de\(\bar{x}\) y\(s\) se llama estadística.

    Un intervalo de confianza es otro tipo de estimación pero, en lugar de ser solo un número, es un intervalo de números. El intervalo de números es un rango de valores calculados a partir de un conjunto dado de datos de muestra. Es probable que el intervalo de confianza incluya un parámetro de población desconocido.

    Supongamos, para el ejemplo de iTunes, no conocemos la media poblacional\(\mu\), pero sí sabemos que la desviación estándar poblacional es\(\sigma = 1\) y nuestro tamaño muestral es de 100. Entonces, por el teorema del límite central, la desviación estándar para la media muestral es

    \[\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0.1.\]

    La regla empírica, que se aplica a las distribuciones en forma de campana, dice que en aproximadamente el 95% de las muestras, la media muestral\(\bar{x}\), estará dentro de dos desviaciones estándar de la media poblacional\(\mu\). Para nuestro ejemplo de iTunes, dos desviaciones estándar es (2) (0.1) = 0.2. Es probable que la media\(\bar{x}\) de la muestra esté dentro de 0.2 unidades de\(\mu\).

    Debido a que\(\bar{x}\) está dentro de 0.2 unidades de\(\mu\), lo cual es desconocido, entonces\(\mu\) es probable que esté dentro de 0.2 unidades de\(\bar{x}\) en 95% de las muestras. La media poblacional\(\mu\) está contenida en un intervalo cuyo número menor se calcula tomando la media muestral y restando dos desviaciones estándar (2) (0.1) y cuyo número superior se calcula tomando la media muestral y sumando dos desviaciones estándar. En otras palabras,\(\mu\) está entre\(\bar{x} - 0.2\) y\(\bar{x} + 0.2\) en 95% de todas las muestras.

    Para el ejemplo de iTunes, supongamos que una muestra produjo una media de muestra\(\bar{x} = 2\). Entonces la media poblacional desconocida\(\mu\) está entre

    \[\bar{x} - 0.2 = 2 - 0.2 = 1.8\]

    y

    \[\bar{x} + 0.2 = 2 + 0.2 = 2.2\]

    Decimos que estamos 95% seguros de que la población desconocida media número de canciones descargadas de iTunes al mes está entre 1.8 y 2.2. El intervalo de confianza del 95% es (1.8, 2.2). Este intervalo de confianza del 95% implica dos posibilidades. O bien el intervalo (1.8, 2.2) contiene la media verdadera\(\mu\) o nuestra muestra produjo una\(\bar{x}\) que no está dentro de 0.2 unidades de la media verdadera\(\mu\). La segunda posibilidad ocurre para solo el 5% de todas las muestras (95— 100%).

    Recuerde que se crea un intervalo de confianza para un parámetro de población desconocido como la media poblacional,\(\bar{x}\). Los intervalos de confianza para algunos parámetros tienen la forma:

    (estimación puntual — margen de error, estimación puntual + margen de error)

    El margen de error depende del nivel de confianza o porcentaje de confianza y del error estándar de la media.

    Cuando lees periódicos y revistas, algunos informes usarán la frase “margen de error”. Otros reportes no usarán esa frase, sino que incluirán un intervalo de confianza como estimación de puntos más o menos el margen de error. Estas son dos formas de expresar un mismo concepto.

    Aunque el texto solo cubre intervalos de confianza simétricos, existen intervalos de confianza no simétricos (por ejemplo, un intervalo de confianza para la desviación estándar).

    Ejercicio Colaborativo

    Haga que su instructor registre el número de comidas que cada estudiante de su clase come en una semana. Supongamos que se sabe que la desviación estándar son tres comidas. Construir un intervalo de confianza aproximado del 95% para el número promedio real de comidas que los estudiantes comen cada semana.

    1. Calcular la media muestral.
    2. Let\(\sigma = 3\) y\(n\) = el número de alumnos encuestados.
    3. Construir el intervalo\(\left(\bar{x} - 2 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + 2 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\).

    Decimos que estamos aproximadamente 95% seguros de que la verdadera media de comidas que los estudiantes comen fuera en una semana está entre __________ y ___________.

    Glosario

    Intervalo de confianza (CI)
    una estimación de intervalo para un parámetro de población desconocido. Esto depende de:
    • el nivel de confianza deseado,
    • información que se conoce sobre la distribución (por ejemplo, desviación estándar conocida),
    • la muestra y su tamaño.
    Estadísticas Inferenciales
    también llamada inferencia estadística o estadística inductiva; esta faceta de la estadística se ocupa de estimar un parámetro poblacional a partir de una estadística de muestra. Por ejemplo, si cuatro de las 100 calculadoras muestreadas son defectuosas podríamos inferir que el cuatro por ciento de la producción es defectuosa.
    Parámetro
    una característica numérica de una población
    Estimación de puntos
    un solo número calculado a partir de una muestra y utilizado para estimar un parámetro de población

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