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8.2: Media de una sola población usando la distribución normal

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    153378
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación estándar conocida se basa en que las medias de la muestra siguen una distribución aproximadamente normal. Supongamos que nuestra muestra tiene una media de\(\bar{x} = 10\) y hemos construido el intervalo de confianza del 90% (5, 15) donde\(EBM = 5\).

    Cálculo del intervalo de confianza

    Para construir un intervalo de confianza para una sola media poblacional desconocida\(\mu\), donde se conoce la desviación estándar poblacional, necesitamos\(\bar{x}\) como estimación para\(\mu\) y necesitamos el margen de error. Aquí, el margen de error (\(EBM\)) se llama el límite de error para una media poblacional (abreviado EBM). La media muestral\(\bar{x}\) es la estimación puntual de la media poblacional desconocida\(\mu\).

    La estimación del intervalo de confianza tendrá la forma:

    \[(\text{point estimate} - \text{error bound}, \text{point estimate} + \text{error bound})\nonumber \]

    o, en símbolos,

    \[(\bar{x} - EBM, \bar{x} + EBM)\nonumber \]

    El margen de error (\(EBM\)) depende del nivel de confianza (abreviado\(CL\)). El nivel de confianza a menudo se considera la probabilidad de que la estimación del intervalo de confianza calculado contenga el parámetro de población real. Sin embargo, es más preciso afirmar que el nivel de confianza es el porcentaje de intervalos de confianza que contienen el parámetro de población real cuando se toman muestras repetidas. La mayoría de las veces, es la elección de la persona que construye el intervalo de confianza elegir un nivel de confianza del 90% o superior porque esa persona quiere estar razonablemente segura de sus conclusiones.

    Hay otra probabilidad llamada alfa\((\alpha)\). \(\alpha\)está relacionado con el nivel de confianza,\(CL\). \(\alpha\)es la probabilidad de que el intervalo no contenga el parámetro de población desconocido. Matemáticamente,

    \[\alpha + CL = 1.\nonumber \]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Supongamos que hemos recopilado datos de una muestra. Conocemos la media muestral pero desconocemos la media para toda la población. La media de la muestra es siete, y el límite de error para la media es 2.5:\(\bar{x} = 7\) y\(EBM = 2.5\)

    El intervalo de confianza es (7 — 2.5, 7 + 2.5) y calcular los valores da (4.5, 9.5). Si el nivel de confianza (\(CL\)) es del 95%, entonces decimos que, “Estimamos con 95% de confianza que el verdadero valor de la media poblacional está entre 4.5 y 9.5”.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Supongamos que tenemos datos de una muestra. La media muestral es 15 y el límite de error para la media es 3.2. ¿Cuál es la estimación del intervalo de confianza para la media poblacional?

    Contestar

    (11.8, 18.2)

    Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación estándar conocida se basa en que las medias de la muestra siguen una distribución aproximadamente normal. Supongamos que nuestra muestra tiene una media de\(\bar{x} = 10\), y hemos construido el intervalo de confianza del 90% (5, 15) donde\(EBM = 5\). Para obtener un intervalo de confianza del 90%, debemos incluir el 90% central de la probabilidad de la distribución normal. Si incluimos el 90% central, dejamos fuera un total de\(\alpha = 10%\) en ambas colas, o 5% en cada cola, de la distribución normal.

    Esta es una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto 10 en el eje horizontal. Los puntos 5 y 15 están etiquetados en el eje. Las líneas verticales se dibujan desde estos puntos hasta la curva, y la región entre las líneas se sombrea. La región sombreada tiene un área igual a 0.90.
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Para capturar el 90% central, debemos salir 1.645 “desviaciones estándar” a cada lado de la media de la muestra calculada. El valor 1.645 es la puntuación z de una distribución de probabilidad normal estándar que coloca un área de 0.90 en el centro, un área de 0.05 en la cola del extremo izquierdo y un área de 0.05 en la cola extrema derecha.

    Es importante que la “desviación estándar” utilizada debe ser apropiada para el parámetro que estamos estimando, por lo que en esta sección necesitamos usar la desviación estándar que aplica a las medias de la muestra, que es

    \[\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\nonumber \]

    Esta fracción se denomina comúnmente el “error estándar de la media” para distinguir claramente la desviación estándar para una media de la desviación estándar de la población\(\sigma\).

    En resumen, como resultado del teorema del límite central:

    • \(\bar{X}\)se distribuye normalmente, es decir,\(\bar{X} \sim N(\mu_{x},\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})\).
    • Cuando se conoce la desviación estándar de la población σ, utilizamos una distribución normal para calcular el límite de error.

    Cálculo del intervalo de confianza

    Para construir una estimación del intervalo de confianza para una media poblacional desconocida, necesitamos datos de una muestra aleatoria. Los pasos para construir e interpretar el intervalo de confianza son:

    • Calcular la media muestral\(\bar{x}\) a partir de los datos de muestra. Recuerda, en este apartado ya conocemos la desviación estándar poblacional\(\sigma\).
    • Encuentra la puntuación z que corresponde al nivel de confianza.
    • Calcular el límite de error\(EBM\).
    • Construir el intervalo de confianza.
    • Escribir una oración que interprete la estimación en el contexto de la situación en el problema. (Explique lo que significa el intervalo de confianza, en palabras del problema.)

    Primero examinaremos cada paso con más detalle, y luego ilustraremos el proceso con algunos ejemplos.

    Encontrar el\(z\) puntaje -score para el Nivel de Confianza Declarado

    Cuando conocemos la desviación estándar de la población\(\sigma\), utilizamos una distribución normal estándar para calcular la EBM con límite de error y construir el intervalo de confianza. Necesitamos encontrar el valor de\(z\) que ponga un área igual al nivel de confianza (en forma decimal) en medio de la distribución normal estándar\(Z \sim N(0, 1)\).

    El nivel de confianza\(CL\),, es el área en medio de la distribución normal estándar. \(CL = 1 - \alpha\), así\(\alpha\) es el área que se divide en partes iguales entre las dos colas. Cada una de las colas contiene un área igual a\(\dfrac{\alpha}{2}\).

    El\(z\) -score que tiene un área a la derecha de\(\dfrac{\alpha}{2}\) se denota por\(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\).

    Por ejemplo, cuándo\(CL = 0.95, \alpha = 0.05\) y\(\dfrac{\alpha}{2} = 0.025\); escribimos\(z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.025}\).

    El área a la derecha de\(z_{0.025}\) es\(0.025\) y el área a la izquierda de\(z_{0.025}\) es\(1 - 0.025 = 0.975\).

    \[z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.025} = 1.96\nonumber \]

    usando una calculadora, computadora o una tabla de probabilidad normal estándar.

    InvNorm\((0.975, 0, 1) = 1.96\)

    Recuerda usar el área a la IZQUIERDA de\(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\); en este capítulo las dos últimas entradas en el comando InvNorm son 0, 1, porque estás usando una distribución normal estándar\(Z \sim N(0, 1)\).

    Cálculo del límite de error

    La fórmula límite de error para una media de población desconocida\(\mu\) cuando se conoce la desviación\(\sigma\) estándar de la población es

    \[EBM = z_{\alpha/2} \left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\nonumber \]

    Construcción del Intervalo de Confianza

    La estimación del intervalo de confianza tiene el formato\((\bar{x} - EBM, \bar{x} + EBM)\).

    El gráfico da una imagen de toda la situación.

    \[CL + \dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{\alpha}{2} = CL + \alpha = 1.\nonumber \]

    Esta es una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto x-bar en el eje horizontal. Los puntos x-bar - EBM y x-bar + EBM están etiquetados en el eje. Las líneas verticales se dibujan desde estos puntos hasta la curva, y la región entre las líneas se sombrea. La región sombreada tiene un área igual a 1 - a y representa el nivel de confianza. Cada cola sin sombra tiene área a/2.
    Figura 8.2.2.

    Redacción de la Interpretación

    La interpretación debe indicar claramente el nivel de confianza (\(CL\)), explicar qué parámetro poblacional se está estimando (aquí, una media poblacional), y establecer el intervalo de confianza (ambos puntos finales). “Estimamos con ___% de confianza que la verdadera media poblacional (incluir el contexto del problema) está entre ___ y ___ (incluir unidades apropiadas)”.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Supongamos que las puntuaciones en los exámenes en estadística normalmente se distribuyen con una media poblacional desconocida y una desviación estándar poblacional de tres puntos. Se toma una muestra aleatoria de 36 puntajes y da una media muestral (puntuación media muestral) de 68. Encuentre una estimación del intervalo de confianza para la puntuación media del examen de la población (la puntuación media en todos los exámenes).

    Encuentra un intervalo de confianza del 90% para la media verdadera (población) de las puntuaciones de los exámenes de estadística.

    Contestar

    • Puede utilizar la tecnología para calcular el intervalo de confianza directamente.
    • La primera solución se muestra paso a paso (Solución A).
    • La segunda solución utiliza las calculadoras TI-83, 83+ y 84+ (Solución B).

    Solución A

    Para encontrar el intervalo de confianza, necesita la media de la muestra,\(\bar{x}\), y el\(EBM\).

    \[\bar{x} = 68\nonumber \]

    \[EBM = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\nonumber \]

    \[\sigma = 3; n = 36\nonumber \]

    El nivel de confianza es del 90% (CL = 0.90)

    \[CL = 0.90\nonumber \]

    por lo

    \[\alpha = 1 – CL = 1 – 0.90 = 0.10\nonumber \]

    \[\dfrac{\alpha}{2} = 0.05 z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.05}\nonumber \]

    El área a la derecha de\(z_{0.05}\) es\(0.05\) y el área a la izquierda de\(z_{0.05}\) es\(1 - 0.05 = 0.95\).

    \[z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.05} = 1.645\nonumber \]

    usando\(\text{invNorm}(0.95, 0, 1)\) en las calculadoras TI-83,83+ y 84+. Esto también se puede encontrar usando comandos apropiados en otras calculadoras, usando una computadora o usando una tabla de probabilidad para la distribución normal estándar.

    \[EBM = (1.645)\left(\dfrac{3}{\sqrt{36}}\right) = 0.8225\nonumber \]

    \[\bar{x} - EBM = 68 - 0.8225 = 67.1775\nonumber \]

    \[\bar{x} + EBM = 68 + 0.8225 = 68.8225\nonumber \]

    El intervalo de confianza del 90% es (67.1775, 68.8225).

    Solución B

    Presiona STAT y flecha hacia TEST.

    Flecha hacia abajo a 7:ZInterval.
    Presione ENTER.
    Flecha hacia Estadísticas y presiona ENTRAR.
    Flecha hacia abajo e ingresa tres para σ, 68 para\(\bar{x}\), 36 para\(n\) y .90 para el nivel C.
    Flecha hacia abajo para Calcular y presiona ENTRAR.
    El intervalo de confianza es (a tres decimales) (67.178, 68.822).

    Interpretación

    Estimamos con 90% de confianza que la puntuación media real del examen de la población para todos los estudiantes de estadística está entre 67.18 y 68.82.

    Explicación del nivel de confianza del 90%

    El noventa por ciento de todos los intervalos de confianza construidos de esta manera contienen la verdadera puntuación media del examen de estadísticas. Por ejemplo, si construyéramos 100 de estos intervalos de confianza, esperaríamos que 90 de ellos contengan la verdadera puntuación media del examen de la población.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Supongamos que los tiempos promedio de entrega de pizza se distribuyen normalmente con una media de población desconocida y una desviación estándar poblacional de seis minutos. Se toma una muestra aleatoria de 28 restaurantes de reparto de pizza y tiene un tiempo medio de entrega de muestra de 36 minutos. Encuentre una estimación del intervalo de confianza del 90% para el tiempo medio de entrega de la población.

    Contestar

    (34.1347, 37.8653)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Specific Absorption Rate

    La Tasa de Absorción Específica (SAR) para un teléfono celular mide la cantidad de energía de radiofrecuencia (RF) absorbida por el cuerpo del usuario cuando usa el teléfono. Cada celular emite energía RF. Diferentes modelos de teléfonos tienen diferentes medidas SAR. Para recibir la certificación de la Comisión Federal de Comunicaciones (FCC) a la venta en Estados Unidos, el nivel SAR para un celular no debe ser superior a 1.6 vatios por kilogramo. La tabla muestra el nivel más alto de SAR para una selección aleatoria de modelos de celulares medidos por la FCC.

    Modelo de teléfono SAR Modelo de teléfono SAR Modelo de teléfono SAR
    Apple iPhone 4S 1.11 LG Ally 1.36 Pantech Laser 0.74
    BlackBerry Pearl 8120 1.48 LG AX275 1.34 Samsung Character 0.5
    BlackBerry Tour 9630 1.43 LG Cosmos 1.18 Samsung Epic 4G Touch 0.4
    Cricket TXTM8 1.3 LG CU515 1.3 Samsung M240 0.867
    HP/Palm Centro 1.09 LG Trax CU575 1.26 Samsung Messager III SCH-R750 0.68
    HTC Uno V 0.455 Motorola Q9h 1.29 Samsung Nexus S 0.51
    HTC Touch Pro 2 1.41 Motorola Razr2 0.36 Samsung SGH-A227 1.13
    Huawei M835 0.82 Motorola Razr2 0.52 SGH-a107 GoPhone 0.3
    Kyocera DuraPlus 0.78 Motorola V195 1.6 Sony W350a 1.48
    Kyocera K127 Marbl 1.25 Nokia 1680 1.39 T-Mobile Concord 1.38

    Encuentre un intervalo de confianza del 98% para la media verdadera (población) de las Tasas de Absorción Específicas (SARs) para teléfonos celulares. Supongamos que la desviación estándar poblacional es\(\sigma = 0.337\).

    Solución A

    Para encontrar el intervalo de confianza, comience por encontrar la estimación puntual: la media muestral.

    \[\bar{x} = 1.024\nonumber \]

    A continuación, encuentra el\(EBM\). Porque estás creando un intervalo de confianza del 98%,\(CL = 0.98\).

    Esta es una curva de distribución normal. El punto z0.01 se etiqueta en el borde derecho de la curva y la región a la derecha de este punto está sombreada. El área de esta región sombreada es igual a 0.01. El área no sombreada es igual a 0.99.
    Figura 8.2.3.

    Es necesario encontrar al\(z_{0.01}\) tener la propiedad que el área bajo la curva de densidad normal a la derecha de\(z_{0.01}\) es\(0.01\) y el área a la izquierda es de 0.99. Use su calculadora, una computadora o una tabla de probabilidades para encontrar la distribución normal estándar\(z_{0.01} = 2.326\).

    \(EBM = (z_{0.01})\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = (2.326)\dfrac{0.337}{\sqrt{30}} =0.1431\)

    Para encontrar el intervalo de confianza del 98%, encuentra\(\bar{x} \pm EBM\).

    \(\bar{x} - EBM = 1.024 – 0.1431 = 0.8809\)

    \(\bar{x} - EBM = 1.024 – 0.1431 = 1.1671\)

    Estimamos con 98% de confianza que la verdadera media SAR para la población de celulares en Estados Unidos está entre 0.8809 y 1.1671 vatios por kilogramo.

    Solución B

    • Presiona STAT y flecha hacia PRUEBAS.
    • Flecha hacia abajo al Intervalo 7:Z.
    • Presione ENTER.
    • Flecha hacia Estadísticas y presiona ENTRAR.
    • Flecha hacia abajo e ingresa los siguientes valores:
      • \(\sigma: 0.337\)
      • \(\bar{x}: 1024\)
      • \(n: 30\)
      • Nivel C: 0.98
    • Flecha hacia abajo para Calcular y presiona ENTRAR.
    • El intervalo de confianza es (a tres decimales) (0.881, 1.167).

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    En la tabla se muestra un muestreo aleatorio diferente de 20 modelos de celulares. Utilice estos datos para calcular un intervalo de confianza del 93% para la media real de SAR para teléfonos celulares certificados para su uso en Estados Unidos. Como antes, supongamos que la desviación estándar poblacional es\(\sigma = 0.337\).

    Modelo de teléfono SAR Modelo de teléfono SAR
    Blackberry Pearl 8120 1.48 Nokia E71x 1.53
    HTC Evo Design 4G 0.8 Nokia N75 0.68
    HTC Freestyle 1.15 Nokia N79 1.4
    LG Ally 1.36 Sagem Puma 1.24
    LG Fathom 0.77 Samsung Fascinate 0.57
    LG Optimus 0.462 Samsung Infundir 4G 0.2
    Motorola Cliq XT 1.36 Samsung Nexus S 0.51
    Motorola Droid 1.39 Samsung Reponer 0.3
    Motorola Droid Razr 1.3 Sony W518a Walkman 0.73
    Nokia 7705 Giro 0.7 ZTE C79 0.869

    Contestar

    \[\bar{x} = 0.940\nonumber \]

    \[\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - CL}{2} = \dfrac{1 - 0.93}{2} = 0.035\nonumber \]

    \[z_{0.035} = 1.812\nonumber \]

    \[EBM = (z_{0.035})\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = (1.812)\left(\dfrac{0.337}{\sqrt{20}}\right) = 0.1365\nonumber \]

    \[\bar{x} - EBM = 0.940 - 0.1365 = 0.8035\nonumber \]

    \[\bar{x} + EBM = 0.940 + 0.1365 = 1.0765\nonumber \]

    Estimamos con 93% de confianza que la verdadera media SAR para la población de celulares en Estados Unidos está entre 0.8035 y 1.0765 watts por kilogramo.

    Observe la diferencia en los intervalos de confianza calculados en Ejemplo y el siguiente ejercicio Pruébalo. Estos intervalos son diferentes por varias razones: se calcularon a partir de diferentes muestras, las muestras fueron de diferentes tamaños y los intervalos se calcularon para diferentes niveles de confianza. A pesar de que los intervalos son diferentes, no arrojan información contradictoria. Los efectos de este tipo de cambios son el tema de la siguiente sección de este capítulo.

    Cambiar el nivel de confianza o el tamaño de la muestra

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Supongamos que cambiamos el problema original en Ejemplo usando un nivel de confianza del 95%. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la puntuación media del examen de estadística verdadera (población).

    Contestar

    Para encontrar el intervalo de confianza, necesita la media de la muestra,\(\bar{x}\), y el\(EBM\).

    \(\bar{x} = 68\)

    \(EBM = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)

    \(\sigma = 3; n = 36\); El nivel de confianza es del 95% (CL = 0.95).

    \(CL = 0.95\)por lo\(\alpha = 1 – CL = 1 – 0.95 = 0.05\)

    \(\dfrac{\alpha}{2} = 0.025 z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.025}\)

    El área a la derecha de\(z_{0.025}\) es 0.025 y el área a la izquierda de\(z_{0.025}\) es\(1 – 0.025 = 0.975\).

    \(z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.025} = 1.96\)

    cuando se usa invnorm (0.975,0,1) en las calculadoras TI-83, 83+ u 84+. (Esto también se puede encontrar usando comandos apropiados en otras calculadoras, usando una computadora o usando una tabla de probabilidad para la distribución normal estándar).

    \(EBM = (1.96)\left(\dfrac{3}{\sqrt{36}}\right) = 0.98\)

    \(\bar{x} – EBM = 68 – 0.98 = 67.02\)

    \(\bar{x} + EBM = 68 + 0.98 = 68.98\)

    Observe que el\(EBM\) es mayor para un nivel de confianza del 95% en el problema original.

    Interpretación

    Estimamos con 95% de confianza que la media poblacional real para todos los puntajes de los exámenes de estadística está entre 67.02 y 68.98.

    Explicación del nivel de confianza del 95%

    El noventa y cinco por ciento de todos los intervalos de confianza construidos de esta manera contienen el verdadero valor de la puntuación media del examen de estadística poblacional.

    Comparando los resultados

    El intervalo de confianza del 90% es (67.18, 68.82). El intervalo de confianza del 95% es (67.02, 68.98). El intervalo de confianza del 95% es más amplio. Si nos fijamos en las gráficas, debido a que el área 0.95 es mayor que el área 0.90, tiene sentido que el intervalo de confianza del 95% sea más amplio. Para tener más confianza en que el intervalo de confianza realmente contiene el verdadero valor de la media poblacional para todos los puntajes de los exámenes de estadística, el intervalo de confianza necesariamente necesita ser más amplio.

    La parte (a) muestra una curva de distribución normal. Una región central con área igual a 0.90 está sombreada. Cada cola no sombreada de la curva tiene un área igual a 0.05. La parte (b) muestra una curva de distribución normal. Una región central con área igual a 0.95 está sombreada. Cada cola no sombreada de la curva tiene un área igual a 0.025.
    Figura 8.2.4.

    Resumen: Efecto de cambiar el nivel de confianza

    • Al aumentar el nivel de confianza se incrementa el límite de error, haciendo que el intervalo de confianza sea más amplio
    • Disminuir el nivel de confianza disminuye el límite de error, haciendo que el intervalo de confianza sea más estrecho.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Refiérase de nuevo al ejercicio de entrega de pizza-Try It. La desviación estándar poblacional es de seis minutos y el tiempo medio de entrega de la muestra es de 36 minutos. Use un tamaño de muestra de 20. Encuentre una estimación del intervalo de confianza del 95% para el verdadero tiempo medio de entrega de pizza.

    Contestar

    (33.37, 38.63)

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Supongamos que cambiamos el problema original en Ejemplo para ver qué pasa con el límite de error si se cambia el tamaño de la muestra.

    Deja todo igual excepto el tamaño de la muestra. Usa el nivel de confianza original del 90%. ¿Qué sucede con el límite de error y el intervalo de confianza si aumentamos el tamaño de la muestra y usamos\(n = 100\) en lugar de\(n = 36\)? ¿Qué pasa si disminuimos el tamaño de la muestra a\(n = 25\) lugar de\(n = 36\)?

    • \(\bar{x} = 68\)
    • \(EBM = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)
    • \(\sigma = 3\); El nivel de confianza es del 90% (CL =0.90);\(z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.05} = 1.645\).

    Contestar

    Solución A

    Si aumentamos el tamaño de la muestra\(n\) a 100, disminuimos el límite de error.

    Cuando\(n = 100: EBM = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = (1.645)\left(\dfrac{3}{\sqrt{100}}\right) = 0.4935\).

    Solución B

    Si disminuimos el tamaño de la muestra\(n\) a 25, aumentamos el límite de error.

    Cuando\(n = 25: EBM = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = (1.645)\left(\dfrac{3}{\sqrt{25}}\right) = 0.987\).

    Resumen: Efecto de cambiar el tamaño de la muestra

    • Al aumentar el tamaño de la muestra, el límite de error disminuye, lo que hace que el intervalo de confianza sea más estrecho.
    • Al disminuir el tamaño de la muestra, el límite de error aumenta, haciendo que el intervalo de confianza sea más amplio.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Refiérase de nuevo al ejercicio de entrega de pizza-Try It. El tiempo medio de entrega es de 36 minutos y la desviación estándar de la población es de seis minutos. Supongamos que el tamaño de la muestra se cambia a 50 restaurantes con la misma media muestral. Encuentre una estimación del intervalo de confianza del 90% para el tiempo medio de entrega de la población.

    Contestar

    (34.6041, 37.3958)

    Trabajando hacia atrás para encontrar el límite de error o la media de la muestra

    Cuando calculamos un intervalo de confianza, encontramos la media de la muestra, calculamos el límite de error y los usamos para calcular el intervalo de confianza. Sin embargo, a veces cuando leemos estudios estadísticos, el estudio puede indicar solo el intervalo de confianza. Si conocemos el intervalo de confianza, podemos trabajar hacia atrás para encontrar tanto el límite de error como la media de la muestra.

    Encontrar el límite de error

    • Del valor superior para el intervalo, restar la media de la muestra,
    • O, del valor superior para el intervalo, restar el valor inferior. Entonces divide la diferencia entre dos.

    Encontrar la media muestral

    • Restar el límite de error del valor superior del intervalo de confianza,
    • O, promediar los puntos finales superior e inferior del intervalo de confianza.

    Observe que existen dos métodos para realizar cada cálculo. Puedes elegir el método que sea más fácil de usar con la información que conozcas.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Supongamos que sabemos que un intervalo de confianza es (67.18, 68.82) y queremos encontrar el límite de error. Podemos saber que la media de la muestra es 68, o quizás nuestra fuente solo dio el intervalo de confianza y no nos dijo el valor de la media de la muestra.

    Calcular el límite de error:

    • Si sabemos que la media muestral es\(68: EBM = 68.82 – 68 = 0.82\).
    • Si no conocemos la media de la muestra:\(EBM = \dfrac{(68.82−67.18)}{2} = 0.82\).

    Calcular la media muestral:

    • Si conocemos el límite de error:\(\bar{x} = 68.82 – 0.82 = 68\)
    • Si no conocemos el límite de error:\(\bar{x} = \dfrac{(67.18+68.82)}{2} = 68\).

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Supongamos que sabemos que un intervalo de confianza es (42.12, 47.88). Encuentra el límite de error y la media de la muestra.

    Contestar

    La media de la muestra es 45, el límite de error es 2.88

    Cálculo del tamaño de la muestra\(n\)

    Si los investigadores desean un margen de error específico, entonces pueden usar la fórmula límite de error para calcular el tamaño de muestra requerido. La fórmula límite de error para una media poblacional cuando se conoce la desviación estándar de la población es

    \[EBM = \left(z_{\dfrac{a}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \label{samplesize}\nonumber \]

    La fórmula para el tamaño de la muestra es\(n = \dfrac{z^{2}\sigma^{2}}{EBM^{2}}\), que se encuentra resolviendo la fórmula límite de error para\(n\). En Ecuación\ ref {samplesize},\(z\) es\(z_{\dfrac{a}{2}}\), correspondiente al nivel de confianza deseado. Un investigador que planifique un estudio que quiera un nivel de confianza específico y un límite de error puede usar esta fórmula para calcular el tamaño de la muestra necesaria para el estudio.

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    La desviación estándar poblacional para la edad de los estudiantes de Foothill College es de 15 años. Si queremos estar 95% seguros de que la edad media de la muestra está dentro de los dos años de la verdadera edad media de la población de los estudiantes de Foothill College, ¿cuántos estudiantes seleccionados al azar de Foothill College deben ser encuestados?

    Solución

    • Por el problema, lo sabemos\(\sigma = 15\) y\(EBM = 2\).
    • \(z = z_{0.025} = 1.96\), porque el nivel de confianza es del 95%.
    • \(n = \dfrac{z^{2}\sigma^{2}}{EBM^{2}} = \dfrac{(1.96)^{2}(15)^{2}}{2^{2}}\)usando la ecuación del tamaño de la muestra.
    • Uso\(n = 217\): Siempre redondea la respuesta UP al siguiente entero superior para asegurar que el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande.

    Por lo tanto, 217 estudiantes de Foothill College deben ser encuestados para estar 95% seguros de que estamos dentro de los dos años de la verdadera edad media de la población de los estudiantes de Foothill College.

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    La desviación estándar poblacional para la estatura de los jugadores de baloncesto de secundaria es de tres pulgadas. Si queremos estar 95% seguros de que la estatura media de la muestra se encuentra dentro de una pulgada de la estatura media real de la población, ¿cuántos estudiantes seleccionados al azar deben ser encuestados?

    Contestar

    35 alumnos

    Referencias

    1. “Buscador de hechos estadounidense”. Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://factfinder2.census.gov/faces/...html? refrescar=t (consultado el 2 de julio de 2013).
    2. “Catálogo de Datos de Divulgación: Informe Resumen de Candidatos 2012” Comisión Federal Electoral de Estados Unidos. Disponible en línea en www.fec.gov/data/index.jsp (consultado el 2 de julio de 2013).
    3. “Tendencias de inscripción de personal por demografía estudiantil Tendencias de otoño de diez años hasta el otoño terminado más recientemente”. Distrito Colegio Comunitario Foothill De Anza. Disponible en línea en Research.fhda.edu/factbook/FH... phicTrends.htm (consultado 30 de septiembre de 2013).
    4. Kuczmarski, Robert J., Cynthia L. Ogden, Shumei S. Guo, Laurence M. Grummer-Stawn, Katherine M. Flegal, Zanguo Mei, Rong Wei, Lester R. Curtin, Alex F. Roche, Clifford L. Johnson. “2000 Gráficos de Crecimiento CDC para Estados Unidos: Métodos y Desarrollo”. Centros de Control y Prevención de Enfermedades. Disponible en línea en www.cdc.gov/growthcharts/2000... thchart-us.pdf (consultado el 2 de julio de 2013).
    5. La, Lynn, Kent Alemán. “Niveles de radiación de teléfonos celulares”. c|net part of CBX Interactive Inc. disponible en línea en http://reviews.cnet.com/cell-phone-radiation-levels/ (consultado el 2 de julio de 2013).
    6. “Ingresos medios en los últimos 12 meses (en dólares ajustados por inflación 2011): Encuesta de la Comunidad Americana 2011 Estimaciones de 1 año”. American Fact Finder, Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://factfinder2.census.gov/faces/...prodType=table (consultado el 2 de julio de 2013).
    7. “Metadatos Descripción del Archivo Resumen del Candidato”. Comisión Federal Electoral de Estados Unidos. Disponible en línea en www.fec.gov/finanzas/disclosur... esummary.shtml (consultado el 2 de julio de 2013).
    8. “Encuesta Nacional de Examen de Salud y Nutrición”. Centros de Control y Prevención de Enfermedades. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/nchs/nhanes.htm (consultado el 2 de julio de 2013).

    Glosario

    Nivel de Confianza (\(CL\))
    la expresión porcentual para la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga el parámetro de población verdadera; por ejemplo, si el\(CL = 90%\), entonces en 90 de cada 100 muestras la estimación del intervalo encerrará el parámetro de población verdadera.
    Límite de error para una media poblacional (\(EBM\))
    el margen de error; depende del nivel de confianza, tamaño de la muestra y desviación estándar de la población conocida o estimada.

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