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8.S: Intervalos de Confianza (Resumen)

  • Page ID
    153369
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Revisar

    En este módulo aprendimos a calcular el intervalo de confianza para una sola media poblacional donde se conoce la desviación estándar poblacional. Al estimar una media poblacional, el margen de error se denomina el límite de error para una media poblacional (MBE). Un intervalo de confianza tiene la forma general:

    \((\text{lower bound, upper bound}) = (\text{point estimate} – EBM, \text{point estimate} + EBM)\)

    El cálculo de\(EBM\) depende del tamaño de la muestra y del nivel de confianza deseado. El nivel de confianza es el porcentaje de todas las muestras posibles que se puede esperar que incluyan el parámetro de población real. A medida que aumenta el nivel de confianza, también\(EBM\) aumenta el correspondiente. A medida que aumenta el tamaño de la muestra,\(EBM\) disminuye. Por el teorema del límite central,

    \(EBM = z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

    Dado un intervalo de confianza, puede trabajar hacia atrás para encontrar el límite de error (\(EBM\)) o la media de la muestra. Para encontrar el límite de error, encuentre la diferencia del límite superior del intervalo y la media. Si no conoces la media muestral, puedes encontrar el límite de error calculando la mitad de la diferencia de los límites superior e inferior. Para encontrar la media muestral dada un intervalo de confianza, encuentra la diferencia del límite superior y el límite de error. Si se desconoce el límite de error, entonces promedia los límites superior e inferior del intervalo de confianza para encontrar la media muestral.

    En ocasiones los investigadores saben de antemano que quieren estimar una media poblacional dentro de un margen de error específico para un determinado nivel de confianza. En ese caso, resolver la\(EBM\) fórmula\(n\) para descubrir el tamaño de la muestra que se necesita para lograr este objetivo:

    \(n = \frac{z^{2}\sigma^{2}}{EBM^{2}}\)

    Revisión de Fórmula

    \(\bar{X} - N \left(\mu_{x}, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)La distribución de medias muestrales se distribuye normalmente con media igual a la media poblacional y desviación estándar dada por la desviación estándar poblacional dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.

    La forma general para un intervalo de confianza para una sola población media, desviación estándar conocida, distribución normal viene dada por

    \[(\text{lower bound, upper bound}) = (\text{point estimate} – EBM, \text{point estimate} + EBM)\]

    \[= \bar{x} - EBM, \bar{x} + EBM\]

    \[= \left(\bar{x} - z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\]

    \(EBM = z\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\)el límite de error para la media, o el margen de error para una sola media poblacional; esta fórmula se utiliza cuando se conoce la desviación estándar poblacional.

    \(CL =\)nivel de confianza, o la proporción de intervalos de confianza creados que se espera que contengan el parámetro de población real

    \(\alpha = 1 – CL =\)la proporción de intervalos de confianza que no contendrán el parámetro de población

    \(z_{\frac{\alpha}{2}}\)= la\(z\) -score con la propiedad de que el área a la derecha de la puntuación z es\(\frac{\propto}{2}\) esta es la\(z\) -score utilizada en el cálculo de "\(EBM\)donde\(\alpha = 1 – CL\)”.

    \(n = \frac{z^{2}\sigma^{2}}{EBM^{2}}\)la fórmula utilizada para determinar el tamaño de la muestra (\(n\)) necesario para lograr un margen de error deseado a un nivel de confianza dado

    Forma general de un intervalo de confianza

    \[(\text{lower value, upper value}) = (\text{point estimate} - \text{error bound, point estimate} + \text{error bound})\]

    Para encontrar el límite de error cuando conoce el intervalo de confianza

    \[\text{error bound} = \text{upper value} - \text{point estimate}\]O\[\text{error bound} = \frac{\text{upper value - lower value}}{2}\]

    Media de Población Única, Desviación Estándar Conocida, Distribución Normal

    Utilice la distribución normal para las medias, se conoce la desviación estándar de la población\(EBM = z\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

    El intervalo de confianza tiene el formato\((\bar{x} - EBM, \bar{x} + EBM)\).

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes cinco ejercicios: Se sabe que la desviación estándar de los pesos de los elefantes es de aproximadamente 15 libras. Se desea construir un intervalo de confianza del 95% para el peso medio de terneros recién nacidos. Se pesan cincuenta elefantes recién nacidos. La media muestral es de 244 libras. La desviación estándar de la muestra es de 11 libras.

    Ejercicio 8.2.8

    Identificar lo siguiente:

    1. \(\bar{x} =\)_____
    2. \(\sigma =\)_____
    3. \(n =\)_____

    Contestar

    1. 244
    2. 15
    3. 50

    Ejercicio 8.2.9

    En palabras, definir las variables aleatorias\(X\) y\(\bar{X}\).

    Ejercicio 8.2.10

    ¿Qué distribución deberías usar para este problema?

    Contestar

    \(N\left(244, \frac{15}{\sqrt{50}}\right)\)

    Ejercicio 8.2.11

    Construir un intervalo de confianza de 95% para el peso medio poblacional de elefantes recién nacidos. Anote el intervalo de confianza, esboce la gráfica y calcule el límite de error.

    Ejercicio 8.2.12

    ¿Qué pasará con el intervalo de confianza obtenido, si se pesan 500 elefantes recién nacidos en lugar de 50? ¿Por qué?

    Contestar

    A medida que aumenta el tamaño de la muestra, habrá menor variabilidad en la media, por lo que el tamaño del intervalo disminuye.

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes siete ejercicios: La Oficina del Censo de Estados Unidos realiza un estudio para determinar el tiempo necesario para completar el formulario corto. El Buró encuestó a 200 personas. La media muestral es de 8.2 minutos. Se conoce una desviación estándar de 2.2 minutos. Se supone que la distribución poblacional es normal.

    Ejercicio 8.2.13

    Identificar lo siguiente:

    1. \(\bar{x} =\)_____
    2. \(\sigma =\)_____
    3. \(n =\)_____

    Ejercicio 8.2.14

    En palabras, definir las variables aleatorias\(X\) y\(\bar{X}\).

    Contestar

    \(X\)es el tiempo en minutos que se tarda en completar el formulario corto del Censo de Estados Unidos. \(\bar{X}\)es el tiempo medio que tardó una muestra de 200 personas en completar el formulario corto del Censo de Estados Unidos.

    Ejercicio 8.2.15

    ¿Qué distribución deberías usar para este problema?

    Ejercicio 8.2.16

    Construir un intervalo de confianza de 90% para la población tiempo medio para completar los formularios. Indique el intervalo de confianza, esboce la gráfica y calcule el límite de error.

    Contestar

    \(CI: (7.9441, 8.4559)\)

    Esta es una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto 8.2 en el eje horizontal. Una región central está sombreada entre los puntos 7.94 y 8.46.
    Figura\(\PageIndex{3}\).

    \(EBM = 0.26\)

    Ejercicio 8.2.17

    Si el Censo quiere aumentar su nivel de confianza y mantener el error vinculado igual realizando otra encuesta, ¿qué cambios debería hacer?

    Ejercicio 8.2.18

    Si el Censo hiciera otra encuesta, mantuviera el error vinculado igual, y encuestara solo a 50 personas en lugar de 200, ¿qué pasaría con el nivel de confianza? ¿Por qué?

    Contestar

    El nivel de confianza disminuiría porque la disminución\(n\) hace que el intervalo de confianza sea más amplio, por lo que al mismo límite de error, el nivel de confianza disminuye.

    Ejercicio 8.2.19

    Supongamos que el Censo necesitaba tener una confianza del 98% del tiempo medio de la población. ¿El Censo tendría que encuestar a más personas? ¿Por qué o por qué no?

    Utilice la siguiente información para responder los siguientes diez ejercicios: Se seleccionó una muestra de 20 cabezas de lechuga. Supongamos que la distribución poblacional del peso de la cabeza es normal. Posteriormente se registró el peso de cada cabeza de lechuga. El peso promedio fue de 2.2 libras con una desviación estándar de 0.1 libras. Se sabe que la desviación estándar poblacional es de 0.2 libras.

    Ejercicio 8.2.20

    Identificar lo siguiente:

    1. \(\bar{x} =\)_____
    2. \(\sigma =\)_____
    3. \(n =\)_____

    Contestar

    1. \(\bar{x} = 2.2\)
    2. \(\sigma = 0.2\)
    3. \(n = 20\)

    Ejercicio 8.2.21

    En palabras, defina la variable aleatoria\(X\).

    Ejercicio 8.2.22

    En palabras, defina la variable aleatoria\(\bar{X}\).

    Contestar

    \(\bar{X}\)es el peso medio de una muestra de 20 cabezas de lechuga.

    Ejercicio 8.2.23

    ¿Qué distribución deberías usar para este problema?

    Ejercicio 8.2.24

    Construir un intervalo de confianza de 90% para el peso medio poblacional de las cabezas de lechuga. Indique el intervalo de confianza, esboce la gráfica y calcule el límite de error.

    Contestar

    \(EBM = 0.07\)

    \(CI: (2.1264, 2.2736)\)

    Esta es una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto 2.2 en el eje horizontal. Una región central está sombreada entre los puntos 2.13 y 2.27.
    Figura\(\PageIndex{4}\).

    Ejercicio 8.2.25

    Construir un intervalo de confianza de 95% para el peso medio poblacional de las cabezas de lechuga. Indique el intervalo de confianza, esboce la gráfica y calcule el límite de error.

    Ejercicio 8.2.26

    En oraciones completas, explique por qué el intervalo de confianza en Ejercicio es mayor que en Ejercicio.

    Contestar

    El intervalo es mayor porque el nivel de confianza aumentó. Si el único cambio realizado en el análisis es un cambio en el nivel de confianza, entonces todo lo que estamos haciendo es cambiar cuánta área se está calculando para la distribución normal. Por lo tanto, un mayor nivel de confianza resulta en áreas más grandes e intervalos más grandes.

    Ejercicio 8.2.27

    En oraciones completas, dar una interpretación de lo que significa el intervalo en Ejercicio.

    Ejercicio 8.2.28

    ¿Qué pasaría si se muestrearan 40 cabezas de lechuga en lugar de 20, y el error encuadernado siguiera siendo el mismo?

    Contestar

    El nivel de confianza aumentaría.

    Ejercicio 8.2.29

    ¿Qué pasaría si se muestrearan 40 cabezas de lechuga en lugar de 20, y el nivel de confianza se mantuviera igual?

    Utiliza la siguiente información para responder a los siguientes 14 ejercicios: La edad media de todos los estudiantes de Foothill College para un trimestre reciente de otoño fue de 33.2. La desviación estándar poblacional ha sido bastante consistente a los 15. Supongamos que veinticinco estudiantes de Invierno fueron seleccionados al azar. La edad media para la muestra fue 30.4. Nos interesa la verdadera edad media para los estudiantes de Winter Foothill College. Let\(X\) = la edad de un estudiante de Winter Foothill College.

    Ejercicio 8.2.30

    \(\bar{x} =\)_____

    Contestar

    30.4

    Ejercicio 8.2.31

    \(n =\)_____

    Ejercicio 8.2.32

    ________\(= 15\)

    Contestar

    \(\sigma\)

    Ejercicio 8.2.33

    En palabras, defina la variable aleatoria\(\bar{X}\).

    Ejercicio 8.2.34

    ¿Qué es\(\bar{x}\) estimar?

    Contestar

    \(\mu\)

    Ejercicio 8.2.35

    ¿Se\(\sigma_{x}\) conoce?

    Ejercicio 8.2.36

    Como resultado de su respuesta a Ejercicio, indique la distribución exacta a utilizar al calcular el intervalo de confianza.

    Contestar

    normal

    Construir un intervalo de confianza del 95% para la edad media real de los estudiantes de Winter Foothill College haciendo ejercicio y luego respondiendo los siguientes siete ejercicios.

    Ejercicio 8.2.37

    ¿Cuánta área hay en ambas colas (combinadas)? \(\alpha =\)________

    Ejercicio 8.2.38

    ¿Cuánta área hay en cada cola? \(\frac{\alpha}{2} =\)________

    Contestar

    0.025

    Ejercicio 8.2.39

    Identificar las siguientes especificaciones:

    1. límite inferior
    2. límite superior
    3. límite de error

    Ejercicio 8.2.40

    El intervalo de confianza del 95% es:__________________.

    Contestar

    (24.52,36.28)

    Ejercicio 8.2.41

    Rellene los espacios en blanco de la gráfica con las áreas, los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la media muestral.

    Curva de distribución normal con dos líneas verticales ascendentes desde el eje x hasta la curva. El intervalo de confianza se encuentra entre estas dos líneas. Las áreas residuales están a ambos lados.
    Figura\(\PageIndex{5}\).

    Ejercicio 8.2.42

    En una oración completa, explique qué significa el intervalo.

    Contestar

    Estamos 95% seguros de que la verdadera edad media para los estudiantes de Winger Foothill College está entre 24.52 y 36.28.

    Ejercicio 8.2.43

    Usando la misma media, desviación estándar y nivel de confianza, supongamos que\(n\) fueron 69 en lugar de 25. ¿El límite de error se haría más grande o menor? ¿Cómo lo sabes?

    Ejercicio 8.2.44

    Usando la misma media, desviación estándar y tamaño de muestra, ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 90%? ¿Por qué?

    Contestar

    El límite de error para la media disminuiría porque a medida que disminuye el CL, se necesita menos área bajo la curva normal (lo que se traduce en un intervalo menor) para capturar la media de la población verdadera.

    Revisar

    En muchos casos, el investigador desconoce la desviación estándar poblacional,\(\sigma\), de la medida que se estudia. En estos casos, es común utilizar la desviación estándar de la muestra\(s\),, como estimación de\(\sigma\). La distribución normal crea intervalos de confianza precisos cuando\(\sigma\) se conoce, pero no es tan precisa cuando\(s\) se usa como estimación. En este caso, la distribución t de Student es mucho mejor. Defina una puntuación t usando la siguiente fórmula:

    \[t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}\]

    El\(t\) puntaje sigue la\(t\) distribución del Estudiante con\(n – 1\) grados de libertad. El intervalo de confianza bajo esta distribución se calcula con\(EBM = \left(t_{\frac{\alpha}{2}}\right)\frac{s}{\sqrt{n}}\) donde\(t_{\frac{\alpha}{2}}\) es la\(t\) -score con área a la derecha igual a\(\frac{\alpha}{2}\),\(s\) es la desviación estándar de la muestra, y\(n\) es el tamaño de la muestra. Use una mesa, calculadora o computadora\(t_{\frac{\alpha}{2}}\) para buscar un determinado\(\alpha\).

    Revisión de Fórmula

    \(s =\)la desviación estándar de los valores de la muestra.

    \(t = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\)es la fórmula para el\(t\) -score que mide qué tan lejos está una medida de la media poblacional en la\(t\) distribución del Estudiante

    \(df = n - 1\); los grados de libertad para una\(t\) distribución de Student donde n representa el tamaño de la muestra

    \(T \sim t_{df}\)la variable aleatoria,\(T\), tiene una\(t\) distribución de Student con\(df\) grados de libertad

    \(EBM = t_{\frac{\alpha}{2}}\frac{s}{\sqrt{n}} =\)el error límite para la media poblacional cuando se desconoce la desviación estándar de la población

    \(t_{\frac{\alpha}{2}}\)es el\(t\) puntaje -en la\(t\) distribución del Estudiante con área a la derecha igual a\(\frac{\alpha}{2}\)

    La forma general para un intervalo de confianza para una sola media, desviación estándar de la población desconocida, t de Student viene dada por (límite inferior, límite superior)

    \[= (\text{point estimate} – EBM, \text{point estimate} + EBM)\]

    \[= \left(\bar{x} - \frac{ts}{\sqrt{n}}, \bar{x} + \frac{ts}{\sqrt{n}}\right)\]

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes cinco ejercicios. Un hospital está tratando de reducir los tiempos de espera de la sala de emergencias. Está interesado en la cantidad de tiempo que los pacientes deben esperar antes de ser llamados de nuevo para ser examinados. Un comité de investigación encuestó aleatoriamente a 70 pacientes. La media de la muestra fue de 1.5 horas con una desviación estándar de la muestra de 0.5 horas.

    Ejercicio 8.3.3

    Identificar lo siguiente:

    1. \(\bar{x} =\)_______
    2. \(s_{x} =\)_______
    3. \(n =\)_______
    4. \(n - 1=\)_______

    Ejercicio 8.3.4

    Definir las variables aleatorias\(X\) y\(\bar{X}\) en palabras.

    Contestar

    \(X\)es el número de horas que un paciente espera en la sala de emergencias antes de ser llamado de nuevo para ser examinado. \(\bar{X}\)es el tiempo medio de espera de 70 pacientes en la sala de urgencias.

    Ejercicio 8.3.5

    ¿Qué distribución deberías usar para este problema?

    Ejercicio 8.3.6

    Construir un intervalo de confianza del 95% para el tiempo promedio de espera de la población. Indique el intervalo de confianza, esboce la gráfica y calcule el límite de error.

    Contestar

    \(CI: (1.3808, 1.6192)\)

    Esta es una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto 1.5 en el eje horizontal. Una región central está sombreada entre los puntos 1.38 y 1.62.
    Figura\(\PageIndex{1}\).

    \(EBM = 0.12\)

    Ejercicio 8.3.7

    Explique en oraciones completas qué significa el intervalo de confianza.

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes seis ejercicios: Se encuestó a ciento ocho estadounidenses para determinar el número de horas que pasan viendo televisión cada mes. Se reveló que observaban un promedio de 151 horas cada mes con una desviación estándar de 32 horas. Supongamos que la distribución poblacional subyacente es normal.

    Ejercicio 8.3.8

    1. \(\bar{x} =\)_______
    2. \(s_{x} =\)_______
    3. \(n =\)_______
    4. \(n - 1=\)_______

    Contestar

    1. \(\bar{x} = 151\)
    2. \(s_{x} = 32\)
    3. \(n = 108\)
    4. \(n - 1= 107\)

    Ejercicio 8.3.9

    Defina la variable aleatoria\(X\) en palabras.

    Ejercicio 8.3.10

    Defina la variable aleatoria\(\bar{X}\) en palabras.

    Contestar

    \(\bar{X}\)es el número medio de horas que pasan viendo televisión al mes de una muestra de 108 estadounidenses.

    Ejercicio 8.3.11

    ¿Qué distribución deberías usar para este problema?

    Ejercicio 8.3.12

    Construir un intervalo de confianza del 99% para la población promedio de horas dedicadas a ver televisión al mes. a) Indicar el intervalo de confianza, b) esbozar la gráfica y c) calcular el límite de error.

    Contestar

    \(CI: (142.92, 159.08)\)

    Esta es una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto 151 en el eje horizontal. Una región central está sombreada entre los puntos 142.92 y 159.08.
    Figura\(\PageIndex{2}\).

    \(EBM = 8.08\)

    Ejercicio 8.3.13

    ¿Por qué cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se bajara al 95%?

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes 13 ejercicios: Los datos de la Tabla son el resultado de una encuesta aleatoria de 39 banderas nacionales (con reemplazo entre picos) de diversos países. Nos interesa encontrar un intervalo de confianza para el verdadero número medio de colores en una bandera nacional. Deje que\(X =\) el número de colores en una bandera nacional.

    \(X\) Freq.
    \ (X\)” class="lt-estados-1928">1 1
    \ (X\)” class="lt-estados-1928">2 7
    \ (X\)” class="lt-estados-1928">3 18
    \ (X\)” class="lt-estados-1928">4 7
    \ (X\)” class="lt-estados-1928">5 6

    Ejercicio 8.3.14

    1. \(\bar{x} =\)_______
    2. \(s_{x} =\)_______
    3. \(n =\)_______

    Contestar

    1. 3.26
    2. 1.02
    3. 39

    Ejercicio 8.3.15

    Defina la variable aleatoria\(\bar{X}\) en palabras.

    Ejercicio 8.3.16

    ¿Qué es\(\bar{x}\) estimar?

    Contestar

    \(\mu\)

    Ejercicio 8.3.17

    ¿Se\(\sigma_{x}\) conoce?

    Ejercicio 8.3.18

    Como resultado de su respuesta a Ejercicio, indique la distribución exacta a utilizar al calcular el intervalo de confianza.

    Contestar

    \(t_{38}\)

    Construir un intervalo de confianza del 95% para el verdadero número medio de colores en las banderas nacionales.

    Ejercicio 8.3.19

    ¿Cuánta área hay en ambas colas (combinadas)?

    Ejercicio 8.3.20

    ¿Cuánta área hay en cada cola?

    Contestar

    0.025

    Ejercicio 8.3.21

    Calcula lo siguiente:

    1. límite inferior
    2. límite superior
    3. límite de error

    Ejercicio 8.3.22

    El intervalo de confianza del 95% es_____.

    Contestar

    (2.93, 3.59)

    Ejercicio 8.3.23

    Rellene los espacios en blanco de la gráfica con las áreas, los límites superior e inferior del Intervalo de Confianza y la media muestral.

    Esta es una plantilla de una curva de distribución normal con la región central sombreada para representar un intervalo de confianza. Las áreas residuales están a ambos lados de la región sombreada. Los espacios en blanco indican que los estudiantes deben etiquetar el nivel de confianza, las áreas residuales y los puntos que definen el intervalo de confianza.
    Figura\(\PageIndex{3}\).

    Ejercicio 8.3.24

    En una oración completa, explique qué significa el intervalo.

    Contestar

    Estamos 95% seguros de que el verdadero número medio de colores para las banderas nacionales está entre 2.93 colores y 3.59 colores.

    Ejercicio 8.3.25

    Utilizando lo mismo\(\bar{x}\),\(s_{x}\), y nivel de confianza, supongamos que\(n\) fueron 69 en vez de 39. ¿El límite de error se haría más grande o menor? ¿Cómo lo sabes?

    Contestar

    El error encuadernado se convertiría\(EBM = 0.245\). Este límite de error disminuye porque a medida que aumentan los tamaños de las muestras, la variabilidad disminuye y necesitamos menos longitud de intervalo para capturar la media verdadera.

    Ejercicio 8.3.26

    Usando lo mismo\(\bar{x}\),\(s_{x}\), y\(n = 39\), ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 90%? ¿Por qué?

    Referencias

    1. Jensen, Tom. “Demócratas, republicanos divididos sobre la opinión de los íconos de la música”. Encuestas de Políticas Públicas. Disponible en línea en www.Publicpolicypolling.com/Day2MusicPoll.pdf (consultado el 2 de julio de 2013).
    2. Madden, Mary, Amanda Lenhart, Sandra Coresi, Urs Gasser, Maeve Duggan, Aaron Smith y Meredith Beaton. “Adolescentes, redes sociales y privacidad”. PewInternet, 2013. Disponible en línea en www.Pewinternet.org/Reports/2... d-Privacy.aspx (consultado el 2 de julio de 2013).
    3. Prince Survey Research Associates International. “Encuesta 2013 para adolescentes y gestión de la privacidad”. Pew Research Center: Internet y American Life Project. Disponible en línea en www.pewinternet.org/~/media//... al%20media.pdf (consultado el 2 de julio de 2013).
    4. Saad, Lidia. “Tres de cada cuatro trabajadores estadounidenses planean trabajar Pas Edad de jubilación: Un poco más dicen que lo harán por elección y no por necesidad”. Gallup® Economy, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/162758/th...ement-age.aspx (consultado el 2 de julio de 2013).
    5. El sondeo de campo. Disponible en línea en field.com/fieldpollonline/subscribers/ (consultado el 2 de julio de 2013).
    6. Zogby. “Nueva encuesta de Sunyit/Zogby Analytics: Pocos estadounidenses se preocupan por situaciones de emergencia que ocurren en su comunidad; solo uno de cada tres tiene un plan de emergencia; 70% apoya la 'inversión' de infraestructura para la seguridad nacional”. Zogby Analytics, 2013. Disponible en línea en http://www.zogbyanalytics.com/news/2...analytics-poll (consultado el 2 de julio de 2013).
    7. “52% Dicen que el atletismo universitario a lo grande es un proceso educativo corrupto”. Informes Rasmussen, 2013. Disponible en línea en http://www.rasmussenreports.com/publ...cation_process (consultado el 2 de julio de 2013).

    Revisar

    Algunas medidas estadísticas, como muchas preguntas de encuestas, miden datos cualitativos más que cuantitativos. En este caso, el parámetro poblacional que se estima es una proporción. Es posible crear un intervalo de confianza para la verdadera proporción poblacional siguiendo procedimientos similares a los utilizados en la creación de intervalos de confianza para las medias poblacionales. Las fórmulas son ligeramente diferentes, pero siguen el mismo razonamiento.

    Dejar\(p′\) representar la proporción muestral\(\frac{x}{n}\), donde\(x\) representa el número de éxitos y\(n\) representa el tamaño de la muestra. Vamos\(q′ = 1 – p′\). Entonces el intervalo de confianza para una proporción poblacional viene dado por la siguiente fórmula:

    (límite inferior, límite superior) =\(\left(p' - EBP, p' + EBP\right) = \left(p' - z\sqrt{\frac{p'q'}{n}}, p' + z\sqrt{\frac{p'q'}{n}}\right)\)

    El método “más cuatro” para calcular los intervalos de confianza es un intento de equilibrar el error introducido utilizando estimaciones de la proporción poblacional al calcular la desviación estándar de la distribución muestral. Simplemente imagina cuatro ensayos adicionales en el estudio; dos son éxitos y dos son fracasos. Calcular\(p′ = \frac{x+2}{n_4}\) y proceder a encontrar el intervalo de confianza. Cuando los tamaños de muestra son pequeños, se ha demostrado que este método proporciona intervalos de confianza más precisos que la fórmula estándar utilizada para muestras más grandes.

    Revisión de Fórmula

    \(p′ = \frac{x}{n}\)donde\(x\) representa el número de éxitos y\(n\) representa el tamaño de la muestra. La variable\(p'\) es la proporción muestral y sirve como estimación puntual para la verdadera proporción poblacional.

    \[q′ = 1 – p′\]

    \[p' - N\left(p, \sqrt{\frac{pq}{n}}\right)\]La variable\(p′\) tiene una distribución binomial que se puede aproximar con la distribución normal que se muestra aquí.

    \(EBP =\)el error encuadernado para una proporción\(= z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{p'q'}{n}}\)

    Intervalo de confianza para una proporción:

    \((\text{lower bound, upper bound}) = (p′ – EBP, p′ + EBP) = \left(p' - z\sqrt{\frac{p'q'}{n}}\right), p' + z\sqrt{\frac{p'q'}{n}}\)

    \(n = \frac{z_{\frac{\alpha}{2}}p'q'}{EBP^{2}}\)proporciona el número de participantes necesarios para estimar la proporción poblacional con confianza\(1 - \alpha\) y margen de error\(EBP\).

    Utilizar la distribución normal para una sola proporción de población\(p' = \frac{x}{n}\)

    \(EBP = \left(z_{\frac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\frac{p'q'}{n}}p' + q' = 1\)

    El intervalo de confianza tiene el formato\((p′ – EBP, p′ + EBP)\).

    • \(\bar{x}\)es una estimación puntual para\(\mu\)
    • \(p′\)es una estimación puntual para\(\rho\)
    • \(s\)es una estimación puntual para\(\sigma\)

    Utilice la siguiente información para responder a los dos ejercicios siguientes: Las empresas de mercadotecnia están interesadas en conocer el porcentaje poblacional de mujeres que toman la mayoría de las decisiones de compra del hogar.

    Ejercicio 8.4.6

    Al diseñar un estudio para determinar esta proporción poblacional, ¿cuál es el número mínimo que necesitarías encuestar para estar 90% seguro de que la proporción poblacional se estima dentro de 0.05?

    Ejercicio 8.4.7

    Si posteriormente se determinara que era importante tener más de 90% de confianza y se encargaran una nueva encuesta, ¿cómo afectaría al número mínimo que se necesita para encuestar? ¿Por qué?

    Contestar

    Disminuiría, porque el\(z\) -score disminuiría, lo que reduciría el numerador y bajando el número.

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes cinco ejercicios: Supongamos que la empresa de marketing hizo una encuesta. Encuestaron aleatoriamente a 200 hogares y encontraron que en 120 de ellos, la mujer tomó la mayoría de las decisiones de compra. Nos interesa la proporción poblacional de hogares donde las mujeres toman la mayoría de las decisiones de compra.

    Ejercicio 8.4.8

    Identificar lo siguiente:

    1. \(x =\)______
    2. \(n =\)______
    3. \(p′ =\)______

    Ejercicio 8.4.9

    Definir las variables aleatorias\(X\) y\(P′ \) en palabras.

    Contestar

    \(X\)es el número de “éxitos” donde la mujer toma la mayoría de las decisiones de compra para el hogar. \(P′\)es el porcentaje de hogares muestreados donde la mujer toma la mayoría de las decisiones de compra para el hogar.

    Ejercicio 8.4.10

    ¿Qué distribución deberías usar para este problema?

    Ejercicio 8.4.11

    Construir un intervalo de confianza del 95% para la proporción poblacional de hogares donde las mujeres toman la mayoría de las decisiones de compra. Indique el intervalo de confianza, esboce la gráfica y calcule el límite de error.

    Contestar

    \(CI: (0.5321, 0.6679)\)

    Esta es una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto 0.6 en el eje horizontal. Una región central está sombreada entre los puntos 0.5321 y 0.6679.
    Figura\(\PageIndex{1}\).

    \(EBM: 0.0679\)

    Ejercicio 8.4.12

    Enumere dos dificultades que la empresa podría tener para obtener resultados aleatorios, si esta encuesta se realizó por correo electrónico.

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes cinco ejercicios: De 1,050 adultos seleccionados al azar, 360 se identificaron como trabajadores manuales, 280 se identificaron como asalariados no manuales, 250 se identificaron como gerentes de nivel medio y 160 se identificaron como ejecutivos. En la encuesta, 82% de los trabajadores manuales preferían camiones, 62% de los asalariados no manuales preferían camiones, 54% de los gerentes de nivel medio preferían camiones y 26% de los ejecutivos preferían camiones.

    Ejercicio 8.4.13

    Nos interesa encontrar el intervalo de confianza del 95% para el porcentaje de ejecutivos que prefieren camiones. Definir variables aleatorias\(X\) y\(P′\) en palabras.

    Contestar

    \(X\)es el número de “éxitos” donde un ejecutivo prefiere un camión. \(P′\)es el porcentaje de ejecutivos muestreados que prefieren una camioneta.

    Ejercicio 8.4.14

    ¿Qué distribución deberías usar para este problema?

    Ejercicio 8.4.15

    Construir un intervalo de confianza del 95%. Indique el intervalo de confianza, esboce la gráfica y calcule el límite de error.

    Contestar

    \(CI: (0.19432, 0.33068)\)

    Esta es una curva de distribución normal. El pico de la curva coincide con el punto 0.26 en el eje horizontal. Una región central está sombreada entre los puntos 0.1943 y 0.3307.
    Figura\(\PageIndex{2}\).

    \(EBM: 0.0707\)

    Ejercicio 8.4.16

    Supongamos que queremos bajar el error de muestreo. ¿Cuál es una manera de lograrlo?

    Ejercicio 8.4.17

    El error de muestreo dado en la encuesta es\(\pm 2%\). Explique lo\(\pm 2%\) que significa.

    Contestar

    El error de muestreo significa que la media verdadera puede estar 2% por encima o por debajo de la media de la muestra.

    Utilice la siguiente información para responder a los siguientes cinco ejercicios: Una encuesta de 1,200 votantes preguntó cuál era el tema más significativo en la próxima elección. Sesenta y cinco por ciento respondió a la economía. Nos interesa la proporción poblacional de votantes que sienten que la economía es la más importante.

    Ejercicio 8.4.18

    Defina la variable aleatoria\(X\) en palabras.

    Ejercicio 8.4.19

    Defina la variable aleatoria\(P′\) en palabras.

    Contestar

    \(P′\)es la proporción de votantes muestreados que dijeron que la economía es el tema más importante en las próximas elecciones.

    Ejercicio 8.4.20

    ¿Qué distribución deberías usar para este problema?

    Ejercicio 8.4.21

    Construir un intervalo de confianza del 90% y establecer el intervalo de confianza y el límite de error.

    Contestar

    \(CI: (0.62735, 0.67265)\)

    \(EBM: 0.02265\)

    Ejercicio 8.4.22

    ¿Qué pasaría con el intervalo de confianza si el nivel de confianza fuera del 95%?

    Utiliza la siguiente información para responder a los siguientes 16 ejercicios: The Ice Chalet ofrece decenas de diferentes clases iniciales de patinaje sobre hielo. Todos los nombres de las clases se ponen en un cubo. Se escogió el 5 P.M., la noche del lunes, de 8 a 12 años, comenzando la clase de patinaje sobre hielo. En esa clase estaban 64 niñas y 16 niños. Supongamos que nos interesa la verdadera proporción de niñas, de 8 a 12 años, en todas las clases de patinaje sobre hielo que comienzan en el Ice Chalet. Supongamos que los niños de la clase seleccionada son una muestra aleatoria de la población.

    Ejercicio 8.4.23

    ¿Qué se está contando?

    Contestar

    El número de niñas, de 8 a 12 años, en las 5 P.M. de lunes por la noche iniciando clase de patinaje sobre hielo.

    Ejercicio 8.4.24

    En palabras, defina la variable aleatoria\(X\).

    Ejercicio 8.4.25

    Calcula lo siguiente:

    1. \(x =\)_______
    2. \(n =\)_______
    3. \(p′ =\)_______

    Contestar

    1. \(x = 64\)
    2. \(n = 80\)
    3. \(p′ = 0.8\)

    Ejercicio 8.4.26

    Anotar la distribución estimada de\(X\). \(X \sim\)________

    Ejercicio 8.4.27

    Definir una nueva variable aleatoria\(P′\). ¿Qué es\(p′\) estimar?

    Contestar

    \(p\)

    Ejercicio 8.4.28

    En palabras, defina la variable aleatoria\(P′\).

    Ejercicio 8.4.29

    Anotar la distribución estimada de\(P′\). Construir un intervalo de confianza del 92% para la verdadera proporción de niñas de 8 a 12 años que inician clases de patinaje sobre hielo en el Ice Chalet.

    Contestar

    \(P\ - N\left(0.8, \sqrt{\frac{(0.8)(0.2)}{80}}\right)\). \((0.72171,0.87829)\).

    Ejercicio 8.4.30

    ¿Cuánta área hay en ambas colas (combinadas)?

    Ejercicio 8.4.31

    ¿Cuánta área hay en cada cola?

    Contestar

    0.04

    Ejercicio 8.4.32

    Calcula lo siguiente:

    1. límite inferior
    2. límite superior
    3. límite de error

    Ejercicio 8.4.33

    El intervalo de confianza del 92% es _______.

    Contestar

    (0.72; 0.88)

    Ejercicio 8.4.34

    Rellene los espacios en blanco de la gráfica con las áreas, los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la proporción muestral.

    Curva de distribución normal con dos líneas verticales ascendentes desde el eje x hasta la curva. El intervalo de confianza se encuentra entre estas dos líneas. Las áreas residuales están a ambos lados.
    Figura\(\PageIndex{3}\).

    Ejercicio 8.4.35

    En una oración completa, explique qué significa el intervalo.

    Contestar

    Con 92% de confianza, estimamos que la proporción de niñas, de 8 a 12 años, en una clase inicial de patinaje sobre hielo en el Ice Chalet está entre 72% y 88%.

    Ejercicio 8.4.36

    Utilizando el mismo\(p′\) y nivel de confianza, supongamos que\(n\) se incrementaron a 100. ¿El límite de error se haría más grande o menor? ¿Cómo lo sabes?

    Ejercicio 8.4.37

    Usando el mismo\(p′\) y\(n = 80\), ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se incrementara al 98%? ¿Por qué?

    Contestar

    El límite de error aumentaría. Suponiendo que todas las demás variables se mantengan constantes, a medida que aumenta el nivel de confianza, el área bajo la curva correspondiente al nivel de confianza se hace mayor, lo que crea un intervalo más amplio y, por lo tanto, un error mayor.

    Ejercicio 8.4.38

    Si disminuyó el límite de error permitido, ¿por qué aumentaría el tamaño mínimo de la muestra (manteniendo el mismo nivel de confianza)?


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