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11.2: Datos sobre la distribución de Chi-Cuadrado

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    153175
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    La notación para la distribución chi-cuadrada es:

    \[\chi \sim \chi^{2}_{df}\]

    donde\(df =\) grados de libertad que depende de cómo se utilice el chi-cuadrado. (Si quieres practicar el cálculo de probabilidades de chi-cuadrado entonces usa\(df = n - 1\). Los grados de libertad para los tres usos principales se calculan cada uno de manera diferente).

    Para la\(\chi^{2}\) distribución, la media poblacional es\(\mu = df\) y la desviación estándar poblacional es

    \[\sigma = \sqrt{2(df)}.\]

    La variable aleatoria se muestra como\(\chi^{2}\), pero puede ser cualquier letra mayúscula. La variable aleatoria para una distribución chi-cuadrada con\(k\) grados de libertad es la suma de variables normales estándar al cuadrado\(k\) independientes.

    \[\chi^{2} = (Z_{1})^{2} + ... + (Z_{k})^{2}\]

    1. La curva es asimétrica y sesgada hacia la derecha.
    2. Hay una curva de chi-cuadrado diferente para cada uno\(df\).
    Figura\(\PageIndex{1}\)
    1. El estadístico de prueba para cualquier prueba siempre es mayor o igual a cero.
    2. Cuando\(df > 90\), la curva chi-cuadrada se aproxima a la distribución normal. Para\(\chi \sim \chi^{2}_{1,000}\) la media,\(\mu = df = 1,000\) y la desviación estándar,\(\mu = \sqrt{2(1,000)}\). Por lo tanto\(X \sim N(1,000, 44.7)\),, aproximadamente.
    3. La media,\(\mu\), se encuentra justo a la derecha del pico.
    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Referencias

    1. Datos de la revista Parade.
    2. “Epidemiología del VIH/SIDA Condado de Santa Clara”. Departamento de Salud Pública del Condado de Santa Clara, mayo de 2011.

    Revisar

    La distribución chi-cuadrada es una herramienta útil para la evaluación en una serie de categorías de problemas. Estas categorías de problemas incluyen principalmente (i) si un conjunto de datos se ajusta a una distribución particular, (ii) si las distribuciones de dos poblaciones son iguales, (iii) si dos eventos pueden ser independientes, y (iv) si existe una variabilidad diferente a la esperada dentro de una población.

    Un parámetro importante en una distribución de chi-cuadrado son los grados de libertad\(df\) en un problema dado. La variable aleatoria en la distribución chi-cuadrada es la suma de cuadrados de las variables normales estándar df, que deben ser independientes. Las características clave de la distribución de chi-cuadrado también dependen directamente de los grados de libertad.

    La curva de distribución de chi-cuadrado está sesgada hacia la derecha, y su forma depende de los grados de libertad\(df\). Para\(df > 90\), la curva se aproxima a la distribución normal. Las estadísticas de prueba basadas en la distribución de chi-cuadrado son siempre mayores o iguales a cero. Tales pruebas de aplicación son casi siempre pruebas de cola derecha.

    Revisión de Fórmula

    \[\chi^{2} = (Z_{1})^{2} + (Z_{2})^{2} + ... + (Z_{df})^{2}\]variable aleatoria de distribución chi-cuadrada

    \(\mu_{\chi^{2}} = df\)distribución chi-cuadrada media de la población

    \(\sigma_{\chi^{2}} = \sqrt{2(df)}\)Desviación estándar de la población de Chi-cuadrado

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Si el número de grados de libertad para una distribución de chi-cuadrado es 25, ¿cuál es la media poblacional y la desviación estándar?

    Contestar

    media\(= 25\) y desviación estándar\(= 7.0711\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Si\(df > 90\), la distribución es _____________. Si\(df = 15\), la distribución es ________________.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    ¿Cuándo se aproxima la curva chi-cuadrada a una distribución normal?

    Contestar

    cuando el número de grados de libertad es mayor que 90

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    ¿Dónde se\(\mu\) ubica en una curva chi-cuadrada?

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    ¿Es más probable que el df sea 90, 20, o dos en la gráfica?

    Figura\(\PageIndex{3}\).

    Contestar

    \(df = 2\)


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