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12.2: Ecuaciones lineales

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La regresión lineal para dos variables se basa en una ecuación lineal con una variable independiente. La ecuación tiene la forma:

    \[y = a + b\text{x}\nonumber \]

    donde\(a\) y\(b\) son números constantes. La variable\(x\) es la variable independiente, y\(y\) es la variable dependiente. Normalmente, elige un valor para sustituir la variable independiente y luego resolver por la variable dependiente.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Los siguientes ejemplos son ecuaciones lineales.

    \[y = 3 + 2\text{x}\nonumber \]

    \[y = -0.01 + 1.2\text{x}\nonumber \]

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    ¿Es el siguiente ejemplo de una ecuación lineal?

    \[y = -0.125 - 3.5\text{x}\nonumber \]

    Contestar

    si

    La gráfica de una ecuación lineal de la forma\(y = a + b\text{x}\) es una línea recta. Cualquier línea que no sea vertical puede ser descrita por esta ecuación.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Grafica la ecuación\(y = -1 + 2\text{x}\).

    Gráfica de la ecuación y = -1 + 2x. Esta es una línea recta que cruza el eje y en -1 y está inclinada hacia arriba y hacia la derecha, elevándose 2 unidades por cada unidad de recorrido.
    Figura\(\PageIndex{1}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    ¿Es el siguiente ejemplo de una ecuación lineal? ¿Por qué o por qué no?

    Esta es una gráfica de una ecuación. El eje x se etiqueta en intervalos de 2 de 0 a 14; el eje y se etiqueta en intervalos de 2 de 0 a 12. La gráfica de la ecuación es una curva que cruza el eje y en 2 y se curva hacia arriba y hacia la derecha.
    Figura\(\PageIndex{2}\).
    Contestar

    No, la gráfica no es una línea recta; por lo tanto, no es una ecuación lineal.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Aaron's Word Processing Service (AWPS) realiza procesamiento de textos. La tarifa por servicios es de $32 por hora más un cargo único de $31.50. El costo total para un cliente depende de la cantidad de horas que se necesita para completar el trabajo.

    Encuentra la ecuación que expresa el costo total en términos de la cantidad de horas requeridas para completar el trabajo.

    Contestar

    Deje que\(x =\) el número de horas que se necesita para hacer el trabajo.

    Deje que\(y =\) el costo total para el cliente.

    El $31.50 es un costo fijo. Si lleva\(x\) horas completar el trabajo, entonces\((32)(x)\) es el costo del procesamiento de textos solamente. El costo total es:\(y = 31.50 + 32\text{x}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Emma's Extreme Sports contrata instructores de ala delta y les paga una tarifa de $50 por clase así como $20 por alumno en la clase. El costo total que Emma paga depende del número de alumnos en una clase. Encuentra la ecuación que expresa el costo total en términos del número de alumnos en una clase.

    Contestar

    \(y = 50 + 20\text{x}\)

    Pendiente e Intercepción Y de una Ecuación Lineal

    Para la ecuación lineal\(y = a + b\text{x}\),\(b =\) pendiente e\(a = y\) -intercepción. Desde álgebra recordar que la pendiente es un número que describe la inclinación de una línea, y la\(y\) -intercepción es la\(y\) coordenada del punto\((0, a)\) donde la línea cruza el\(y\) eje -eje.

    Tres posibles gráficas de la ecuación y = a + bx. Para la primera gráfica, (a), b 0 y así la línea se incline hacia arriba hacia la derecha. Para el segundo, b = 0 y la gráfica de la ecuación es una línea horizontal. En la tercera gráfica, (c), b < 0 y la línea se incline hacia abajo hacia la derecha." src="http://cnx.org/resources/917c2e46d01...ch12_03_01.jpg" style="width: 725px; height: 170px;">
    Figura\(\PageIndex{3}\):. Tres posibles gráficas de\(y = a + b\text{x}\) (a) Si\(b > 0\), la línea se incline hacia arriba hacia la derecha. b) Si\(b = 0\), la línea es horizontal. (c) Si\(b < 0\), la línea se incline hacia abajo hacia la derecha.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Svetlana tutores para ganar dinero extra para la universidad. Por cada sesión de tutoría, cobra una tarifa única de $25 más $15 por hora de tutoría. Una ecuación lineal que expresa la cantidad total de dinero que Svetlana gana por cada sesión que es tutora es\(y = 25 + 15\text{x}\).

    ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cuál es la\(y\) -intercepción y cuál es la pendiente? Interpretarlos usando oraciones completas.

    Contestar

    La variable independiente (\(x\)) es el número de horas que Svetlana da tutoría a cada sesión. La variable dependiente (\(y\)) es la cantidad, en dólares, que Svetlana gana por cada sesión.

    El\(y\) -intercepto es 25 (\(a = 25\)). Al inicio de la sesión de tutoría, Svetlana cobra una cuota única de 25 dólares (aquí es cuando\(x = 0\)). La pendiente es 15 (\(b = 15\)). Por cada sesión, Svetlana gana 15 dólares por cada hora que da clases particulares.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Ethan repara electrodomésticos como lavavajillas y refrigeradores. Por cada visita, cobra $25 más $20 por hora de trabajo. Una ecuación lineal que expresa la cantidad total de dinero que Ethan gana por visita es\(y = 25 + 20\text{x}\).

    ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cuál es la\(y\) -intercepción y cuál es la pendiente? Interpretarlos usando oraciones completas.

    Contestar

    La variable independiente (\(x\)) es el número de horas que Ethan trabaja en cada visita. La variable dependiente (\(y\)) es la cantidad, en dólares, que Ethan gana por cada visita.

    La intercepción y es 25 (\(a = 25\)). Al inicio de una visita, Ethan cobra una tarifa única de $25 (aquí es cuando\(x = 0\)). La pendiente es 20 (\(b = 20\)). Por cada visita, Ethan gana 20 dólares por cada hora que trabaja.

    Resumen

    El tipo de asociación más básico es una asociación lineal. Este tipo de relación se puede definir algebraicamente por las ecuaciones utilizadas, numéricamente con valores de datos reales o predichos, o gráficamente a partir de una curva trazada. (Las líneas se clasifican como curvas rectas.) Álgebraicamente, una ecuación lineal suele tomar la forma\(y = mx + b\), donde\(m\) y\(b\) son constantes,\(x\) es la variable independiente,\(y\) es la variable dependiente. En un contexto estadístico, se escribe una ecuación lineal en la forma\(y = a + bx\), donde\(a\) y\(b\) son las constantes. Esta forma se utiliza para ayudar a los lectores a distinguir el contexto estadístico del contexto algebraico. En la ecuación\(y = a + b\text{x}\), la constante b que multiplica la\(x\) variable (\(b\)se llama coeficiente) se denomina pendiente. La constante a se llama la\(y\) -intercepción.

    La pendiente de una línea es un valor que describe la tasa de cambio entre las variables independientes y dependientes. La pendiente nos indica cómo cambia la variable dependiente (\(y\)) por cada incremento unitario en la variable independiente (\(x\)), en promedio. El\(y\) -intercept se utiliza para describir la variable dependiente cuando la variable independiente es igual a cero.

    Revisión de Fórmula

    \(y = a + b\text{x}\)donde a es la\(y\) -intercepción y\(b\) es la pendiente. La variable\(x\) es la variable independiente y\(y\) es la variable dependiente.


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