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3.2: Complementos, Intersecciones y Uniones

  • Page ID
    151078
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    • Conocer cómo algunos eventos son naturalmente expresables en términos de otros eventos.
    • Aprender a usar fórmulas especiales para la probabilidad de un evento que se exprese en términos de uno o varios otros eventos.

    Algunos eventos pueden expresarse naturalmente en términos de otros, a veces más simples, eventos.

    Complementos

    Definición: Complemento

    El complemento de un evento\(A\) en un espacio muestral\(S\), denotado\(A^c\), es la recopilación de todos los resultados en\(S\) que no son elementos del conjunto\(A\). Corresponde a negar cualquier descripción en palabras del suceso\(A\).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Dos eventos relacionados con el experimento de rodar un solo dado son\(E\): “el número enrollado es par” y\(T\): “el número enrollado es mayor que dos”. Encuentra el complemento de cada uno.

    Solución:

    En el espacio\(S=\{1,2,3,4,5,6\}\) muestral los conjuntos correspondientes de resultados son\(E=\{2,4,6\}\) y\(T=\{3,4,5,6\}\). Los complementos son\(E^c=\{1,3,5\}\) y\(T^c=\{1,2\}\).

    En palabras los complementos se describen por “el número enrollado no es par” y “el número enrollado no es mayor que dos”. Por supuesto, las descripciones más fáciles serían “el número rodado es impar” y “el número enrollado es menor que tres”.

    Si hay\(60\%\) posibilidad de lluvia mañana, ¿cuál es la probabilidad de que el clima sea justo? La respuesta obvia,\(40\%\), es una instancia de la siguiente regla general.

    Definición: Regla de probabilidad para complementos

    La Regla de Probabilidad para Complementos establece que\[P(A^c) = 1 - P(A)\]

    Esta fórmula es particularmente útil cuando es difícil encontrar la probabilidad de un evento directamente.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra la probabilidad de que al menos una cabeza aparezca en cinco tiradas de una moneda justa.

    Solución:

    Identificar los resultados por listas de cinco\(hs\) y\(ts\), como\(tthtt\) y\(hhttt\). A pesar de que es tedioso enumerarlos todos, no es difícil contarlos. Piense en usar un diagrama de árbol para hacerlo. Hay dos opciones para el primer tiro. Para cada uno de estos hay dos opciones para el segundo sorteo, de ahí\(2\times 2 = 4\) resultados para dos tiradas. Para cada uno de estos cuatro resultados, hay dos posibilidades para el tercer sorteo, de ahí\(4\times 2 = 8\) resultados para tres tiradas. De igual manera, hay\(8\times 2 = 16\) resultados para cuatro tiradas y finalmente\(16\times 2 = 32\) resultados para cinco tiradas.

    Vamos a\(O\) denotar el evento “por lo menos una cabeza”. Hay muchas maneras de obtener al menos una cabeza, pero sólo una manera de no hacerlo: todas las colas. Así, aunque es difícil enumerar todos los resultados que forman\(O\), es fácil de escribir\(O^c = \{ttttt\}\). Dado que hay resultados\(32\) igualmente probables, cada uno tiene probabilidad\(\frac{1}{32}\), así\(P(O^c)=1∕32\), de ahí\(P(O) = 1-\frac{1}{32}\approx 0.97\) o sobre una\(97\%\) oportunidad.

    Intersección de eventos

    Definición: intersecciones

    La intersección de eventos\(A\) y\(B\), denotada\(A\cap B\), es la colección de todos los resultados que son elementos tanto de\(A\) los conjuntos como\(B\). Corresponde a combinar descripciones de los dos eventos usando la palabra “y”.

    Decir que el suceso\(A\cap B\) ocurrió significa que en un juicio particular del experimento\(A\) tanto como\(B\) ocurrió. Una representación visual de la intersección de eventos\(A\) y\(B\) en un espacio muestral\(S\) se da en la Figura\(\PageIndex{1}\). La intersección corresponde a la región sombreada en forma de lente que se encuentra dentro de ambos óvalos.

    alt
    Figura\(\PageIndex{1}\): La intersección de los eventos A y B

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    En el experimento de rodar un solo dado, encuentra la intersección\(E\cap T\) de los eventos\(E\): “el número enrollado es par” y\(T\): “el número enrollado es mayor que dos”.

    Solución:

    El espacio muestral es\(S=\{1,2,3,4,5,6\}\). Dado que los resultados que son comunes a\(E=\{2,4,6\}\) y\(T=\{3,4,5,6\}\) son\(4\) y\(6\),\(E\cap T=\{4,6\}\).

    En palabras la intersección se describe por “el número rodado es par y es mayor que dos”. Los únicos números entre uno y seis que son iguales y mayores a dos son cuatro y seis, correspondientes a los\(E\cap T\) dados anteriormente.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Se enrolla una sola matriz.

    1. Supongamos que el dado es justo. Encuentra la probabilidad de que el número rodado sea a la vez par y mayor a dos.
    2. Supongamos que el dado ha sido “cargado” de manera que\(P(1)=\frac{1}{12}\)\(P(6)=\frac{3}{12}\),, y los cuatro resultados restantes son igualmente probables entre sí. Ahora encuentra la probabilidad de que el número rodado sea a la vez par y mayor a dos.

    Solución:

    En ambos casos el espacio muestral es\(S=\{1,2,3,4,5,6\}\) y el evento en cuestión es la intersección\(E\cap T=\{4,6\}\) del ejemplo anterior.

    1. Dado que el dado es justo, todos los resultados son igualmente probables, así que al contar tenemos\(P(E\cap T)=\frac{2}{6}\).
    2. La información sobre las probabilidades de los seis resultados que tenemos hasta el momento es

    \[\begin{array}{l|cccc}Outcome & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ Probablity & \frac{1}{12} & p & p & p & p & \frac{3}{12}\end{array}\]

    Desde\(P(1)+P(6)=\frac{4}{6}=\frac{1}{3}\)

    \[P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\]

    Así\(4p=\frac{2}{3}\), así\(p=\frac{1}{6}\). En particular,\(P(4)=\frac{1}{6}\) por lo tanto:

    \[P(E\cap T) = P(4) + P(6) = \frac{1}{6} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}\]

    Definición: mutuamente excluyente

    Los eventos\(A\) y\(B\) son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir ambos a la vez) si no tienen elementos en común.

    Porque\(A\) y no\(B\) tener resultados en común significa precisamente que es imposible para ambos\(A\) y\(B\) ocurrir en un solo ensayo del experimento aleatorio. Esto da la siguiente regla:

    Definición: Regla de probabilidad para eventos mutuamente excluyentes

    Eventos\(A\) y\(B\) son mutuamente excluyentes si y solo si

    \[P(A ∩ B) = 0\]

    Cualquier evento\(A\) y su complemento\(A^c\) son mutuamente excluyentes, pero\(A\) y\(B\) pueden ser mutuamente excluyentes sin ser complementos.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    En el experimento de rodar un solo dado, encontrar tres opciones para un evento para\(A\) que los eventos\(A\) y\(E\): “el número rodado es par” sean mutuamente excluyentes.

    Solución:

    Ya que\(E=\{2,4,6\}\) y no\(A\) queremos tener elementos en común con\(E\), cualquier evento que no contenga ningún número par servirá. Tres opciones son\(\{1,3,5\}\) (el complemento\(E^c\), las probabilidades),\(\{1,3\}\), y\(\{5\}\).

    Unión de Eventos

    Definición: Unión de Eventos

    La unión de eventos\(A\) y\(B,\) denotados\(A\cup B\), es la recopilación de todos los resultados que son elementos de uno u otro de los conjuntos\(A\) y\(B\), o de ambos. Corresponde a combinar descripciones de los dos eventos usando la palabra “o”.

    Decir que el suceso\(A\cup B\) ocurrió significa que en un juicio particular del experimento cualquiera\(A\) o\(B\) ocurrió (o ambos lo hicieron). En la Figura se da una representación visual de la unión de eventos\(A\) y\(B\) en\(S\) un espacio muestral\(\PageIndex{2}\). La unión corresponde a la región sombreada.

    2b9ac417d3f9501644f5bcc1cfdd8ebb.jpg

    Figura \(\PageIndex{2}\): La unión de los eventos A y B

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    En el experimento de rodar un solo dado, encuentra la unión de los eventos \(E\): “el número enrollado es par” y\(T\): “el número enrollado es mayor que dos”.

    Solución:

    Dado que los resultados que se encuentran en uno\(E=\{2,4,6\}\) o\(T=\{3,4,5,6\}\) (o ambos) son\(2, 3, 4, 5,\) y\(6\), eso significa\(E\cup T=\{2,3,4,5,6\}\).

    Tenga en cuenta que un resultado como el\(4\) que se encuentra en ambos conjuntos todavía se enumera solo una vez (aunque estrictamente hablando no es incorrecto enumerarlo dos veces).

    En palabras la unión se describe por “el número enrollado es par o es mayor que dos”. Cada número entre uno y seis excepto el número uno es par o es mayor que dos, correspondiente a lo\(E\cup T\) dado anteriormente.

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    Se selecciona al azar una familia de dos hijos. Que\(B\) denote el suceso de que al menos un niño es un niño, vamos a\(D\) denotar el suceso de que los géneros de los dos hijos difieren, y dejar\(M\) denotar el evento que coinciden los géneros de los dos hijos. Encontrar\(B\cup D\) y\(B\cup M\).

    Solución:

    Un espacio de muestra para este experimento es\(S=\{bb,bg,gb,gg\}\), donde la primera letra denota el género del primogénito y la segunda letra denota el género del segundo hijo. Los eventos \(B, D,\)y\(M\) son\(B=\{bb,bg,gb\}\),\(D=\{bg,gb\}\),\(M=\{bb,gg\}\).

    Cada resultado en ya\(D\) está en\(B\), entonces los resultados que están en al menos uno u otro de los conjuntos\(B\) y\(D\) es solo el conjunto\(B\) en sí:\(B\cup D=\{bb,bg,gb\}=B\).

    Cada resultado en todo el espacio muestral\(S\) está en al menos uno u otro de los conjuntos\(B\) y\(M\), así\(B\cup M=\{bb,bg,gb,gg\}=S\).

    Definición: Regla Aditiva de Probabilidad

    Una propiedad útil para conocer es la Regla Aditiva de Probabilidad, que es

    \[P(A\cup B) = P(A) + P(B) − P(A\cap B)\]

    El siguiente ejemplo, en el que calculamos la probabilidad de una unión tanto contando como usando la fórmula, muestra por qué se necesita el último término en la fórmula.

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    Se lanzan dos dados justos. Encuentra las probabilidades de los siguientes eventos:

    1. ambos dados muestran un cuatro
    2. al menos un dado muestra un cuatro

    Solución:

    Como fue el caso de lanzar dos monedas idénticas, la experiencia real dicta que para que el espacio muestral tenga resultados igualmente probables debemos enumerar los resultados como si pudiéramos distinguir los dos dados. Podríamos imaginar que uno de ellos es rojo y el otro es verde. Entonces cualquier resultado puede etiquetarse como un par de números como en la siguiente pantalla, donde el primer número del par es el número de puntos en la cara superior del dado verde y el segundo número en el par es el número de puntos en la cara superior del dado rojo.

    \[\begin{array}11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 \\ 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\ 41 & 42 & 43 & 44 & 45 & 46 \\ 51 & 52 & 53 & 54 & 55 & 56 \\ 61 & 62 & 63 & 64 & 65 & 66\end{array}\]

    1. Hay resultados\(36\) igualmente probables, de los cuales exactamente uno corresponde a dos cuatro patas, por lo que la probabilidad de un par de cuatro es\(1/36\).
    2. De la tabla podemos ver que hay\(11\) pares que corresponden al suceso en cuestión: los seis pares en la cuarta fila (el dado verde muestra un cuatro) más los cinco pares adicionales distintos al par\(44\), ya contados, en la cuarta columna (el dado rojo es cuatro), por lo que la respuesta es \(11/36\). Para ver como la fórmula da el mismo número, vamos a\(A_G\) denotar el suceso de que el dado verde es un cuatro y vamos\(A_R\) denotar el suceso de que el rojo muere es un cuatro. Entonces claramente contando obtenemos:\(P(A_G) = 6/36\) y\(P(A_R) = 6/36\). Ya que\(A_G\cap A_R = \{44\}\),\(P(A_G\cap A_R) = 1/36\). Este es el cómputo de la parte 1, por supuesto. Así por la Regla Aditiva de Probabilidad obtenemos:

    \[P(A_G\cap A_R ) = P(A_G) + P(A_R) - P(A_G - A_R) = 6/36 + 6/36 - 1/36 = \frac{11}{36}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    Un servicio de tutoría se especializa en la preparación de adultos para pruebas de equivalencia de preparatoria. Entre todos los estudiantes que buscan ayuda del servicio,\(63\%\) necesitan ayuda en matemáticas,\(34\%\) necesitan ayuda en inglés y\(27\%\) necesitan ayuda tanto en matemáticas como en inglés. ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes que necesitan ayuda ya sea en matemáticas o inglés?

    Solución:

    Imagínese seleccionar a un alumno al azar, es decir, de tal manera que cada alumno tenga las mismas posibilidades de ser seleccionado. Vamos a\(M\) denotar el evento “el estudiante necesita ayuda en matemáticas” y dejar\(E\) denotar el evento “el estudiante necesita ayuda en inglés”. La información que se da es esa\(P(M) = 0.63\),\(P(E) = 0.34\) y\(P(M\cap E) = 0.27\). Así, la Regla Aditiva de Probabilidad da:

    \[P(M\cup E) = P(M) + P(E) - P(M\cap E) = 0.63 + 0.34 - 0.27 = 0.70\]

    Observe cómo el razonamiento ingenuo de que si\(63\%\) necesita ayuda en matemáticas y\(34\%\) necesita ayuda en inglés entonces\(63\) plus\(34\) o\(97\%\) necesita ayuda en uno u otro da un número que es demasiado grande. Se debe restar el porcentaje que necesitan ayuda en ambas materias, de lo contrario las personas que necesitan ayuda en ambas se cuentan dos veces, una por necesitar ayuda en matemáticas y una vez más por necesitar ayuda en inglés. La simple suma de las probabilidades funcionaría si los eventos en cuestión fueran mutuamente excluyentes, pues entonces\(P(A\cap B)\) es cero, y no hace diferencia alguna.

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

    Los voluntarios para un esfuerzo de socorro en casos de desastre se clasificaron de acuerdo a la especialidad (\(C\)\(E\): construcción,\(M\): educación,: medicina) y habilidad lingüística (\(S\): habla un solo idioma con fluidez,\(T\): habla dos o más idiomas con fluidez). Los resultados se muestran en la siguiente tabla de clasificación bidireccional:

    Especialidad Capacidad de Lenguaje
    \(S\) \(T\)
    \(C\) \ (S\)” style="vertical-align:middle; ">12 \ (T\)” style="vertical-align:middle; ">1
    \(E\) \ (S\)” style="vertical-align:middle; ">4 \ (T\)” style="vertical-align:middle; ">3
    \(M\) \ (S\)” style="vertical-align:middle; ">6 \ (T\)” style="vertical-align:middle; ">2

    La primera fila de números significa que\(12\) los voluntarios cuya especialidad es la construcción hablan un solo idioma con fluidez, y el\(1\) voluntario cuya especialidad es la construcción habla al menos dos idiomas con fluidez. De manera similar para las otras dos filas.

    Un voluntario es seleccionado al azar, lo que significa que cada uno tiene las mismas posibilidades de ser elegido. Encuentra la probabilidad de que:

    1. su especialidad es la medicina y habla dos o más idiomas;
    2. o bien su especialidad es la medicina o habla dos o más idiomas;
    3. su especialidad es otra cosa que la medicina.

    Solución:

    Cuando la información se presenta en una tabla de clasificación bidireccional, normalmente es conveniente unir a la tabla los totales de fila y columna, para producir una nueva tabla como esta:

    Especialidad Capacidad de Lenguaje Total
    \(S\) \(T\)
    \(C\) \ (S\)” style="vertical-align:middle; ">12 \ (T\)” style="vertical-align:middle; ">1 13
    \(E\) \ (S\)” style="vertical-align:middle; ">4 \ (T\)” style="vertical-align:middle; ">3 7
    \(M\) \ (S\)” style="vertical-align:middle; ">6 \ (T\)” style="vertical-align:middle; ">2 8
    Total \ (S\)” style="vertical-align:middle; ">22 \ (T\)” style="vertical-align:middle; ">6 28
    1. La probabilidad buscada es\(P(M\cap T)\). El cuadro muestra que hay\(2\) esa gente, fuera de\(28\) todo, de ahí\(P(M\cap T) = 2/28 \approx 0.07\) o sobre una\(7\%\) oportunidad.
    2. La probabilidad buscada es\(P(M\cup T)\). El total de la tercera fila y el total general en la muestra dan\(P(M) = 8/28\). El total de la segunda columna y el total general dan\(P(T) = 6/28\). Así, utilizando el resultado de la parte (1),

    \[P(M\cup T) = P(M) + P(T) - P(M\cap T) = 828 + 628 - 228 = 1228\approx 0.43\]

    o sobre una\(43\%\) oportunidad.

    1. Esta probabilidad se puede calcular de dos maneras. Dado que el evento de interés puede verse como el evento\(C\cup E\) y los eventos\(C\) y\(E\) son mutuamente excluyentes, la respuesta es, utilizando los totales de las dos primeras filas,

    \[P(C\cup E) = P(C) + P(E) - P(C\cap E) = 1328 + 728 - 028 = 2028\approx 0.71\]

    Por otra parte, el evento de interés puede pensarse como el complemento de\(M\),\(M^c\) de ahí usar el valor de\(P(M) \) computado en la parte (2),

    \[P(M^c) = 1 - P(M) = 1 - 828 = 2028\approx 0.71\]

    como antes.

    Llave para llevar

    • La probabilidad de un evento que sea un complemento o unión de eventos de probabilidad conocida se puede calcular usando fórmulas.

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