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6.1: La media y la desviación estándar de la media muestral

  • Page ID
    151186
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    Objetivos de aprendizaje

    • Familiarizarse con el concepto de distribución de probabilidad de la media muestral.
    • Comprender el significado de las fórmulas para la media y desviación estándar de la media muestral.

    Supongamos que deseamos estimar la media\(μ\) de una población. En la práctica real normalmente tomaríamos solo una muestra. Imagínese sin embargo que tomamos muestra tras muestra, todas del mismo tamaño\(n\), y calculamos la media de la muestra\(\bar{x}\) each time. The sample mean \(x\) is a random variable: it varies from sample to sample in a way that cannot be predicted with certainty. We will write \(\bar{X}\) when the sample mean is thought of as a random variable, and write \(x\) for the values that it takes. The random variable \(\bar{X}\) has a mean, denoted \(μ_{\bar{X}}\), and a standard deviation, denoted \(σ_{\bar{X}}\). Here is an example with such a small population and small sample size that we can actually write down every single sample.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Un equipo de remo está formado por cuatro remeros que pesan\(152\),\(156\),\(160\), y\(164\) libras. Encuentre todas las muestras aleatorias posibles con reemplazo de tamaño dos y calcule la media de la muestra para cada una. Úselos para encontrar la distribución de probabilidad, la media y la desviación estándar de la media muestral\(\bar{X}\).

    Solución

    En la siguiente tabla se muestran todas las muestras posibles con reemplazo de tamaño dos, junto con la media de cada una:

    Muestra Media   Muestra Media   Muestra Media   Muestra Media
    152, 152 152   156, 152 154   160, 152 156   164, 152 158
    152, 156 154   156, 156 156   160, 156 158   164, 156 160
    152, 160 156   156, 160 158   160, 160 160   164, 160 162
    152, 164 158   156, 164 160   160, 164 162   164, 164 164

    El cuadro muestra que hay siete valores posibles de la media muestral\(\bar{X}\). El valor\(\bar{x}=152\) ocurre solo de una manera (el remero pesa\(152\) pounds must be selected both times), as does the value \(\bar{x}=164\), pero los otros valores ocurren más de una manera, por lo tanto, es más probable que se observen que\(152\) and \(164\) are. Since the \(16\) samples are equally likely, we obtain the probability distribution of the sample mean just by counting:

    \[\begin{array}{c|c c c c c c c} \bar{x} & 152 & 154 & 156 & 158 & 160 & 162 & 164\\ \hline P(\bar{x}) &\frac{1}{16} &\frac{2}{16} &\frac{3}{16} &\frac{4}{16} &\frac{3}{16} &\frac{2}{16} &\frac{1}{16}\\ \end{array} \nonumber\]

    Ahora aplicamos las fórmulas de la Sección 4.2 a\(\bar{X}\). Para\(\mu_{\bar{X}}\), obtenemos.

    \[\begin{align*} μ_{\bar{X}} &=\sum \bar{x} P(\bar{x}) \\[4pt] &=152\left ( \dfrac{1}{16}\right )+154\left ( \dfrac{2}{16}\right )+156\left ( \dfrac{3}{16}\right )+158\left ( \dfrac{4}{16}\right )+160\left ( \dfrac{3}{16}\right )+162\left ( \dfrac{2}{16}\right )+164\left ( \dfrac{1}{16}\right ) \\[4pt] &=158 \end{align*} \]

    Para\(σ_{\bar{X}}\), primero calculamos\(\sum \bar{x}^2P(\bar{x})\):

    \[\begin{align*} \sum \bar{x}^2P(\bar{x})= 152^2\left ( \dfrac{1}{16}\right )+154^2\left ( \dfrac{2}{16}\right )+156^2\left ( \dfrac{3}{16}\right )+158^2\left ( \dfrac{4}{16}\right )+160^2\left ( \dfrac{3}{16}\right )+162^2\left ( \dfrac{2}{16}\right )+164^2\left ( \dfrac{1}{16}\right ) \end{align*}\]

    que es\(24,974\), para que

    \[\begin{align*} \sigma _{\bar{x}}&=\sqrt{\sum \bar{x}^2P(\bar{x})-\mu _{\bar{x}}^{2}} \\[4pt] &=\sqrt{24,974-158^2} \\[4pt] &=\sqrt{10} \end{align*}\]

    La media y desviación estándar de la población\(\{152,156,160,164\}\) en el ejemplo son\(μ = 158\) y\(σ=\sqrt{20}\). La media de la media muestral\(\bar{X}\) que acabamos de calcular es exactamente la media de la población. La desviación estándar de la media muestral\(\bar{X}\) que acabamos de calcular es la desviación estándar de la población dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra:\(\sqrt{10} = \sqrt{20}/\sqrt{2}\). Estas relaciones no son coincidencias, sino que son ilustraciones de las siguientes fórmulas.

    Definición: Media de la muestra y desviación estándar de la muestra

    Supongamos que\(n\) se extraen muestras aleatorias de tamaño de una población con media\(μ\) y desviación estándar\(σ\). La media\(\mu_{\bar{X}}\) y la desviación estándar\(σ_{\bar{X}}\) of the sample mean \(\bar{X}\) satisfy

    \[μ_{\bar{X}} =μ \label{average}\]

    y

    \[σ_{\bar{X}}=\dfrac{σ}{\sqrt{n}} \label{std}\]

    La ecuación\(\ref{average}\) dice que si pudiéramos tomar cada muestra posible de la población y calcular la media muestral correspondiente, entonces esos números se centrarían en el número que deseamos estimar, la media poblacional\(μ\). La ecuación\(\ref{std}\) dice que los promedios calculados a partir de muestras varían menos de lo que hacen las mediciones individuales en la población, y cuantifica la relación.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    La media y desviación estándar del valor impositivo de todos los vehículos matriculados en un determinado estado son\(μ=\$13,525\) y\(σ=\$4,180\). Supongamos que\(100\) se extraen muestras aleatorias de tamaño de la población de vehículos. ¿Cuáles son la media\(\mu_{\bar{X}}\) y la desviación estándar\(σ_{\bar{X}}\) of the sample mean \(\bar{X}\)?

    Solución

    Ya que\(n = 100\), las fórmulas rinden

    \[\mu _{\bar{X}} =\mu = \$13,525 \nonumber\]

    y

    \[\sigma _{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{\$4,180}{\sqrt{100}}=\$418 \nonumber\]

    Llave para llevar

    • La media muestral es una variable aleatoria; como tal se escribe\(\bar{X}\), and \(\bar{x}\) stands for individual values it takes.
    • Como variable aleatoria la media muestral tiene una distribución de probabilidad, una media\(μ_{\bar{X}}\), and a standard deviation \(σ_{\bar{X}}\).
    • Existen fórmulas que relacionan la media y desviación estándar de la media de la muestra con la media y desviación estándar de la población de la que se extrae la muestra.

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