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7.4: Consideraciones del tamaño de la muestra

  • Page ID
    151192
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    Objetivos de aprendizaje

    • Aprender a aplicar fórmulas para estimar el tamaño de la muestra que serán necesarias para construir un intervalo de confianza para una media o proporción poblacional que cumpla con criterios determinados.

    Por lo general, el muestreo se realiza con un conjunto de objetivos claros en mente. Por ejemplo, un economista podría desear estimar el ingreso medio anual de los trabajadores de una industria en particular en\(90\%\) confianza y dentro\(\$500\). Dado que el muestreo cuesta tiempo, esfuerzo y dinero, sería útil poder estimar la muestra de menor tamaño que probablemente cumpla con estos criterios.

    Estimati\(μ\)

    Las fórmulas de intervalo de confianza para estimar una media poblacional\(\mu\) tienen la forma\(\overline{x} \pm E\). Cuando se conoce la desviación estándar de\(σ\) la población,

    \[E=\dfrac{z_{\alpha/2}σ}{\sqrt{n}}\]

    El número\(z_{\alpha/2}\) está determinado por el nivel de confianza deseado. Decir que deseamos estimar la media a dentro de un cierto número de unidades significa que queremos que el margen de error\(E\) no sea mayor que ese número. Así obtenemos el tamaño de muestra mínimo necesario resolviendo la ecuación mostrada para\(n\).

    Tamaño mínimo de la muestra para estimar una media poblacional

    El tamaño muestral mínimo estimado\(n\) necesario para estimar una media\(μ\) poblacional dentro de\(E\) las unidades de\(100(1−\alpha)\%\) confianza es

    \[n=\dfrac{(z_{\alpha/2})^2σ^2}{E^2} \, \text{(rounded up)} \label{estimate}\]

    Para aplicar la Ecuación\ ref {estimar}, debemos tener conocimiento previo de la población para poder tener una estimación de su desviación estándar\(σ\). En todos los ejemplos y ejercicios se dará la desviación estándar poblacional.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Encuentre el tamaño de muestra mínimo necesario para construir un intervalo de\(99\%\) confianza para\(μ\) con un margen de error\(E = 0.2\). Supongamos que la desviación estándar poblacional es\(σ = 1.3\).

    Solución

    Nivel de confianza\(99\%\) significa que\(α=1−0.99=0.01\) así\(α/2=0.005\). De la última línea de la Figura 7.1.6 obtenemos\(z_{0.005}=2.576\). Por lo tanto

    \[n=\dfrac{(z_{\alpha/2})^2σ^2}{E^2} = \dfrac{(2.576)^2(1.3)^2}{(0.2)^2}=280.361536\]

    a la que redondeamos\(281\), ya que es imposible tomar una observación fraccionaria.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Un economista desea estimar, con un intervalo de\(95\%\) confianza, el ingreso anual de soldadores con al menos cinco años de experiencia a dentro\(\$1,000\). Estima que el rango de ingresos no es mayor que\(\$24,000\), por lo que utilizando la Regla Empírica estima que la desviación estándar poblacional es de aproximadamente una sexta parte, o aproximadamente\(\$4,000\). Encuentre el tamaño de muestra mínimo estimado requerido.

    Solución

    Nivel de confianza\(95\%\) significa que\(α=1−0.95=0.05\) así\(α/2=0.025\). De la última línea de la Figura 7.1.6 obtenemos\(z_{0.025}=1.960\).

    Decir que la estimación es ser “a dentro\(\$1,000\)” significa eso\(E = 1000\). Por lo tanto

    \[n=\dfrac{(z_{\alpha/2})^2σ^2}{E^2} = \dfrac{(1.960)^2(4000)^2}{(1000)^2}=61.4656\]

    a la que redondeamos\(62\).

    Estimando\(p\)

    La fórmula del intervalo de confianza para estimar una proporción poblacional\(p\) es\(\hat{p} ±E\), donde

    \[E=z_{\alpha/2} \sqrt{\dfrac{\hat{p} (1− \hat{p} )}{n}} \]

    El número\(z_{α/2}\) está determinado por el nivel de confianza deseado. Decir que deseamos estimar la proporción poblacional dentro de un cierto número de puntos porcentuales significa que queremos que el margen de error\(E\) no sea mayor que ese número (expresado como una proporción). Así obtenemos el tamaño de muestra mínimo necesario resolviendo la ecuación mostrada para\(n\).

    Tamaño mínimo de la muestra para estimar una proporción poblacional

    El tamaño muestral mínimo estimado n necesario para estimar una proporción poblacional\(p\)\(E\) a dentro de\(100(1−\alpha)\%\) confianza es

    \[n=\dfrac{(z_{\alpha/2})^2 \hat{p} (1− \hat{p} )}{E^2} \text{(rounded up)}\]

    Aquí hay un dilema: la fórmula para estimar qué tan grande es una muestra a tomar contiene el número\(\hat{p}\), que conocemos solo después de haber tomado la muestra. Hay dos formas de salir de este dilema. Normalmente el investigador tendrá alguna idea en cuanto al valor de la proporción poblacional\(p\), de ahí cuál\(\hat{p}\) es probable que sea la proporción muestral. Por ejemplo, si el mes pasado\(37\%\) de todos los votantes pensaban que los impuestos estatales son demasiado altos, entonces es probable que la proporción con esa opinión de este mes no sea dramáticamente diferente, y usaríamos el valor\(0.37\) para\(\hat{p}\) en la fórmula.

    El segundo enfoque para resolver el dilema es simplemente sustituir\(\hat{p}\) en la fórmula por\(0.5\). Esto se debe a que si\(\hat{p}\) es grande entonces\(1− \hat{p}\) es pequeño, y viceversa, lo que limita su producto a un valor máximo de\(0.25\), que ocurre cuando\(\hat{p} =0.5\). A esto se le llama la estimación más conservadora, ya que da la mayor estimación posible de\(n\).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Encontrar el tamaño de muestra mínimo necesario para construir un intervalo de\(98\%\) confianza para\(p\) con un margen de error\(E=0.05\),

    1. asumiendo que no\(p\) se dispone de conocimiento previo sobre ello; y
    2. asumiendo que estudios previos sugieren que\(p\) se trata de\(0.1\).

    Solución

    Nivel de confianza\(98\%\) significa que\(\alpha =1-0.98=0.02\) así\(\alpha /2=0.01\). De la última línea de la Figura 7.1.6 obtenemos\(z_{0.01}=2.326\).

    1. Dado que no hay conocimiento previo de\(p\) nosotros hacemos la estimación más conservadora que\(\hat{p} =0.5\). Entonces

    \[n=\dfrac{(z_{\alpha/2})^2 \hat{p} (1− \hat{p} )}{E^2}= \dfrac{(2.326)^2(0.5)(1−0.5)}{0.05^2}=541.0276\]

    a la que redondeamos\(542\).

    1. Ya\(p\approx 0.1\) que estimamos\(\hat{p}\) por\(0.1\), y obtenemos

    \[n=\dfrac{(z_{\alpha/2})^2 \hat{p} (1− \hat{p} )}{E^2}=\dfrac{(2.326)^2(0.1)(1−0.1)}{0.05^2}=194.769936\]

    a la que redondeamos\(195\).

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Un dermatólogo desea estimar la proporción de adultos jóvenes que aplican protector solar regularmente antes de salir al sol en verano. Encontrar el tamaño mínimo de muestra requerido para estimar la proporción dentro de tres puntos porcentuales, en\(90\%\) confianza.

    Solución

    Nivel de confianza\(90\%\) significa que\(\alpha=1−0.90=0.10\) así\(α/2=0.05\). De la última línea de la Figura 7.1.6 obtenemos\(z_{0.05}=1.645\).

    Dado que no hay conocimiento previo de\(p\) nosotros hacemos la estimación más conservadora que\(\hat{p} =0.5\). Estimar “a dentro de tres puntos porcentuales” significa eso\(E = 0.03\). Entonces

    \[n=\dfrac{(z_{\alpha/2})^2 \hat{p} (1− \hat{p} )}{E^2} = \dfrac{(1.645)^2(0.5)(1−0.5)}{0.03^2}=751.6736111\]

    a la que redondeamos\(752\).

    Llave para llevar

    • Si\(σ\) se conoce o se puede estimar la desviación estándar poblacional, entonces se puede estimar el tamaño muestral mínimo necesario para obtener un intervalo de confianza para la media poblacional con un error máximo dado de la estimación y un nivel de confianza dado.
    • Siempre se puede estimar el tamaño muestral mínimo necesario para obtener un intervalo de confianza para una proporción poblacional con un error máximo dado de la estimación y un nivel de confianza dado. Si hay conocimiento previo de la proporción poblacional p entonces la estimación puede ser agudizada.

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