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1.1: Conjuntos

  • Page ID
    152047
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)\(\newcommand{\A}{\mathbb{A}}\)\(\newcommand{\D}{\mathbb{D}}\)

    La teoría de conjuntos es la base de la probabilidad y la estadística, como lo es para casi todas las ramas de las matemáticas.

    Conjuntos y subconjuntos

    En este texto, los conjuntos y sus elementos son conceptos primitivos, evidentes por sí mismos, un enfoque que a veces se denomina teoría de conjuntos ingenua.

    Un conjunto es simplemente una colección de objetos; los objetos se denominan elementos del conjunto. Se escribe el enunciado que\(x\)\(S\) es un elemento de conjunto\(x \in S\), y la negación que no\( x \) es un elemento de\( S \) se escribe como\( x \notin S \). Por definición, un conjunto está completamente determinado por sus elementos; así establece\(A\) y\(B\) son iguales si tienen los mismos elementos:\[ A = B \text{ if and only if } x \in A \iff x \in B \]

    Nuestra siguiente definición es la relación de subconjuntos, otro concepto muy básico.

    Si\(A\) y\(B\) son conjuntos entonces\(A\) es un subconjunto de\(B\) si cada elemento de\(A\) es también un elemento de\(B\):\[ A \subseteq B \text{ if and only if } x \in A \implies x \in B \]

    Los conceptos en la teoría de conjuntos a menudo se ilustran con pequeños bocetos esquemáticos conocidos como diagramas de Venn, llamados así por John Venn. El diagrama de Venn en la siguiente imagen ilustra la relación de subconjunto.

    A es un subconjunto de B
    Figura\(\PageIndex{1}\):\( A \subseteq B \)

    Como se señaló anteriormente, la membresía es un concepto primitivo e indefinido en la teoría de conjuntos ingenua. No obstante, la siguiente construcción, conocida como la paradoja de Russell, según el matemático y filósofo Bertrand Russell, demuestra que no podemos ser demasiado arrogantes en la construcción de conjuntos.

    Que\(R\) sea el conjunto de todos los conjuntos\( A \) tal que\(A \notin A\). Entonces\(R \in R\) si y sólo si\(R \notin R\).

    Prueba

    La contradicción se desprende de la definición de\( R \): Si\( R \in R \), entonces por definición,\( R \notin R \). Si\( R \notin R \), entonces por definición,\( R \in R \). El resultado neto, por supuesto, es que no\( R \) es un conjunto bien definido.

    Por lo general, los conjuntos en discusión en un contexto particular son todos subconjuntos de un conjunto bien definido y especificado\(S\), a menudo llamado conjunto universal. El uso de un conjunto universal impide el tipo de problema que surge en la paradoja de Russell. Es decir, si\(S\) es un conjunto dado y\(p(x)\) es un predicado sobre\(S\) (es decir, una declaración matemática válida que es verdadera o falsa para cada uno\(x \in S\)), entonces\(\{x \in S: p(x)\}\) es un subconjunto válido de\(S\). Definir un conjunto de esta manera se conoce como forma predicado. La otra forma básica de definir un conjunto es simplemente enumerar sus elementos; este método se conoce como formulario de lista.

    A diferencia de un conjunto universal, el conjunto vacío, denotado\(\emptyset\), es el conjunto sin elementos.

    \(\emptyset \subseteq A\)para cada juego\(A\).

    Prueba

    \( \emptyset \subseteq A \)significa eso\( x \in \emptyset \implies x \in A \). Dado que la premisa es falsa, la implicación es verdadera.

    Un paso adelante del conjunto vacío es un conjunto con un solo elemento. Tal conjunto se llama un conjunto singleton. La relación de subconjunto es un orden parcial en la colección de subconjuntos de\(S\).

    Supongamos que\(A\),\(B\) y\(C\) son subconjuntos de un conjunto\(S\). Entonces

    1. \(A \subseteq A\)(la propiedad reflexiva).
    2. Si\(A \subseteq B\) y\(B \subseteq A\) luego\(A = B \) (la propiedad antisimétrica).
    3. Si\(A \subseteq B\) y\(B \subseteq C\) entonces\(A \subseteq C\) (la propiedad transitiva).

    Aquí hay un par de variaciones sobre la relación de subconjunto.

    Supongamos que\(A\) y\(B\) son conjuntos.

    1. Si\( A \subseteq B \) y\( A \ne B \), entonces\( A \) es un subconjunto estricto de\( B \) y a veces escribimos\( A \subset B \).
    2. Si\( \emptyset \subset A \subset B \), entonces\( A \) se llama un subconjunto apropiado de\( B \).

    La colección de todos los subconjuntos de un conjunto determinado frecuentemente juega un papel importante, particularmente cuando el conjunto dado es el conjunto universal.

    Si\(S\) es un conjunto, entonces el conjunto de todos los subconjuntos de\(S\) se conoce como el conjunto de potencia de\(S\) y se denota\(\mathscr{P}(S)\).

    Sets Especiales

    A lo largo de este texto se utilizan los siguientes conjuntos especiales. Definirlos también nos dará práctica usando la forma de lista y predicado.

    Sets Especiales

    1. \( \R \)denota el conjunto de números reales y es el conjunto universal para los otros subconjuntos de esta lista.
    2. \(\N = \{0, 1, 2, \ldots\}\)es el conjunto de números naturales
    3. \(\N_+ = \{1, 2, 3, \ldots\}\)es el conjunto de enteros positivos
    4. \(\Z = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\)es el conjunto de enteros
    5. \(\Q = \{m / n: m \in \Z \text{ and } n \in \N_+ \}\)es el conjunto de números racionales
    6. \( \A = \{x \in \R: p(x) = 0 \text{ for some polynomial } p \text{ with integer coefficients}\} \)es el conjunto de números algebraicos.

    Tenga en cuenta que\( \N_+ \subset \N \subset \Z \subset \Q \subset \A \subset \R \). También ocasionalmente necesitaremos el conjunto de números complejos\(\C = \{x + i y: x, \, y \in \R\}\) donde\( i \) está la unidad imaginaria. Los siguientes números racionales especiales resultan útiles para diversas construcciones.

    Porque\( n \in \N \), un número racional de la forma\( j / 2^n \) donde\( j \in \Z \) es impar es un racional diádico (o racional binario) de rango\( n \).

    1. Porque\( n \in \N \), el conjunto de racionales diádicos de rango\( n \) o menos es\( \D_n = \{j / 2^n: j \in \Z\} \).
    2. El conjunto de todos los racionales diádicos es\( \D = \{j / 2^n: j \in \Z \text{ and } n \in \N\} \).

    Tenga en cuenta que\( \D_0 = \Z \) y\( \D_n \subset \D_{n+1} \) para\( n \in \N \), y por supuesto,\( \D \subset \Q \). Usamos la notación habitual para intervalos de números reales, pero nuevamente las definiciones proporcionan práctica con notación predicada.

    Supongamos que\( a, \, b \in \R \) con\( a \lt b \).

    1. \( [a, b] = \{x \in \R: a \le x \le b\} \). Este intervalo está cerrado.
    2. \( (a, b) = \{x \in \R: a \lt x \lt b\} \). Este intervalo está abierto.
    3. \( [a, b) = \{x \in \R: a \le x \lt b\} \). Este intervalo es cerrado-abierto.
    4. \( (a, b] = \{x \in \R: a \lt x \le b\} \). Este intervalo es abierto-cerrado.

    Los términos abierto y cerrado son en realidad conceptos topológicos.

    Puede recordar que\( x \in \R \) es racional si y solo si la expansión decimal de\( x \) cualquiera de los dos termina o forma un bloque repetitivo. Los racionales binarios tienen expansiones binarias simples (es decir, expansiones en el sistema numérico base 2).

    Un número\( x \in \R \) es un binario racional de rango\( n \in \N_+ \) si y sólo si la expansión binaria de\( x \) es finita, con\( 1 \) en posición\( n \) (después del separador).

    Prueba

    Baste considerar\( x \in (0, 1) \). El resultado es muy sencillo así que solo damos los primeros casos.

    1. El número con rango 1 es\( 1/2 \) con expansión binaria 0.1
    2. Los números con rango 2 son\( 1/4 \) con expansión 0.01 y\( 3/4 \) con expansión 0.11
    3. Los números con rango 3 son\( 1/8 \) con expansión 0.001,\( 3/8 \) con expansión 0.011,\( 5/8 \) con expansión 0.101, y\( 7/8 \) con expansión 0.111.

    Establecer operaciones

    Ahora estamos listos para revisar las operaciones básicas de la teoría de conjuntos. Para las siguientes definiciones, supongamos que\(A\) y\(B\) son subconjuntos de un conjunto universal, que denotaremos por\(S\).

    La unión de\(A\) y\(B\) es el conjunto obtenido combinando los elementos de\(A\) y\(B\). \[ A \cup B = \{x \in S: x \in A \text{ or } x \in B\} \]

    La intersección de\(A\) y\(B\) es el conjunto de elementos comunes a ambos\(A\) y\(B\):\[ A \cap B = \{x \in S: x \in A \text{ and } x \in B\}\] Si\(A \cap B = \emptyset\) entonces\(A\) y\(B\) son disjuntos.

    Entonces\(A\) y\(B\) son disjuntos si los dos conjuntos no tienen elementos en común.

    La diferencia de conjunto de\(B\) y\(A\) es el conjunto de elementos que están en\(B\) pero no en\(A\):\[ B \setminus A = \{x \in S: x \in B \text{ and } x \notin A\} \]

    A veces (particularmente en obras antiguas y particularmente cuando\( A \subseteq B \)),\( B - A \) se usa la notación en lugar de\( B \setminus A \). Cuando\( A \subseteq B \),\( B - A \) se conoce como diferencia de conjunto adecuado.

    El complemento de\(A\) es el conjunto de elementos que no están en\(A\):\[ A^c = \{ x \in S: x \notin A\} \]

    Tenga en cuenta que la unión, intersección y diferencia son operaciones de conjunto binario, mientras que el complemento es una operación de conjunto unario.

    En la app Diagrama Venn, selecciona cada uno de los siguientes y anota el área sombreada en el diagrama.

    1. \(A\)
    2. \(B\)
    3. \(A^c\)
    4. \(B^c\)
    5. \(A \cup B\)
    6. \(A \cap B\)

    Reglas Básicas

    En los siguientes teoremas\(A\),\(B\),, y\(C\) son subconjuntos de un conjunto universal\(S\). Las pruebas son sencillas, y solo usa las definiciones y la lógica básica. Prueba tú mismo las pruebas antes de leer las que aparecen en el texto.

    \(A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B\).

    Las leyes de identidad:

    1. \(A \cup \emptyset = A\)
    2. \(A \cap S = A\)

    Entonces el conjunto vacío actúa como una identidad relativa a la operación de unión, y el conjunto universal actúa como una identidad relativa a la operación de intersección.

    Las leyes idempotentes:

    1. \(A \cup A = A\)
    2. \(A \cap A = A\)

    Las leyes complementarias:

    1. \(A \cup A^c = S\)
    2. \(A \cap A^c = \emptyset\)

    La ley de doble complemento:\((A^c)^c = A\)

    Las leyes conmutativas:

    1. \(A \cup B = B \cup A\)
    2. \(A \cap B = B \cap A\)
    Prueba

    Estos resultados se derivan de la conmutatividad de los operadores lógicos o y y.

    Las leyes asociativas:

    1. \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\)
    2. \(A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\)
    Prueba

    Estos resultados se derivan de la asociatividad de los operadores lógicos o y y.

    Así, podemos escribir\(A \cup B \cup C\) sin ambigüedades. Tenga en cuenta que\( x \) es un elemento de este conjunto si y solo si\( x \) es un elemento de al menos uno de los tres conjuntos dados. De igual manera, podemos escribir\(A \cap B \cap C\) sin ambigüedades. Tenga en cuenta que\( x \) es un elemento de este conjunto si y solo si\( x \) es un elemento de los tres conjuntos dados.

    Las leyes distributivas:

    1. \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
    2. \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
    Prueba
    1. \( x \in A \cap (B \cup C) \)si y sólo si\( x \in A \) y\( x \in B \cup C \) si y sólo si\( x \in A \) y cualquiera\( x \in B \) o\( x \in C \) si y sólo si\( x \in A \) y\( x \in B\), o,\( x \in A \) y\( x \in C \) si y sólo si\( x \in A \cap B \) o si y sólo\( x \in A \cap C \) si y sólo si\( x \in (A \cap B) \cup (A \cap C \).
    2. La prueba es exactamente la misma que (a), pero con o y y intercambiada.

    Entonces la intersección se distribuye sobre la unión, y la unión se distribuye sobre la intersección. Es interesante comparar las propiedades distributivas de la teoría de conjuntos con las del sistema de números reales. Si\(x, \, y, \, z \in \R\), entonces\(x (y + z) = (x y) + (x z)\), así la multiplicación distribuye sobre la suma, pero no es cierto que\(x + (y z) = (x + y)(x + z)\), así la suma no distribuye sobre la multiplicación. Los siguientes resultados son particularmente importantes en la teoría de la probabilidad.

    Leyes de DeMorgan (llamado así por Agustus DeMorgan):

    1. \((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\)
    2. \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\).
    Prueba
    1. \( x \in (A \cup B)^c \)si y solo si y solo\( x \notin A \cup B \) si y si\(x \notin A \) y solo y\( x \notin B \) si\( x \in A^c \) y solo\( x \in B^c \) si y solo si\( x \in A^c \cap B^c \)
    2. \( x \in (A \cap B)^c \)si y solo si y solo\( x \notin A \cap B \) si\(x \notin A \) o si y solo o\( x \notin B \) si y solo\( x \in A^c \)\( x \in B^c \) si y solo si\( x \in A^c \cup B^c \)

    El siguiente resultado explora las conexiones entre la relación de subconjunto y las operaciones de conjunto.

    Las siguientes declaraciones son equivalentes:

    1. \(A \subseteq B\)
    2. \(B^c \subseteq A^c\)
    3. \(A \cup B = B\)
    4. \(A \cap B = A\)
    5. \(A \setminus B = \emptyset\)
    Prueba
    1. Recordemos que eso\( A \subseteq B \) significa eso\( x \in A \implies x \in B\).
    2. \( B^c \subseteq A^c \)significa eso\( x \notin B \implies x \notin A \). Este es el contrapositivo de (a) y por lo tanto es equivalente a (a).
    3. Si\( A \subseteq B \) entonces claramente\( A \cup B = B \). Por el contrario supongamos\( A \cup B = B \). Si\( x \in A \) entonces\( x \in A \cup B \) es así\( x \in B \). De ahí\( A \subseteq B \).
    4. Si\( A \subseteq B \) entonces claramente\( A \cap B = A \). Por el contrario supongamos\( A \cap B = A \). Si\( x \in A \) entonces\( x \in A \cap B \) y así\( x \in B \). De ahí\( A \subseteq B \).
    5. Supongamos\( A \subseteq B \). Si\( x \in A \) entonces\( x \in B \) y así por definición,\( x \notin A \setminus B \). Si\( x \notin A \) entonces de nuevo por definición,\( x \notin A \setminus B \). Así\( A \setminus B = \emptyset \). Por el contrario supongamos que\( A \setminus B = \emptyset \). Si\( x \in A \) entonces\( x \notin A \setminus B \) es así\( x \in B \). Así\( A \subseteq B \).

    Además de los conjuntos especiales definidos anteriormente, también tenemos los siguientes:

    Más sets especiales

    1. \( \R \setminus \Q \)es el conjunto de números irracionales
    2. \( \R \setminus \A \)es el conjunto de números trascendentales

    Ya que de\( \Q \subset \A \subset \R\) ello se deduce que\( \R \setminus \A \subset \R \setminus \Q \), es decir, cada número trascendental también es irracional.

    La diferencia de conjunto se puede expresar en términos de complemento e intersección. Todas las demás operaciones de conjunto (complemento, unión e intersección) se pueden expresar en términos de diferencia.

    Resultados para set difference:

    1. \(B \setminus A = B \cap A^c\)
    2. \(A^c = S \setminus A\)
    3. \(A \cap B = A \setminus (A \setminus B)\)
    4. \(A \cup B = S \setminus \left\{(S \setminus A) \setminus \left[(S \setminus A) \setminus (S \setminus B)\right]\right\}\)
    Prueba
    1. Esto queda claro a partir de la definición:\( B \setminus A = B \cap A^c = \{x \in S: x \in B \text{ and } x \notin A\} \).
    2. Esto se desprende de (a) con\( B = S \).
    3. Usando (a), la ley de DeMorgan y la ley distributiva, el lado derecho es\[ A \cap (A \cap B^c)^c = A \cap (A^c \cup B) = (A \cap A^c) \cup (A \cap B) = \emptyset \cup (A \cap B) = A \cap B \]
    4. Usando (a), (b), la ley de DeMorgan y la ley distributiva, el lado derecho es\[ \left[A^c \cap (A^c \cap B)^c \right]^c = A \cup (A^c \cap B) = (A \cup A^c) \cap (A \cup B) = S \cap (A \cup B) = A \cup B \]

    Entonces, en principio, podríamos hacer toda la teoría de conjuntos usando la única operación de diferencia de conjunto. Pero como sugieren las letras c) y d), los resultados serían espantosos.

    \((A \cup B) \setminus (A \cap B) = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\).

    Prueba

    Una prueba directa es simple, pero para la práctica vamos a dar una prueba usando álgebra establecida, en particular, la ley de DeMorgan, y la ley distributiva:\ begin {align} (A\ cup B)\ setless (A\ cap B) & = (A\ cup B)\ cap (A\ cap B) ^c = (A\ cup B)\ cap (A^C\ cup B^C)\ & = (A\ cap A^c)\ copa (B\ cap A^c)\ copa (A\ cap B^c) \ copa (B\ cap b^c)\\ & =\ emptyset\ cup (B\ setmenos A)\ cup (A\ setmenos B)\ cup\ emptyset = (A\ setmenos B)\ cup (B\ setmenos A)\ end {align}

    El conjunto en el resultado anterior se llama la diferencia simétrica de\(A\) y\(B\), y a veces se denota\(A \bigtriangleup B\). Los elementos de este conjunto pertenecen a uno pero no a ambos conjuntos dados. Así, la diferencia simétrica corresponde a exclusiva o de la misma manera que la unión corresponde a inclusiva o. Es decir,\( x \in A \cup B \) si y sólo si\( x \in A \) o\( x \in B \) (o ambos);\( x \in A \bigtriangleup B \) si y sólo si\( x \in A \) o\( x \in B \), pero no ambos. Por otra parte, el complemento de la diferencia simétrica consiste en los elementos que pertenecen a ambos o a ninguno de los conjuntos dados:

    \((A \bigtriangleup B)^c = (A \cap B) \cup (A^c \cap B^c) = (A^c \cup B) \cap (B^c \cup A) \)

    Prueba

    De nuevo, una prueba directa es simple, pero vamos a dar una prueba algebraica para la práctica:\ begin {align} (A\ bigtriangleup B) ^c & =\ left [(A\ cup B)\ cap (A\ cap B) ^c\ right] ^c\ & = (A\ cup B) ^c\ cup (A\ cap B) = (A^C\ cap b^C)\ copa (A\ tapa B)\\ & = (A^C\ copa A)\ tapa (A^C\ copa B)\ tapa (B^C\ copa A)\ tapa (B^C \ copa B)\\ & = S\ tapa (A^C\ copa B)\ tapa (B^C\ copa A)\ tapa S = (A^C\ copa B)\ tapa (B^C\ copa A)\ final {alinear}

    Hay 16 conjuntos diferentes (en general) que se pueden construir a partir de dos eventos dados\(A\) y\(B\).

    Prueba

    \( S \)es la unión de 4 conjuntos disjuntos por pares:\( A \cap B \),\( A \cap B^c \),\( A^c \cap B \), y\( A^c \cap B^c \). Si\( A \) y\( B \) están en posición general, estos 4 conjuntos son distintos. Cada conjunto que se puede construir a partir\( A \) y\( B \) es una unión de algunos (quizás ninguno, quizás todos) de estos 4 conjuntos. Hay\( 2^4 = 16 \) sub-colecciones de los 4 conjuntos.

    Abra la aplicación Diagrama Venn. Esta aplicación enumera los 16 conjuntos que se pueden construir a partir de conjuntos dados\( A \) y\( B \) usando las operaciones de conjunto.

    1. Seleccione cada uno de los cuatro subconjuntos en la prueba del último ejercicio:\( A \cap B \),\( A \cap B^c \),\( A^c \cap B \), y\( A^c \cap B^c \). Obsérvese que estos son disjuntos y su unión lo es\( S \).
    2. Selecciona cada uno de los otros 12 conjuntos y muestra cómo cada uno es una unión de algunos de los conjuntos en (a).

    Operaciones Generales

    Las operaciones de unión e intersección se pueden extender fácilmente a una colección finita o incluso infinita de conjuntos.

    Definiciones

    Supongamos que\(\mathscr{A}\) es una colección no vacía de subconjuntos de un conjunto universal\(S\). En algunos casos, los subconjuntos en\(\mathscr{A}\) pueden estar indexados naturalmente por un conjunto de índices no vacíos\(I\), de modo que eso\(\mathscr{A} = \{A_i: i \in I\}\). (En un sentido técnico, cualquier colección de subconjuntos puede ser indexada.)

    La unión de la colección de conjuntos\(\mathscr{A}\) es el conjunto obtenido combinando los elementos de los conjuntos en\(\mathscr{A}\):\[ \bigcup \mathscr{A} = \{x \in S: x \in A \text{ for some } A \in \mathscr{A}\} \]

    Si\(\mathscr{A} = \{A_i: i \in I\} \), para que la colección de conjuntos esté indexada, entonces usamos la notación más natural:\[ \bigcup_{i \in I} A_i =\{x \in S: x \in A_i \text{ for some } i \in I\} \]

    La intersección de la colección de conjuntos\(\mathscr{A}\) es el conjunto de elementos comunes a todos los conjuntos en\(\mathscr{A}\):\[ \bigcap \mathscr{A} = \{x \in S: x \in A \text{ for all } A \in \mathscr{A}\} \]

    Si\(\mathscr{A} = \{A_i : i \in I\}\), para que la colección de conjuntos esté indexada, entonces usamos la notación más natural:\[ \bigcap_{i \in I} A_i = \{x \in S: x \in A_i \text{ for all } i \in I\} \] A menudo, el conjunto de índices es un intervalo entero de\( \N \). En tales casos, una notación aún más natural es usar los límites superior e inferior del conjunto de índices. Por ejemplo, si la colección es\( \{A_i: i \in \N_+\} \) entonces escribiríamos\( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \) para la unión y\( \bigcap_{i=1}^\infty A_i \) para la intersección. De igual manera, si la colección es\( \{A_i: i \in \{1, 2, \ldots, n\}\} \) para algunos\( n \in \N_+ \), escribiríamos\( \bigcup_{i=1}^n A_i \) para la unión y\( \bigcap_{i=1}^n A_i \) para la intersección.

    Una colección de conjuntos\(\mathscr{A}\) es disjunta por pares si la intersección de cualquiera de dos conjuntos en la colección está vacía:\(A \cap B = \emptyset\) para cada uno\(A, \; B \in \mathscr{A}\) con\(A \ne B\).

    \(\mathscr{A}\)Se dice que una colección de conjuntos particiona un conjunto\(B\) si la colección\(\mathscr{A}\) es disjunta por pares y\(\bigcup \mathscr{A} = B\).

    Las particiones están íntimamente relacionadas con las relaciones de equivalencia. Como ejemplo, para\( n \in \N \), el conjunto\[ \mathscr{D}_n = \left\{\left[\frac{j}{2^n}, \frac{j + 1}{2^n}\right): j \in \Z\right\} \] es una partición de\( \R \) en intervalos de igual longitud\(1 / 2^n\). Obsérvese que los puntos finales son los racionales diádicos de rango\( n \) o menos, y que se\( \mathscr{D}_{n+1} \) pueden obtener\( \mathscr{D}_n \) dividiendo cada intervalo en dos partes iguales. Esta secuencia de particiones es una de las razones por las que los racionales diádicos son importantes.

    Reglas Básicas

    En los siguientes problemas,\(\mathscr{A} = \{A_i : i \in I\}\) es una colección de subconjuntos de un conjunto universal\(S\), indexado por un conjunto no vacío\(I\), y\(B\) es un subconjunto de\(S\).

    Las leyes distributivas generales:

    1. \( \left(\bigcup_{i \in I} A_i \right) \cap B = \bigcup_{i \in I} (A_i \cap B) \)
    2. \( \left(\bigcap_{i \in I} A_i \right) \cup B = \bigcap_{i \in I} (A_i \cup B) \)

    Reafirmar las leyes en la notación donde la colección no\(\mathscr{A}\) esté indexada.

    Prueba
    1. \( x \)es un elemento del conjunto a la izquierda o a la derecha de la ecuación si y sólo si\( x \in B \) y\( x \in A_i \) para algunos\( i \in I \).
    2. \( x \)es un elemento del conjunto a la izquierda o a la derecha de la ecuación si y solo si\( x \in B \) o\( x \in A_i \) para cada\( i \in I \).

    \( \left( \bigcup \mathscr{A} \right) \cap B = \bigcup\{A \cap B: A \in \mathscr{A}\} \),\( \left( \bigcap \mathscr{A} \right) \cup B = \bigcap\{A \cup B: A \in \mathscr{A}\} \)

    Las leyes generales de De Morgan:

    1. \( \left(\bigcup_{i \in I} A_i \right)^c = \bigcap_{i \in I} A_i^c \)
    2. \( \left(\bigcap_{i \in I} A_i \right)^c = \bigcup_{i \in I} A_i^c \)

    Reafirmar las leyes en la notación donde la colección no\(\mathscr{A}\) esté indexada.

    Prueba
    1. \( x \in \left(\bigcup_{i \in I} A_i \right)^c \)si y sólo si y sólo\( x \notin \bigcup_{i \in I} A_i \) si por cada si y sólo\( i \in I \) si\( x \notin A_i \) por cada si y sólo si\( x \in A_i^c \) por cada\( i \in I \) si y sólo si\( x \in \bigcap_{i \in I} A_i^c \).
    2. \( x \in \left(\bigcap_{i \in I} A_i \right)^c \)si y sólo\( x \notin \bigcap_{i \in I} A_i \) si y sólo si\( x \notin A_i \) para algunos\( i \in I \) si y sólo si\( x \in A_i^c \) para algunos\( i \in I \) si y sólo si\( x \in \bigcup_{i \in I} A_i^c \).

    \( \left( \bigcup \mathscr{A} \right)^c = \bigcap\{A^c: A \in \mathscr{A}\}\),\( \left( \bigcap \mathscr{A} \right)^c = \bigcup\{A^c: A \in \mathscr{A}\}\)

    Supongamos que la colección\(\mathscr{A}\) particiona\(S\). Para cualquier subconjunto\(B\), las\(\{A \cap B: A \in \mathscr{A}\}\) particiones de colección\(B\).

    Prueba

    Supongamos\( \mathscr{A} = \{A_i: i \in I\} \) dónde\( I \) está un conjunto de índices. Si\( i, \, j \in I \) con\( i \ne j \) entonces\( (A_i \cap B) \cap (A_j \cap B) = (A_i \cap A_j) \cap B = \emptyset \cap B = \emptyset \), entonces la colección\( \{A_i \cap B: i \in I\} \) es disjunta. Además, por el derecho distributivo,\[ \bigcup_{i \in I} (A_i \cap B) = \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) \cap B = S \cap B = B \]

    La partición inducida en B

    Figura\(\PageIndex{2}\): Una partición de\( S \) induce una partición de\( B \)

    Supongamos que\( \{A_i: i \in \N_+\} \) es una colección de subconjuntos de un conjunto universal\( S \)

    1. \( \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k = \left\{x \in S: x \in A_k \text{ for infinitely many } k \in \N_+\right\} \)
    2. \( \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty A_k = \left\{x \in S: x \in A_k \text{ for all but finitely many } k \in \N_+\right\} \)
    Prueba
    1. Tenga en cuenta que\( x \in \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k \) si y sólo si por cada\( n \in \N_+ \) existe\( k \ge n \) tal que\( x \in A_k \). A su vez, esto ocurre si y sólo si\( x \in A_k \) para infinitamente muchos\( k \in \N_+ \).
    2. Tenga en cuenta que\( x \in \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty A_k \) si y sólo si existe\( n \in \N_+ \) tal que\( x \in A_k \) para cada\( k \ge n \). A su vez, esto ocurre si y sólo si\( x \in A_k \) por todos pero finitamente muchos\( k \in \N_+ \).

    Los conjuntos en el resultado anterior resultan ser importantes en el estudio de la probabilidad.

    Conjuntos de productos

    Definiciones

    Los conjuntos de productos son conjuntos de secuencias. La propiedad definitoria de una secuencia, por supuesto, es que el orden así como la pertenencia es importante.

    Empecemos con pares ordenados. En este caso, la propiedad definitoria es aquella\((a, b) = (c, d)\) si y sólo si\(a = c\) y\(b = d\). Curiosamente, la estructura de un par ordenado se puede definir simplemente usando la teoría de conjuntos. La construcción en el resultado a continuación se debe a Kazimierz Kuratowski

    Definir\((a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}\). Esta definición captura la propiedad definitoria de un par ordenado.

    Prueba

    Supongamos\( (a, b) = (c, d) \) que para eso\( \{\{a\}, \{a, b\}\} = \{\{c\}, \{c, d\}\} \). En el caso que\( a = b \) tenga en cuenta que\( (a, b) = \{\{a\}\} \). Así debemos tener\( \{c\} = \{c, d\} = \{a\} \) y por lo tanto\( c = d = a \), y en particular,\( a = c \) y\( b = d \). En el caso de que\( a \ne b \), debemos tener\( \{c\} = \{a\} \) y de ahí\( c = a \). Pero no podemos tener\( \{c, d\} = \{a\} \) porque entonces\( (c, d) = \{\{a\}\} \) y por lo tanto\( \{a, b\} = \{a\} \), lo que forzaría\(a = b\), una contradicción. Así debemos tener\( \{c, d\} = \{a, b\} \). Desde\( c = a \) y\( a \ne b \) debemos tener\( d = b \). Lo contrario es trivial: si\( a = c \) y\( b = d \) entonces\( \{a\} = \{c\} \) y\( \{a, b\} = \{c, d\} \) así\( (a, b) = (c, d) \).

    Por supuesto, es importante no confundir el par ordenado\( (a, b) \) con el intervalo abierto\( (a, b) \), ya que para ambos se usa la misma notación. Por lo general, es un contexto de forma clara a qué tipo de objeto se refiere. Para triples ordenados, la propiedad definitoria es\( (a, b, c) = (d, e, f) \) si y solo si\( a = d \),\( b = e \), y\( c = f \). Los triples ordenados se pueden definir en términos de pares ordenados, que a través del último resultado, utiliza solo teoría de conjuntos.

    Definir\( (a, b, c) = (a, (b, c)) \). Esta definición captura la propiedad definitoria de un triple ordenado.

    Prueba

    Supongamos\( (a, b, c) = (d, e, f) \). Entonces\( (a, (b, c)) = (d, (e, f)) \). De ahí que por la definición de un par ordenado, debemos tener\( a = d \) y\( (b, c) = (e, f) \). Usando la definición nuevamente tenemos\( b = e \) y\( c = f \). Por el contrario, si\( a = d \),\( b = e \), y\( c = f \), entonces\((b, c) = (e, f)\) y por lo tanto\( (a, (b, c)) = (d, (e, f)) \). Así\( (a, b, c) = (d, e, f) \).

    Todo esto es solo para mostrar cómo se pueden construir estructuras complicadas a partir de otras más simples y, en última instancia, a partir de la teoría de conjuntos. ¡Pero ya basta de eso! De manera más general, dos secuencias ordenadas del mismo tamaño (finitas o infinitas) son las mismas si y solo si sus coordenadas correspondientes concuerdan. Así para\( n \in \N_+ \), la definición de\( n \) -tuplas es\( (x_1, x_2, \ldots, x_n) = (y_1, y_2, \ldots, y_n) \) si y sólo si\( x_i = y_i\) para todos\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \). Para secuencias infinitas,\((x_1, x_2, \ldots) = (y_1, y_2, \ldots) \) si y solo si\( x_i = y_i \) para todos\( i \in \N_+ \).

    Supongamos ahora que tenemos una secuencia de\( n \) conjuntos,\((S_1, S_2, \ldots, S_n)\), dónde\( n \in \N_+ \). El producto cartesiano de los conjuntos se define de la siguiente manera:\[ S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n = \left\{\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right): x_i \in S_i \text{ for } i \in \{1, 2, \ldots, n\}\right\} \]

    Los productos cartesianos llevan el nombre de René Descartes. Si\(S_i = S\) para cada uno\(i\), entonces el conjunto de productos cartesianos se puede escribir de forma compacta como\(S^n\), un poder cartesiano. En particular, recordemos que\(\R\) denota el conjunto de números reales por lo que\(\R^n\) es\(n\) -dimensional espacio euclidiano, llamado así por Euclides, por supuesto. Los elementos de\(\{0, 1\}^n\) se llaman cadenas de bits de longitud\(n\). Como su nombre indica, a veces representamos elementos de este conjunto de productos como cadenas en lugar de secuencias (es decir, omitimos los paréntesis y comas). Dado que las coordenadas solo toman dos valores, no hay riesgo de confusión.

    Supongamos que tenemos una secuencia infinita de conjuntos\((S_1, S_2, \ldots)\). El producto cartesiano de los conjuntos se define por\[ S_1 \times S_2 \times \cdots = \left\{\left(x_1, x_2, \ldots\right): x_i \in S_i \text{ for each } i \in \{1, 2, \ldots\}\right\} \]

    Cuando\( S_i = S \) para\( i \in \N_+ \), el conjunto de productos cartesianos a veces se escribe como un poder cartesiano como\( S^\infty \) o como\( S^{\N_+} \). Una explicación para la última notación, así como una construcción mucho más general para productos de conjuntos, se da en la siguiente sección sobre funciones. Además, la notación similar a la de unión general e intersección se utiliza a menudo para el producto cartesiano, con\( \prod \) como operador. Entonces\[ \prod_{i=1}^n S_i = S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n, \quad \prod_{i=1}^\infty S_i = S_1 \times S_2 \times \cdots \]

    Reglas para juegos de productos

    Ahora veremos cómo se relacionan las operaciones de conjunto con la operación del producto cartesiano. Supongamos que\(S\) y\(T\) son conjuntos y eso\(A \subseteq S\),\(B \subseteq S\) y\(C \subseteq T\),\(D \subseteq T\). Los conjuntos en los teoremas a continuación son subconjuntos de\(S \times T\).

    Las reglas más importantes que relacionan el producto cartesiano con la unión, intersección y diferencia son las reglas distributivas:

    Reglas distributivas para conjuntos de productos

    1. \(A \times (C \cup D) = (A \times C) \cup (A \times D)\)
    2. \((A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)\)
    3. \(A \times (C \cap D) = (A \times C) \cap (A \times D)\)
    4. \((A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C)\)
    5. \(A \times (C \setminus D) = (A \times C) \setminus (A \times D)\)
    6. \((A \setminus B) \times C = (A \times C) \setminus (B \times C)\)
    Prueba
    1. \( (x, y) \in A \times (C \cup D) \)si y sólo si\( x \in A \) y\( y \in C \cup D \) si y sólo si\( x \in A \) y cualquiera\( y \in C \) o\( y \in D \) si y sólo si\( x \in A \) y\( y \in C \), o,\( x \in A \) y\( y \in D \) si y sólo si\( (x, y) \in A \times C \) o si y sólo\( (x, y) \in A \times D \) si y sólo si\( (x, y) \in (A \times C) \cup (A \times D) \).
    2. Similar a (a), pero con los roles de las coordenadas invertidos.
    3. \( (x, y) \in A \times (C \cap D) \)si y sólo si\( x \in A \) y\( y \in C \cap D \) si y sólo si\( x \in A \) y y\( y \in D \) si\( y \in C \) y sólo si y si\( (x, y) \in A \times C \) y sólo\( (x, y) \in A \times D \) si y sólo si\( (x, y) \in (A \times C) \cap (A \times D) \).
    4. Similar a (c) pero con los roles de las coordenadas invertidos.
    5. \( (x, y) \in A \times (C \setminus D) \)si y sólo si\( x \in A \) y\( y \in C \setminus D \) si y sólo si\( x \in A \) y y\( y \notin D \) si\( y \in C \) y sólo si y si\( (x, y) \in A \times C \) y sólo\( (x, y) \notin A \times D \) si y sólo si\( (x, y) \in (A \times C) \setminus (A \times D) \).
    6. Similar a (e) pero con los roles de las coordenadas invertidos.

    En general, el producto de los sindicatos es mayor que la unión correspondiente de productos.

    \((A \cup B) \times (C \cup D) = (A \times C) \cup (A \times D) \cup (B \times C) \cup (B \times D)\)

    Prueba

    \( (x, y) \in (A \cup B) \times (C \cup D) \)si y sólo si\( x \in A \cup B \) y\( y \in C \cup D \) si y sólo si al menos uno de los siguientes es verdadero:\( x \in A \) y\( y \in C \), y,\( x \in A \) y\( y \in D \)\( y \in C \),\( x \in B \) y\( y \in D \) si\( x \in B \) y sólo si y sólo si\( (x, y) \in (A \times C) \cup (A \times D) \cup (B \times C) \cup (B \times D) \)

    Por lo que en particular se deduce de eso\((A \times C) \cup (B \times D) \subseteq (A \cup B) \times (C \cup D)\). Por otro lado, el producto de las intersecciones es el mismo que el correspondiente cruce de productos.

    \((A \times C) \cap (B \times D) = (A \cap B) \times (C \cap D)\)

    Prueba

    \((x, y) \in (A \times C) \cap (B \times D)\)si y sólo si\( (x, y) \in A \times C \) y\( (x, y) \in B \times D \) si y sólo si\( x \in A \) y y\( y \in C \) y\( y \in D \) si\( x \in B \) y sólo si y si\( x \in A \cap B \) y sólo\( y \in C \cap D \) si y sólo si\( (x, y) \in (A \cap B) \times (C \cap D) \).

    En general, el producto de las diferencias es menor que la diferencia correspondiente de productos.

    \((A \setminus B) \times (C \setminus D) = [(A \times C) \setminus (A \times D)] \setminus [(B \times C) \setminus (B \times D)]\)

    Prueba

    \( (x, y) \in (A \setminus B) \times (C \setminus D) \)si y sólo si\( x \in A \setminus B \) y\( y \in C \setminus D \) si y sólo si\( x \in A \) y\( x \notin B \) y\( y \in C \) y\( y \notin D \). Por otro lado,\( (x, y) \in [(A \times C) \setminus (A \times D)] \setminus [(B \times C) \setminus (B \times D)] \) si y sólo si\( (x, y) \in (A \times C) \setminus (A \times D) \) y\( (x, y) \notin (B \times C) \setminus (B \times D) \). La primera declaración significa que\( x \in A \) y\( y \in C \) y\( y \notin D \). El segundo enunciado es la negación de\( x \in B \) y\( y \in C \) y\( y \notin D \). Ambas declaraciones sostienen si y sólo si\( x \in A \) y\( x \notin B \) y\( y \in C \) y\( y \notin D \).

    De modo que en particular se deduce que\((A \setminus B) \times (C \setminus D) \subseteq (A \times C) \setminus (B \times D)\),

    Proyecciones y Secciones Transversales

    En esta discusión, supongamos nuevamente que\( S \) y\( T \) son conjuntos no vacíos, y eso\( C \subseteq S \times T \).

    Secciones transversales

    1. La sección transversal de\( C \) en la primera coordenada en\( x \in S \) es\(C_x = \{y \in T: (x, y) \in C\}\)
    2. La sección transversal de\( C \) at en la segunda coordenada en\( y \in T \) es\[ C^y = \{x \in S: (x, y) \in C\} \]

    Tenga en cuenta que\( C_x \subseteq T \) para\( x \in S \) y\( C^y \subseteq S \) para\( y \in T \).

    Proyecciones

    1. La proyección de\(C\) sobre\(T\) es\(C_T = \{y \in T: (x, y) \in C \text{ for some } x \in S\}\).
    2. La proyección de\(C\) sobre\(S\) es\(C^S = \{x \in S: (x, y) \in C \text{ for some } y \in T\}\).

    Las proyecciones son las uniones de las secciones transversales correspondientes.

    Sindicatos

    1. \( C_T = \bigcup_{x \in S} C_x \)
    2. \( C^S = \bigcup_{y \in T} C^y \)

    Las secciones transversales se conservan bajo las operaciones establecidas. Indicamos el resultado para secciones transversales en\( x \in S \). Por simetría, por supuesto, los resultados analgosos se mantienen para las secciones transversales en\( y \in T \).

    Supongamos que\( C, \, D \subseteq S \times T \). Entonces para\( x \in S \),

    1. \( (C \cup D)_x = C_x \cup D_x \)
    2. \( (C \cap D)_x = C_x \cap D_x \)
    3. \( (C \setminus D)_x = C_x \setminus D_x \)
    Prueba
    1. \( y \in (C \cup D)_x \)si y sólo si y sólo\( (x, y) \in C \cup D \) si\( (x, y) \in C \) o si y sólo\( (x, y) \in D \) si y sólo si\( y \in C_x \) o\( y \in D_x \).
    2. La prueba es igual que (a), con y reemplazando o.
    3. La prueba es igual que (a), con y no reemplazando o.

    Para las proyecciones, los resultados son un poco más complicados. Damos los resultados para proyecciones sobre\( T \); naturalmente, los resultados para proyecciones sobre\( S \) son análogos.

    Supongamos otra vez eso\( C, \, D \subseteq S \times T \). Entonces

    1. \( (C \cup D)_T = C_T \cup D_T \)
    2. \( (C \cap D)_T \subseteq C_T \cap D_T \)
    3. \( (C_T)^c \subseteq (C^c)_T \)
    Prueba
    1. Supongamos que\( y \in (C \cup D)_T \). Entonces existe\( x \in S \) tal que\( (x, y) \in C \cup D \). De ahí\( (x, y) \in C \) que así\( y \in C_T \), o\( (x, y) \in D \) así\( y \in D_T \). En cualquier caso,\( y \in C_T \cup D_T \). Por el contrario, supongamos que\( y \in C_T \cup D_T \). Entonces\( y \in C_T \) o\( y \in D_T \). Si\( y \in C_T \) entonces existe\( x \in S \) tal que\( (x, y) \in C \). Pero entonces\( (x, y) \in C \cup D \) así\( y \in (C \cup D)_T \). Del mismo modo si\( y \in D_T \) entonces\( y \in (C \cup D)_T \).
    2. Supongamos que\( y \in (C \cap D)_T \). Entonces existe\( x \in S \) tal que\( (x, y) \in C \cap D \). De ahí\( (x, y) \in C \) tal\( y \in C_T \) y\( (x, y) \in D \) tal\( y \in D_T \). Por lo tanto\( y \in C_T \cap D_T \).
    3. Supongamos que\( y \in (C_T)^c \). Entonces\( y \notin C_T \), así para cada\( x \in S \),\( (x, y) \notin C \). Arreglar\( x_0 \in S \). Entonces\( (x_0, y) \notin C \) así\( (x_0, y) \in C^c \) y por lo tanto\( y \in (C^c)_T \).

    Es fácil ver que la igualdad no se sostiene en general en las partes b) y c). En la parte (b) por ejemplo, supongamos que no\( A_1, \; A_2 \subseteq S \) están vacíos y disjuntos y\( B \subseteq T \) no están vacíos. Dejar\( C = A_1 \times B \) y\( D = A_2 \times B \). Entonces\( C \cap D = \emptyset \) así\( (C \cap D)_T = \emptyset \). Pero\( C_T = D_T = B \). En la parte (c) por ejemplo, supongamos que\( A \) es un subconjunto propio no vacío de\( S \) y\( B \) es un subconjunto propio no vacío de\( T \). Vamos\( C = A \times B \). Entonces\( C_T = B \) así\( (C_T)^c = B^c \). Por otro lado,\( C^c = (A^c \times B) \cup (A \times B^c) \cup (A^c \times B^c) \), entonces\( (C^c)_T = T \).

    Las secciones transversales y proyecciones se extenderán a conjuntos de productos muy generales en la siguiente sección sobre Funciones.

    Ejercicios Computacionales

    Subconjuntos de\( \R \)

    El conjunto universal es\( [0, \infty) \). Dejar\( A = [0, 5] \) y\( B = (3, 7) \). Expresar cada uno de los siguientes en términos de intervalos:

    1. \( A \cap B \)
    2. \( A \cup B \)
    3. \( A \setminus B \)
    4. \( B \setminus A \)
    5. \( A^c \)
    Contestar
    1. \( (3, 5] \)
    2. \( [0, 7) \)
    3. \( [0, 3] \)
    4. \( (5, 7) \)
    5. \( (5, \infty) \)

    El conjunto universal es\( \N \). Dejar\( A = \{n \in \N: n \text{ is even}\} \) y dejar\( B = \{n \in \N: n \le 9\} \). Dar cada uno de los siguientes:

    1. \( A \cap B \)en forma de lista
    2. \( A \cup B \)en forma de predicado
    3. \( A \setminus B \)en forma de lista
    4. \( B \setminus A \)en forma de lista
    5. \( A^c \)en forma de predicado
    6. \( B^c \)en forma de lista
    Contestar
    1. \( \{0, 2, 4, 6, 8\} \)
    2. \( \{n \in \N: n \text{ is even or } n \le 9\} \)
    3. \( \{10, 12, 14, \ldots\} \)
    4. \( \{1, 3, 5, 7, 9\} \)
    5. \( \{n \in \N: n \text{ is odd}\} \)
    6. \( \{10, 11, 12, \ldots\} \)

    Monedas y dados

    Vamos\(S = \{1, 2, 3, 4\} \times \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Este es el conjunto de resultados cuando se lanza un troquel de 4 lados y un troquel de 6 lados. Además vamos\(A = \{(x, y) \in S: x = 2\}\) y\(B = \{(x, y) \in S: x + y = 7\}\). Dar cada uno de los siguientes conjuntos en forma de lista:

    1. \(A\)
    2. \(B\)
    3. \(A \cap B\)
    4. \(A \cup B\)
    5. \(A \setminus B\)
    6. \(B \setminus A\)
    Contestar
    1. \(\{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)\}\)
    2. \(\{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3)\}\)
    3. \(\{(2, 5)\}\)
    4. \(\{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 6), (3, 4), (4, 3)\}\)
    5. \(\{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 6)\}\)
    6. \(\{(1, 6), (3, 4), (4, 3)\}\)

    Vamos\(S = \{0, 1\}^3\). Este es el conjunto de resultados cuando una moneda se lanza 3 veces (0 denota colas y 1 denota cabezas). Además vamos\(A = \{(x_1, x_2, x_3) \in S: x_2 = 1\}\) y\(B = \{(x_1, x_2, x_3) \in S: x_1 + x_2 + x_3 = 2\}\). Dar cada uno de los siguientes conjuntos en forma de lista, usando notación bit-string:

    1. \(S\)
    2. \(A\)
    3. \(B\)
    4. \(A^c\)
    5. \(B^c\)
    6. \(A \cap B\)
    7. \(A \cup B\)
    8. \(A \setminus B\)
    9. \(B \setminus A\)
    Contestar
    1. \(\{000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111\}\)
    2. \(\{010, 110, 011, 111\}\)
    3. \(\{110, 011, 101\}\)
    4. \(\{000, 100, 001, 101\}\)
    5. \(\{000, 100, 010, 001, 111\}\)
    6. \(\{110, 011\}\)
    7. \(\{010, 110, 011, 111, 101\}\)
    8. \(\{010, 111\}\)
    9. \(\{101\}\)

    Vamos\(S = \{0, 1\}^2\). Este es el conjunto de resultados cuando una moneda es arrojada dos veces (0 denota colas y 1 denota cabezas). Dar\(\mathscr{P}(S)\) en forma de lista.

    Contestar

    \(\{\emptyset, \{00\}, \{01\}, \{10\}, \{11\}, \{00, 01\}, \{00, 10\}, \{00, 11\}, \{01, 10\}, \{01, 11\}, \{10, 11\}, \{00, 01, 10\}, \{00, 01, 11\}, \{00, 10, 11\}, \{01, 10, 11\}, \{00, 01, 10, 11\}\}\)

    Tarjetas

    Una baraja de cartas estándar puede ser modelada por el conjunto de productos cartesianos\[ D = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, j, q, k\} \times \{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\} \] donde la primera coordenada codifica la denominación o tipo (as, 2—10, jota, reina, rey) y donde la segunda coordenada codifica el palo (palos, diamantes, corazones, espadas). A veces representamos una carta como una cuerda en lugar de una pareja ordenada (por ejemplo,\(q \heartsuit\) para la reina de corazones). Por los problemas de esta subsección, el mazo de cartas\(D\) es el conjunto universal.

    Dejar\(H\) denotar el conjunto de corazones y\(F\) el conjunto de cartas de cara. Encuentra cada uno de los siguientes:

    1. \(H \cap F\)
    2. \(H \setminus F\)
    3. \(F \setminus H\)
    4. \(H \bigtriangleup F\)
    Contestar
    1. \(\{j \heartsuit, q \heartsuit, k \heartsuit\}\)
    2. \(\{1 \heartsuit, 2 \heartsuit, 3 \heartsuit, 4 \heartsuit, 5 \heartsuit, 6 \heartsuit, 7 \heartsuit, 8 \heartsuit, 9 \heartsuit, 10 \heartsuit\}\)
    3. \(\{j \spadesuit, q \spadesuit, k \spadesuit, j \diamondsuit, q \diamondsuit, k \diamondsuit, j \clubsuit, q \clubsuit, k \clubsuit\}\)
    4. \(\{1 \heartsuit, 2 \heartsuit, 3 \heartsuit, 4 \heartsuit, 5 \heartsuit, 6 \heartsuit, 7 \heartsuit, 8 \heartsuit, 9 \heartsuit, 10 \heartsuit, j \spadesuit, q \spadesuit, k \spadesuit, j \diamondsuit, q \diamondsuit, k \diamondsuit, j \clubsuit, q \clubsuit, k \clubsuit\}\)

    Una mano de puente es un subconjunto de\( D \) con 13 cartas. A menudo, las manecillas del puente se describen dando las secciones transversales por traje.

    Supongamos que\( N \) es una mano de puente, sostenida por un jugador llamado Norte, definida por\[ N^\clubsuit = \{2, 5, q\}, \, N^\diamondsuit = \{1, 5, 8, q, k\}, \, N^\heartsuit = \{8, 10, j, q\}, \, N^\spadesuit = \{1\} \] Encuentra cada uno de los siguientes:

    1. Las secciones transversales no vacías de\( N \) por denominación.
    2. La proyección de\( N \) sobre el conjunto de trajes.
    3. La proyección de\( N \) sobre el conjunto de denominaciones
    Contestar
    1. \( N_1 = \{\diamondsuit, \spadesuit\} \),\( N_2 = \{\clubsuit\} \),\( N_5 = \{\clubsuit, \diamondsuit\} \),\( N_8 = \{\diamondsuit, \heartsuit\} \),,\( N_{10} = \{\heartsuit\} \),\( N_j = \{\heartsuit\} \),\( N_q = \{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit\} \),\( N_k = \{\diamondsuit\} \)
    2. \( \{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\} \)
    3. \( \{1, 2, 5, 8, 10, j, q, k\} \)

    Por el contrario, suele ser más útil describir una mano de póquer dando las secciones transversales por denominación. En la versión habitual de draw poker, una mano es un subconjunto de\( D \) con 5 cartas.

    Supongamos que\( B \) es una mano de póquer, sostenida por un jugador llamado Bill, con\[ B_1 = \{\clubsuit, \spadesuit\}, \, B_8 = \{\clubsuit, \spadesuit\}, \, B_q = \{\heartsuit\} \] Encuentra cada uno de los siguientes:

    1. Las secciones transversales no vacías de\( B \) por traje.
    2. La proyección de\( B \) sobre el conjunto de trajes.
    3. La proyección de\( B \) sobre el conjunto de denominaciones
    Contestar
    1. \( B^\clubsuit = \{1, 8\} \),\( B^\heartsuit = \{q\} \),\( B^\spadesuit = \{1, 8\} \)
    2. \( \{\clubsuit, \heartsuit, \spadesuit\} \)
    3. \( \{1, 8, q\} \)

    La mano de póquer en el último ejercicio se conoce como mano de hombre muerto. Cuenta la leyenda que Wild Bill Hickock tomó esta mano en el momento de su asesinato en 1876.

    Uniones generales e intersecciones

    Para los problemas de esta subsección, el conjunto universal es\(\R\).

    Dejemos\(A_n = [0, 1 - \frac{1}{n}]\) para\(n \in \N_+\). Encuentra

    1. \(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\)
    2. \(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\)
    3. \(\bigcap_{n=1}^\infty A_n^c\)
    4. \(\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c\)
    Contestar
    1. \(\{0\}\)
    2. \([0, 1)\)
    3. \((-\infty, 0) \cup [1, \infty)\)
    4. \(\R - \{0\}\)

    Dejemos\(A_n = (2 - \frac{1}{n}, 5 + \frac{1}{n})\) para\(n \in \N_+\). Encuentra

    1. \(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\)
    2. \(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\)
    3. \(\bigcap_{n=1}^\infty A_n^c\)
    4. \(\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c\)
    Contestar
    1. \([2, 5]\)
    2. \((1, 6)\)
    3. \((-\infty, 1] \cup [6, \infty)\)
    4. \((-\infty, 2) \cup (5, \infty)\)

    Subconjuntos de\( \R^2 \)

    Dejar\( T \) ser la región triangular cerrada en\( \R^2 \) con vértices\( (0, 0) \),\( (1, 0) \), y\( (1, 1) \). Encuentra cada uno de los siguientes:

    1. La sección transversal\( T_x \) para\( x \in \R \)
    2. La sección transversal\( T^y \) para\( y \in \R \)
    3. La proyección de\( T \) sobre el eje horizontal
    4. La proyección de\( T \) sobre el eje vertical
    Contestar
    1. \( T_x = [0, x] \)para\( x \in [0, 1] \), de\( T_x = \emptyset \) lo contrario
    2. \( T^y = [y, 1] \)para\( y \in [0, 1] \), de\( T^y = \emptyset \) lo contrario
    3. \( [0, 1] \)
    4. \( [0, 1] \)

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