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2.8: Existencia y singularidad

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    152188
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

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    Supongamos que\( S \) es un conjunto y\( \mathscr{S} \) un\( \sigma \) -álgebra de subconjuntos de\( S \), por lo que\( (S, \mathscr{S}) \) es un espacio medible. En muchos casos, es imposible definir una medida positiva\(\mu\) sobre\(\mathscr{S}\) explícitamente, dando una fórmula para computar\(\mu(A)\) para cada uno\(A \in \mathscr{S}\). Más bien, a menudo sabemos cómo\(\mu\) debería funcionar la medida en alguna clase de conjuntos\(\mathscr{B}\) que genera\( \mathscr{S} \). Entonces nos gustaría saber que se\(\mu\) puede extender a una medida positiva sobre\(\mathscr{S}\), y que esta extensión es única. El propósito de esta sección es discutir los resultados básicos sobre este tema. Para entender esta sección necesitarás revisar las secciones sobre Teoría de Mediciones y Estructuras Especiales de Conjuntos en el capítulo sobre Fundaciones, y la sección sobre Espacios de Medida en este capítulo. Si no te interesan las cuestiones de existencia y singularidad de medidas positivas, puedes saltarte con seguridad esta sección.

    Teoría Básica

    Medidas positivas sobre álgebras

    Supongamos primero que\( \mathscr A \) es un álgebra de subconjuntos de\(S\). Recordemos que esto significa que\( \mathscr A \) es una colección de subconjuntos que contiene\(S\) y se cierra bajo complementos y uniones finitas (y por lo tanto también intersecciones finitas). Aquí está nuestra primera definición:

    Una medida positiva\(\mathscr A\) es una función\( \mu: \mathscr A \to [0, \infty] \) que satisface las siguientes propiedades:

    1. \( \mu(\emptyset) = 0 \)
    2. Si\( \{A_i: i \in I\} \) es una colección contable, disjunta de conjuntos en\( \mathscr A \) y si\( \bigcup_{i \in I} A_i \in \mathscr A \) entonces\[ \mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \sum_{i \in I} \mu(A_i) \]

    Claramente, la definición de una medida positiva en un álgebra es muy similar a la definición de\( \sigma \) a-álgebra. Si la colección de conjuntos en (b) es finita, entonces\( \bigcup_{i \in I} A_i \) debe estar en el álgebra\( \mathscr A \). Así,\( \mu \) es finitamente aditivo. Si la colección es contablemente infinita, entonces no hay garantía de que la unión esté adentro\( \mathscr A \). Si es sin embargo, entonces\( \mu \) debe ser aditivo sobre esta colección. Dada la similitud, no es de extrañar que\( \mu \) comparta muchas de las propiedades básicas de una medida positiva sobre un\( \sigma \) álgebra, con pruebas que son casi idénticas.

    Si\( A, \, B \in \mathscr A \), entonces\( \mu(B) = \mu(A \cap B) + \mu(B \setminus A) \).

    Prueba

    Tenga en cuenta que\( B = (A \cap B) \cup (B \setminus A) \), y los conjuntos en la unión están en el álgebra\( \mathscr A \) y son disjuntos.

    Si\( A, \, B \in \mathscr A \) y\( A \subseteq B \) entonces

    1. \( \mu(B) = \mu(A) + \mu(B \setminus A) \)
    2. \( \mu(A) \le \mu(B) \)
    Prueba

    La parte (a) se desprende del teorema anterior, ya que\( A \cap B = A \). La parte b) se desprende de la parte a).

    Así\( \mu \) está aumentando, en relación con el orden parcial del subconjunto\( \subseteq \) encendido\( \mathscr A \) y el orden ordinario\( \le \) encendido\( [0, \infty] \). Tenga en cuenta también que si\( A, \, B \in \mathscr A \) y\( \mu(B) \lt \infty \) entonces\( \mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A \cap B) \). En el caso especial que\( A \subseteq B \), esto se convierte\( \mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A) \). Si\( \mu(S) \lt \infty \) entonces\( \mu(A^c) = \mu(S) - \mu(A) \). Estas son las reglas familiares de diferencia y complemento.

    El siguiente resultado es la propiedad subaditiva para una medida positiva\( \mu \) en un álgebra\( \mathscr A \).

    Supongamos que\( \{A_i: i \in I \}\) es una colección contable de conjuntos en\( \mathscr A \) y eso\( \bigcup_{i \in I} A_i \in \mathscr A \). Entonces\[ \mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i \right) \le \sum_{i \in I} \mu(A_i) \]

    Prueba

    La prueba es igual que antes. Asumir eso\( I = \N_+ \). Dejar\( B_1 = A_1 \) y\( B_i = A_i \setminus (A_1 \cup \ldots \cup A_{i-1}) \) para\( i \in \{2, 3, \ldots\} \). Entonces\( \{B_i: i \in I\} \) es una colección disjunta de conjuntos en\( \mathscr A \) con la misma unión que\( \{A_i: i \in I\} \). También\( B_i \subseteq A_i \) para cada uno\( i \) así\( \mu(B_i) \le \mu(A_i) \). De ahí que si la unión está en\( \mathscr A \) entonces\[ \mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i \right) = \mu\left(\bigcup_{i \in I} B_i \right) = \sum_{i \in I} \mu(B_i) \le \sum_{i \in I} \mu(A_i) \]

    Para una unión finita de conjuntos con medida finita, se mantiene la fórmula de inclusión-exclusión, y la prueba es igual que la de una medida de probabilidad.

    Supongamos que\(\{A_i: i \in I\}\) es una colección finita de conjuntos en\( \mathscr A \) donde\(\#(I) = n \in \N_+\), y eso\( \mu(A_i) \lt \infty \) para\( i \in I \). Entonces\[\mu \left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) = \sum_{k = 1}^n (-1)^{k - 1} \sum_{J \subseteq I, \; \#(J) = k} \mu \left( \bigcap_{j \in J} A_j \right)\]

    Los teoremas de continuidad se mantienen para una medida positiva\( \mu \) en un álgebra\( \mathscr A \), así como para una medida positiva en un\( \sigma \) álgebra, asumiendo que la unión e intersección apropiadas están en el álgebra. Las pruebas son igual que antes.

    Supongamos que\( (A_1, A_2, \ldots) \) es una secuencia de conjuntos en\( \mathscr A \).

    1. Si la secuencia va en aumento, de manera que\( A_n \subseteq A_{n+1} \) para cada uno\( n \in \N_+ \), y\( \bigcup_{i = 1}^\infty A_i \in \mathscr A \), entonces\( \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) \).
    2. Si la secuencia es decreciente, de modo que\( A_{n+1} \subseteq A_n \) para cada uno\( n \in \N_+ \),\( \mu(A_1) \lt \infty \) y y\( \bigcap_{i=1}^\infty A_i \in \mathscr A \), entonces\( \mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty A_i \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) \).
    Prueba
    1. Tenga en cuenta que si\( \mu(A_k) = \infty \) para algunos\( k \) entonces\( \mu(A_n) = \infty \) para\( n \ge k \) y\( \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \infty \) si esta unión está en\( \mathscr A \). Así, supongamos que\( \mu(A_i) \lt \infty \) para cada uno\( i \). Dejar\( B_1 = A_1 \) y\( B_i = A_i \setminus A_{i-1} \) para\( i \in \{2, 3, \ldots\} \). Entonces\( (B_1, B_2, \ldots) \) es una secuencia disjunta en\( \mathscr A \) con la misma unión que\( (A_1, A_2, \ldots) \). También,\( \mu(B_1) = \mu(A_1) \) y\( \mu(B_i) = \mu(A_i) - \mu(A_{i-1}) \) para\( i \in \{2, 3, \ldots\} \). De ahí que si la unión está en\( \mathscr A \),\[ \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \mu \left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i \right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(B_i) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \mu(B_i) \] Pero\( \sum_{i=1}^n \mu(B_i) = \mu(A_1) + \sum_{i=2}^n [\mu(A_i) - \mu(A_{i-1})] = \mu(A_n) \).
    2. Tenga en cuenta que\( A_1 \setminus A_n \in \mathscr A \) y esta secuencia va en aumento. Por otra parte,\( \bigcup_{n=1}^\infty (A_1 \setminus A_n) = \left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n \right)^c \cap A_1 \). De ahí si\( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \in \mathscr A \) entonces\( \bigcup_{n=1}^\infty (A_1 \setminus A_n) \in \mathscr A \). Así, usando el resultado de continuidad para conjuntos crecientes,\ begin {align}\ mu\ left (\ bigcap_ {i=1} ^\ infty a_i\ right) & =\ mu\ left [A_1\ setmenos\ bigcup_ {i=1} ^\ infty (A_1\ setmenos a_I)\ right] =\ mu (A_1) -\ mu\ left [\ bigcup_ {i=1}\ infty (A_1\ setmenos a_N)\ derecha]\\ & =\ mu (A_1) -\ lim_ {n\ a\ infty}\ mu (A_1\ setmenos a_n) =\ mu (A_1) -\ lim_ {n\ a\ infty} [\ mu (A_1) -\ mu (a_N)] =\ lim_ {n\ a\ infty}\ mu (a_N)\ end {align}

    Recordemos que si la secuencia\( (A_1, A_2, \ldots) \) va en aumento, entonces definimos\( \lim_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n \), y si la secuencia es decreciente entonces definimos\( \lim_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty A_n \). Así, la conclusión de ambas partes del teorema de continuidad es la aditividad\[ \P\left(\lim_{n \to \infty} A_n\right) = \lim_{n \to \infty} \P(A_n) \] finita y la continuidad para eventos crecientes implica aditividad contable:

    Si\( \mu: \mathscr A \to [0, \infty] \) satisface las propiedades a continuación, entonces\( \mu \) es una medida positiva sobre\( \mathscr A \).

    1. \( \mu(\emptyset) = 0 \)
    2. \( \mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \sum_{i \in I} \mu(A_i) \)si\( \{A_i: i \in I\} \) es una colección finita disjunta de conjuntos en\( \mathscr A \)
    3. \( \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n) \)si\( (A_1, A_2, \ldots) \) es una secuencia creciente de eventos en\( \mathscr A \) y\( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathscr A \).
    Prueba

    Todo lo que queda por probar es la aditivicia sobre una colección contablemente infinita de conjuntos en\( \mathscr A \) cuando la unión también está en\( \mathscr A \). Así supongamos que\(\{A_n: n \in \N\} \) es una colección disjunta de conjuntos en\( \mathscr A \) con\( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathscr A \). Dejemos\( B_n = \bigcup_{i=1}^n A_i \) para\( n \in \N_+ \). Entonces\( B_n \in \mathscr A \) y\( \bigcup_{n=1}^\infty B_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n \). Por lo tanto, usando la aditividad finita y la propiedad de continuidad que tenemos\[ \P\left(\bigcup_{n = 1}^\infty A_n\right) = \P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right) = \lim_{n \to \infty} \P(B_n) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \P(A_i) = \sum_{i=1}^\infty \P(A_i) \]

    Muchos de los teoremas básicos en la teoría de medidas requieren que la medida no esté muy lejos de ser finita. Esto lleva a la siguiente definición, que es igual que la de una medida positiva sobre un\( \sigma \) álgebra.

    Una medida\( \mu \) sobre un álgebra\( \mathscr A \) de subconjuntos de\( S \) es \( \sigma \)-finita si existe una secuencia de conjuntos\( (A_1, A_2, \ldots) \) en\( \mathscr A \) tal que\( \bigcup_{n=1}^\infty A_n = S \) y\( \mu(A_n) \lt \infty \) para cada uno\( n \in \N_+ \). La secuencia se llama una secuencia \( \sigma \)finita para\( \mu \).

    Supongamos que\( \mu \) es una medida\( \sigma \) -finita en un álgebra\( \mathscr A \) de subconjuntos de\( S \).

    1. Existe una secuencia\( \sigma \) finita creciente.
    2. Existe una secuencia disjunta\( \sigma \) -finita.
    Prueba

    Utilizamos los mismos trucos que hemos usado antes. Supongamos que\( (A_1, A_2, \ldots) \) es una secuencia\( \sigma \) -finita para\( \mu \).

    1. Vamos\( B_n = \bigcup_{i = 1}^n A_i \). Entonces\( B_n \in \mathscr A \) para\( n \in \N_+ \) y esta secuencia va en aumento. Además,\( \mu(B_n) \le \sum_{i=1}^n \mu(A_i) \lt \infty \) para\( n \in \N_+ \) y\( \bigcup_{n=1}^\infty B_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n = S \).
    2. Dejar\( C_1 = A_1 \) y dejar\( C_n = A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \) para\( n \in \{2, 3, \ldots\} \). Entonces\( C_n \in \mathscr A \) para cada uno\( n \in \N_+ \) y esta secuencia es disjunta. Además,\( C_n \subseteq A_n \) así\( \mu(C_n) \le \mu(A_n) \lt \infty \) y\( \bigcup_{n=1}^\infty C_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n = S \).

    Teoremas de Extensión y Singularidad

    El teorema fundamental sobre las medidas establece que una medida positiva,\( \sigma \) -finita\( \mu \) en un álgebra\( \mathscr A \) puede extenderse de manera única a\( \sigma(\mathscr A) \). La parte de extensión a veces se conoce como el teorema de extensión de Carathéodory, y se llama así por el matemático griego Constantin Carathéodory.

    Si\( \mu \) es una medida positiva,\( \sigma \) -finta en un álgebra\(\mathscr A\), entonces se\( \mu \) puede extender a una medida positiva en\( \mathscr{S} = \sigma(\mathscr A) \).

    Prueba

    La prueba es complicada, pero aquí hay un esquema amplio. Primero, para\( A \subseteq S \), definimos una portada de\( A \) ser una colección contable\( \{A_i: i \in I\} \) de conjuntos en\( \mathscr A \) tal que\( A \subseteq \bigcup_{i \in I} A_i \). A continuación, definimos una nueva función de conjunto\( \mu^* \), la medida externa, en todos los subconjuntos de\( S \): Medida\[ \mu^*(A) = \inf \left\{ \sum_{i \in I} \mu(A_i): \{A_i: i \in I\} \text{ is a cover of } A \right\}, \quad A \subseteq S \] exterior satisface las siguientes propiedades.

    1. \( \mu^*(A) \ge 0 \)para\( A \subseteq S \), así\( \mu^* \) es no negativo.
    2. \( \mu^*(A) = \mu(A) \)para\( A \in \mathscr A \), así\( \mu^* \) se extiende\( \mu \).
    3. Si\( A \subseteq B \) entonces\( \mu^*(A) \le \mu^*(B) \), así\( \mu^* \) está aumentando
    4. Si\( A_i \subseteq S \) para cada uno\( i \) en un conjunto de índices contables\( I \) entonces\( \mu^*\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) \le \sum_{i \in I} \mu^*(A_i) \), entonces\( \mu^* \) es contable subaditivo.

    A continuación,\( A \subseteq S \) se dice que es mensurable si\[ \mu^*(B) = \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \setminus A), \quad B \subseteq S \] Así,\( A \) es medible si\( \mu^* \) es aditivo con respecto a la partición de\( B \) inducida por\( \{A, A^c\} \), para cada\( B \subseteq S \). Dejamos\( \mathscr{M} \) denotar la colección de subconjuntos medibles de\( S \). La prueba se termina mostrando que\( \mathscr A \subseteq \mathscr{M} \),\( \mathscr{M} \) es un\( \sigma \) -álgebra de subconjuntos de\( S \), y\( \mu^* \) es una medida positiva sobre\( \mathscr{M} \). De ello se deduce que\( \sigma(\mathscr A) = \mathscr{S} \subseteq \mathscr{M} \) y por lo tanto\( \mu^* \) es una medida sobre\( \mathscr{S} \) que se extiende\( \mu \)

    Nuestro siguiente objetivo es el resultado básico de unicidad, que sirve como complemento al resultado básico de extensión. Pero primero necesitamos otra variación del término \( \sigma \)-finito.

    Supongamos que\( \mu \) es una medida sobre un\( \sigma \) álgebra\( \mathscr{S} \) de subconjuntos de\( S \) y\( \mathscr{B} \subseteq \mathscr{S} \). Entonces\( \mu \) es \( \sigma \)-finito en\( \mathscr{B} \) si existe una colección contable\( \{B_i: i \in I\} \subseteq \mathscr{B} \) tal que\( \mu(B_i) \lt \infty \) para\( i \in I \) y\( \bigcup_{i \in I} B_i = S \).

    El siguiente resultado es el teorema de la singularidad. La prueba, como otras que hemos visto, utiliza el\( \lambda \) teorema de\( \pi \) Dynkin, llamado así por Eugene Dynkin.

    Supongamos que\( \mathscr{B} \) es un\( \pi \) -sistema y eso\( \mathscr{S} = \sigma(\mathscr{B}) \). Si\( \mu_1 \) y\( \mu_2 \) son medidas positivas sobre\( \mathscr{S} \) y son\( \sigma \) -finitas en\( \mathscr{B} \), y si\( \mu_1(A) = \mu_2(A) \) para todos\( A \in \mathscr{B} \), entonces\( \mu_1(A) = \mu_2(A) \) para todos\( A \in \mathscr{S} \).

    Prueba

    Supongamos eso\( B \in \mathscr{B} \) y aquello\( \mu_1(B) = \mu_2(B) \lt \infty \). Vamos\( \mathscr{L}_B = \{A \in \mathscr{S}: \mu_1(A \cap B) = \mu_2(A \cap B) \} \). Entonces\( S \in \mathscr{L}_B \) desde\( \mu_1(B) = \mu_2(B) \). Si\( A \in \mathscr{L}_B \) entonces es\( \mu_1(A \cap B) = \mu_2(A \cap B) \) así\( \mu_1(A^c \cap B) = \mu_1(B) - \mu_1(A \cap B) = \mu_2(B) - \mu_2(A \cap B) = \mu_2(A^c \cap B) \) y por lo tanto\( A^c \in \mathscr{L}_B \). Por último, supongamos que\( \{A_j: j \in J\} \) es una colección contable, disjunta de eventos en\( \mathscr{L}_B \). Entonces\( \mu_1(A_j \cap B) = \mu_2(A_j \cap B) \) para cada\( j \in J \) y por lo tanto\ comenzar {alinear}\ mu_1\ izquierda [\ izquierda (\ bigcup_ {j\ in J} a_j\ derecha)\ cap B\ derecha] & =\ mu_1\ izquierda (\ bigcup_ {j\ en J} (a_J\ cap B)\ derecha) =\ sum_ {j\ in J}\ mu_1 (a_J\ cap B)\ & =\ suma_ {j\ en J}\ mu_2 (a_J\ cap B) =\ mu_2\ izquierda (\ bigcup_ {j\ en J} (a_J\ cap B)\ derecha) =\ mu_2\ left [\ left (\ bigcup_ {j\ in J} a_j\ right)\ cap B\ right]\ end {align} Por lo tanto\( \bigcup_{j \in J} A_j \in \mathscr{L}_B \), y así\( \mathscr{L}_B \) es un\( \lambda \) -sistema. Por suposición,\( \mathscr{B} \subseteq \mathscr{L}_B \) y por lo tanto por el\( \pi \) -\( \lambda \) teorema,\( \mathscr{S} = \sigma(\mathscr{B}) \subseteq \mathscr{L}_B \).

    A continuación, por suposición existe\( B_i \in \mathscr{B} \) con\( \mu_1(B_i) = \mu_2(B_i) \lt \infty \) para cada uno\( i \in \N_+ \) y\( S = \bigcup_{i=1}^\infty B_i \). Si\( A \in \mathscr{S} \) entonces la regla de inclusión-exclusión se puede aplicar a\[ \mu_k\left[\left(\bigcup_{i=1}^n B_i\right) \cap A \right] = \mu_k\left[\bigcup_{i=1}^n (A \cap B_i) \right] \] donde\( k \in \{1, 2\} \) y\( n \in \N_+ \). Pero la fórmula inclusión-exclusión sólo tiene términos de la forma\( \mu_k \left[ \bigcap_{j \in J} (A \cap B_j) \right] = \mu_k \left[ A \cap \left(\bigcap_{j \in J} B_j\right) \right] \) donde\( J \subseteq \{1, 2, \ldots, n\} \). Pero\( \bigcap_{j \in J} B_j \in \mathscr{B} \) como\( \mathscr{B} \) es un\( \pi \) -sistema, así por el párrafo anterior,\( \mu_1 \left[ \bigcap_{j \in J} (A \cap B_j) \right] = \mu_2 \left[ \bigcap_{j \in J} (A \cap B_j) \right] \). Se deduce entonces que para cada\( n \in \N_+ \)\[ \mu_1\left[\left(\bigcup_{i=1}^n B_i\right) \cap A \right] = \mu_2\left[\left(\bigcup_{i=1}^n B_i\right) \cap A \right] \] Finalmente, dejar\( n \to \infty \) y usar el teorema de continuidad para aumentar conjuntos da\( \mu_1(A) = \mu_2(A) \).

    Un álgebra\( \mathscr A \) de subconjuntos de\( S \) es trivialmente un\( \pi \) -sistema. Por lo tanto, si\( \mu_1 \) y\( \mu_2 \) son medidas positivas sobre\( \mathscr{S} = \sigma(\mathscr A) \) y son\( \sigma \) -finitas en\( \mathscr A \), y si\( \mu_1(A) = \mu_2(A) \) para\( A \in \mathscr A \), entonces\( \mu_1(A) = \mu_2(A) \) para\( A \in \mathscr{S} \). Esto completa la segunda parte del teorema fundamental.

    Por supuesto, los resultados de esta subsección se mantienen para las medidas de probabilidad. Formalmente, una medida de probabilidad\( \P \) en un álgebra\( \mathscr A \) de subconjuntos de\( S \) es una medida positiva sobre\( \mathscr A \) con el requisito adicional de que\( \P(S) = 1 \). Las medidas de probabilidad son trivialmente\( \sigma \) finitas, por lo que una medida de probabilidad\( \P \) en un álgebra se\( \mathscr A \) puede extender únicamente a\( \mathscr{S} = \sigma(\mathscr A) \).

    Sin embargo, generalmente comenzamos con una colección que es más primitiva que una álgebra. El siguiente resultado combina la definición con el teorema principal asociado a la definición. Para una prueba consulte la sección sobre Estructuras de Conjuntos Especiales en el capítulo sobre Fundaciones.

    Supongamos que\( \mathscr{B} \) es una colección no vacía de subconjuntos de\( S \) y let\[ \mathscr A = \left\{\bigcup_{i \in I} B_i: \{B_i: i \in I\} \text{ is a finite, disjoint collection of sets in } \mathscr{B}\right\} \] Si se cumplen las siguientes condiciones, entonces\( \mathscr{B} \) es una semiálgebra de subconjuntos de\( S \), y luego\( \mathscr A \) es el álgebra generada por\(\mathscr{B}\).

    1. Si\( B_1, \, B_2 \in \mathscr{B} \) entonces\( B_1 \cap B_2 \in \mathscr{B} \).
    2. Si\( B \in \mathscr{B} \) entonces\( B^c \in \mathscr A \).

    Supongamos ahora que sabemos cómo\( \mu \) debe funcionar una medida sobre una semiálgebra\( \mathscr{B} \) que genera un álgebra\( \mathscr A \) y luego una\( \sigma \) -álgebra\( \mathscr{S} = \sigma(\mathscr A) = \sigma(\mathscr{B}) \). Es decir, sabemos\( \mu(B) \in [0, \infty] \) para cada uno\( B \in \mathscr{B} \). Debido a la propiedad de aditividad, no hay duda de cómo debemos extender\( \mu \) a\(\mathscr A\). Debemos tener\[ \mu(A) = \sum_{i \in I} \mu(B_i)\] si\(A = \bigcup_{i \in I} B_i\) por alguna colección finita, disjunta\( \{B_i: i \in I\} \) de conjuntos en\( \mathscr{B} \) (así que\( A \in \mathscr A \)). No obstante, no podemos asignar los valores\( \mu(B) \) para\( B \in \mathscr{B} \) arbitrariamente. El siguiente teorema de extensión establece que, sujeto solo a algunas condiciones esenciales de consistencia, la extensión\( \mu \) de la semiálgebra\( \mathscr{B} \) al álgebra\( \mathscr A \) de hecho produce una medida sobre\( \mathscr A \). Las condiciones de consistencia son que\( \mu \) sean finitamente aditivas y contablemente subaditivas en\( \mathscr{B} \).

    Supongamos que\( \mathscr{B} \) es una semiálgebra de subconjuntos de\( S \) y que\( \mathscr A \) es el álgebra de subconjuntos de\( S \) generados por\(\mathscr{B}\). Una función se\( \mu: \mathscr{B} \to [0, \infty] \) puede extender únicamente a una medida en\( \mathscr A \) si y solo si\( \mu \) satisface las siguientes propiedades:

    1. Si\( \emptyset \in \mathscr{B} \) entonces\( \mu(\emptyset) = 0 \).
    2. Si\( \{B_i: i \in I\} \) es una colección finita, disjunta de conjuntos en\( \mathscr{B} \) y\( B = \bigcup_{i \in I} B_i \in \mathscr{B} \) luego\( \mu(B) = \sum_{i \in I} \mu(B_i) \).
    3. Si\( B \in \mathscr{B} \) y\( B \subseteq \bigcup_{i \in I} B_i \) dónde\( \{B_i: i \in I\} \) es una colección contable de conjuntos en\( \mathscr{B} \) entonces\( \mu(B) \le \sum_{i \in I} \mu(B_i) \)

    Si la medida\( \mu \) en el álgebra\( \mathscr A \) es\( \sigma \) -finita, entonces se aplican el teorema de extensión y el teorema de singularidad, por lo que se\( \mu \) puede extender únicamente a una medida en el\( \sigma \) -álgebra\( \mathscr{S} = \sigma(\mathscr A) = \sigma(\mathscr{B}) \). Esta cadena de extensiones, comenzando con una semiálgebra\( \mathscr{B} \), suele ser la forma en que se construyen las medidas.

    Ejemplos y Aplicaciones

    Espacios de Productos

    Supongamos que\( (S, \mathscr{S}) \) y\( (T, \mathscr{T}) \) son espacios medibles. Para el conjunto de productos cartesianos\( S \times T \), recuerde que el producto\( \sigma \) -álgebra es\[ \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} = \sigma\{A \times B: A \in \mathscr{S}, B \in \mathscr{T}\} \] el\( \sigma \) -álgebra generado por los productos cartesianos de conjuntos medibles, a veces denominados rectángulos medibles.

    Supongamos que\( (S, \mathscr S, \mu) \) y\( (T, \mathscr T, \nu) \) son espacios de medida\( \sigma \) -finitos. Entonces existe una medida única\( \sigma \) -finita\( \mu \otimes \nu \) en\((S \times T, \mathscr{S} \otimes \mathscr{T}) \) tal que\[ (\mu \otimes \nu)(A \times B) = \mu(A) \nu(B); \quad A \in \mathscr{S}, \; B \in \mathscr{T} \] El espacio de medida\( (S \times T, \mathscr{S} \otimes \mathscr{T}, \mu \otimes \nu) \) es el espacio de medida del producto asociado con\( (S, \mathscr{S}, \mu) \) y\( (T, \mathscr{T}, \nu) \).

    Prueba

    Recordemos que la colección\( \mathscr{B} = \{A \times B: A \in \mathscr{S}, B \in \mathscr{T}\} \) es un semi-álgebra: la intersección de dos conjuntos de productos es otro conjunto de productos, y el complemento de un conjunto de productos es la unión de dos conjuntos de productos disjuntos. Definimos\( \rho: \mathscr{B} \to [0, \infty] \) por\( \rho(A \times B) = \mu(A) \nu(B) \). Las condiciones de consistencia se mantienen, por lo que se\( \rho \) puede extender a una medida sobre el álgebra\( \mathscr A \) generada por\( \mathscr{B} \). El álgebra\( \mathscr A \) es la colección de todas las uniones finitas y disjuntas de productos de conjuntos medibles. Ahora mostraremos que la medida extendida\( \rho \) es\( \sigma \) -finita en\( \mathscr A \). Dado que\( \mu \) es\( \sigma \) -finito, existe, una secuencia creciente\( (A_1, A_2, \ldots) \) de conjuntos en\( \mathscr{S} \) con\( \mu(A_i) \lt \infty \) y\( \bigcup_{i = 1}^\infty A_i = S \). Del mismo modo, existe una secuencia creciente\( (B_1, B_2, \ldots) \) de conjuntos en\( \mathscr{T} \) con\( \nu(B_j) \lt \infty \) y\( \bigcup_{j = 1}^\infty B_j = T \). Entonces\( \rho(A_i \times B_j) = \mu(A_i) \nu(B_j) \lt \infty \), y dado que los conjuntos van en aumento,\( \bigcup_{(i, j) \in \N_+ \times \N_+} A_i \times B_j = S \times T \). El teorema de extensión estándar y el teorema de singularidad teorema de singularidad ahora se aplican, por lo que se\( \rho \) puede extender únicamente a una medida en\( \sigma(\mathscr A) = \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \).

    Recordemos que para\( C \subseteq S \times T \), la sección transversal de\( C \) en la primera coordenada en\( x \in S \) es\( C_x = \{ y \in T: (x, y) \in C\} \). De igual manera, la sección transversal de\( C \) en la segunda coordenada at\( y \in T \) es\( C^y = \{ x \in S: (x, y) \in C\} \). Sabemos que las secciones transversales de un conjunto medible son medibles. El siguiente resultado muestra que las medidas de las secciones transversales de un conjunto medible forman funciones medibles.

    Supongamos de nuevo que\( (S, \mathscr S, \mu) \) y\( (T, \mathscr T, \nu) \) son espacios\( \sigma \) -finitos de medida. Si\( C \in \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \) entonces

    1. \( x \mapsto \nu(C_x) \)es una función medible desde\( S \) hasta\( [0, \infty] \).
    2. \( y \mapsto \mu(C^y) \)es una función medible desde\( T \) hasta\( [0, \infty] \).
    Prueba

    Demostramos la parte (a), ya que por supuesto la prueba para la parte (b) es simétrica. Supongamos primero que los espacios de medida son finitos. Dejar\( \mathscr{R} = \{A \times B: A \in \mathscr{S}, B \in \mathscr{T}\} \) denotar el conjunto de rectángulos medibles. Vamos\( \mathscr{C} = \{C \in \mathscr{S} \otimes \mathscr{T}: x \mapsto \nu(C_x) \text{ is measurable}\}\). Si\( A \times B \in \mathscr{R} \), entonces\( A \times B \in \mathscr{C} \), desde\( \nu[(A \times B)_x] = \nu(B) \bs{1}_A(x) \). A continuación, supongamos\( C \in \mathscr{C} \). Entonces\( (C^c)_x = (C_x)^c \), así\( \nu[(C^c)_x] = \nu(T) - \nu(C_x) \) y esta es una función medible de\( x \in S \). De ahí\( C^c \in \mathscr{C} \). A continuación, supongamos que\( \{C_i: i \in I\} \) es una colección contable, disjunta de sets in\( \mathscr{C} \) and let\( C = \bigcup_{i \in I} C_i \). Entonces\( \{(C_i)_x: i \in I\} \) es una colección contable, disjunta de conjuntos en\( \mathscr{T} \), y\( C_x = \bigcup_{i \in I} (C_i)_x \). De ahí\( \nu(C_x) = \sum_{i \in I} \nu[(C_i)_x] \), y esta es una función medible de\( x \in S \). De ahí\( C \in \mathscr{C} \). De ello se deduce que\( \mathscr{C} \) es un\( \lambda \) -sistema que contiene\( \mathscr{R} \), que a su vez es un\( \pi \) -sistema. Se deduce del\(\lambda \) teorema de Dynkins\(\pi\), que\( \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} = \sigma(\mathscr{R}) \subseteq \mathscr{C} \). Así\( \mathscr{C} = \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \).

    Consideremos ahora el caso general donde los espacios de medida son\( \sigma \) -finitos. Existe una secuencia contable y creciente de conjuntos\( C_n \in \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \) para\( n \in \N_+ \) con\( (\mu \otimes \nu)(C_n) \lt \infty \) para\( n \in \N_+ \). Si\( C \in \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \), entonces\( C \cap C_n \) está aumentando en\( n \in \N_+ \), y\( C = \bigcup_{n=1}^\infty (C \cap C_n) \). De ahí, para\( x \in S \),\( (C \cap C_n)_x \) está aumentando en\( n \in \N_+ \) y\( C_x = \bigcup_{n=1}^\infty (C \cap C_n)_x \). Por lo tanto\( \nu(C_x) = \lim_{n \to \infty} \nu[(C \cap C_n)_x] \). Pero\( x \mapsto \nu[(C \cap C_n)_x] \) es una función medible de\( x \in S \) para cada uno\( n \in \N_+ \) por el argumento anterior, así\( x \mapsto \nu(C_x) \) es una función medible de\( x \in S \).

    En el siguiente capítulo, donde estudiamos la integración con respecto a una medida, veremos que para\( C \in \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \), la medida del producto\( (\mu \otimes \nu)(C) \) puede calcularse integrando\( \nu(C_x) \) sobre\( x \in S \) con respecto a\( \mu \) o integrando\( \mu(C^y) \) sobre\( y \in T \) con respecto a\( \nu \). Estos resultados, generalizando la definición de la medida del producto, son casos especiales del teorema de Fubini, llamado así por el matemático italiano Guido Fubini.

    Excepto por la notación más complicada, estos resultados se extienden de una manera perfectamente directa al producto de un número finito\( \sigma \) de espacios de medida finitos.

    Supongamos que\( n \in \N_+ \) y que\( (S_i, \mathscr S_i, \mu_i) \) es un espacio de medida\( \sigma \) -finito para\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \). Dejar\( S = \prod_{i=1}^n S_i \) y dejar\( \mathscr S \) denotar el producto correspondiente\( \sigma \) -álgebra. Existe una medida única\( \sigma \) -finita\( \mu \) en\( (S, \mathscr{S}) \) satisfacer\[ \mu\left(\prod_{i=1}^n A_i\right) = \prod_{i=1}^n \mu_i(A_i), \quad A_i \in \mathscr{S}_i \text{ for } i \in \{1, 2, \ldots, n\} \] El espacio de medida\( (S, \mathscr S, \mu) \) es el espacio de medida del producto asociado con los espacios de medida dados.

    Medida Lebesgue

    La siguiente discusión se refiere a nuestra aplicación más importante y esencial. Recordemos que el\( \sigma \) álgebra de Borel on\( \R \), llamado así por Émile Borel, es la\( \sigma \) -álgebra\( \mathscr{R} \) generada por la topología euclidiana estándar en\( \R \). Equivalentemente,\( \mathscr{R} = \sigma(\mathscr{I}) \) donde\( \mathscr{I} \) está la colección de intervalos de\( \R \) (de todos los tipos, delimitados y no acotados, con cualquier tipo de cierre, e incluyendo puntos individuales y el conjunto vacío). A continuación recordar cómo se define la longitud de un intervalo. Para\( a, \, b \in \R \) con\( a \le b \), cada uno de los intervalos\( (a, b) \),\( [a, b) \),\( (a, b] \), y\( [a, b] \) tiene longitud\( b - a \). Para\( a \in \R \), cada uno de los intervalos\( (a, \infty) \),,\( [a, \infty) \)\( (-\infty, a) \),\( (-\infty, a] \) tiene longitud\( \infty \), como lo hace a\( \R \) sí mismo. La medida estándar en\( \mathscr{R} \) generaliza la medición de longitud para intervalos.

    Existe una medida única\( \lambda \) sobre\( \mathscr{R} \) tal que\( \lambda(I) = \length(I) \) para\( I \in \mathscr{I} \). La medida\( \lambda \) es Lebesgue medida en\( (\R, \mathscr R) \).

    Prueba

    Recordemos que\( \mathscr{I} \) es un semiálgebra: La intersección de dos intervalos es otro intervalo, y el complemento de un intervalo es o bien otro intervalo o la unión de dos intervalos disjuntos. Definir\( \lambda \) en\( \mathscr{I} \) por\( \lambda(I) = \length(I) \) para\( I \in \mathscr{I} \). Entonces\( \lambda \) satisface la condición de consistencia y por lo tanto\( \lambda \) puede extenderse a una medida sobre el álgebra\( \mathscr{J} \) generada por\( \mathscr{I} \), a saber, la colección de uniones finitas y disjuntas de intervalos. La medida\( \lambda \) on\( \mathscr{J} \) es claramente\( \sigma \) -finita, ya que\( \R \) puede escribirse como una unión contablemente infinita de intervalos acotados. De ahí que se aplique el teorema de extensión estándar y el teorema de singularidad, por lo que\( \lambda \) puede extenderse a una medida sobre\( \mathscr{R} = \sigma(\mathscr{I}) \).

    El es nombre en honor a Henri Lebesgue, claro. Dado que\( \lambda \) es\( \sigma \) -finito, el\( \sigma \) -álgebra de los conjuntos de Borel se\( \mathscr{R} \) puede completar con respecto a\( \lambda \).

    La terminación del\( \sigma \) álgebra de Borel\( \mathscr R \) con respecto a\( \lambda \) es el \( \sigma \)álgebra de Lebesgue\( \mathscr R^* \).

    Recordemos que completado significa que si\( A \in \mathscr{R}^* \),\( \lambda(A) = 0 \) y\( B \subseteq A \), entonces\( B \in \mathscr{R}^* \) (y luego\( \lambda(B) = 0 \)). La medida Lebesgue\( \lambda \) on\( \R \), ya sea con el\( \sigma \) álgebra de Borel\( \mathscr{R} \), o su finalización\( \mathscr{R}^* \) es la medida estándar que se utiliza para los números reales. Otras propiedades del espacio de medida\( (\R, \mathscr R, \lambda) \) se dan a continuación, en la discusión de Lebesgue medida sobre\( \R^n \).

    Para\( n \in \N_+ \), vamos a\( \mathscr R_n \) denotar el\( \sigma \) álgebra de Borel correspondiente a la topología euclidiana estándar en\( \R^n \), por lo que\( (\R^n, \mathscr R_n) \) es el espacio medible euclidiano\( n \) -dimensional. El\( \sigma \) -álgebra,\( \mathscr{R}_n \) es también el\( n \) -fold poder de\( \mathscr{R} \), el Borel\( \sigma \) -álgebra de\( \R \). Es decir,\( \mathscr{R}_n = \mathscr{R} \otimes \mathscr{R} \otimes \cdots \otimes \mathscr{R} \) (\( n \)veces). También es la\( \sigma \) -álgebra generada por los productos de los intervalos:\[ \mathscr{R}_n = \sigma\left\{I_1 \times I_2 \times \cdots I_n: I_j \in \mathscr{I} \text{ for } j \in \{1, 2, \ldots n\}\right\} \] Como arriba, vamos a\( \lambda \) denotar Lebesgue medida en\( (\R, \mathscr R) \).

    Para\( n \in \N_+ \) el\( n \) -fold poder de\( \lambda \), denotado\( \lambda_n \) es Lebesgue medida en\( (\R^n, \mathscr R_n) \). En particular,\[ \lambda_n(A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n) = \lambda(A_1) \lambda(A_2) \cdots \lambda(A_n); \quad A_1, \, \ldots, A_n \in \mathscr{R} \]

    Especializándose además, si\( I_j \in \mathscr{I} \) es un intervalo para\( j \in \{1, 2, \ldots, n\} \) entonces\[ \lambda_n\left(I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n\right) = \length(I_1) \length(I_2) \cdots \length(I_n) \] En particular,\( \lambda_2 \) extiende la medida de área\( \mathscr{R}_2 \) y\( \lambda_3 \) extiende la medida de volumen en\( \mathscr{R}_3 \). En general, a veces\( \lambda_n(A) \) se le conoce como \( n \)-volumen dimensional de\( A \in \mathscr{R}_n \). Al igual que en el caso unidimensional, se\( \mathscr{R}_n \) puede completar con respecto a\( \lambda_n \), esencialmente sumando todos los subconjuntos de conjuntos de medidas 0 a\( \mathscr{R}_n \). El\( \sigma \) álgebra completado es el\( \sigma \) álgebra de conjuntos medibles de Lebesgue. Ya que\( \lambda_n(U) \gt 0 \) si\( U \subseteq \R^n \) está abierto, el apoyo de\( \lambda_n \) es todo de\( \R^n \). Además, la medida de Lebesgue tiene las propiedades de regularidad que se ocupan de aproximar la medida de un conjunto, desde abajo con la medida de un conjunto compacto, y desde arriba con la medida de un conjunto abierto.

    El espacio de medida\( (\R^n, \mathscr R_n, \lambda_n) \) es regular. Es decir, para\( A \in \mathscr R_n \),

    1. \( \lambda_n(A) = \sup\{\lambda_n(C): C \text{ is compact and } C \subseteq A\} \), (regularidad interna)
    2. \( \lambda_n(A) = \inf\{\lambda_n(U): U \text { is open and } A \subseteq U\} \)(regularidad exterior).

    El siguiente teorema describe cómo se cambia la medida de un conjunto bajo ciertas transformaciones básicas. Estas son propiedades esenciales de la medida Lebesgue. Para configurar la notación, supongamos que\( n \in \N_+ \),\( A \subseteq \R^n \),\( x \in \R^n \),\( c \in (0, \infty) \) y que\( T \) es una\( n \times n \) matriz. Definir\[ A + x = \{a + x: a \in A\}, \quad c A = \{c a: a \in A\}, \quad TA = \{T a: a \in A\} \]

    Supongamos que\( A \in \mathscr R_n \).

    1. Si\( x \in \R^n \) entonces\( \lambda_n(A + x) = \lambda_n(A) \) (invarianza de traducción)
    2. Si\( c \in (0, \infty) \) entonces\( \lambda_n(c A) = c^n \lambda_n(A) \) (propiedad de dialación)
    3. Si\( T \) es una\( n \times n \) matriz entonces\( \lambda_n(T A) = |\det(T)| \lambda_n(A) \) (la propiedad de escalado)

    Lebesgue-Stieltjes Medidas sobre\( \R \)

    La construcción de la medida de Lebesgue\( \R \) puede generalizarse. Aquí está la definición que necesitaremos.

    Una función\( F: \R \to \R \) que satisface las siguientes propiedades es una función de distribución en\( \R \)

    1. \( F \)está aumentando: si\( x \le y \) entonces\( F(x) \le F(y) \).
    2. \( F \)es continuo desde la derecha:\( \lim_{t \downarrow x} F(t) = F(x) \) para todos\( x \in \R \).

    Dado que\( F \) va en aumento, el límite de la izquierda en\( x \in \R \) existe en\( \R \) y se denota\( F(x^-) = \lim_{t \uparrow x} F(t) \). De igual manera\(F(\infty) = \lim_{x \to \infty} F(x) \) existe, como un número real o\( \infty \), y\(F(-\infty) = \lim_{x \to -\infty} F(x) \) existe, como un número real o\( -\infty \).

    Si\( F \) es una función de distribución en\( \R \), entonces existe una medida única\( \mu \) en\( \mathscr{R} \) que satisface\[ \mu(a, b] = F(b) - F(a), \quad -\infty \le a \le b \le \infty \]

    La medida\( \mu \) se llama la medida Lebesgue-Stieltjes asociada con\( F \), llamada así por Henri Lebesgue y Thomas Joannes Stieltjes. Las funciones de distribución y las medidas asociadas a ellas se estudian con más detalle en el capítulo sobre Distribuciones. Cuando la función\( F \) toma valores\( [0, 1] \), la medida asociada\( \P \) es una medida de probabilidad, y la función\( F \) es la función de distribución de probabilidad de\( \P \). Las funciones de distribución de probabilidad también se estudian con mucho más detalle (pero con menos tecnicismo) en el capítulo sobre Distribuciones.

    Tenga en cuenta que la función de identidad\( x \mapsto x \) para\( x \in \R \) es una función de distribución, y la medida asociada a esta función es la medida de Lebesgue ordinaria en\( \R \) construido en (15).


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