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2.11: Filtraciones y Tiempos de Parada

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    152209
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

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    Introducción

    Supongamos que\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) es un proceso estocástico con espacio de estado\( (S, \mathscr{S}) \) definido sobre un espacio de probabilidad subyacente\( (\Omega, \mathscr{F}, \P) \). Para revisar,\( \Omega \) es el conjunto de resultados,\( \mathscr{F} \) el\( \sigma \) álgebra de eventos y\( \P \) la medida de probabilidad sobre\( (S, \mathscr{S}) \). También\( S \) es el conjunto de estados, y\( \mathscr{S} \) el\( \sigma \) -álgebra de subconjuntos admisibles de\( S \). Por lo general,\( S \) es un espacio topológico y\( \mathscr{S} \) el\( \sigma \) álgebra de Borel generado por los subconjuntos abiertos de\( S \). Un conjunto estándar de supuestos es que la topología es localmente compacta, Hausdorff, y tiene una base contable, que abreviaremos por LCCB. Para el conjunto de índices, asumimos que cualquiera\( T = \N \) o aquello\( T = [0, \infty) \) y como es habitual en estos casos, interpretamos los elementos de\( T \) como puntos de tiempo. Al conjunto también\( T \) se le da una topología, la topología discreta en el primer caso y la topología euclidiana estándar en el segundo caso, y luego el\( \sigma \) álgebra de Borel\( \mathscr{T} \). Entonces, en tiempo discreto con\( T = \N \)\( \mathscr{T} = \mathscr{P}(T) \), el conjunto de potencias de\( T \), por lo que cada subconjunto de\( T \) es medible, como lo es cada función desde\( T \) un otro espacio medible. Finalmente,\( X_t \) es una variable aleatoria y así por definición es medible con respecto a\( \mathscr{F} \) y\( \mathscr{S} \) para cada una\( t \in T \). Interpretamos\( X_t \) es el estado de algún sistema aleatorio en el momento\( t \in T \). Muchos conceptos importantes que involucran\( \bs{X} \) se basan en cómo el comportamiento futuro del proceso depende del comportamiento pasado, relativo a un tiempo actual dado.

    Para\( t \in T \), let\( \mathscr{F}_t = \sigma\left\{X_s: s \in T, \; s \le t\right\} \), el\( \sigma \) -álgebra de eventos que se pueden definir en términos del proceso hasta el tiempo\( t \). En términos generales, para un dado\( A \in \mathscr{F}_t \), podemos decir si\( A \) ha ocurrido o no si se nos permite observar el proceso hasta el momento\( t \). La familia de\( \sigma \) -álgebras\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) tiene dos propiedades críticas: la familia está aumentando en\( t \in T\), en relación con el orden parcial del subconjunto, y todas las\( \sigma \) -álgebras son sub\( \sigma \) -álgebras de\( \mathscr{F} \). Eso es para\( s, \, t \in T \) con\( s \le t \), tenemos\( \mathscr{F}_s \subseteq \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{F} \).

    Filtraciones

    Definiciones Básicas

    A veces necesitamos\( \sigma \) -álgebras que sean un poco más grandes que las del último párrafo. Por ejemplo, puede haber otras variables aleatorias que lleguemos a observar, a medida que pasa el tiempo, además de las variables en\( \bs{X} \). En ocasiones, particularmente en el tiempo continuo, existen razones técnicas para\( \sigma \) álgebras algo diferentes. Finalmente, es posible que queramos describir cómo crece nuestra información, como familia de\( \sigma \) álgebras, sin referencia a un proceso aleatorio. Para el resto de esta sección, tenemos un espacio fijo medible\( (\Omega, \mathscr{F}) \) que nuevamente pensamos como un espacio de muestra, y el espacio de tiempo\( (T, \mathscr{T}) \) como se describió anteriormente.

    Una familia de\( \sigma \) álgebras\(\mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración sobre\( (\Omega, \mathscr{F}) \) si\(s, \, t \in T\) e\(s \le t\) implica\(\mathscr{F}_s \subseteq \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{F}\). El objeto\( \left(\Omega, \mathscr{F}, \mathfrak{F}\right) \) es un espacio de muestra filtrado. Si\( \P \) es una medida de probabilidad\( (\Omega, \mathscr{F}) \) encendida, entonces\( \left(\Omega, \mathscr{F}, \mathfrak{F}, \P\right) \) es un espacio de probabilidad filtrado.

    Entonces una filtración es simplemente una familia creciente de sub\(\sigma\) - álgebras de\( \mathscr{F} \), indexadas por\( T \). Pensamos en\( \mathscr{F}_t \) ello como el\( \sigma \) álgebra de eventos hasta el tiempo\( t \in T \). Cuanto más grandes son las\( \sigma \) -álgebras en una filtración, más eventos hay disponibles, por lo que la siguiente relación sobre filtraciones es natural.

    Supongamos que\( \mathfrak{F} =\{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) y\( \mathfrak{G} = \{\mathscr{G}_t: t \in T\} \) son filtraciones encendidas\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Decimos que\( \mathfrak{F} \) es más grueso que\( \mathfrak{G} \) y\( \mathfrak{G} \) es más fino que\( \mathfrak{F} \), y escribimos\( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{G} \), si es\( \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{G}_t \) por todos\( t \in T \). La relación\( \preceq \) es un orden parcial sobre la recolección de filtraciones en\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Es decir, si\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \),\( \mathfrak{G} = \{\mathscr{G}_t: t \in T\} \), y\( \mathfrak{H} = \mathscr{H}_t: t \in T\} \) son filtraciones entonces

    1. \( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{F} \), la propiedad reflexiva.
    2. Si\( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{G} \) y\( \mathfrak{G} \preceq \mathfrak{F} \) entonces\( \mathfrak{F} = \mathfrak{G} \), la propiedad antisimétrica.
    3. Si\( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{G} \) y\( \mathfrak{G} \preceq \mathfrak{H} \) entonces\( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{H} \), la propiedad transitiva.
    Prueba

    La prueba es una simple consecuencia del hecho de que la relación de subconjunto define un orden parcial.

    1. \( \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{F}_t \)para cada uno\( t \in T \) así\( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{F} \).
    2. Si\( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{G} \) y\( \mathfrak{G} \preceq \mathfrak{F} \) entonces\( \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{G}_t \) y\( \mathscr{G}_t \subseteq \mathscr{F}_t \) para cada uno\( t \in T \). De ahí\( \mathscr{F}_t = \mathscr{G}_t \) para cada uno\( t \in T \) y así\( \mathfrak{F} = \mathfrak{G} \).
    3. Si\( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{G} \) y\( \mathfrak{G} \preceq \mathfrak{H} \) entonces\( \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{G}_t \) y\( \mathscr{G}_t \subseteq \mathscr{H}_t \) para cada uno\( t \in T \). De ahí\( \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{H}_t \) para cada uno\( t \in T \) y así\( \mathfrak{F} \preceq \mathfrak{H} \)

    Entonces, la filtración más grosera\( (\Omega, \mathscr{F}) \) es aquella en la que\( \mathscr{F}_t = \{\Omega, \emptyset\} \) por cada\( t \in T \) momento la mejor filtración es aquella en la que\( \mathscr{F}_t = \mathscr{F} \) para cada vez\( t \in T \). En el primer caso, no obtenemos información a medida que evoluciona el tiempo, y en el segundo, tenemos información completa desde el principio de los tiempos. Por lo general, ninguno de estos es realista.

    También es natural considerar el\( \sigma \) álgebra que codifica nuestra información a lo largo de todos los tiempos.

    Para una filtración\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \)\( (\Omega, \mathscr{F}) \), defina\(\mathscr{F}_\infty = \sigma \left( \bigcup\left\{\mathscr{F}_t: t \in T\right\} \right)\). Entonces

    1. \(\mathscr{F}_\infty = \sigma \left( \bigcup\left\{\mathscr{F}_t: t \in T, t \ge s\right\} \right)\)para\( s \in T \).
    2. \( \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{F}_\infty \)para\( t \in T \).
    Prueba

    Estos resultados siguen ya que las\(\sigma\) -álgebras en una filtración están aumentando en el tiempo.

    Por supuesto, puede ser así\( \mathscr{F}_\infty = \mathscr{F} \), pero no necesariamente. Recordemos que la intersección de una colección de\( \sigma \) -álgebras sobre\( (\Omega, \mathscr{F}) \) es otra\( \sigma \) -álgebra. Podemos usar esto para crear nuevas filtraciones a partir de una colección de filtraciones dadas.

    Supongamos que\( \mathfrak{F}_i = \left\{\mathscr{F}^i_t: t \in T\right\} \) es una filtración\( (\Omega, \mathscr{F}) \) para cada uno\( i \) en un conjunto de índices no vacíos\( I \). Entonces\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) donde\( \mathscr{F}_t = \bigcap_{i \in I} \mathscr{F}^i_t \) para\( t \in T \) es también una filtración en\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Esta filtración a veces se denota\( \mathfrak{F} = \bigwedge_{i \in I} \mathfrak{F}_i \), y es la filtración más fina que es más grosera que\( \mathfrak{F}_i \) para cada uno\( i \in I \).

    Prueba

    Supongamos\( s, \, t \in T \) con\( s \le t \). Entonces\(\mathscr{F}^i_s \subseteq \mathscr{F}^i_t \subseteq \mathscr{F}\) para cada uno\( i \in I \) así se deduce que\( \bigcap_{i \in I} \mathscr{F}^i_s \subseteq \bigcap_{i \in I} \mathscr{F}^i_t \subseteq \mathscr{F} \).

    Las uniones de\( \sigma \) álgebras no son en general\( \sigma \) -álgebras, pero podemos construir una nueva filtración a partir de una colección dada de filtraciones utilizando uniones de manera natural.

    Supongamos nuevamente que\( \mathfrak{F}_i = \left\{\mathscr{F}^i_t: t \in T\right\} \) es una filtración\( (\Omega, \mathscr{F}) \) para cada uno\( i \) en un conjunto de índices no vacíos\( I \). Entonces\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) donde\( \mathscr{F}_t = \sigma\left(\bigcup_{i \in I} \mathscr{F}^i_t\right) \) para\( t \in T \) es también una filtración en\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Esta filtración a veces se denota\( \mathfrak{F} = \bigvee_{i \in I} \mathfrak{F}_i \), y es la filtración más grosera que es más fina que\( \mathfrak{F}_i \) para cada una\( i \in I \).

    Prueba

    Supongamos\( s, \, t \in T \) con\( s \le t \). Entonces\(\mathscr{F}^i_s \subseteq \mathscr{F}^i_t \subseteq \mathscr{F}\) para cada uno\( i \in I \) así se deduce que\( \bigcup_{i \in I} \mathscr{F}^i_s \subseteq \bigcup_{i \in I} \mathscr{F}^i_t \subseteq \mathscr{F} \), y de ahí\( \sigma\left(\bigcup_{i \in I} \mathscr{F}^i_s\right) \subseteq \sigma\left(\bigcup_{i \in I} \mathscr{F}^i_t\right) \subseteq \mathscr{F} \).

    Procesos estocásticos

    Obsérvese nuevamente que podemos tener una filtración sin un proceso estocástico subyacente en el fondo. Sin embargo, generalmente tenemos un proceso estocástico\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \), y en este caso la filtración\( \mathfrak{F}^0 = \{\mathscr{F}^0_t: t \in T\} \) donde\( \mathscr{F}^0_t = \sigma\{X_s: s \in T, \, s \le t\} \) está asociada la filtración natural\( \bs{X} \). De manera más general, es apropiada la siguiente definición.

    Un proceso estocástico\(\bs{X} = \{X_t: t \in T\}\) encendido\( (\Omega, \mathscr{F}) \) se adapta a una filtración\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\}\) en\( (\Omega, \mathscr{F}) \) si\(X_t\) es medible con respecto a\(\mathscr{F}_t\) para cada uno\(t \in T\).

    Equivalentemente,\( \bs{X} \) se adapta a\( \mathfrak{F} \) si\( \mathfrak{F} \) es más fina que\( \mathfrak{F}^0 \), la filtración natural asociada con\( \bs{X} \). Es decir,\( \sigma\{X_s: s \in T, \; s \le t\} \subseteq \mathscr{F}_t \) para cada uno\( t \in T \). Tan claramente, si\( \bs{X} \) se adapta a una filtración, entonces se adapta a cualquier filtración más fina, y\( \mathfrak{F}^0 \) es la filtración más tosca a la que\( \bs{X} \) se adapta. La idea básica detrás de la definición es que si la filtración\( \mathfrak{F} \) codifica nuestra información a medida que pasa el tiempo, entonces el proceso\( \bs{X} \) es observable. En tiempo discreto, existe una definición relacionada.

    Supongamos que\( T = \N \). Un proceso estocástico\( \bs{X} = \{X_n: n \in \N\} \) es predecible por la filtración\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_n: n \in \N\} \) si\( X_{n +1}\) es medible con respecto a\( \mathscr{F}_n \) para todos\( n \in \N \).

    Claramente si\( \bs{X} \) es predecible para\( \mathfrak{F} \) entonces\( \bs{X} \) se adapta a\( \mathfrak{F} \). Pero predecible es mejor que adaptado, en el sentido de que si\( \mathfrak{F} \) codifica nuestra información a medida que pasa el tiempo, entonces podemos mirar un paso hacia el futuro en términos de\( \bs{X} \): en el momento\( n \) podemos determinar\( X_{n+1} \). El concepto de previsibilidad se puede extender al tiempo continuo, pero la definición es mucho más complicada.

    Obsérvese que en última instancia, un proceso estocástico\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) con espacio muestral\( (\Omega, \mathscr{F}) \) y espacio de estado se\( (S, \mathscr{S}) \) puede ver una función desde\( \Omega \times T \) dentro\( S \), así\( X_t(\omega) \in S \) es el estado en el momento\( t \in T \) correspondiente al resultado\( \omega \in \Omega \). Por definición,\( \omega \mapsto X_t(\omega) \) es medible para cada uno\( t \in T \), pero a menudo es necesario que el proceso sea medible conjuntamente en\( \omega \) y\( t \).

    Supongamos que\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) es un proceso estocástico con espacio muestral\( (\Omega, \mathscr{F}) \) y espacio de estado\( (S, \mathscr{S}) \). Entonces\( \bs{X} \) es medible si\( \bs{X}: \Omega \times T \to S \) es medible con respecto a\( \mathscr{F} \otimes \mathscr{T} \) y\( \mathscr{S} \).

    Cuando tenemos una filtración, como solemos hacer, hay una condición más fuerte que es natural. Dejar\( T_t = \{s \in T: s \le t\} \) para\( t \in T \), y dejar\( \mathscr{T}_t = \{A \cap T_t: A \in \mathscr{T}\} \) ser el correspondiente\( \sigma \) -álgebra inducida.

    Supongamos que\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) es un proceso estocástico con espacio muestral\( (\Omega, \mathscr{F}) \) y espacio de estado\( (S, \mathscr{S}) \), y eso\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración. Entonces\( \bs{X} \) es medible progresivamente en relación con\( \mathfrak{F} \) si\( \bs{X}: \Omega \times T_t \to S\) es medible con respecto a\( \mathscr{F}_t \otimes \mathscr{T}_t \) y\( \mathscr{S} \) para cada uno\( t \in T \).

    Claramente si\( \bs{X} \) es medible progresivamente con respecto a una filtración, entonces es medible progresivamente con respecto a cualquier filtración más fina. Por supuesto cuando\( T \) es discreto, entonces cualquier proceso\( \bs{X} \) es medible, y cualquier proceso se\( \bs{X} \) adapta a medible\( \mathfrak{F} \) progresivamente, por lo que estas definiciones sólo son de interés en el caso del tiempo continuo.

    Supongamos nuevamente que\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) es un proceso estocástico con espacio muestral\( (\Omega, \mathscr{F}) \) y espacio de estados\( (S, \mathscr{S}) \), y eso\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración. Si\( \bs{X} \) es progresivamente medible en relación con\( \mathfrak{F} \) entonces

    1. \( \bs{X} \)es mensurable.
    2. \( \bs{X} \)está adaptado a\( \mathfrak{F} \).
    Prueba

    Supongamos que\( \bs{X} \) es progresivamente medible en relación con\( \mathfrak{F} \).

    1. Si\( A \in \mathscr{S} \) entonces\[ \bs{X}^{-1}(A) = \{(\omega, t) \in \Omega \times T: X_t(\omega) \in A\} = \bigcup_{n=1}^\infty \{(\omega, t) \in \Omega \times T_n: X_t(\omega) \in A\} \] Por suposición, el término\( n \) th en la unión está en\( \mathscr{F} \otimes \mathscr{T}_n \subseteq \mathscr{F} \otimes \mathscr{T} \), entonces el sindicato está en\( \mathscr{F} \otimes \mathscr{T} \).
    2. Supongamos que\( t \in T \). Entonces\( \bs{X}: \Omega \times T_t \to S\) es medible con respecto a\( \mathscr{F}_t \otimes \mathscr{T}_t \) y\( \mathscr{S} \). Pero\( X_t: \Omega \to S \) es solo la sección transversal de esta función en\( t \) y por lo tanto es medible con respecto a\( \mathscr{F}_t \) y\( \mathscr{S} \).

    Cuando el espacio de estados es un espacio topológico (que suele ser el caso), entonces como se puede adivinar, existe un vínculo natural entre la continuidad de las trayectorias de muestreo y la medibilidad progresiva.

    Supongamos que\( S \) tiene una topología LCCB y que\( \mathscr{S} \) es la\( \sigma \) -álgebra de conjuntos de Borel. Supongamos también que\( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) es correcto continuo. Entonces\( \bs{X} \) es medible progresivamente en relación con la filtración natural\( \mathfrak{F}^0 \).

    Entonces si\( \bs{X} \) es correcto continuo, entonces\( \bs{X} \) es medible progresivamente con respecto a cualquier filtración a la que\( \bs{X} \) se adapte. Recordemos que en la sección anterior, estudiamos diferentes formas en que dos procesos estocásticos pueden ser equivalentes. El siguiente ejemplo ilustra algunas de las sutilezas de los procesos en tiempo continuo.

    Supongamos que\( \Omega = T = [0, \infty) \),\( \mathscr{F} = \mathscr{T} \) es el\( \sigma \) -álgebra de Borel subconjuntos medibles de\( [0, \infty) \), y\( \P \) es cualquier medida de probabilidad continua en\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Dejar\( S = \{0, 1\} \) y\( \mathscr{S} = \mathscr{P}(S) = \{\emptyset, \{0\}, \{1\}, \{0, 1\}\} \). Para\( t \in T \) y\( \omega \in \Omega \), definir\( X_t(\omega) = \bs{1}_t(\omega) \) y\( Y_t(\omega) = 0 \). Entonces

    1. \( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \)es una versión de\( \bs{Y} = \{Y_t: t \in T\} \)
    2. \( \bs{X} \)no está adaptado a la filtración natural de\( \bs{Y} \).
    Prueba
    1. Esto se mostró en la sección anterior, pero aquí vuelve a estar: Por\( t \in T \),\( \P(X_t \ne Y_t) = \P(\{t\}) = 0 \).
    2. Trivialmente,\( \sigma(Y_t) = \{\emptyset, \Omega\} \) para cada\( t \in T \), entonces\( \sigma\{Y_s: 0 \le s \le t\} = \{\emptyset, \Omega\} \). Pero\( \sigma(X_t) = \{\emptyset, \{t\}, \Omega \setminus \{t\}, \Omega\} \).

    Finalización

    Supongamos ahora que\( P \) es una medida de probabilidad en\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Recordemos que\(\mathscr{F}\) es completo con respecto a\( P \) si\(A \in \mathscr{F}\),\( B \subseteq A \), e\(P(A) = 0\) implica\(B \in \mathscr{F}\) (y por lo tanto\( P(B) = 0 \)). Es decir, si\( A \) es un evento con probabilidad 0 y\( B \subseteq A \), entonces también\( B \) es un evento (y también tiene probabilidad 0). Para una filtración, es apropiada la siguiente definición.

    La filtración\(\{\mathscr{F}_t: t \in T\}\) es completa con respecto a una medida de probabilidad\( P \) en\( (\Omega, \mathscr{F}) \) si

    1. \(\mathscr{F}\)está completo con respecto a\( P \)
    2. Si\(A \in \mathscr{F}\) y\(P(A) = 0\) entonces\(A \in \mathscr{F}_0\).

    Supongamos que\( P \) es una medida de probabilidad en\( (\Omega, \mathscr{F}) \) y que la filtración\(\{\mathscr{F}_t: t \in T\}\) está completa con respecto a\( P \). Si\(A \in \mathscr{F}\) es un evento nulo (\(P(A) = 0\)) o un evento casi cierto (\(\P(A) = 1\)) entonces\(A \in \mathscr{F}_t\) para cada\(t \in T\).

    Prueba

    Esto sigue ya que casi ciertos eventos son complementos de eventos nulos y ya que los\(\sigma\) -álgebras están aumentando en\(t \in T\).

    Recordemos que si\( P \) es una medida de probabilidad en\( (\Omega, \mathscr{F}) \), pero no\( \mathscr{F} \) está completa con respecto a\( P \), entonces siempre se\( \mathscr{F} \) puede completar. Aquí hay una revisión de cómo se hace esto: Let\[ \mathscr{N} = \{A \subseteq \Omega: \text{ there exists } N \in \mathscr{F} \text{ with } P(N) = 0 \text{ and } A \subseteq N\}\] So\( \mathscr{N} \) es la colección de conjuntos nulos. Entonces dejamos\( \mathscr{F}^P = \sigma(\mathscr{F} \cup \mathscr{N}) \) y extendemos\( P \) a\( \mathscr{F}^P \) es la forma natural: si\( A \in \mathscr{F}^P \) y\( A \) difiere de\( B \in \mathscr{F} \) por un conjunto nulo, entonces\( P(A) = P(B) \). También se pueden completar filtraciones.

    Supongamos que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración\( (\Omega, \mathscr{F}) \) encendida y que\( P \) es una medida de probabilidad en\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Como arriba, vamos a\( \mathscr{N} \) denotar la colección de subconjuntos nulos de\( \Omega \), y para\( t \in T \), let\( \mathscr{F}^P_t = \sigma(\mathscr{F}_t \cup \mathscr{N}) \). Entonces\( \mathfrak{F}^P = \{\mathscr{F}^P_t: t \in T\} \) es una filtración en\( \left(\Omega, \mathscr{F}^P\right) \) que es más fina que\( \mathfrak{F} \) y es completa en relación con\( P \).

    Prueba

    Si\( s, \, t \in T \) con\( s \le t \) entonces\( \mathscr{F}_s \subseteq \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{F} \) y por lo tanto\[ \sigma(\mathscr{F}_s \cup \mathscr{N}) \subseteq \sigma(\mathscr{F}_t \cup \mathscr{N}) \subseteq \sigma(\mathscr{F} \cup \mathscr{N})\] y así\( \mathscr{F}^P_s \subseteq \mathscr{F}^P_t \subseteq \mathscr{F}^P \). La medida de probabilidad se\( P \) puede extender\( \mathscr{F}^P \) como se describió anteriormente, y por lo tanto se define en\( \mathscr{F}^P_t \) para cada uno\( t \in T \). Por construcción, si\( A \in \mathscr{F}^P \) y\( P(A) = 0 \) entonces\( A \in \mathscr{F}^P_0 \) así\( \mathfrak{F}^P \) está completo con respecto a\( P \).

    Naturalmente,\( \mathfrak{F}^P \) es la finalización de\( \mathfrak{F} \) con respecto a\( P \). A veces necesitamos considerar todas las medidas de probabilidad en\( (\Omega, \mathscr{F}) \).

    Dejar\( \mathscr{P} \) denotar la colección de medidas de probabilidad en\( (\Omega, \mathscr{F}) \), y supongamos que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración en\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Vamos\( \mathscr{F}^* = \bigcap \{\mathscr{F}^P: P \in \mathscr{P}\} \), y vamos\( \mathfrak{F}^* = \bigwedge \{\mathfrak{F}^P: P \in \mathscr{P}\} \). Entonces\( \mathfrak{F}^* \) es una filtración en\( (\Omega, \mathscr{F}^*) \), conocida como la terminación universal de\( \mathfrak{F} \).

    Prueba

    Tenga en cuenta que\( \mathfrak{F}^P \) es una filtración\( (\Omega, \mathscr{F}^P) \) para cada uno\( P \in \mathscr{P} \), también lo\( \mathfrak{F}^* \) es una filtración encendida\( (\Omega, \mathscr{F}^*) \).

    La última definición debe parecer muy oscura, pero sí tiene lugar. En la teoría de los procesos de Markov, generalmente permitimos distribuciones iniciales arbitrarias, lo que a su vez produce una gran colección de distribuciones en el espacio muestral.

    Continuidad Derecha

    En tiempo continuo, a veces necesitamos refinar un poco una filtración dada.

    Supongamos que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \) es una filtración en\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Para\( t \in [0, \infty) \), definir\( \mathscr{F}_{t+} = \bigcap \{\mathscr{F}_s: s \in (t, \infty)\} \). Entonces también\( \mathfrak{F}_+ = \{\mathscr{F}_{t+}: t \in T\} \) es una filtración encendida\( (\Omega, \mathscr{F}) \) y es más fina que\( \mathfrak{F} \).

    Prueba

    Para\( t \in [0, \infty) \) destacar que\( \mathscr{F}_{t+} \) es una\( \sigma \) -álgebra ya que es la intersección de\( \sigma \) -álgebras, y claramente\( \mathscr{F}_{t+} \subseteq \mathscr{F} \). A continuación, si\( s, \, t \in [0, \infty) \) con\( s \le t \), entonces\( \{\mathscr{F}_r: r \in (t, \infty)\} \subseteq \{\mathscr{F}_r: r \in (s, \infty)\} \), así se deduce que\[ \mathscr{F}_{s+} = \bigcap\{\mathscr{F}_r: r \in (s, \infty)\} \subseteq \bigcap\{\mathscr{F}_r: r \in (t, \infty)\} = \mathscr{F}_{t+} \] Finalmente, para\( t \in [0, \infty) \),\( \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{F}_s \)\( s \in (t, \infty) \) para cada uno\( \mathscr{F}_t \subseteq \bigcap\{\mathscr{F}_s: s \in (t, \infty)\} = \mathscr{F}_{t+} \).

    Dado que las\( \sigma \) -álgebras en una filtración van en aumento, se deduce que para\( t \in [0, \infty) \),\( \mathscr{F}_{t+} = \bigcap\{\mathscr{F}_s: s \in (t, t + \epsilon)\} \) para cada\( \epsilon \in (0, \infty) \). Entonces, si la filtración\( \mathfrak{F} \) codifica la información disponible a medida que pasa el tiempo, entonces la filtración\( \mathfrak{F}_+ \) permite un pico infinitesimal hacia el futuro en cada uno\( t \in [0, \infty) \). A la luz del resultado anterior, la siguiente definición es natural.

    Una filtración\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \) es correcta continua si\( \mathfrak{F}_+ = \mathfrak{F} \),\( \mathscr{F}_{t+} = \mathscr{F}_t \) para que para cada\( t \in [0, \infty) \).

    Las filtraciones continuas correctas tienen algunas propiedades agradables, como veremos más adelante. Si la filtración original no es correcta continua, la filtración ligeramente refinada es:

    Supongamos nuevamente que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \) es una filtración. Entonces\( \mathfrak{F}_+ \) es una filtración continua correcta.

    Prueba

    Para\( t \in T \)\[ \mathscr{F}_{t++} = \bigcap\{\mathscr{F}_{s+}: s \in (t, \infty)\} = \bigcap\left\{\bigcap\{\mathscr{F}_r: r \in (s, \infty)\}: s \in (t, \infty)\right\} = \bigcap\{\mathscr{F}_u: u \in (t, \infty)\} = \mathscr{F}_{t+} \]

    Para un proceso estocástico\( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) en tiempo continuo, a menudo la filtración\( \mathfrak{F} \) que es más útil es el refinamiento continuo correcto de la filtración natural. Es decir,\( \mathfrak{F} = \mathfrak{F}^0_+ \), para que\( \mathscr{F}_t = \sigma\{X_s: s \in [0, t]\}_+ \) para\( t \in [0, \infty) \).

    Tiempos de Parada

    Propiedades Básicas

    Supongamos nuevamente que tenemos un espacio muestral fijo\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Las variables aleatorias que toman valores en el conjunto de tiempo\( T \) son importantes, pero muchas veces como veremos, es necesario permitir que tales variables tomen el valor así\( \infty \) como los tiempos finitos. Así que vamos\( T_\infty = T \cup \{\infty\} \). Extendemos orden a\( T_\infty \) por la regla obvia que\( t \lt \infty \) para cada\( t \in T \). También extendemos la topología\( T_\infty \) por la regla de que para cada uno\( s \in T \), el conjunto\( \{t \in T_\infty: t \gt s\} \) es un vecindario abierto de\( \infty\).\( T \) Es decir,\( T_\infty \) es la compactificación de un punto de\( T \). La razón de esto es preservar el sentido del tiempo convergiendo al infinito. Es decir, si\( (t_1, t_2, \ldots) \) es una secuencia en\( T_\infty \) entonces\( t_n \to \infty \) como\( n \to \infty \) si y sólo si, por cada\( t \in T \) existe\( m \in \N_+ \) tal que\( t_n \gt t \) para\( n \gt m \). Luego le damos\( T_\infty \) el\( \sigma \) álgebra de Borel\( \mathscr{T}_\infty \) como antes. En tiempo discreto, este es nuevamente el\( \sigma \) álgebra discreta, de manera que todos los subconjuntos son medibles. En ambos casos, ahora tenemos un espacio de tiempo mejorado es\( (T_\infty, \mathscr{T}_\infty) \). Una variable aleatoria\( \tau \) que toma valores\( T_\infty \) se denomina tiempo aleatorio.

    Supongamos que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración en\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Un tiempo aleatorio\( \tau \) es un tiempo de detención relativo a\( \mathfrak{F} \) si\( \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t \) para cada uno\( t \in T \).

    En cierto sentido, un tiempo de parada es un tiempo aleatorio que no requiere que veamos hacia el futuro. Es decir, podemos decir si a\( \tau \le t \) partir de nuestra información en el momento\( t \). El término tiempo de detención proviene del juego. Considera a un jugador apostando por juegos de azar. La decisión del jugador de dejar de apostar en algún momento y aceptar su fortuna debe definir un tiempo de parada. Es decir, el jugador puede basar su decisión de dejar de apostar en toda la información que tenga en ese momento, pero no en lo que sucederá en el futuro. A veces se usan los términos tiempo de Markov y tiempo opcional en lugar de detener el tiempo. Si\( \tau \) es un tiempo de parada relativo a una filtración, entonces también es un tiempo de detención relativo a cualquier filtración más fina:

    Supongamos que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) y\( \mathfrak{G} = \{\mathscr{G}_t: t \in T\} \) son filtraciones\( (\Omega, \mathscr{F}) \) encendidas, y eso\(\mathfrak{G}\) es más fino que\( \mathfrak{F} \). Si un tiempo aleatorio\( \tau \) es un tiempo de detención relativo a\( \mathfrak{F} \) entonces\( \tau \) es un tiempo de detención relativo a\( \mathfrak{G} \).

    Prueba

    Esto es muy sencillo. Si\( t \in T \) entonces\( \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t \) y por lo tanto\( \{\tau \le t\} \in \mathscr{G}_t \) desde entonces\( \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{G}_t \).

    Entonces, cuanto más fina sea la filtración, mayor será la recolección de tiempos de parada. De hecho, cada tiempo aleatorio es un tiempo de parada relativo a la mejor filtración\( \mathfrak{F} \) donde\( \mathscr{F}_t = \mathscr{F} \) para cada\( t \in T \). Pero esta filtración corresponde a tener información completa desde el principio de los tiempos, lo que por supuesto no suele ser sensato. En el otro extremo, para la filtración más grosera\( \mathfrak{F} \) donde\( \mathscr{F}_t = \{\Omega, \emptyset\} \) para cada uno\( t \in T \), los únicos tiempos de parada son constantes. Es decir, tiempos aleatorios de la forma\( \tau(\omega) = t \) para cada\( \omega \in \Omega \), para algunos\(t \in T_\infty \).

    Supongamos nuevamente que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración encendida\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Un tiempo aleatorio\( \tau \) es un tiempo de detención relativo a\( \mathfrak{F} \) si y solo si\( \{\tau \gt t\} \in \mathscr{F}_t \) para cada uno\( t \in T \).

    Prueba

    Este resultado es trivial ya que\( \{\tau \gt t\} = \{\tau \le t\}^c \) para\( t \in T \).

    Supongamos nuevamente que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración\( (\Omega, \mathscr{F}) \) encendida, y ese\( \tau \) es un tiempo de parada relativo a\( \mathfrak{F} \). Entonces

    1. \( \{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_t \)para cada\( t \in T \).
    2. \( \{\tau \ge t\} \in \mathscr{F}_t\)para cada\( t \in T \).
    3. \( \{\tau = t\} \in \mathscr{F}_t \)para cada\( t \in T \).
    Prueba
    1. Supongamos primero eso\( T = \N \). Entonces\( \{\tau \lt t\} = \{\tau \le t - 1\} \in \mathscr{F}_{t-1} \subseteq \mathscr{F}_t \) para\( t \in \N \). Siguiente supongamos eso\( T = [0, \infty) \). Fijar\(t \in (0, \infty)\) y dejar\((s_1, s_2, \ldots)\) que sea una secuencia estrictamente creciente en\([0, \infty)\) con\(s_n \uparrow t\) as\(n \to \infty\). Entonces\( \{\tau \lt t\} = \bigcup_{n=1}^\infty \{\tau \le s_n\} \). Pero\( \{\tau \le s_n\} \in \mathscr{F}_{s_n} \subseteq \mathscr{F}_t \) para cada uno\( n \), así\( \{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_t \).
    2. Esto se desprende de (a) ya que\( \{\tau \ge t\} = \{\tau \lt t\}^c \) para\( t \in T \).
    3. Para\( t \in T \) tener en cuenta que\( \{\tau = t\} = \{\tau \le t\} \setminus \{\tau \lt t\} \). Ambos eventos en la diferencia de conjunto están en\( \mathscr{F}_t \).

    Tenga en cuenta que cuando\(T = \N\), en realidad lo demostramos\(\{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_{t-1}\) y\(\{\tau \ge t\} \in \mathscr{F}_{t-1}\). Lo contrario a la parte (a) (o equivalentemente (b)) no es cierto, pero en el tiempo continuo existe una conexión con el refinamiento derecho-continuo de la filtración.

    Supongamos que\( T = [0, \infty) \) y eso\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \) es una filtración en\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Un tiempo aleatorio\( \tau \) es un tiempo de detención relativo a\( \mathfrak{F}_+ \) si y solo si\( \{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_t \) para cada\(t \in [0, \infty)\).

    Prueba

    Así que reexpresado, tenemos que demostrar eso\( \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_{t+} \) para cada\( t \in [0, \infty) \) si y solo si\( \{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_t \) por cada\( t \in [0, \infty) \). (Nota por cierto, que esto no es lo mismo que la afirmación de que para cada\( t \in T \),\( \{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_{t+} \) si y sólo si\( \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t \), que no es cierto.) Supongamos primero que\( \tau \) es un tiempo de parada relativo a\( \mathfrak{F} \). Fijar\(t \in [0, \infty)\) y dejar\((t_1, t_2, \ldots)\) ser una secuencia estrictamente decreciente en\([0, \infty)\) con\(t_n \downarrow t\) as\(n \to \infty\). Entonces para cada uno\(k \in \N_+\),\( \{\tau \le t\} = \bigcap_{n=k}^\infty \{\tau \lt t_n\} \). Si\( s \gt t \) entonces existe\( k \in \N_+ \) tal que\( t_n \lt s \) para cada uno\( n \ge k \). De ahí\( \{\tau \lt t_n\} \in \mathscr{F}_{t_n} \subseteq \mathscr{F}_s \) para\( n \ge k \), y así se deduce que\( \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_s \). Ya que esto es cierto para cada\( s \gt t \) que sigue\(\{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_{t+}\). Por el contrario, supongamos que\( \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_{t+} \) para cada\( t \in [0, \infty) \). Fijar\( t \in (0, \infty) \) y dejar\( (t_1, t_2, \ldots) \) que sea una secuencia estrictamente creciente en\( (0, \infty) \) con\( t_n \uparrow t \) as\( n \to \infty \). Entonces\( \bigcup_{i=1}^\infty \{\tau \le t_n\} = \{\tau \lt t\} \). Pero por cada\( n \in \N_+ \)\[ \{\tau \le t_n\} \in \mathscr{F}_{t_n+} = \bigcap\left\{\mathscr{F}_s: s \in (t_n, t)\right\} \subseteq \mathscr{F}_t \] De ahí\( \{\tau \lt t \} \in \mathscr{F}_t\).

    Si\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \) es una filtración y\( \tau \) es un tiempo aleatorio que satisface\( \{\tau \lt t \} \in \mathscr{F}_t \) para cada\( t \in T \), entonces algunos autores llaman a\( \tau \) un tiempo de parada débil o dicen que\( \tau \) es débilmente opcional para la filtración\( \mathfrak{F} \). Pero para mí, el aumento de la jerga no vale la pena, y es mejor simplemente decir que\( \tau \) es un tiempo de parada para la filtración\(\mathfrak{F}_+\). Sigue ahora el siguiente corolario.

    Supongamos que\( T = [0, \infty) \) y eso\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \) es una filtración derecto-continua. Un tiempo aleatorio\( \tau \) es un tiempo de detención relativo a\( \mathfrak{F} \) si y solo si\( \{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_t \) para cada\( t \in [0, \infty) \).

    Lo contrario a la parte (c) del resultado anterior se mantiene en tiempo discreto.

    Supongamos que\( T = \N \) y eso\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_n: n \in \N\} \) es una filtración en\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Un tiempo aleatorio\( \tau \) es un tiempo de parada para\( \mathfrak{F} \) si y solo si\( \{\tau = n\} \in \mathscr{F}_n \) para cada\( n \in \N \).

    Prueba

    Si\(\tau\) es un tiempo de parada entonces como se muestra arriba,\(\{\tau = n\} \in \mathscr{F}_n\) para cada\( n \in \N \). Por el contrario, supongamos que esta condición se mantiene. Para\(n \in \N\),\(\{\tau \le n\} = \bigcup_{k=0}^n \{\tau = k\}\). Pero\(\{\tau = k\} \in \mathscr{F}_k \subseteq \mathscr{F}_n\) para\(k \in \{0, 1, \ldots, n\}\) eso\(\{\tau \le n\} \in \mathscr{F}_n\).

    Construcciones Básicas

    Como se señaló anteriormente, un elemento constante de\(T_\infty\) es un tiempo de parada, pero no muy interesante.

    Supongamos\(s \in T_\infty\) y eso\(\tau(\omega) = s\) para todos\(\omega \in \Omega\). El\(\tau\) es un tiempo de detención relativo a cualquier filtración en\( (\Omega, \mathscr{F}) \).

    Prueba

    Para\( t \in T \) tener en cuenta que\(\{\tau \le t\} = \Omega\) si\(s \le t\) y\(\{\tau \le t\} = \emptyset\) si\(s \gt t\).

    Si la filtración\(\{\mathscr{F}_t: t \in T\}\) está completa, entonces un tiempo aleatorio que es casi seguro que es una constante también es un tiempo de parada. Los siguientes teoremas dan algunas formas básicas de construir nuevos tiempos de parada a partir de los que ya tenemos.

    Supongamos que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración en\( (\Omega, \mathscr{F}) \) y que\(\tau_1\) y\(\tau_2\) son tiempos de detención relativos a\( \mathfrak{F} \). Entonces cada uno de los siguientes es también un tiempo de parada relativo a\( \mathfrak{F} \):

    1. \(\tau_1 \vee \tau_2 = \max\{\tau_1, \tau_2\}\)
    2. \(\tau_1 \wedge \tau_2 = \min\{\tau_1, \tau_2\}\)
    3. \(\tau_1 + \tau_2\)
    Prueba
    1. Tenga en cuenta que\(\{\tau_1 \vee \tau_2 \le t\} = \{\tau_1 \le t\} \cap \{\tau_2 \le t\} \in \mathscr{F}_t\) para\(t \in T\), por lo que el resultado se desprende de la definición.
    2. Tenga en cuenta que\(\{\tau_1 \wedge \tau_2 \gt t\} = \{\tau_1 \gt t\} \cap \{\tau_2 \gt t\} \in \mathscr{F}_t\) para\(t \in T\), por lo que el resultado se desprende del resultado anterior.
    3. Esto es simple cuando\(T = \N\). En este caso,\(\{\tau_1 + \tau_2 \le t\} = \bigcup_{n=0}^t \{\tau_1 = n\} \cap \{\tau_2 \le t - n\}\). Pero para\(n \le t\),\(\{\tau_1 = n\} \in \mathscr{F}_n \subseteq \mathscr{F}_t\) y\(\{\tau_2 \le t - n\} \in \mathscr{F}_{t - n} \subseteq \mathscr{F}_t\). De ahí\(\{\tau_1 + \tau_2 \le t\} \in \mathscr{F}_t\). Supongamos en cambio eso\(T = [0, \infty)\) y\(t \in T\). Entonces\(\tau_1 + \tau_2 \gt t\) si y sólo si cualquiera\(\tau_1 \le t\) y\(\tau_2 \gt t - \tau_1\) o\(\tau_1 \gt t\). Por supuesto\(\{\tau_1 \gt t\} \in \mathscr{F}_t\) así que solo tenemos que demostrar que el primer evento también está en\(\mathscr{F}_t\). Tenga en cuenta que\(\tau_1 \le t\) y\(\tau_2 \gt t - \tau_1\) si y sólo si existe un racional\(q \in [0, t]\) tal que\(q \le \tau_1 \le t\) y\(\tau_2 \ge t - q\). Cada uno de estos eventos está en\(\mathscr{F}_t\) y por lo tanto también lo es la unión de los eventos sobre la colección contable de racionales\(q \in [0, t]\).

    De ello se deduce que si\( (\tau_1, \tau_2, \ldots, \tau_n) \) es una secuencia finita de tiempos de detención relativos a\( \mathfrak{F} \), entonces cada uno de los siguientes es también un tiempo de detención relativo a\( \mathfrak{F} \):

    • \( \tau_1 \vee \tau_2 \vee \cdots \vee \tau_n \)
    • \( \tau_1 \wedge \tau_2 \wedge \cdots \wedge \tau_n \)
    • \( \tau_1 + \tau_2 + \cdots + \tau_n \)

    Tenemos que tener cuidado cuando tratamos de extender estos resultados a secuencias infinitas.

    Supongamos que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración\( (\Omega, \mathscr{F}) \) encendida, y que\((\tau_n: n \in \N_+)\) es una secuencia de tiempos de detención relativos a\( \mathfrak{F} \). Entonces también\(\sup\{\tau_n: n \in \N_+\}\) es un tiempo de parada relativo a\( \mathfrak{F} \).

    Prueba

    Vamos\(\tau = \sup\{\tau_n: n \in \N_+\}\). Tenga en cuenta que\(\tau\) existe en\(T_\infty\) y es un tiempo aleatorio. Para\(t \in T\),\(\{\tau \le t\} = \bigcap_{n=1}^\infty \{\tau_n \le t\}\). Pero cada evento en la intersección está adentro\(\mathscr{F}_t\) y por lo tanto también lo es la intersección.

    Supongamos que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración\( (\Omega, \mathscr{F}) \) encendida, y que\((\tau_n: n \in \N_+)\) es una secuencia creciente de tiempos de parada en relación con\( \mathfrak{F} \). Entonces\(\lim_{n \to \infty} \tau_n\) es un tiempo de parada relativo a\( \mathfrak{F} \).

    Prueba

    Este es un corolario del teorema anterior. Dado que la secuencia va en aumento,\(\lim_{n \to \infty} \tau_n = \sup\{\tau_n: n \in \N_+\}\).

    Supongamos que\( T = [0, \infty) \) y eso\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración en\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Si\((\tau_n: n \in \N_+)\) es una secuencia de tiempos de detención relativos a\( \mathfrak{F} \), entonces cada uno de los siguientes es un tiempo de detención relativo a\( \mathfrak{F}_+ \):

    1. \(\inf\left\{\tau_n: n \in \N_+\right\}\)
    2. \(\liminf_{n \to \infty} \tau_n\)
    3. \(\limsup_{n \to \infty} \tau_n\)
    Prueba
    1. Vamos\(\tau = \inf\left\{\tau_n: n \in \N_+\right\}\). Entonces\(\{\tau \ge t\} = \bigcap_{n=1}^\infty\{\tau_n \ge t\} \in \mathscr{F}_t\) para\(t \in T\). De ahí\(\tau\) que sea un tiempo de parada relativo a\( \mathfrak{F}_+ \) por el resultado anterior.
    2. Recordemos eso\(\liminf_{n \to \infty} \tau_n = \sup\left\{\inf\{\tau_k: k \ge n\}: n \in \N_+\right\}\) y así este es un tiempo de parada relativo a\( \mathfrak{F}_+ \) por la parte (a) y el resultado anterior sobre supremums.
    3. De igual manera señalar que\(\limsup_{n \to \infty} \tau_n = \inf\left\{\sup\{\tau_k: k \ge n\}: n \in \N_+\right\}\) y así se trata de un tiempo de detención relativo a\( \mathfrak{F}_+ \) por la parte (a) y el resultado anterior sobre supremas.

    Como simple corolario, tenemos los siguientes resultados:

    Supongamos que\( T = [0, \infty) \) y que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración derecto-continua en\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Si\((\tau_n: n \in \N_+)\) es una secuencia de tiempos de detención relativos a\( \mathfrak{F} \), entonces cada uno de los siguientes es también un tiempo de detención relativo a\( \mathfrak{F} \):

    1. \(\inf\left\{\tau_n: n \in \N_+\right\}\)
    2. \(\liminf_{n \to \infty} \tau_n\)
    3. \(\limsup_{n \to \infty} \tau_n\)

    El\(\sigma\) álgebra de un tiempo de parada

    Considere nuevamente el ajuste general de una filtración\(\mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\}\) en el espacio de muestra\((\Omega, \mathscr{F})\), y supongamos que\(\tau\) es un tiempo de detención relativo a\( \mathfrak{F} \). Queremos definir el\(\sigma\) álgebra\(\mathscr{F}_\tau\) de eventos hasta el tiempo aleatorio\(\tau\), analágico\(\mathscr{F}_t\) al\( \sigma \) álgebra de eventos hasta un tiempo fijo\(t \in T\). Aquí está la definición apropiada:

    Supongamos que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración\( (\Omega, \mathscr{F}) \) encendida y que\( \tau \) es un tiempo de parada relativo a\( \mathfrak{F} \). Definir\( \mathscr{F}_\tau = \left\{A \in \mathscr{F}: A \cap \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t \text{ for all } t \in T\right\} \). Entonces\( \mathscr{F}_\tau \) es una\( \sigma \) -álgebra.

    Prueba

    Primero\(\Omega \in \mathscr{F}_\tau\) desde\(\Omega \cap \{\tau \le t\} = \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t\) para\(t \in T\). Si\(A \in \mathscr{F}_\tau\) entonces\(A^c \cap \{\tau \le t\} = \{\tau \le t \} \setminus \left(A \cap \{\tau \le t\}\right) \in \mathscr{F}_t\) por\(t \in T\). Por último, supongamos que\(A_i \in \mathscr{F}_\tau\) para\(i\) en un conjunto de índices contables\(I\). Entonces\(\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) \cap \{\tau \le t\} = \bigcup_{i \in I} \left(A_i \cap \{\tau \le t\}\right) \in \mathscr{F}_t\) para\(t \in T\).

    Por lo tanto, un evento\(A\) está en\(\mathscr{F}_\tau\) si podemos determinar si\(A\) y\(\tau \le t\) ambos ocurrieron dada nuestra información en el momento\(t\). Si\(\tau\) es constante, entonces se\(\mathscr{F}_\tau\) reduce al miembro correspondiente de la filtración original, cuyo clealry debería ser el caso, y es motivación adicional para la definición.

    Supongamos nuevamente que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración encendida\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Fijar\(s \in T\) y definir\(\tau(\omega) = s\) para todos\(\omega \in \Omega\). Entonces\(\mathscr{F}_\tau = \mathscr{F}_s\).

    Prueba

    Supongamos que\(A \in \mathscr{F}_s\). Entonces\(A \in \mathscr{F}\) y para\(t \in T\),\(A \cap \{\tau \le t\} = A\) si\(s \le t\) y\(A \cap \{\tau \le t\} = \emptyset\) si\(s \gt t\). En cualquier caso,\(A \cap \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t\) y por lo tanto\(A \in \mathscr{F}_\tau\). Por el contrario, supongamos que\(A \in \mathscr{F}_\tau\). Entonces\(A = A \cap \{\tau \le s\} \in \mathscr{F}_s\).

    Claramente, si tenemos la información disponible en\(\mathscr{F}_\tau\), entonces debemos conocer el valor de\(\tau\) sí mismo. Esto también es cierto:

    Supongamos nuevamente que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración\( (\Omega, \mathscr{F}) \) encendida y ese\( \tau \) es un tiempo de parada relativo a\( \mathfrak{F} \). Entonces\(\tau\) es medible con respecto a\(\mathscr{F}_\tau\).

    Prueba

    Basta con mostrar eso\(\{\tau \le s\} \in \mathscr{F}_\tau\) para cada uno\(s \in T\). Para\( s, \, t \in T \),\[\{\tau \le t\} \cap \{\tau \le s\} = \{\tau \le s \wedge t\} \in \mathscr{F}_{s \wedge t} \subseteq \mathscr{F}_t\] De ahí\(\{\tau \le s\} \in \mathscr{F}_\tau\).

    Aquí hay otros resultados que relacionan el\( \sigma \) álgebra de un tiempo de detención con la filtración original.

    Supongamos nuevamente que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración\( (\Omega, \mathscr{F}) \) encendida y ese\( \tau \) es un tiempo de parada relativo a\( \mathfrak{F} \). Si\(A \in \mathscr{F}_\tau\) entonces por\(t \in T\),

    1. \(A \cap \{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_t\)
    2. \(A \cap \{\tau = t\} \in \mathscr{F}_t\)
    Prueba
    1. Por definición,\(A \cap \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t\). Pero\(\{\tau \lt t\} \subseteq \{\tau \le t\}\) y\(\{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_t\). De ahí\(A \cap \{\tau \lt t\} = A \cap \{\tau \le t\} \cap \{\tau \lt t\} \in \mathscr{F}_t\).
    2. de manera similar\(\{\tau = t\} \subseteq \{\tau \le t\}\) y\(\{\tau = t\} \in \mathscr{F}_t\). De ahí\(A \cap \{\tau = t\} = A \cap \{\tau \le t\} \cap \{\tau = t\} \in \mathscr{F}_t\)

    El\( \sigma \) álgebra de un tiempo de detención relativo a una filtración está relacionado con el\( \sigma \) álgebra del tiempo de detención relativo a una filtración más fina de manera natural.

    Supongamos que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) y\( \mathfrak{G} = \{\mathscr{G}_t: t \in T\} \) son filtraciones\( (\Omega, \mathscr{F}) \) encendidas y eso\( \mathfrak{G} \) es más fino que\( \mathfrak{F} \). Si\( \tau \) es un tiempo de parada relativo a\( \mathfrak{F} \) entonces\( \mathscr{F}_\tau \subseteq \mathscr{G}_\tau \).

    Prueba

    Del resultado anterior,\( \tau \) es también un tiempo de parada relativo a\( \mathfrak{G} \), por lo que la afirmación tiene sentido. Si\( A \in \mathscr{F}_\tau \) entonces por\( t \in T \),\( A \cap \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{G}_t \), entonces\( A \in \mathscr{G}_\tau \).

    Cuando se ordenan dos tiempos de parada, también se ordenan sus\( \sigma \) -álgebras.

    Supongamos que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración\( (\Omega, \mathscr{F}) \) encendida y que\(\rho\) y\(\tau\) son tiempos de parada para\( \mathfrak{F} \) con\(\rho \le\tau\). Entonces\(\mathscr{F}_\rho \subseteq \mathscr{F}_\tau\).

    Prueba

    Supongamos que\(A \in \mathscr{F}_\rho\) y\(t \in T\). Tenga en cuenta que\(\{\tau \le t\} \subseteq \{\rho \le t\}\). Por definición,\(A \cap \{\rho \le t\} \in \mathscr{F}_t\) y\(\{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t \). De ahí\(A \cap \{\tau \le t\} = A \cap \{\rho \le t\} \cap \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t\), así\(A \in \mathscr{F}_\tau\).

    Supongamos de nuevo que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración en\( (\Omega, \mathscr{F}) \), y eso\(\rho\) y\(\tau\) son tiempos de parada para\( \mathfrak{F} \). Entonces cada uno de los siguientes eventos está en\(\mathscr{F}_\tau\) y en\(\mathscr{F}_\rho\).

    1. \(\{\rho \lt \tau\}\)
    2. \(\{\rho = \tau\}\)
    3. \(\{\rho \gt \tau\}\)
    4. \(\{\rho \le \tau\}\)
    5. \(\{\rho \ge \tau\}\)
    Prueba

    Las pruebas son fáciles cuando\(T = \N\).

    1. Vamos\(t \in T\). Entonces\[\{\rho \lt \tau\} \cap \{\tau \le t\} = \bigcup_{n=0}^t \bigcup_{k=0}^{n-1} \{\tau = n, \rho = k\}\] Pero cada evento en la unión está en\(\mathscr{F}_t\).
    2. Del mismo modo, vamos\(t \in T\). Entonces\[ \{\rho = \tau\} \cap \{\tau \le t\} = \bigcup_{n=0}^t \{\rho = n, \tau = n\} \] y otra vez cada evento en la unión está en\(\mathscr{F}_t\).
    3. Esto se desprende de la simetría, invirtiendo los papeles de\(\rho\) y\(\tau\) en parte (a).
    4. Tenga en cuenta que\(\{\rho \le \tau\} = \{\rho \lt \tau\} \cup \{\rho = \tau\} \in \mathscr{F}_\tau\).
    5. De igual manera, tenga en cuenta que\(\{\rho \ge \tau\} = \{\rho \gt \tau\} \cup \{\rho = \tau\} \in \mathscr{F}_\tau\).

    Podemos detener una filtración en un momento de parada. En la siguiente subsección, detendremos un proceso estocástico de la misma manera.

    Supongamos de nuevo que\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) es una filtración\( (\Omega, \mathscr{F}) \) encendida, y eso\(\tau\) es un tiempo de parada para\( \mathfrak{F} \). Para\( t \in T \) definir\( \mathscr{F}^\tau_t = \mathscr{F}_{t \wedge \tau} \). Entonces\( \mathfrak{F}^\tau = \{\mathscr{F}^\tau_t: t \in T\} \) es una filtración y es más basta que\( \mathfrak{F} \).

    Prueba

    El tiempo aleatorio\( t \wedge \tau \) es un tiempo de parada para cada uno\( t \in T \) por el resultado anterior, así\( \mathscr{F}^\tau_t \) es un sub\( \sigma \) -álgebra de\( \mathscr{F} \). Si\( t \in T \), entonces por definición,\( A \in \mathscr{F}^\tau_t \) si y sólo si\( A \cap \{t \wedge \tau \le r\} \in \mathscr{F}_r \) por cada\( r \in T \). Pero para\( r \in T \),\( \{t \wedge \tau \le r\} = \Omega \) si\( r \ge t \) y\( \{t \wedge \tau \le r\} = \{\tau \le r\} \) si\( r \lt t \). De ahí\( A \in \mathscr{F}^\tau_t \) si y solo si\( A \cap \{\tau \le r\} \in \mathscr{F}_r \) para\( r \lt t \) y\( A \in \mathscr{F}_t \). Entonces en particular,\( \mathfrak{F}^\tau \) es más tosco que\( \mathfrak{F} \). Además, supongamos\( s, \, t \in T \) con\( s \le t \), y eso\( A \in \mathscr{F}^\tau_s \). Vamos\( r \in T \). Si\( r \lt s \) entonces\( A \cap \{\tau \le r\} \in \mathscr{F}_r \). Si\( s \le r \lt t \) entonces\( A \in \mathscr{F}_s \subseteq \mathscr{F}_r \) y\( \{\tau \le r\} \in \mathscr{F}_r \) así otra vez\( A \cap \{\tau \le r\} \in \mathscr{F}_r \). Por último si\( r \ge t \) entonces\( A \in \mathscr{F}_s \subseteq \mathscr{F}_t \). De ahí\( A \in \mathscr{F}^\tau_t \).

    Procesos estocásticos

    Como es habitual, el escenario más común es cuando tenemos un proceso estocástico\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) definido en nuestro espacio muestral\( (\Omega, \mathscr{F}) \) y con espacio de estados\( (S, \mathscr{S}) \). Si\( \tau \) es un tiempo aleatorio, a menudo nos interesa el estado\( X_\tau \) en el momento aleatorio. Pero hay dos temas. En primer lugar,\( \tau \) podrá tomar el valor infinito, en cuyo caso no\( X_\tau \) se define. La solución habitual es introducir un nuevo estado de muerte\( \delta \), y definir\( X_\infty = \delta \). El\( \sigma \) -álgebra\( \mathscr{S} \) encendido\( S \) se extiende a de la\( S_\delta = S \cup \{\delta\} \) manera natural, a saber\( \mathscr{S}_\delta = \sigma(S \cup \{\delta\}) \).

    Nuestro otro problema es que naturalmente esperamos\( X_\tau \) ser una variable aleatoria (es decir, medible), así como lo\( X_t \) es una variable aleatoria para un determinista\( t \in T \). Además, si\( \bs{X} \) se adapta a una filtración\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \), entonces naturalmente también\( X_\tau \) esperaríamos ser medibles con respecto a\( \mathscr{F}_\tau \), así como\( X_t \) es medible con respecto a\( \mathscr{F}_t \) para determinista\( t \in T \). Pero esto no es obvio, y de hecho no es cierto sin suposiciones adicionales. Tenga en cuenta que\( X_\tau \) es un estado aleatorio en un momento aleatorio, y así depende de un resultado de dos\( \omega \in \Omega \) maneras:\(X_{\tau(\omega)}(\omega)\).

    Supongamos que\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) es un proceso estocástico en el espacio muestral\( (\Omega, \mathscr{F}) \) con espacio de estado\( (S, \mathscr{S}) \), y que\( \bs{X} \) es medible. Si\( \tau \) es un tiempo aleatorio finito, entonces\( X_\tau \) es medible. Es decir,\( X_\tau \) es una variable aleatoria con valores en\( S \).

    Prueba

    Tenga en cuenta que\( X_\tau: \Omega \to S \) es la composición de la función\( \omega \mapsto (\omega, \tau(\omega)) \) de\( \Omega \) a\( \Omega \times T\) con la función\((\omega, t) \mapsto X_t(\omega) \) de\( \Omega \times T \) a\( S \). La primera función es medible porque las dos funciones de coordenadas son medibles. La segunda función es medible por suposición.

    Este resultado es una de las principales razones para la definición de un proceso medible en primer lugar. A veces literalmente queremos detener el proceso aleatorio en un momento aleatorio\( \tau \). Como puedes adivinar, este es el origen del término tiempo de detención.

    Supongamos nuevamente que\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) es un proceso estocástico en el espacio muestral\( (\Omega, \mathscr{F}) \) con espacio de estados\( (S, \mathscr{S}) \), y eso\( \bs{X} \) es medible. Si\( \tau \) es un tiempo aleatorio, entonces el proceso\( \bs{X}^\tau = \{X^\tau_t: t \in T\} \) definido por\( X^\tau_t = X_{t \wedge \tau} \) for\( t \in T \) es el proceso\( \bs{X} \) detenido en\( \tau \).

    Prueba

    Para cada uno\( t \in T \), tenga en cuenta que\( t \wedge \tau \) es un tiempo aleatorio finito, y por lo tanto\( X_{t \wedge \tau} \) es medible por el resultado anterior. Así\( \bs{X}^\tau \) es un proceso estocástico bien definido\( (\Omega, \mathscr{F}) \) con el espacio estatal\( (S, \mathscr{S}) \).

    Cuando el proceso original es progresivamente medible, también lo es el proceso detenido.

    Supongamos nuevamente que\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) es un proceso estocástico en el espacio muestral\( (\Omega, \mathscr{F}) \) con espacio de estados\( (S, \mathscr{S}) \), y que\( \bs{X} \) es medible progresivamente con respecto a una filtración\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \). Si\( \tau \) es un tiempo de detención relativo a\( \mathfrak{F} \), entonces el proceso detenido\( \bs{X}^\tau = \{X^\tau_t: t \in T\} \) es medible progresivamente con respecto a la filtración detenida\( \mathfrak{F}^\tau \).

    Ya que\( \mathfrak{F} \) es más fino que\( \mathfrak{F}^\tau \), se deduce que también\( \bs{X}^\tau \) es medible progresivamente con respecto a\( \mathfrak{F} \).

    Supongamos nuevamente que\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) es un proceso estocástico en el espacio muestral\( (\Omega, \mathscr{F}) \) con espacio de estados\( (S, \mathscr{S}) \), y que\( \bs{X} \) es medible progresivamente con respecto a una filtración\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) en\( (\Omega, \mathscr{F}) \). Si\( \tau \) es un tiempo de detención finito relativo a\( \mathfrak{F} \) entonces\( X_\tau \) es medible con respecto a\( \mathscr{F}_\tau \).

    Para muchos procesos aleatorios, la primera vez que el proceso entra o golpea un conjunto de estados es particularmente importante. En la discusión que sigue, vamos\( T_+ = \{t \in T: t \gt 0\} \), el conjunto de tiempos positivos.

    Supongamos que\( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) es un proceso estocástico encendido\( (\Omega, \mathscr{F}) \) con el espacio estatal\( (S, \mathscr{S}) \). Para\( A \in \mathscr{S} \), definir

    1. \( \rho_A = \inf\{t \in T: X_t \in A\} \), el primer tiempo de entrada a\( A \).
    2. \( \tau_A = \inf\{t \in T_+: X_t \in A\} \), el primer tiempo de batea para\( A \).

    Como es habitual,\( \inf(\emptyset) = \infty \) así que\(\rho_A = \infty\) si\(X_t \notin A\) para todos\(t \in T\), para que el proceso nunca entre\(A\), y\( \tau_A = \infty \) si\( X_t \notin A \) por todos\( t \in T_+ \), para que el proceso nunca llegue\( A \). En tiempo discreto, es fácil ver que estos son tiempos de parada.

    Supongamos que\( \{X_n: n \in \N\} \) es un proceso estocástico encendido\( (\Omega, \mathscr{F}) \) con el espacio estatal\( (S, \mathscr{S}) \). Si\( A \in \mathscr{S} \) entonces\(\tau_A\) y\( \rho_A \) son tiempos de detención relativos a la filtración natural\( \mathfrak{F}^0 \).

    Prueba

    Vamos\( n \in \N \). Tenga en cuenta que\(\{\rho_A \gt n\} = \{X_0 \notin A, X_1 \notin A, \ldots, X_n \notin A\} \in \sigma\{X_0, X_1, \ldots, X_n\}\). De igual manera,\( \{\tau_A \gt n\} = \{X_1 \notin A, X_2 \notin A \ldots, X_n \notin A \} \subseteq \sigma\{X_0, X_1, \ldots, X_n\}\).

    Así que por supuesto en tiempo discreto,\( \tau_A \) y\( \rho_A \) son tiempos de detención relativos a cualquier filtración\( \mathfrak{F} \) a la que\( \bs{X} \) se adapte. Se podría pensar eso\(\tau_A\) y siempre\( \rho_A \) debe ser una parada de tiempos, ya que\(\tau_A \le t\) si y sólo si\(X_s \in A\) para algunos\( s \in T_+ \) con\(s \le t\), y\( \rho_A \le t \) si y sólo si\( X_s \in A \) para algunos\( s \in T \) con\( s \le t \). Parecería que estos eventos se conocen si se le permite observar el proceso hasta el momento\(t\). El problema es que cuando\(T = [0, \infty)\), se trata de uniones incontables, entonces necesitamos hacer suposiciones adicionales sobre el proceso estocástico\( \bs{X} \) o la filtración\( \mathfrak{F} \), o ambos.

    Supongamos que\( S \) tiene una topología LCCB, y que\( \mathscr{S} \) es la\( \sigma \) -álgebra de conjuntos de Borel. Supongamos también que\( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) es derecho continuo y tiene límites izquierdos. Entonces\( \tau_A \) y\( \rho_A \) están parando tiempos relativos a\( \mathfrak{F}^0_+ \) para cada apertura\( A \in \mathscr{S} \).

    Aquí hay otro resultado que requiere menos del proceso estocástico\( \bs{X} \), pero más de la filtración\( \mathfrak{F} \).

    Supongamos que\( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) es un proceso estocástico sobre el\( (\Omega, \mathscr{F}) \) que es medible progresivamente en relación con una filtración completa y continua derecha\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \). Si\( A \in \mathscr{S} \) entonces\( \rho_A \) y\( \tau_A \) son tiempos de detención relativos a\( \mathfrak{F} \).


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