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3.11: Propiedades de la Integral

  • Page ID
    151609
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

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    Teoría Básica

    Nuevamente nuestro punto de partida es un espacio de medida\( (S, \mathscr{S}, \mu) \). Es decir,\( S \) es un conjunto,\( \mathscr{S} \) es un\( \sigma \) -álgebra de subconjuntos de\( S \), y\( \mu \) es una medida positiva sobre\( \mathscr{S} \).

    Definición

    En la última sección definimos la integral de ciertas funciones medibles\( f: S \to \R \) con respecto a la medida\( \mu \). Recordemos que la integral, denotada\( \int_S f \, d\mu \), puede existir como un número en\( \R \) (en cuyo caso\( f \) es integrable), o puede existir como\( \infty \) o\( -\infty \), o puede no existir. Aquí hay una revisión de cómo se construye la definición en etapas:

    Definición de la integral

    1. Si\( f \) es una función simple no negativa, de modo que\( f = \sum_{i \in I} a_i \bs{1}_{A_i} \) donde\( I \) es un conjunto de índices finitos,\( a_i \in [0, \infty) \) for\( i \in I \), y\( \{A_i: i \in I\} \) es una partición medible de\( S \), entonces\[ \int_S f \, d\mu = \sum_{i \in I} a_i \mu(A_i) \]
    2. Si\( f: S \to [0, \infty) \) es medible, entonces\[ \int_S f \, d\mu = \sup\left\{\int_S g \, d\mu: g \text{ is simple and } 0 \le g \le f\right\} \]
    3. Si\( f: S \to \R \) es medible, entonces\[ \int_S f \, d\mu = \int_S f^+ \, d\mu - \int_S f^- \, d\mu \] siempre y cuando el lado derecho no sea de la forma\( \infty - \infty \), y donde\( f^+ \) y\( f^- \) denote las partes positivas y negativas de\( f \).
    4. Si\( f:S \to \R \) es medible y\( A \in \mathscr{S} \), entonces la integral de\( f \) over\( A \) se define\[ \int_A f \, d\mu = \int_S \bs{1}_A f \, d\mu \] asumiendo que existe la integral a la derecha.

    Consideremos una declaración sobre los elementos de\(S \), por ejemplo, una ecuación o una desigualdad con\( x \in S \) como variable libre. (Técnicamente tal declaración es un predicado sobre\( S \).) Porque\( A \in \mathscr{S} \), decimos que el enunciado se mantiene\( A \) si es cierto para cada uno\( x \in A \). Decimos que la declaración se sostiene en casi todas partes sobre\( A \) (con respecto a\( \mu \)) si existe\( B \in \mathscr{S} \) con\( B \subseteq A \) tal que la declaración se mantenga\( B \) y\( \mu(A \setminus B) = 0 \).

    Propiedades Básicas

    En el último apartado se dieron algunas propiedades de la integral que fueron esenciales para la motivación de la definición. En esta sección, ampliamos algunas de esas propiedades y estudiamos algunas nuevas. Como revisión, esto es lo que sabemos hasta el momento.

    Propiedades de la integral

    1. Si\( f, \, g: S \to \R \) son funciones medibles cuyas integrales existen, entonces\( \int_S (f + g) \, d\mu = \int_S f \, d\mu + \int_S g \, d\mu \) siempre y cuando el lado derecho no sea de la forma\( \infty - \infty \).
    2. Si\( f: S \to \R \) es una función medible cuya integral existe y\( c \in \R \), entonces\( \int_S c f \, d\mu = c \int_S f \, d\mu \).
    3. Si\( f: S \to \R \) es medible y\( f \ge 0 \) encendido\( S \) entonces\( \int_S f \, d\mu \ge 0 \).
    4. Si\( f, \, g: S \to \R \) son funciones medibles cuyas integrales existen y\( f \le g \) en\( S \) entonces\( \int_S f \, d\mu \le \int_S g \, d\mu \)
    5. Si\( f_n: S \to [0, \infty) \) es medible para\( n \in \N_+ \) y\( f_n \) está aumentando\( n \) en\( S \) entonces\(\int_S \lim_{n \to \infty} f_n \, d\mu = \lim_{n \to \infty} \int_S f_n \, d\mu \).
    6. \( f: S \to \R \)es mensurable y la integral de\( f \) on\( A \cup B \) existe, donde\( A, \, B \in \mathscr{S} \) son disjuntas, entonces\( \int_{A \cup B} f \, d\mu = \int_A f \, d\mu + \int_B f \, d\mu \).

    Las partes (a) y (b) son las propiedades de linealidad; la parte (a) es la propiedad de aditividad y la parte (b) es la propiedad de escalado. Las partes (c) y (d) son las propiedades del orden; la parte (c) es la propiedad positiva y la parte (d) es la propiedad creciente. La parte (e) es una propiedad de continuidad conocida como teorema de convergencia monótona. La parte (f) es la propiedad aditiva para dominios disjuntos. Propiedades (a) — (e) se mantienen con\( S \) sustituidas por\( A \in \mathscr{S} \).

    Igualdad y orden

    Nuestros primeros resultados nuevos son extensiones que tratan de igualdad y orden. La integral de una función sobre un conjunto nulo es 0:

    Supongamos que\( f: S \to \R \) es medible y\( A \in \mathscr{S} \) con\( \mu(A) = 0 \). Entonces\( \int_A f \, d\mu = 0 \).

    Prueba

    La prueba procede por etapas a través de la definición de la integral.

    1. Supongamos que\( g \) es una función simple no negativa con\( g = 0 \) on\( A^c \). Entonces\( g \) tiene la representación\( g = \sum_{i \in I} a_i \bs{1}_{A_i} \) donde\( a_i \in (0, \infty) \) y\( A_i \subseteq A \) para para\( i \in I \). Pero\( \mu(A_i) = 0 \) para cada uno\( i \in I\) y así\( \int_S g \, d\mu = \sum_{i \in I} a_i \mu(A_i) = 0 \)
    2. Supongamos que eso\( f: S \to [0, \infty) \) es medible. Si\( g \) es una función simple no negativa con\( g \le \bs{1}_A f \), entonces\( g = 0 \) en\( A^c \) así por (a),\( \int_S g \, d\mu = 0 \). De ahí por la parte (b) de (1),\( \int_A f \, d\mu = \int_S \bs{1}_A f \, d\mu = 0 \).
    3. Por último, supongamos que eso\( f: S \to \R \) es medible. Entonces\( \int_A f \, d\mu = \int_A f^+ \, d\mu - \int_A f^- \, d\mu \). Pero ambas integrales a la derecha son 0 por parte (b).

    Dos funciones que son indistinguibles desde el punto de vista de\( \mu \) deben tener la misma integral.

    Supongamos que\( f: S \to \R \) es una función medible cuya integral existe. Si\( g: S \to \R \) es medible y en\( g = f \) casi todas partes\( S \), entonces\( \int_S g \, d\mu = \int_S f \, d\mu \).

    Prueba

    Tenga en cuenta que\( g = f \) si y solo si\( g^+ = f^+ \) y\( g^- = f^- \). Vamos\( A = \{x \in S: g^+(x) = f^+(x)\} \). Entonces\( A \in \mathscr{S} \) y\( \mu(A^c) = 0 \). De ahí por la propiedad de aditividad y (3),\[ \int_S g^+ \, d\mu = \int_A g^+ \, d\mu + \int_{A^c} g^+ \, d\mu = \int_A f^+ \, d\mu + 0 = \int_A f^+ \, d\mu + \int_{A^c} f^+ \, d\mu = \int_S f^+ \, d\mu \] Similarmente\( \int_S g^- \, d\mu = \int_S f^- \, d\mu\). De ahí la integral de\( g \) existe y\( \int_S g \, d\mu = \int_S f \, d\mu \)

    A continuación tenemos una extensión simple de la propiedad positiva.

    Supongamos que eso\( f: S \to \R \) es medible y\( f \ge 0 \) casi en todas partes\( S \). Entonces

    1. \( \int_S f \, d\mu \ge 0 \)
    2. \( \int_S f \, = 0 \)si y sólo si\( f = 0 \) casi en todas partes en\( S \).
    Prueba
    1. Vamos\( A = \{x \in S: f(x) \ge 0\} \). Entonces\( A \in \mathscr{S} \) y\( \mu(A^c) = 0 \). Por la aditividad de la integral sobre conjuntos disjuntos tenemos\[ \int_S f \, d\mu = \int_A f \, d\mu + \int_{A^c} f \, d\mu \] Pero\( \int_A f \, d\mu \ge 0 \) por la propiedad positiva y\( \int_{A^c} f \, d\mu = 0 \) por la propiedad nula, entonces\( \int_S f \, d\mu \ge 0 \).
    2. Observe primero que si\( \mu(A) = 0 \) entonces ambas integrales en la ecuación mostrada son 0 así\( \int_S f \, d\mu = 0 \). Para el contrario, vamos\( B_n = \left\{x \in S: f(x) \ge \frac{1}{n}\right\} \) por\( n \in \N_+ \) y\( B = \{x \in S: f(x) \gt 0\} \). Entonces\( B_n \) está aumentando en\( n \) y\( \bigcup_{n=1}^\infty B_n = B \). Si\( \mu(B) \gt 0 \) entonces\( \mu(B_n) \gt 0 \) para algunos\( n \in \N_+ \). Pero\( f \ge \frac{1}{n} \bs{1}_{B_n} \) en\( A \), así por el aumento de la propiedad,\( \int_S f \, d\mu = \int_A f \, d\mu \ge \int_A \frac{1}{n} \bs{1}_{B_n} \, d\mu = \frac{1}{n} \mu(B_n) \gt 0 \).

    Entonces, si\( f \ge 0 \) casi en todas partes\( S \) entonces\( \int_S f \, d\mu \gt 0 \) si y solo si\( \mu\{x \in S: f(x) \gt 0\} \gt 0 \). La simple extensión de la propiedad positiva a su vez conduce a una simple extensión de la propiedad creciente.

    Supongamos que\( f, \, g: S \to \R \) son funciones medibles cuyas integrales existen, y que en\( f \le g \) casi todas partes\( S \). Entonces

    1. \( \int_S f \le \int_S g \)
    2. Excepto en el caso de que ambas integrales sean\( \infty \) o ambas\( -\infty \),\( \int_S f \, d\mu = \int_S g \, d\mu \) si y solo si\( f = g \) casi en todas partes en\( S \).
    Prueba
    1. Tenga en cuenta eso\( g = f + (g - f) \) y\( g - f \ge 0 \) casi en todas partes en\( S \). Si\( \int_S f \, d\mu = -\infty \) entonces trivialmente\( \int_S f \, d\mu \le \int_S g \, d\mu \). De lo contrario, por la propiedad aditiva,\[ \int_S g \, d\mu = \int_S f \, d\mu + \int_S (g - f) \, d\mu \] Por la propiedad positiva,\(\int_S (g - f) \, d\mu \ge 0 \) así\( \int_S g \, d\mu \ge \int_S f \, d\mu \).
    2. Excepto en el caso de que ambas integrales son\( \infty \) o ambas son\( -\infty \) tenemos\[ \int_S g \, d\mu - \int_S f \, d\mu = \int_S (g - f) \, d\mu \] Por suposición\( g - f \ge 0 \) casi en todas partes en\( S \), y de ahí por la propiedad positiva, la integral a la derecha es 0 si y solo si\( g - f = 0 \) casi en todas partes en\( S \).

    Entonces si en\( f \le g \) casi todas partes\( S \) entonces, excepto en los dos casos mencionados,\( \int_S f \, d\mu \lt \int_S g \, d\mu \) si y solo si\( \mu\{x \in S: f(x) \lt g(x)\} \gt 0 \). La exclusión cuando ambas integrales son\( \infty \) o\( -\infty \) son importantes. A continuación se da un contraejemplo cuando esta condición no se mantiene. El siguiente resultado es la desigualdad de valor absoluto.

    Supongamos que\( f: S \to \R \) es una función medible cuya integral existe. Entonces\[ \left| \int_S f \, d\mu \right| \le \int_S \left|f \right| \, d\mu \] Si\( f \) es integrable, entonces la igualdad se mantiene si y solo si\( f \ge 0 \) casi en todas partes\( S \) o\( f \le 0 \) casi en todas partes en\( S \).

    Prueba

    Primero tenga en cuenta que\( -\left|f\right| \le f \le \left|f\right| \) en\( S \). Las integrales de las tres funciones existen, por lo que la propiedad creciente y las propiedades de escalado dan\[ -\int_S \left|f\right| \, d\mu \le \int_S f \, d\mu \le \int_S \left|f \right| \, d\mu \] lo que equivale a la desigualdad anterior. Si\( f \) es integrable, entonces por el aumento de la propiedad, la igualdad se mantiene si y solo si\( f = -\left|f\right| \) casi en todas partes\( S \) o\( f = \left|f\right| \) casi en todas partes en\( S \). En el primer caso,\( f \le 0 \) casi en todas partes\( S \) y en el segundo caso,\( f \ge 0 \) casi en todas partes en\( S \).

    Cambio de Variables

    Supongamos que\( (T, \mathscr{T}) \) es otro espacio medible y que\( u: S \to T \) es medible. Como vimos en nuestro primer estudio de medidas positivas,\( \nu \) definido por\[ \nu(B) = \mu\left[u^{-1}(B)\right], \quad B \in \mathscr{T} \] es una medida positiva sobre\( (T, \mathscr{T}) \). El siguiente resultado se conoce como el teorema del cambio de variables.

    Si\( f: T \to \R \) es medible entonces, suponiendo que existan las integrales,\[ \int_T f \, d\nu = \int_S (f \circ u) \, d\mu \]

    Prueba

    Demostraremos que si alguna de las integrales existe entonces ambas sí, y son iguales. La prueba es un argumento clásico de bootstrapping que es paralelo a la definición de la integral.

    1. Supongamos primero que\( f \) es una función simple no negativa\( T \) con la representación\( f = \sum_{i \in I} b_i \bs{1}_{B_i} \) donde\( I \) es un conjunto de índices finitos,\( \{B_i: i \in I\} \) es una partición medible de\( T \), y\( b_i \in [0, \infty) \) para\( i \in I \). Recordemos que\( f \circ u \) es una función simple no negativa sobre\( S \), con representación\( f \circ u = \sum_{i \in I} b_i \bs{1}_{u^{-1}(B_i)} \). De ahí\[ \int_T f \, d\nu = \sum_{i \in I} b_i \nu(B_i) = \sum_{i \in I} b_i \mu\left[u^{-1}(B_i)\right] = \int_S (f \circ u) \, d\mu \]
    2. Siguiente supongamos que eso\( f: T \to [0, \infty) \) es medible, así que eso también\( f \circ u: S \to [0, \infty) \) es mensurable. Existe una secuencia creciente\( (f_1, f_2, \ldots) \) de funciones simples no negativas en\( T \) con\( f_n \to f \) as\( n \to \infty \). Entonces\((f_1 \circ u, f_2 \circ u, \ldots)\) es una secuencia creciente de funciones simples en\( S \) con\( f_n \circ u \to f \circ u\) as\( n \to \infty \). Por paso (a),\( \int_T f_n \, d\nu = \int_S (f_n \circ u) \, d\mu \) para cada uno\( n \in \N_+ \). Pero por el teorema de convergencia monótona,\( \int_T f_n \, d\nu \to \int_T f \, d\nu \) como\( n \to \infty \) y\( \int_S (f_n \circ u) \, d\mu \to \int_S (f \circ u) \, d\mu \) así concluimos que\( \int_T f \, d\nu = \int_S (f \circ u) \, d\mu \)
    3. Por último, supongamos que eso\( f: T \to \R \) es medible, así que eso también\( f \circ u: S \to \R \) es medible. Tenga en cuenta que\( (f \circ u)^+ = f^+ \circ u \) y\( (f \circ u)^- = f^- \circ u \). Por parte (b),\ begin {align}\ int_t f^+\, d\ nu & =\ int_s (f^+\ circ u)\, d\ mu =\ int_s (f\ circ u) ^+\, d\ mu\\ int_t f^-\, d\ nu & =\ int_s (f^-\ circ u)\, d\ nu & =\ int_s (f^-\ circ u)\,\ mu =\ int_s (f\ circ u) ^-\, d\ mu\ end {align} Suponiendo que al menos una de las integrales en las ecuaciones mostradas es finita, tenemos \[ \int_T f \, d\nu = \int_T f^+ \, d\nu - \int_T f^- \, d\nu = \int_S (f \circ u)^+ \, d\mu - \int_S (f \circ u)^- \, d\mu = \int_S (f \circ u) \, d\mu\]

    El teorema del cambio de variables se verá más familiar si damos las variables explícitamente. Así, supongamos que queremos evaluar\[ \int_S f\left[u(x)\right] \, d\mu(x) \] dónde otra vez,\( u: S \to T \) y\( f: T \to \R \). Una forma es usar la sustitución\( u = u(x) \), encontrar la nueva medida\( \nu \) y luego evaluar\[ \int_T g(u) \, d\nu(u) \]

    Propiedades de Convergencia

    Comenzamos con un corolario simple pero importante del teorema de convergencia monótona que extiende la propiedad de aditividad a una suma contablemente infinita de funciones no negativas.

    Supongamos que\( f_n: S \to [0, \infty) \) es medible para\( n \in \N_+ \). Entonces\[ \int_S \sum_{n=1}^\infty f_n \, d\mu = \sum_{n=1}^\infty \int_S f_n \, d\mu \]

    Prueba

    Dejemos\( g_n = \sum_{i=1}^n f_i \) para\( n \in \N_+ \). Entonces\( g_n: S \to [0, \infty) \) es medible y\( g_n \) va aumentando en\( n \). Además, por definición,\( g_n \to \sum_{i=1}^\infty f_i \) como\( n \to \infty \). De ahí por el MCT,\( \int_S g_n \, d\mu \to \int_S \sum_{i=1}^\infty f_i \, d\mu \) como\( n \to \infty \). Pero sabemos que la propiedad de aditividad tiene para sumas finitas, así\(\int_S g_n \, d\mu = \sum_{i=1}^n \int_S f_i \, d\mu\) y otra vez, por definición, esta suma converge a\(\sum_{i=1}^\infty \int_S f_i \, d\mu\) as\( n \to \infty \).

    Un teorema a continuación da un resultado relacionado que relaja la suposición de\( f \) que no es negativo, pero impone un requisito de integrabilidad más estricto. Nuestro siguiente resultado es la aditividad de la integral sobre una colección contablemente infinita de dominios disjuntos.

    Supongamos que\( f: S \to \R \) es una función medible cuya integral existe, y que\( \{A_n: n \in \N_+\} \) es una colección disjunta de conjuntos en\( \mathscr{S} \). Vamos\( A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n \). Entonces\[ \int_A f \, d\mu = \sum_{n=1}^\infty \int_{A_n} f \, d\mu \]

    Prueba

    Supongamos primero que no\( f \) es negativo. Tenga en cuenta eso\( \bs{1}_A = \sum_{n=1}^\infty \bs{1}_{A_n} \) y por lo tanto\( \bs{1}_A f = \sum_{n=1}^\infty \bs{1}_{A_n} f \). Así a partir del teorema anterior,\[ \int_A f \, d\mu = \int_S \bs{1}_A f \, d\mu = \int_S \sum_{n=1}^\infty \bs{1}_{A_n} f \, d\mu = \sum_{n=1}^\infty \int_S \bs{1}_{A_n} f \, d\mu = \sum_{n=1}^\infty \int_{A_n} f \, d\mu \] Supongamos ahora que\( f: S \to \R \) es medible y\( \int_S f \, d\mu \) existe. Tenga en cuenta que para\( B \in \mathscr{S} \),\( \left(\bs{1}_B f\right)^+ = \bs{1}_B f^+ \) y\( \left(\bs{1}_B f\right)^- = \bs{1}_B f^- \). De ahí que del argumento anterior,\[ \int_A f^+ \, d\mu = \sum_{n=1}^\infty \int_{A_n} f^+ \, d\mu, \quad \int_A f^- \, d\mu = \sum_{n=1}^\infty \int_{A_n} f^- \, d\mu \] Ambos son sumas de términos no negativos, y una de las sumas, al menos, es finita. De ahí que podamos agrupar los términos para obtener\[ \int_A f \, d\mu = \int_A f^+ \, d\mu - \int_A f^- \, d\mu = \sum_{n=1}^\infty \int_{A_n} (f^+ - f^-) \, d\mu = \sum_{n=1}^\infty \int_{A_n} f \, d\mu \]

    Por supuesto, el teorema anterior se aplica si\( f \) es no negativo o si\( f \) es integrable. A continuación damos una extensión menor del teorema de convergencia monótona que relaja la suposición de que las funciones no son negativas.

    Teorema de convergencia monótona. Supongamos que\( f_n: S \to \R \) es una función medible cuya integral existe para cada uno\( n \in \N_+ \) y que\( f_n \) va aumentando\( n \) en\( S \). Si\( \int_S f_1 \, d\mu \gt -\infty \) entonces\[ \int_S \lim_{n \to \infty} f_n \, d\mu = \lim_{n \to \infty} \int_S f_n \, d\mu \]

    Prueba

    Let\( f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \) para\( x \in S \) lo que existe en\( \R \cup \{\infty\} \) ya que\( f_n(x) \) está aumentando en\( n \in \N_+ \). Si\( \int_S f_1 \, d\mu = \infty \), entonces por el aumento de la propiedad,\( \int_S f_n \, d\mu = \infty \) para todos\( n \in \N_+ \) y\( \int_S f \, d\mu = \infty \), así la conclusión del MCT se sostiene trivialmente. Así supongamos que\( f_1 \) es integrable. Dejar\( g_n = f_n - f_1 \)\( n \in \N \) y dejar\( g = f - f_1 \). Entonces no\( g_n \) es negativo y aumenta\( n \) en\( S \), y\( g_n \to g \) como\( n \to \infty \) en\( S \). Por el MCT ordinario,\( \int_S g_n \, d\mu \to \int_S g \, d\mu \) como\( n \to \infty \). Pero ya que\( \int_S f_1 \, d\mu \) es finito,\( \int_S g_n \, d\mu = \int_S f_n \, d\mu - \int_S f_1 \, d\mu \) y\( \int_S g \, d\mu = \int f \, d\mu - \int_S f_1 \, d\mu \). Nuevamente ya que\( \int_S f_1 \, d\mu \) es finito, se deduce que\( \int_S f_n \, d\mu \to \int_S f \, d\mu \) como\( n \to \infty \).

    Aquí está el resultado complementario para funciones decrecientes.

    Supongamos que\( f_n: S \to \R \) es una función medible cuya integral existe para cada uno\( n \in \N_+ \) y que\( f_n \) está disminuyendo\( n \) en el\( S \). Si\( \int_S f_1 \, d\mu \lt \infty \) entonces\[ \int_S \lim_{n \to \infty} f_n \, d\mu = \lim_{n \to \infty} \int_S f_n \, d\mu \]

    Prueba

    Las funciones\( -f_n \) para\( n \in \N_+ \) satisfacer las hipótesis del MCT para aumentar funciones y por lo tanto\(\int_S \lim_{n \to \infty} -f_n \, d\mu = \lim_{n \to \infty} -\int_S f_n \, d\mu \). Por la propiedad de escalado,\( \int_S \lim_{n \to \infty} f_n \, d\mu = \lim_{n \to \infty} \int_S f_n \, d\mu \).

    Los supuestos adicionales sobre la integral de\( f_1 \) en las dos últimas extensiones del teorema de convergencia monótona son necesarios. A continuación se da un ejemplo.

    Nuestro siguiente resultado es también una consecuencia del teorema de convergencia del montone, y se llama lema de Fatou en honor a Pierre Fatou. Su utilidad deriva del hecho de que no se colocan suposiciones sobre las funciones integrando, salvo que son no negativas y medibles.

    Lema de Fatou. Supongamos que\( f_n: S \to [0, \infty) \) es medible para\( n \in \N_+ \). Entonces\[ \int_S \liminf_{n \to \infty} f_n \, d\mu \le \liminf_{n \to \infty} \int_S f_n \, d\mu \]

    Prueba

    Dejemos\( g_n = \inf\left\{f_k: k \in \{n, n + 1, \ldots \}\right\} \) para\( n \in \N_+ \). Entonces\( g_n: S \to [0, \infty) \) es medible para\( n \in \N_+ \),\( g_n \) está aumentando en\( n \), y por definición,\( \lim_{n \to \infty} g_n = \liminf_{n \to \infty} f_n \). Por el MCT,\[ \int_S \liminf_{n \to \infty} f_n \, d\mu = \lim_{n \to \infty} \int_S g_n \, d\mu \] Pero\( g_n \le f_k \)\( S \) por\( n \in \N_+ \) y\( k \in \{n, n + 1, \ldots\} \) así por el aumento de la propiedad,\( \int_S g_n \, d\mu \le \int_S f_k \, d\mu\) para\( n \in \N_+ \) y\( k \in \{n, n + 1, \ldots\} \). De ahí\( \int_S g_n \, d\mu \le \inf\left\{\int_S f_k \, d\mu: k \in \{n, n+1, \ldots\}\right\} \) para\( n \in \N_+ \) y por lo tanto\[ \lim_{n \to \infty} \int_S g_n \, d\mu \le \liminf_{n \to \infty} \int_S f_n \, d\mu \]

    Dada la debilidad de las hipótesis, no es de extrañar que la desigualdad estricta pueda ocurrir fácilmente en el lema de Fatou. A continuación se da un ejemplo.

    Nuestro siguiente resultado de convergencia es uno de los más importantes y se conoce como el teorema de convergencia dominada. A veces también se le conoce como el teorema de convergencia dominado por Lebesgue en honor a Henri Lebesgue, quien primero desarrolló todas estas cosas en el contexto de\( \R^n \). El teorema de convergencia dominada da una condición básica bajo la cual podemos intercambiar los operadores límite e integración.

    Teorema de Convergencia Dominada. Supongamos que\( f_n: S \to \R \) es medible para\( n \in \N_+ \) y que\( \lim_{n \to \infty} f_n \) existe en\( S \). Supongamos también que\( \left|f_n\right| \le g \) para\( n \in \N \) donde\( g: S \to [0, \infty) \) es integrable. Entonces\[ \int_S \lim_{n \to \infty} f_n \, d\mu = \lim_{n \to \infty} \int_S f_n \, d\mu \]

    Prueba

    Primero tenga en cuenta que por el aumento de la propiedad,\( \int_S \left|f_n\right| \, d\mu \le \int_S g \, d\mu \lt \infty \) y por lo tanto\( f_n \) es integrable para\( n \in \N_+ \). Vamos\( f = \lim_{n \to \infty} f_n \). Entonces\( f \) es mensurable, y por el aumento de la propiedad nuevamente\( \int_S \left| f \right| \, d\mu \lt \int_S g \, d\mu \lt \infty \),, así\( f \) es integrable.

    Ahora para\( n \in \N_+ \), vamos\( u_n = \inf\left\{f_k: k \in \{n, n + 1, \ldots\}\right\} \) y vamos\( v_n = \sup\left\{f_k: k \in \{n, n + 1, \ldots\}\right\} \). Entonces\( u_n \le f_n \le v_n \) para\( n \in \N_+ \),\( u_n \) está aumentando en\( n \),\( v_n \) está disminuyendo en\( n \),\( u_n \to f \) y\( v_n \to f \) como\( n \to \infty \). Además,\( \int_S u_1 \, d\mu \ge - \int_S g \, d\mu \gt -\infty \) así por la versión del MCT anterior,\( \int_S u_n \, d\mu \to \int_S f \, d\mu \) como\( n \to \infty \). De igual manera\( \int_S v_1 \, d\mu \lt \int_S g \, d\mu \lt \infty \),, así por el MCT en (11),\( \int_S v_n \, d\mu \to \int_S f \, d\mu \) como\( n \to \infty \). Pero por la propiedad creciente,\( \int_S u_n \, d\mu \le \int_S f_n \, d\mu \le \int_S v_n \, d\mu \) para\( n \in \N_+ \) así por el teorema de squeeze para los límites,\( \int_S f_n \, d\mu \to \int_S f \, d\mu \) como\( n \to \infty \).

    Como se puede adivinar, la suposición que\( \left| f_n \right| \) está uniformemente delimitada\( n \) por una función integrable es crítica. Un contraejemplo cuando falta esta suposición se da a continuación cuando falta esta suposición. El teorema de convergencia dominada sigue siendo cierto si\( \lim_{n \to \infty} f_n \) existe en casi todas partes\( S \). El siguiente corolario del teorema de convergencia dominada da una condición para el intercambio de suma infinita e integral.

    Supongamos que\( f_i: S \to \R \) es medible para\( i \in \N_+ \) y eso\( \sum_{i=1}^\infty \left| f_i \right| \) es integrable. entonces\[ \int_S \sum_{i=1}^\infty f_i \, d\mu = \sum_{i=1}^\infty \int_S f_i \, d\mu \]

    Prueba

    El supuesto de que\( g = \sum_{i=1}^\infty \left| f_i \right| \) es integrable implica que\( g \lt \infty \) casi en todas partes en\( S \). A su vez, esto significa que\( \sum_{i=1}^\infty f_i \) es absolutamente convergente en casi todas partes en\( S \). Que\( f(x) = \sum_{i=1}^\infty f_i(x) \) si\( g(x) \lt \infty \), y para completitud, que\( f(x) = 0 \) si\( g(x) = \infty \). Ya que sólo la integral de\( f \) aparece en el teorema, no importa cómo definamos\( f \) en el conjunto nulo donde\( g = \infty \). Ahora vamos\( g_n = \sum_{i=1}^n f_i \). Entonces\( g_n \to f \) como\( n \to \infty \) casi en todas partes una\( S \) y\( \left| g_n \right| \le g \) otra vez\( S \). De ahí por el teorema de convergencia dominado,\( \int_S g_n \, d\mu \to \int_S f \, d\mu \) como\( n \to \infty \). Pero sabemos que la propiedad de aditividad tiene para sumas finitas, así\( \int_S g_n \, d\mu = \sum_{i=1}^n \int_S f_i \, d\mu \), y a su vez esto converge a\( \sum_{i=1}^\infty \int_S f_i \, d\mu \) como\( n \to \infty \). Así tenemos\( \sum_{i=1}^\infty \int_S f_i \, d\mu = \int_S f \, d\mu \).

    El siguiente corolario del teorema de convergencia dominada se conoce como el teorema de convergencia acotada.

    Teorema de Convergencia acotada. Supongamos que eso\( f_n: S \to \R \) es medible para\( n \in \N_+ \) y existe\( A \in \mathscr{S} \) tal que\( \mu(A) \lt \infty \)\( A \),\( \lim_{n \to \infty} f_n \) existe en, y\( \left| f_n \right| \) está acotado\( n \in \N_+ \) en\( A \). Entonces\[ \int_A \lim_{n \to \infty} f_n \, d\mu = \lim_{n \to \infty} \int_A f_n \, d\mu \]

    Prueba

    Supongamos que eso\( \left|f_n\right| \) está\( n \) delimitado\( A \) por\( c \in (0, \infty) \). La constante\( c \) es integrable en\( A \) desde\( \int_A c \, d\mu = c \mu(A) \lt \infty \), y\( \left|f_n\right| \le c \) en\( A \) para\( n \in \N_+ \). Así, el resultado se desprende del teorema de convergencia dominada.

    Nuevamente, la convergencia acotada sigue siendo cierta si\( \lim_{n \to \infty} f_n \) existe en casi todas partes\( A \). Para un espacio de medida finito (y en particular para un espacio de probabilidad), la condición que\( \mu(A) \lt \infty \) se mantiene automáticamente.

    Espacios de Productos

    Supongamos ahora que\( (S, \mathscr{S}, \mu) \) y\( (T, \mathscr{T}, \nu) \) son espacios\( \sigma \) -finitos de medida. Por favor, recuerde los datos básicos sobre el producto\( \sigma \) -álgebra\( \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \) de subconjuntos de\( S \times T \), y la medida del producto\( \mu \otimes \nu \) en\( \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \). El espacio de medida del producto\( (S \times T, \mathscr{S} \otimes \mathscr{T}, \mu \otimes \nu) \) es el estándar que utilizamos para espacios de productos. Si\( f: S \times T \to \R \) es medible, hay tres integrales que podríamos considerar. Primero, por supuesto, es la integral de\( f \) con respecto a la medida del producto\( \mu \otimes \nu \)\[ \int_{S \times T} f(x, y) \, d(\mu \otimes \nu)(x, y) \] a veces llamada doble integral en este contexto. Pero también tenemos las integrales anidadas o iteradas donde integramos con respecto a una variable a la vez:\[ \int_S \left(\int_T f(x, y) \, d\nu(y)\right) \, d\mu(x), \quad \int_T \left(\int_S f(x, y) d\mu(x)\right) \, d\nu(y)\] ¿Cómo se relacionan estas integrales? Bueno, así como en el cálculo con integrales ordinarias de Riemann, en condiciones suaves las tres integrales son iguales. El importante teorema resultante se conoce como Teorema de Fubini en honor al matemático italiano Guido Fubini.

    Teorema de Fubini. Supongamos que eso\( f: S \times T \to \R \) es medible. Si existe la doble integral de la izquierda, entonces\[ \int_{S \times T} f(x, y) \, d(\mu \otimes \nu)(x, y) = \int_S \int_T f(x, y) \, d\nu(y) \, d\mu(x) = \int_T \int_S f(x, y) \, d\mu(x) \, d\nu(y) \]

    Prueba

    Mostraremos que\[ \int_{S \times T} f(x, y) \, d(\mu \otimes \nu)(x, y) = \int_S \int_T f(x, y) \, d\nu(y) \, d\mu(x) \] La prueba con la otra integral iterada es simétrica. La prueba procede por etapas, paralelamente a la definición de la integral.

    1. Supongamos que\( f = \bs{1}_{A \times B} \) donde\( A \in \mathscr{S} \) y\( B \in \mathscr{T} \). La ecuación se mantiene por definición de la medida del producto, ya que la doble integral es\( (\mu \otimes \nu)(A \times B) \) y la integral iterada es\[ \int_S \int_T \bs{1}_{A \times B} (x, y) \, d\nu(y) \, d\nu(x) = \int_S \int_T \bs{1}_A(x) \bs{1}_B(y) \, d\nu(y) \, d\mu(x) \int_S \bs{1}_A(x) \nu(B) \, d\mu = \mu(A) \nu(B) \]
    2. Considera\( f = \bs{1}_C \) dónde\( C \in \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \). La doble integral es\( (\mu \otimes \nu)(C) \), y así como una función de\( C \in \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \) define la medida\( \mu \otimes \nu \). Por otro lado, la integral iterada es\[ \int_S \int_T \bs{1}_C(x, y) \, d\nu(y) \, d\mu(x) = \int_S \int_T \bs{1}_{C_x}(y) \, d\nu(y) \, d\mu(x) = \int_S \nu(C_x) \, d\mu(x) \] donde\( C_x = \{y \in T: (x, y) \in C\} \) está la sección transversal de\( C \) at\( x \in S \). Recordemos que\( x \mapsto \nu(C_x) \) es una función no negativa, medible de\( x \), por lo\( C \mapsto \int_S \nu(C_x) \, d\mu(x) \) que tiene sentido. Además, en función de\( C \in \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \), esta integral también forma una medida: Si\( \{C^i: i \in I\} \) es una colección contable, disjunta se establece en\( \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \), entonces\( \{C_x^i: i \in I\} \) es una colección contable, disjunta de conjuntos en\( \mathscr{T} \). Las secciones transversales conservan las operaciones de conjunto, por lo que si\( C = \bigcup_{i \in I} C^i \) entonces\( C_x = \bigcup_{i \in I} C_x^i \). Por la aditividad de la medida\( \nu \) y la integral tenemos\[ \int_S \nu(C_x) \, d\mu(x) = \int_S \nu\left(\bigcup_{i \in I} C_x^i \right) \, d\mu(x) = \int_S \sum_{i \in I} \nu\left(C_x^i\right) \, d\mu(x) = \sum_{i \in I} \int_S \nu\left(C_x^i\right) \, d\mu(x)\] Para resumir, la doble integral y la integral iterada definen medidas positivas sobre\( \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \). Por (a), estas medidas concuerdan en los rectángulos medibles. Por el teorema de la singularidad, deben ser la misma medida. Así, la doble integral y la integral iterada concuerdan con integrando\( f = \bs{1}_C \) para cada uno\( C \in \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \).
    3. Supongamos que\( f = \sum_{i \in I} c_i \bs{1}_{C_i} \) es una función simple no negativa en\( S \times T \). Así,\( I \) es un conjunto de índices finitos,\( c_i \in [0, \infty) \) para\( i \in I \), y\( \{C_i: i \in I\} \) es una colección disjunta de conjuntos en\( \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \). La integral doble y la integral iterada satisfacen las propiedades de linealidad, y por lo tanto por (b), concuerdan con integrando\( f \).
    4. Supongamos que eso\( f: S \to [0, \infty) \) es medible. Entonces existe una secuencia de funciones simples no negativas\( g_n, \; n \in \N_+ \) tales que\( g_n \) va aumentando en\( n \in \N_+ \) on\( S \times T \), y\( g_n \to f \) como\( n \to \infty \) on\( S \times T \). Por el teorema de convergencia monótona,\( \int_{S \times T} g_n \, d(\mu \otimes \nu) \to \int_{S \times T} f \, d(\mu \otimes \nu) \). Pero para fijo\( x \in S \),\( y \mapsto g_n(x, y) \) está aumentando\( n \) en el\( T \) y tiene límite\( f(x, y) \) como\( n \to \infty \). Por otra aplicación del teorema de convergencia del montone,\( \int_T g_n(x, y) \, d\nu(y) \to \int_T f(x, y) \, d\nu(y) \) como\( n \to \infty \). Pero\(x \mapsto \int_T g_n(x, y) \, d\nu(y) \) es medible y está aumentando\( n \in \N_+ \) en el\( S \), así por otra aplicación más del teorema de convergencia monótona,\( \int_S \int_T g_n(x, y) \, d\nu(y) \, d\mu(x) \to \int_S \int_T f(x, y) \, d\nu(y) \, d\mu(x) \) como\( n \to \infty \). Pero la doble integral y la integral iterada concuerdan con integrand\( g_n \) por (c) para cada una\( n \in \N_+ \), por lo que se deduce que la doble integral y la integral iterada concuerdan con integrando\( f \).
    5. Supongamos que eso\( f: S \times T \to \R \) es medible. Por (d), la doble integral y la integral iterada concuerdan con las funciones integrando\( f^+ \) y\( f^- \). Suponiendo que al menos uno de estos es finito, entonces por la propiedad de aditividad, concuerdan con la función integrand\( f = f^+ - f^- \).

    Por supuesto, la doble integral existe, y así se aplica el teorema de Fubini, si o bien\( f \) es no negativo o integrable con respecto a\( \mu \otimes \nu \). Cuando no\( f \) es negativo, el resultado a veces se llama teorema de Tonelli en honor a otra matemática italiana, Leonida Tonelli. Por otro lado, las integrales iteradas pueden existir, y pueden ser diferentes, cuando la doble integral no existe. A continuación se dan un contraejemplo y un segundo contraejemplo.

    Un caso especial del teorema de Fubini (y de hecho parte de la prueba) es que podemos calcular la medida de un conjunto en el espacio del producto integrando las medidas transversales.

    Si\( C \in \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \) entonces\[ (\mu \otimes \nu)(C) = \int_S \nu\left(C_x\right) \, d\mu(x) = \int_T \mu\left(C^y\right) \, d\nu(y) \] donde\( C_x = \{y \in T: (x, y) \in C\} \) para\( x \in S \), y\( C^y = \{x \in S: (x, y) \in C\} \) para\( y \in T \).

    En particular, si\( C, \; D \in \mathscr{S} \otimes \mathscr{T} \) tienen la propiedad que\( \nu(C_x) = \nu(D_x) \) para todos\( x \in S \), o\( \mu\left(C^y\right) = \mu\left(D^y\right) \) para todos\( y \in T \) (es decir,\( C \) y\( D \) tienen las mismas medidas transversales con respecto a una de las variables), entonces\( (\mu \otimes \nu)(C) = (\mu \otimes \nu)(D) \). En\( \R^2 \) con área, y en\( \R^3 \) con volumen (medida Lebesgue en ambos casos), esto se conoce como principio de Cavalieri, llamado así por Bonaventura Cavalieri, sin embargo, un tercer matemático italiano. Claramente, los matemáticos italianos acorralaron el mercado con teoremas de este tipo.

    Un simple corolario del teorema de Fubini es que la doble integral de una función de producto sobre un conjunto de productos es el producto de las integrales. Este resultado tiene importantes aplicaciones para variables aleatorias independientes.

    Supongamos que\( g: S \to \R \) y\( h: T \to \R \) son medibles, y son no negativos o integrables con respecto a\( \mu \) y\( \nu \), respectivamente. Entonces\[ \int_{S \times T} g(x) h(y) d(\mu \otimes \nu)(x, y) = \left(\int_S g(x) \, d\mu(x)\right) \left(\int_T h(y) \, d\nu(y)\right) \]

    Recordemos que un espacio de medida discreto consiste en un conjunto contable con el\( \sigma \) álgebra de todos los subconjuntos y con la medida de conteo. En tal espacio, las integrales son simplemente sumas y así el teorema de Fubini nos permite reorganizar el orden de suma en una suma doble.

    Supongamos que\( I \) y\( J \) son contables y que\( a_{i j} \in \R \) para\( i \in I \) y\( j \in J \). Si la suma de los términos positivos o la suma de los términos negativos es finita, entonces\[ \sum_{(i, j) \in I \times J} a_{i j} = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} a_{i j} = \sum_{j \in J} \sum_{i \in I} a_{i j} \]

    A menudo\( I = J = \N_+ \), y en este caso, se\( a_{i j} \) puede ver como una matriz infinita, con\( i \in \N_+ \) el número de fila y\( j \in \N_+ \) el número de columna:

    \( a_{11} \) \( a_{12} \) \( a_{13} \) \( \ldots \)
    \( a_{21} \) \( a_{22} \) \( a_{23} \) \( \ldots \)
    \( a_{31} \) \( a_{32} \) \( a_{33} \) \( \ldots \)
    \( \vdots \) \( \vdots \) \( \vdots \) \( \vdots \)

    El punto significativo es que\( \N_+ \) está totalmente ordenado. Si bien no hay un orden implícito de suma en la suma doble\( \sum_{(i, j) \in \N_+^2} a_{i j} \), la suma iterada\( \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{i j} \) se obtiene sumando sobre las filas en orden y luego sumando los resultados por columna en orden, mientras que la suma iterada\( \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{i j} \) se obtiene sumando sobre las columnas en orden y luego sumando los resultados por fila en orden.

    Por supuesto, solo uno de los espacios de producto podría ser discreto. Los teoremas (9) y (15) que dan condiciones para el intercambio de suma e integral pueden ser vistos como aplicaciones del teorema de Fubini, donde uno de los espacios de medida es\( (S, \mathscr{S}, \mu) \) y el otro es\( \N_+ \) con medida de conteo.

    Ejemplos y Aplicaciones

    Espacios de probabilidad

    Supongamos que\( (\Omega, \mathscr{F}, \P) \) es un espacio de probabilidad, así que ese\( \Omega \) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio,\( \mathscr{F} \) es el\( \sigma \) -álgebra de eventos, y\( \P \) es una medida de probabilidad en el espacio muestral\( (\Omega, \mathscr F) \). Supongamos también que\( (S, \mathscr{S}) \) es otro espacio medible, y que\( X \) es una variable aleatoria para el experimento, tomando valores adentro\( S \). Por supuesto, esto simplemente significa que\( X \) es una función medible desde\( \Omega \) hasta\( S \). Recordemos que la distribución de probabilidad de\( X \) es la medida de probabilidad\( P_X \) en\( (S, \mathscr{S}) \) definida por\[ P_X(A) = \P(X \in A), \quad A \in \mathscr{S} \] Since\( \{X \in A\} \) es solo notación de probabilidad para la imagen inversa de\( A \) bajo\( X \),\( P_X \) es simplemente un caso especial de construir un nueva medida positiva a partir de una medida positiva dada a través de un cambio de variables. Supongamos ahora que\( r: S \to \R \) es medible, por lo que\(r(X) \) es una variable aleatoria de valor real. La integral de\( r(X) \) (asumiendo que existe) se conoce como el valor esperado de\( r(X) \) y es de fundamental importancia. Estudiaremos en detalle los valores esperados en el próximo capítulo. Aquí, simplemente notamos diferentes formas de escribir la integral. Por el cambio de variables fórmula (8) tenemos\[ \int_\Omega r\left[X(\omega)\right] \, d\P(\omega) = \int_S r(x) \, dP_X(x) \] Ahora vamos a\( F_Y \) denotar la función de distribución de\( Y = r(X) \). Por otro cambio de variables,\( Y \) tiene una distribución de probabilidad\( P_Y \) en\( \R \), que también es una medida de Lebesgue-Stieltjes, llamada así por Henri Lebesgue y Thomas Stiletjes. Recordemos que esta medida de probabilidad se caracteriza por\[ P_Y(a, b] = \P(a \lt Y \le b) = F_Y(b) - F_Y(a); \quad a, \, b \in \R, \; a \lt b \] Con otra aplicación de nuestro teorema de cambio de variables, podemos sumar a nuestra cadena\[ \int_\Omega r\left[X(\omega)\right] \, d\P(\omega) = \int_S r(x) \, dP_X(x) = \int_\R y \, dP_Y(y) = \int_\R y \, dF_Y(y) \] de integrales: Por supuesto, las dos últimas integrales son simplemente notaciones diferentes para exactamente lo mismo. En la sección sobre continuidad absoluta y funciones de densidad, veremos otras formas de escribir la integral.

    Contraejemplos

    En los tres primeros ejercicios a continuación,\( (\R, \mathscr R, \lambda) \) se encuentra el espacio euclídeo unidimensional estándar, así\( mathscr R \) es\( \sigma \) -álgebra de conjuntos de Measurabel Lebesgue y\( \lambda \) es la medida Lebesgue.

    Dejar\( f = \bs{1}_{[1, \infty)} \) y\( g = \bs{1}_{[0, \infty)} \). Demostrar que

    1. \( f \le g \)en\( \R \)
    2. \( \lambda\{x \in \R: f(x) \lt g(x)\} = 1 \)
    3. \( \int_\R f \, d\lambda = \int_\R g \, d\lambda = \infty \)

    Este ejemplo muestra que la propiedad estricta creciente puede fallar cuando las integrales son infinitas.

    Dejemos\( f_n = \bs{1}_{[n, \infty)} \) para\( n \in \N_+ \). Demostrar que

    1. \( f_n \)está disminuyendo en\( n \in \N_+ \) el\( \R \).
    2. \( f_n \to 0 \)como\( n \to \infty \) en\( \R \).
    3. \( \int_\R f_n \, d\lambda = \infty \)para cada uno\( n \in \N_+ \).

    Este ejemplo muestra que el teorema de convergencia monótona puede fallar si la primera integral es infinita. También ilustra la estricta desigualdad en el lema de Fatou.

    Dejemos\( f_n = \bs{1}_{[n, n + 1]} \) para\( n \in \N_+ \). Demostrar que

    1. \(\lim_{n \to \infty} f_n = 0 \)en\( \R \) tan\( \int_\R \lim_{n \to \infty} f_n \, d\mu = 0 \)
    2. \( \int_\R f_n \, d\lambda = 1 \)por\( n \in \N_+ \) lo\( \lim_{n \to \infty} \int_\R f_n \, d\lambda = 1\)
    3. \( \sup\{f_n: n \in \N_+\} = \bs{1}_{[1, \infty)} \)en\( \R \)

    Este ejemplo muestra que el teorema de convergencia dominada puede fallar si no\( \left|f_n\right| \) está limitado por una función integrable. También muestra que la estricta desigualdad puede sostenerse en el lema de Fatou.

    Considere el espacio del producto\( [0, 1]^2 \) con los subconjuntos mensurables habituales de Lebesgue y la medida Lebesgue. Dejar\( f: [0, 1]^2 \to \R \) ser definido por\[ f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} \] Mostrar que

    1. \( \int_{[0, 1]^2} f(x, y) \, d(x, y) \)no existe.
    2. \( \int_0^1 \int_0^1 f(x, y) \, dx \, dy = -\frac{\pi}{4} \)
    3. \( \int_0^1 \int_0^1 f(x, y) \, dy \, dx = \frac{\pi}{4} \)

    Este ejemplo muestra que el teorema de Fubini puede fallar si no existe la doble integral.

    Para\( i, \, j \in \N_+ \) definir la secuencia de la\( a_{i j} \) siguiente manera:\( a_{i i} = 1 \) y\( a_{i + 1, i} = -1 \) para\( i \in \N_+ \), en\( a_{i j} = 0 \) caso contrario.

    1. Dar\( a_{i j} \) en forma de matriz con\( i \in \N_+ \) como el número de fila y\( j \in \N_+ \) como el número de columna
    2. Demostrar que\( \sum_{(i, j) \in \N_+^2} a_{i j} \) no existe
    3. Demostrar que\( \sum_{i = 1}^\infty \sum_{j = 1}^\infty a_{i j} = 1 \)
    4. Demostrar que\( \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{i j} = 0 \)

    Este ejemplo muestra que las sumas iteradas pueden existir y ser diferentes cuando la doble suma no existe, un contraejemplo al corolario del teorema de Fubini para las sumas cuando las hipótesis no están satisfechas.

    Ejercicios Computacionales

    Compute\( \int_D f(x, y) \, d(x,y) \) en cada caso a continuación para lo dado\( D \subseteq \R^2 \) y\( f: D \to \R \).

    1. \( f(x, y) = e^{-2 x} e^{-3 y} \),\( D = [0, \infty) \times [0, \infty) \)
    2. \(f(x, y) = e^{-2 x} e^{-3 y} \),\( D = \{(x, y) \in \R^2: 0 \le x \le y \lt \infty\} \)

    Integrales del tipo en el último ejercicio son útiles en el estudio de las distribuciones exponenciales.


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