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5.1: Familias a escala de ubicación

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    Teoría General

    Como es habitual, nuestro punto de partida es un experimento aleatorio modelado por un espacio de probabilidad\( (\Omega, \mathscr F, \P) \), por lo que\( \Omega \) es el conjunto de resultados,\( \mathscr F \) la recolección de eventos y\( \P \) la medida de probabilidad en el espacio muestral\( (\Omega, \mathscr F) \). En esta sección, asumimos que fijamos la variable aleatoria\( Z \) definida en el espacio de probabilidad, tomando valores en\( \R \).

    Definición

    Para\(a \in \R\) y\(b \in (0, \infty) \), vamos\(X = a + b \, Z\). La familia de distribuciones de dos parámetros asociada con\(X\) se denomina familia de escala de ubicación asociada con la distribución dada de\(Z\). Específicamente,\(a\) es el parámetro de ubicación y\(b\) el parámetro de escala.

    Así, una transformación lineal, con pendiente positiva, de la variable aleatoria subyacente\(Z\) crea una familia de escala de ubicación para la distribución subyacente. En el caso especial de que\(b = 1\), la familia de un parámetro se denomina familia de ubicación asociada a la distribución dada, y en el caso especial de que\(a = 0\), la familia de un parámetro se denomina familia de escala asociada a la distribución dada. Las transformaciones de escala, como su nombre indica, ocurren naturalmente cuando se cambian las unidades físicas. Por ejemplo, si una variable aleatoria representa la longitud de un objeto, entonces un cambio de unidades de metros a pulgadas corresponde a una transformación de escala. Las transformaciones de ubicación a menudo ocurren cuando se cambia el punto de referencia cero, al medir la distancia o el tiempo, por ejemplo. Las transformaciones a escala de ubicación también pueden ocurrir con un cambio de unidades físicas. Por ejemplo, si una variable aleatoria representa la temperatura de un objeto, entonces un cambio de unidades de Fahrenheit a Celsius corresponde a una transformación de escala de ubicación.

    Funciones de distribución

    Nuestro objetivo es relacionar diversas funciones que determinan la distribución de\( X = a + b Z \) a las funciones correspondientes para\( Z \). Primero consideramos la función de distribución (acumulativa).

    Si\(Z\) tiene función de distribución\(G\), entonces\(X\) tiene función de distribución\(F\) dada por\[ F(x) = G \left( \frac{x - a}{b} \right), \quad x \in \R\]

    Prueba

    Para\( x \in \R \)\[ F(x) = \P(X \le x) = \P(a + b Z \le x) = \P\left(Z \le \frac{x - a}{b}\right) = G\left(\frac{x - a}{b}\right) \]

    A continuación consideramos la función de densidad de probabilidad. Los resultados son un poco diferentes para distribuciones discretas y distribución continua, no es sorprendente ya que la función de densidad tiene significados diferentes en estos dos casos.

    Si\( Z \) tiene una distribución discreta con función de densidad de probabilidad,\( g \) entonces\( X \) también tiene una distribución discreta, con la función de densidad de probabilidad\( f \) dada por\[ f(x) = g\left(\frac{x - a}{b}\right), \quad x \in \R \]

    Prueba

    \( Z \)toma valores en un subconjunto contable\( S \subset \R \) y, por lo tanto,\( X \) toma valores\( T = \{a + b z: z \in S\} \), que también es contable. Por otra parte\[ f(x) = \P(X = x) = \P\left(Z = \frac{x - a}{b}\right) = g\left(\frac{x - a}{b}\right), \quad x \in \R \]

    Si\(Z\) tiene una distribución continua con función de densidad de probabilidad\(g\), entonces\(X\) también tiene una distribución continua, con función de densidad de probabilidad\(f\) dada por

    \[ f(x) = \frac{1}{b} \, g \left( \frac{x - a}{b} \right), \quad x \in \R\]
    1. Para la familia de ubicación asociada a\(g\), la gráfica de\(f\) se obtiene desplazando la gráfica de\(g\),\(a\) unidades a la derecha si\(a \gt 0\) y\(-a\) unidades a la izquierda si\(a \lt 0\).
    2. Para la familia de escalas asociada a\(g\), si\(b \gt 1\), la gráfica de\(f\) se obtiene a partir de la gráfica de\(g\) estirando horizontalmente y comprimiendo verticalmente, por un factor de\(b\). Si\(0 \lt b \lt 1\), la gráfica de\(f\) se obtiene de la gráfica de\(g\) comprimiendo horizontalmente y estirando verticalmente, por un factor de\(b\).
    Prueba

    Primero tenga en cuenta que\( \P(X = x) = \P\left(Z = \frac{x - a}{b}\right) = 0 \), así\( X \) tiene una distribución continua. Normalmente,\( Z \) toma valores en un intervalo de\( \R \) y así lo hace\( X \). La fórmula para la función de densidad sigue tomando derivadas de la función de distribución anterior, ya que\( f = F^\prime \) y\( g = G^\prime \).

    Si\(Z\) tiene un modo en\(z\), entonces\(X\) tiene un modo en\(x = a + b z\).

    Prueba

    Esto se deduce de la función de densidad en el caso discreto o de la función de densidad en el caso continuo. Si\( g \) tiene un máximo en\( z \) entonces\( f \) tiene un máximo en\( x = a + b z \)

    A continuación relacionamos las funciones cuantiles de\(Z\) y\(X\).

    Si\(G\) y\(F\) son las funciones de distribución de\(Z\) y\(X\), respectivamente, entonces

    1. \(F^{-1}(p) = a + b \, G^{-1}(p)\)para\(p \in (0, 1)\)
    2. Si\(z\) es un cuantil de orden\(p\) para\(Z\) entonces\(x = a + b \, z\) es un cuantil de orden\(p\) para\(X\).
    Prueba

    Estos resultados se derivan de la función de distribución anterior.

    Supongamos ahora que\( Z \) tiene una distribución continua\([0, \infty)\) encendida, y que pensamos\(Z\) como el tiempo de falla de un dispositivo (o el momento de la muerte de un organismo). Dejemos\(X = b Z\) dónde\( b \in [0, \infty)\), para que la distribución de\(X\) sea la familia de escalas asociada a la distribución de\(Z\). Entonces\(X\) también tiene una distribución continua\([0, \infty)\) encendida y también puede pensarse como el tiempo de falla de un dispositivo (quizás en diferentes unidades).

    Dejar\(G^c\) y\(F^c\) denotar las funciones de confiabilidad de\(Z\) y\(X\) respectivamente, y let\(r\) y\(R\) denotar las funciones de tasa de falla de\(Z\) y\(X\), respectivamente. Entonces

    1. \(F^c(x) = G^c(x / b)\)para\(x \in [0, \infty)\)
    2. \(R(x) = \frac{1}{b} r\left(\frac{x}{b}\right)\)para\(x \in [0, \infty)\)
    Prueba

    Recordemos que\( G^c = 1 - G \),\( F^c = 1 - F \),\( r = g / \bar{G} \), y\( R = f / \bar{F} \). Así, los resultados se derivan de la función de distribución y la función de densidad anterior.

    Momentos

    El siguiente teorema relaciona la media, varianza, y desviación estándar de\(Z\) y\(X\).

    Como antes, supongamos que\(X = a + b \, Z\). Entonces

    1. \(\E(X) = a + b \, \E(Z)\)
    2. \(\var(X) = b^2 \, \var(Z)\)
    3. \(\sd(X) = b \, \sd(Z)\)
    Prueba

    Estos resultados se derivan inmediatamente de las propiedades básicas de valor esperado y varianza.

    Recordemos que la puntuación estándar de una variable aleatoria se obtiene restando la media y dividiendo por la desviación estándar. La puntuación estándar es adimensional (es decir, no tiene unidades físicas) y mide la distancia desde la media hasta la variable aleatoria en desviaciones estándar. Dado que las familias a escala de ubicación corresponden esencialmente a un cambio de unidades, no es sorprendente que la puntuación estándar no cambie por una transformación de escala de ubicación.

    Los puntajes estándar de\(X\) y\(Z\) son los mismos:

    \[ \frac{X - \E(X)}{\sd(X)} = \frac{Z - \E(Z)}{\sd(Z)} \]
    Prueba

    De la media y varianza anteriores:

    \[ \frac{X - \E(X)}{\sd(X)} = \frac{a + b Z - [a + b \E(Z)]}{b \sd(Z)} = \frac{Z - \E(Z)}{\sd(Z)} \]

    Recordemos que la asimetría y curtosis de una variable aleatoria son los momentos tercero y cuarto, respectivamente, de la puntuación estándar. Así, del resultado anterior se deduce que la asimetría y curtosis no cambian por transformaciones a escala de ubicación:\(\skw(X) = \skw(Z)\),\(\kur(X) = \kur(Z)\).

    Podemos representar los momentos de\( X \) (aproximadamente 0) a los de\( Z \) por medio del teorema binomial: Por\[ \E\left(X^n\right) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} b^k a^{n - k} \E\left(Z^k\right), \quad n \in \N \] supuesto, los momentos de\( X \) aproximadamente el parámetro de ubicación\( a \) tienen una representación simple en términos de los momentos de\( Z \) aproximadamente 0:\[ \E\left[(X - a)^n\right] = b^n \E\left(Z^n\right), \quad n \in \N \] El siguiente ejercicio relaciona el momento generando funciones de\(Z\) y\(X\).

    Si\(Z\) tiene la función de generación de momento\(m\) entonces\(X\) tiene la función de generación de momento\(M\) dada por

    \[ M(t) = e^{a t} m(b t) \]
    Prueba\[ M(t) = \E\left(e^{tX}\right) = \E\left[e^{t(a + bZ)}\right] = e^{ta} \E\left(e^{t b Z}\right) = e^{a t} m(b t) \]

    Tipo

    Como señalamos anteriormente, se puede pensar que dos distribuciones de probabilidad que están relacionadas por una transformación de escala de ubicación gobiernan la misma cantidad aleatoria subyacente, pero en diferentes unidades físicas. Esta relación es lo suficientemente importante como para merecer un nombre.

    Supongamos que\( P \) y\( Q \) son distribuciones de probabilidad\( \R \) con funciones de distribución\(F\) y\(G\), respectivamente. Entonces\( P \) y\( Q \) son del mismo tipo si existen constantes\(a \in \R\) y\(b \in (0, \infty)\) tales que\[ F(x) = G \left( \frac{x - a}{b} \right), \quad x \in \R \]

    Ser del mismo tipo es una relación de equivalencia en la colección de distribuciones de probabilidad en\(\R\). Es decir, si\(P\),\(Q\), y\(R\) son distribución de probabilidad en\( \R \) entonces

    1. \(P\)es del mismo tipo que\(P\) (la propiedad reflexiva).
    2. Si\(P\) es el mismo tipo que\(Q\) entonces\(Q\) es el mismo tipo que\(P\) (la propiedad simétrica).
    3. Si\(P\) es el mismo tipo que\(Q\), y\(Q\) es el mismo tipo que\(R\), entonces\(P\) es el mismo tipo que\(R\) (la propiedad transitiva).
    Prueba

    Dejar\( F \),\( G \), y\( H \) denotar las funciones de distribución de\( P \)\( Q \), y\( R \) respectivamente.

    1. Esto es trivial, claro, ya que podemos tomar\( a = 0 \) y\( b = 1 \).
    2. Supongamos que existe\( a \in \R \) y\( b \in (0, \infty) \) tal que\( F(x) = G\left(\frac{x - a}{b}\right) \) para\( x \in \R \). Entonces\( G(x) = F(a + b x) = F\left(\frac{x - (-a/b)}{1/b}\right) \) para\( x \in \R \).
    3. Supongamos que existe\( a, \, c \in \R \) y\( b, \, d \in (0, \infty) \) tal que\( F(x) = G\left(\frac{x - a}{b}\right) \) y\( G(x) = H\left(\frac{x - c}{d}\right) \) para\( x \in \R \). Entonces\( F(x) = H\left(\frac{x - (a + bc)}{bd}\right)\) para\( x \in \R \).

    Entonces, la colección de distribuciones de probabilidad on\( \R \) se divide en clases de equivalencia mutuamente excluyentes, donde las distribuciones en cada clase son todas del mismo tipo.

    Ejemplos y Aplicaciones

    Distribuciones especiales

    Muchas de las familias paramétricas especiales de distribuciones estudiadas en este capítulo y en otras partes de este texto son familias de ubicación y/o escala.

    La distribución de arcoseno es una familia de escala de ubicación.

    La distribución de Cauchy es una familia a escala de ubicación.

    La distribución exponencial es una familia de escalas.

    La distribución exponencial-logarítmica es una familia de escalas para cada valor del parámetro shape.

    La distribución de valores extremos es una familia a escala de ubicación.

    La distribución gamma es una familia de escalas para cada valor del parámetro shape.

    La distribución de Gompertz es una familia de escalas para cada valor del parámetro shape.

    La distribución semitormal es una familia de escalas.

    La distribución secante hiperbólica es una familia a escala de ubicación.

    La distribución de Lévy es una familia de escala de ubicación.

    La distribución logística es una familia a escala de ubicación.

    La distribución log-logística es una familia de escalas para cada valor del parámetro shape.

    La distribución Maxwell es una familia de escalas.

    La distribución normal es una familia a escala de ubicación.

    La distribución de Pareto es una familia de escalas para cada valor del parámetro shape.

    La distribución de Rayleigh es una familia de escalas.

    La distribución semicírculo es una familia a escala de ubicación.

    La distribución del triángulo es una familia de escala de ubicación para cada valor del parámetro shape.

    La distribución uniforme en un intervalo es una familia de escala de ubicación.

    La distribución de potencia U es una familia de escala de ubicación para cada valor del parámetro de forma.

    La distribución de Weibull es una familia de escalas para cada valor del parámetro shape.

    La distribución de Wald es una familia de escalas, aunque en la formulación habitual, ninguno de los parámetros es un parámetro de escala.


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