Saltar al contenido principal
Library homepage
 
LibreTexts Español

5.4: Distribuciones infinitamente divisibles

  • Page ID
    151714
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\sd}{\text{sd}}\)\(\newcommand{\cov}{\text{cov}}\)\(\newcommand{\cor}{\text{cor}}\)\(\newcommand{\skw}{\text{skew}}\)\(\newcommand{\kur}{\text{kurt}}\)\(\newcommand{\sgn}{\,\text{sgn}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)

    En esta sección se discute un tema teórico que quizás quieras saltarte si eres un nuevo estudiante de probabilidad.

    Teoría Básica

    Las distribuciones infinitamente divisibles forman una clase importante de distribuciones\( \R \) que incluye las distribuciones estables, las distribuciones compuestas de Poisson, así como varias de las familias paramétricas especiales más importantes de distritos. Básicamente, la distribución de una variable aleatoria de valor real es infinitamente divisible si para cada una\( n \in \N_+ \), la variable se puede descomponer en la suma de copias\( n \) independientes de otra variable. Aquí está la definición precisa.

    La distribución de una variable aleatoria de valor real\( X \) es infinitamente divisible si por cada\( n \in \N_+ \), existe una secuencia de variables independientes, distribuidas de manera idéntica\( (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) tal que\( X_1 + X_2 + \cdots + X_n \) tiene la misma distribución que\( X \).

    Si la distribución de\( X \) es estable entonces la distribución es infinitamente divisible.

    Prueba

    Let\( n \in \N_+ \) y let\( (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) ser una secuencia de variables independientes, cada una con la misma distribución que\( X \). Por la definición de estabilidad, existe\( a_n \in \R \) y\( b_n \in (0, \infty) \) tal que\( \sum_{i=1}^n X_i \) tiene la misma distribución que\( a_n + b_n X \). Pero entonces\[ \frac{1}{b_n} \left(\sum_{i=1}^n X_i - a_n\right) = \sum_{i=1}^n \frac{X_i - a_n/n}{b_n} \] tiene la misma distribución que\( X \). Pero\( \left(\frac{X_i - a_n/n}{b_n}: i \in \{1, 2, \ldots, n\} \right) \) es una secuencia IID, y de ahí la distribución de\( X \) es infinitamente divisible.

    Supongamos ahora que\( \bs{X} = (X_1, X_2, \ldots) \) es una secuencia de variables aleatorias independientes, distribuidas idénticamente, y que\( N \) tiene una distribución de Poisson y es independiente de\( \bs{X} \). Recordemos que la distribución de\( \sum_{i=1}^N X_i \) se dice que es compuesto Poisson. Al igual que las distribuciones estables, las distribuciones compuestas de Poisson forman otra clase importante de distribuciones infinitamente divisibles.

    Supongamos que\( Y \) es una variable aleatoria.

    1. Si\( Y \) es compuesto Poisson entonces\( Y \) es infinitamente divisible.
    2. Si\( Y \) es infinitamente divisible y toma valores en\( \N \) entonces\( Y \) es compuesto Poisson.
    Prueba
    1. Supongamos que\( Y \) es compuesto Poisson, para que podamos tomar\( Y = \sum_{i=1}^N X_i\) donde\( \bs{X} = (X_1, X_2, \ldots) \) es una secuencia de variables aleatorias independientes, distribuidas idénticamente con función característica común\( \phi \), y donde\( N \) es independiente de\( \bs{X} \) y tiene la distribución de Poisson con parámetro\( \lambda \in (0, \infty) \). La función característica\( \chi \) de\( Y \) está dada por\( \chi(t) = \exp(\lambda [\phi(t) - 1]) \) for\( t \in \R \). Pero entonces para\( n \in \N_+ \),\[ \chi(t) = \left[\exp\left(\frac{\lambda}{n}[\phi(t) - 1]\right)\right]^n, \quad t \in \R \] Pero\( t \mapsto \exp\left(\frac{\lambda}{n}[\phi(t) - 1]\right) \) es la función característica de la distribución compuesta de Poisson correspondiente a\( \bs{X} \) pero con el parámetro de Poisson\( \lambda / n \). Reexpresado en términos de variables aleatorias,\( Y = \sum_{i=1}^n Y_i \) donde\( Y_i \) tiene la distribución compuesta de Poisson correspondiente a\( \bs{X} \) con el parámetro de Poisson\( \lambda / n \).
    2. La prueba es de Una introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones de William Feller, y requiere alguna notación adicional. Recordemos que el símbolo\( \asymp \) se utiliza para conectar funciones que son asintóticamente iguales en el sentido de que esa relación converge a 1. Supongamos ahora que\( Y \) toma valores\( \N \) y es infinitamente divisible. En este caso podemos usar funciones generadoras de probabilidad en lugar de funciones características, así que vamos a\( P \) denotar el PGF de\( Y \). Por definición,\( P(t) = \sum_{k=0}^\infty p_k t^k \) donde\( p_k = \P(Y = k) \) para\( k \in \N \). Ya que\( Y \) es infinitamente divisible, también\( P^{1/n} \) es un PGF para cada\( n \in \N_+ \), así que vamos a\( P^{1/n}(t) = \sum_{k=0}^\infty p_{n k} t^k \) donde\( p_{n k} \ge 0 \) para\( k \in \N \)\( n \in \N_+ \) y\( \sum_{k=0}^\infty p_{n k} = 1 \) para\( n \in \N_+ \). Al igual que con todas las PGF, las series para\( P(t) \) y para\( P^{1/n}(t) \) convergen al menos para\( t \in [0, 1] \), y este intervalo es suficiente para que una PGF determine completamente la distribución subyacente. Para\( n \in \N_+ \), tenemos\[ \sum_{k=0}^\infty p_k t^k = \left(\sum_{k=0}^\infty p_{n k} t^k\right)^n \] Ampliando la serie a la derecha y luego igualando coeficientes de las dos series término por término, vemos que si\( p_0 = 0 \) entonces\( p_{n 0} = 0 \) lo que a su vez implicaría\( p_1 = \cdots = p_{n-1} = 0 \). Como esto es cierto para todos\( n \in \N_+ \), tendríamos\( P \) idénticamente 0, lo cual es una contradicción. De ahí\( p_0 \gt 0 \) y así\( P(t) \gt 0 \) para\( t \in [0, 1] \) y por lo tanto\( \left[P(t) \big/ p_0\right]^{1/n} \to 1 \) en\( n \to \infty \) cuanto a\( t \in [0, 1] \). Siguiente recordar que\( \ln(1 + x) \asymp x \) como\( x \downarrow 0 \). De ello se deduce que para\( t \in [0, 1] \),\[ \ln\left(\left[\frac{P(t)}{p_0}\right]^{1/n}\right) = \ln\left\{1 + \left(\left[\frac{P(t)}{p_0}\right]^{1/n} - 1\right)\right\} \asymp \left[\frac{P(t)}{p_0}\right]^{1/n} - 1 \text{ as } n \to \infty\] Como caso especial\( t = 1 \), cuando, tenemos\(\ln\left[\left(1 / p_0\right)^{1/n}\right] \asymp \left(1 / p_0\right)^{1/n} - 1\) como\( n \to \infty \). De ahí el uso de propiedades de logaritmos y un poco de álgebra,\[ \frac{\ln[P(t)] - \ln(p_0)}{-\ln(p_0)} = \frac{\ln\left(\left[P(t) \big/ p_0\right]^{1/n}\right)}{\ln\left[\left(1 / p_0\right)^{1/n}\right]} \asymp \frac{P^{1/n}(t) - p_0^{1/n}}{1 - p_0^{1/n}} \text{ as } n \to \infty \] La serie de potencia (aproximadamente 0) para la expresión de la derecha tiene coeficientes positivos, y la expresión toma el valor 1 cuando\( t = 1 \). Así, la expresión de la derecha es un PGF para cada uno\( n \in \N_+ \). Por el teorema de continuidad para la convergencia en la distribución, se deduce que el lado izquierdo, que denotaremos por\( Q(t) \), es también un PGF. Resolviendo tenemos\[ P(t) = \exp(\lambda [Q(t) - 1]), \quad t \in [0, 1] \] donde\( \lambda = -\ln(p_0) \). Esta es la PGF de la distribución obtenida componiendo la distribución con PGF Q con la distribución de Poisson con parámetro\( \lambda \).

    Casos Especiales

    Varias distribuciones especiales son infinitamente divisibles. Las pruebas de los resultados que se indican a continuación se dan en las secciones individuales.

    Distribuciones Estables

    Primero, la distribución normal, la distribución de Cauchy y la distribución de Lévy son estables, por lo que son infinitamente divisibles. Sin embargo, los argumentos directos dan más información, ya que podemos identificar la distribución de las variables componentes.

    La distribución normal es infinitamente divisible. Si\( X \) tiene la distribución normal con media\( \mu \in \R \) y desviación estándar\( \sigma \in (0, \infty) \), entonces for\( n \in \N_+ \),\( X \) tiene la misma distribución que\( X_1 + X_2 + \cdots + X_n \) donde\( (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) son independientes, y\( X_i \) tiene la distribución normal con media\( \mu/n \) y desviación estándar\( \sigma/\sqrt{n} \) para cada uno\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \).

    La distribución de Cauchy es infinitamente divisible. Si\( X \) tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación\( a \in \R \) y parámetro de escala\( b \in (0, \infty) \), entonces for\( n \in \N_+ \),\( X \) tiene la misma distribución que\( X_1 + X_2 + \cdots + X_n \) donde\( (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) son independientes, y\( X_i \) tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación\( a/n \) y escala parámetro\( b/n \) para cada uno\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \).

    Otras distribuciones especiales

    Por otro lado, hay distribuciones que son infinitamente divisibles pero no estables.

    La distribución gamma es infinitamente divisible. Si\( X \) tiene la distribución gamma con parámetro de forma\( k \in (0, \infty) \) y parámetro de escala\( b \in (0, \infty) \), entonces for\( n \in \N_+ \),\( X \) tiene la misma distribución que\( X_1 + X_2 + \cdots + X_n \) donde\( (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) son independientes, y\( X_i \) tiene la distribución gamma con parámetro de forma\( k / n \) y parámetro de escala \( b \)para cada\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \)

    La distribución chi-cuadrada es infinitamente divisible. Si\( X \) tiene la distribución chi-cuadrada con\( k \in (0, \infty) \) grados de libertad, entonces for\( n \in \N_+ \),\( X \) tiene la misma distribución que\( X_1 + X_2 + \cdots + X_n \) donde\( (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) son independientes, y\( X_i \) tiene la distribución chi-cuadrada con\( k / n \) grados de libertad para cada uno\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \).

    La distribución de Poisson es infinitamente divisible. Si\( X \) tiene la distribución de Poisson con parámetro de tasa\( \lambda \in (0, \infty) \), entonces for\( n \in \N_+ \),\( X \) tiene la misma distribución que\( X_1 + X_2 + \cdots + X_n \) donde\( (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) son independientes, y\( X_i \) tiene la distribución de Poisson con parámetro de tasa\( \lambda/n \) para cada uno\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \).

    La distribución binomial negativa general\( \N \) es infinitamente divisible. Si\( X \) tiene la distribución binomial negativa\( \N \) encendida con parámetros\( k \in (0, \infty) \) y\( p \in (0, 1) \), entonces for\( n \in \N_+ \),\( X \) tiene la misma distribución que\( X_1 + X_2 + \cdots + X_n \) fueron\( (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) independientes, y\( X_i \) tiene la distribución binomial negativa encendida\( \N \) con parámetros \( k / n \)y\( p \) para cada uno\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \).

    Dado que la distribución de Poisson y las distribuciones binomiales negativas son distribuciones en\( \N \), de la caracterización anterior se deduce que estas distribuciones deben ser compuestas de Poisson. Por supuesto es completamente trivial que la distribución de Poisson sea compuesta de Poisson, pero está lejos de ser obvio que la distribución binomial negativa tiene esta propiedad. Resulta que la distribución binomial negativa se puede obtener componiendo la distribución de series logarítmicas con la distribución de Poisson.

    La distribución de Wald es infinitamente divisible. Si\( X \) tiene la distribución Wald con parámetro shape\( \lambda \in (0, \infty) \) y media\( \mu \in (0, \infty) \), entonces for\( n \in \N_+ \),\( X \) tiene la misma distribución que\( X_1 + X_2 + \cdots + X_n \) donde\( (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) son independientes, y\( X_i \) tiene la distribución Wald con parámetro shape\( \lambda / n^2 \) y media\( \mu / n \) para cada \( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \).


    This page titled 5.4: Distribuciones infinitamente divisibles is shared under a CC BY 2.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Kyle Siegrist (Random Services) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.