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5.11: La distribución F

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

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    En esta sección estudiaremos una distribución que tiene especial importancia en la estadística. En particular, esta distribución surge de proporciones de sumas de cuadrados cuando se muestrea a partir de una distribución normal, por lo que es importante en la estimación y en el modelo normal de dos muestras y en las pruebas de hipótesis en el modelo normal de dos muestras.

    Teoría Básica

    Definición

    Supongamos que\(U\) tiene la distribución chi-cuadrada con\(n \in (0, \infty)\) grados de libertad,\(V\) tiene la distribución chi-cuadrada con\(d \in (0, \infty)\) grados de libertad, y eso\(U\) y\(V\) son independientes. La distribución de\[ X = \frac{U / n}{V / d} \] es la \(F\)distribución con\(n\) grados de libertad en el numerador y\(d\) grados de libertad en el denominador.

    La\(F\) distribución fue derivada por primera vez por George Snedecor, y se nombra en honor a Sir Ronald Fisher. En la práctica, los parámetros\( n \) y\( d \) suelen ser enteros positivos, pero esto no es un requisito matemático.

    Funciones de distribución

    Supongamos que\(X\) tiene la\( F \) distribución con\( n \in (0, \infty) \) grados de libertad en el numerador y\( d \in (0, \infty) \) grados de libertad en el denominador. Entonces\( X \) tiene una distribución continua\( (0, \infty) \) con función de densidad de probabilidad\( f \) dada por\[ f(x) = \frac{\Gamma(n/2 + d/2)}{\Gamma(n / 2) \Gamma(d / 2)} \frac{n}{d} \frac{[(n/d) x]^{n/2 - 1}}{\left[1 + (n / d) x\right]^{n/2 + d/2}}, \quad x \in (0, \infty) \] donde\( \Gamma \) está la función gamma.

    Prueba

    El truco, una vez más, es el condicionamiento. La distribución condicional de\( X \) dado\( V = v \in (0, \infty) \) es gamma con parámetro de forma\( n/2 \) y parámetro de escala\( 2 d / n v \). De ahí que el PDF condicional sea\[ x \mapsto \frac{1}{\Gamma(n/2) \left(2 d / n v\right)^{n/2}} x^{n/2 - 1} e^{-x(nv /2d)} \] Por definición,\( V \) tiene la distribución chi-cuadrada con\( d \) grados de libertad, y así lo ha hecho PDF\[ v \mapsto \frac{1}{\Gamma(d/2) 2^{d/2}} v^{d/2 - 1} e^{-v/2} \] El PDF conjunto de\( (X, V) \) es producto de estas funciones:\[g(x, v) = \frac{1}{\Gamma(n/2) \Gamma(d/2) 2^{(n+d)/2}} \left(\frac{n}{d}\right)^{n/2} x^{n/2 - 1} v^{(n+d)/2 - 1} e^{-v( n x / d + 1)/2}; \quad x, \, v \in (0, \infty)\] El PDF de\( X \) es por lo tanto\[ f(x) = \int_0^\infty g(x, v) \, dv = \frac{1}{\Gamma(n/2) \Gamma(d/2) 2^{(n+d)/2}} \left(\frac{n}{d}\right)^{n/2} x^{n/2 - 1} \int_0^\infty v^{(n+d)/2 - 1} e^{-v( n x / d + 1)/2} \, dv \] Excepto por el constante normalizadora, el integrando en la última integral es el PDF gamma con parámetro shape\( (n + d)/2 \) y parámetro scale\( 2 d \big/ (n x + d) \). De ahí que la integral evalúe a\[ \Gamma\left(\frac{n + d}{2}\right) \left(\frac{2 d}{n x + d}\right)^{(n + d)/2} \] Simplificar da el resultado.

    Recordemos que la función beta se\( B \) puede escribir en términos de la función gamma por\[ B(a, b) = \frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a + b)},\ \quad a, \, b \in (0, \infty) \] De ahí que la función de densidad de probabilidad de la\( F \) distribución anterior también se puede escribir como\[ f(x) = \frac{1}{B(n/2, d/2)} \frac{n}{d} \frac{[(n/d) x]^{n/2 - 1}}{\left[1 + (n / d) x\right]^{n/2 + d/2}}, \quad x \in (0, \infty) \] Cuando\( n \ge 2 \), la función de densidad de probabilidad se define en\( x = 0 \), por lo que el soporte intervalo\( [0, \infty) \) es este caso.

    En el simulador de distribución especial, seleccione la\(F\) distribución. Varíe los parámetros con las barras de desplazamiento y anote la forma de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

    Ambos parámetros influyen en la forma de la función de densidad de\( F \) probabilidad, pero algunas de las características cualitativas básicas dependen únicamente de los grados de libertad del numerador. Para el resto de esta discusión, vamos a\( f \) denotar la función de densidad de\( F \) probabilidad con\( n \in (0, \infty) \) grados de libertad en el numerador y\( d \in (0, \infty) \) grados de libertad en el denominador.

    La función de densidad de probabilidad\( f \) satisface las siguientes propiedades:

    1. Si\( 0 \lt n \lt 2 \),\( f \) está disminuyendo con\( f(x) \to \infty \) as\( x \downarrow 0 \).
    2. Si\( n = 2 \),\( f \) está disminuyendo con el modo en\( x = 0 \).
    3. Si\( n \gt 2 \),\(f\) aumenta y luego disminuye, con modo en\(x = \frac{(n - 2) d}{n (d + 2)}\).
    Prueba

    Estas propiedades se derivan del cálculo estándar. La primera derivada de\( f \) es\[ f^\prime(x) = \frac{1}{B(n/2, d/2)} \left(\frac{n}{d}\right)^2 \frac{[(n/d)x]^{n/2-2}}{[1 + (n/2)x]^{n/2 + d/2 + 1}} [(n/2 - 1) - (n/d)(d/2 + 1)x], \quad x \in (0, \infty) \]

    Cualitativamente, las propiedades de segundo orden de\( f \) también dependen solo de\( n \), con transiciones en\( n = 2 \) y\( n = 4 \).

    Para\( n \gt 2 \), define\ begin {align} x_1 & =\ frac {d} {n}\ frac {(n - 2) (d + 4) -\ sqrt {2 (n - 2) (d + 4) (n + d)}} {(d + 2) (d + 4)}\ x_2 & =\ frac {d} {n}\ frac {(n - 2) (d + 4) +\ sqrt {2 (n - 2) (d + 4) (n + d)}} {(d + 1) (d + 4)}\ end {align} La función de densidad de probabilidad\( f \) satisface lo siguiente propiedades:

    1. Si\( 0 \lt n \le 2 \),\( f \) es cóncava hacia arriba.
    2. Si\( 2 \lt n \le 4 \),\( f \) es cóncava hacia abajo y luego hacia arriba, con punto de inflexión en\( x_2 \).
    3. Si\( n \gt 4 \),\( f \) es cóncavo hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba nuevamente, con puntos de inflexión en\( x_1 \) y\( x_2 \).
    Prueba

    Estos resultados se derivan del cálculo estándar. La segunda derivada de\( f \) es\[ f^{\prime\prime}(x) = \frac{1}{B(n/2, d/2)} \left(\frac{n}{d}\right)^3 \frac{[(n/d)x]^{n/2-3}}{[1 + (n/d)x]^{n/2 + d/2 + 2}}\left[(n/2 - 1)(n/2 - 2) - 2 (n/2 - 1)(d/2 + 2) (n/d) x + (d/2 + 1)(d/2 + 2)(n/d)^2 x^2\right], \quad x \in (0, \infty) \]

    La función de distribución y la función cuantil no tienen representaciones simples de forma cerrada. Los valores aproximados de estas funciones se pueden obtener de la calculadora de distribución especial y de la mayoría de los paquetes de software matemáticos y estadísticos.

    En la calculadora de distribución especial, seleccione la\(F\) distribución. Variar los parámetros y anotar la forma de la función de densidad de probabilidad y la función de distribución. En cada uno de los siguientes casos, encuentre la mediana, el primer y tercer cuartiles y el rango intercuartil.

    1. \(n = 5\),\(d = 5\)
    2. \(n = 5\),\(d = 10\)
    3. \(n = 10\),\(d = 5\)
    4. \(n = 10\),\(d = 10\)

    La función de densidad de probabilidad general de la\( F \) distribución es un poco complicada, pero se simplifica en un par de casos especiales.

    Casos especiales.

    1. Si\( n = 2 \),\[ f(x) = \frac{1}{(1 + 2 x / d)^{1 + d / 2}}, \quad x \in (0, \infty) \]
    2. Si\( n = d \in (0, \infty)\),\[ f(x) = \frac{\Gamma(n)}{\Gamma^2(n/2)} \frac{x^{n/2-1}}{(1 + x)^n}, \quad x \in (0, \infty)\]
    3. Si\( n = d = 2 \),\[ f(x) = \frac{1}{(1 + x)^2}, \quad x \in (0, \infty) \]
    4. Si\( n = d = 1 \),\[ f(x) = \frac{1}{\pi \sqrt{x}(1 + x)}, \quad x \in (0, \infty) \]

    Momentos

    La representación de variables aleatorias en la definición, junto con los momentos de la distribución chi-cuadrada, se puede utilizar para encontrar la media, varianza y otros momentos de la\( F \) distribución. Para lo que resta de esta discusión, supongamos que\(X\) tiene la\(F\) distribución con\(n \in (0, \infty)\) grados de libertad en el numerador y\(d \in (0, \infty)\) grados de libertad en el denominador.

    Media

    1. \(\E(X) = \infty\)si\(0 \lt d \le 2\)
    2. \(\E(X) = \frac{d}{d - 2}\)si\(d \gt 2\)
    Prueba

    Por independencia,\( \E(X) = \frac{d}{n} \E(U) \E\left(V^{-1}\right) \). Recordemos eso\( \E(U) = n \). Del mismo modo si\( d \le 2 \),\( \E\left(V^{-1}\right) = \infty \) mientras que si\( d \gt 2 \),\[ \E\left(V^{-1}\right) = \frac{\Gamma(d/2 - 1)}{2 \Gamma(d/2)} = \frac{1}{d - 2} \]

    Así, la media depende únicamente de los grados de libertad en el denominador.

    Varianza

    1. \(\var(X)\)no está definido si\(0 \lt d \le 2\)
    2. \(\var(X) = \infty\)si\(2 \lt d \le 4\)
    3. Si\(d \gt 4\) entonces\[ \var(X) = 2 \left(\frac{d}{d - 2} \right)^2 \frac{n + d - 2}{n (d - 4)} \]
    Prueba

    Por independencia,\( \E\left(X^2\right) = \frac{d^2}{n^2} \E\left(U^2\right) \E\left(V^{-2}\right) \). Recordemos que\[ E(\left(U^2\right) = 4 \frac{\Gamma(n/2 + 2)}{\Gamma(n/2)} = (n + 2) n \] De manera similar si\( d \le 4 \)\( d \gt 4 \),\( \E\left(V^{-2}\right) = \infty \) mientras que\( \E\left(X^2\right) = \infty \) si\( d \gt 4 \),\[ \E\left(V^{-2}\right) = \frac{\Gamma(d/2 - 2)}{4 \Gamma(d/2)} = \frac{1}{(d - 2)(d - 4)} \] De ahí si\( d \le 4 \) mientras si,\[ \E\left(X^2\right) = \frac{(n + 2) d^2}{n (d - 2)(d - 4)} \] Los resultados ahora siguen del resultado anterior sobre la media y la fórmula computacional\( \var(X) = \E\left(X^2\right) - \left[\E(X)\right]^2 \).

    En la simulación del simulador de distribución especial, seleccione la\(F\) distribución. Varíe los parámetros con la barra de desplazamiento y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación\( \pm \) estándar media. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

    Momentos generales. Para\( k \gt 0 \),

    1. \(\E\left(X^k\right) = \infty\)si\(0 \lt d \le 2 k\)
    2. Si\(d \gt 2 k\) entonces\[ \E\left(X^k\right) = \left( \frac{d}{n} \right)^k \frac{\Gamma(n/2 + k) \, \Gamma(d/2 - k)}{\Gamma(n/2) \Gamma(d/2)} \]
    Prueba

    Por independencia,\( \E\left(X^k\right) = \left(\frac{d}{n}\right)^k \E\left(U^k\right) \E\left(V^{-k}\right) \). Recordemos que\[ \E\left(U^k\right) = \frac{2^k \Gamma(n/2 + k)}{\Gamma(n/2)} \] Por otro lado,\( \E\left(V^{-k}\right) = \infty \) si\( d/2 \le k \) bien si bien si\( d/2 \gt k \),\[ \E\left(V^{-k}\right) = \frac{2^{-k} \Gamma(d/2 - k)}{\Gamma(d/2)} \]

    Si\( k \in \N \), entonces usando la identidad fundamental de la distribución gamma y algo de álgebra,\[ \E\left(X^{k}\right) = \left(\frac{d}{n}\right)^k \frac{n (n + 2) \cdots [n + 2(k - 1)]}{(d - 2)(d - 4) \cdots (d - 2k)} \] A partir de la fórmula general del momento, podemos calcular la asimetría y curtosis de la\( F \) distribución.

    Asimetría y curtosis

    1. Si\( d \gt 6 \),\[ \skw(X) = \frac{(2 n + d - 2) \sqrt{8 (d - 4)}}{(d - 6) \sqrt{n (n + d - 2)}} \]
    2. Si\( d \gt 8 \),\[ \kur(X) = 3 + 12 \frac{n (5 d - 22)(n + d - 2) + (d - 4)(d-2)^2}{n(d - 6)(d - 8)(n + d - 2)} \]
    Prueba

    Estos resultados se derivan de las fórmulas\( \E\left(X^k\right) \) para\( k \in \{1, 2, 3, 4\} \) y las fórmulas computacionales estándar para asimetría y curtosis.

    No es sorprendente que la\( F \) distribución esté sesgada positivamente. Recordemos que el exceso de curtosis es\[ \kur(X) - 3 = 12 \frac{n (5 d - 22)(n + d - 2) + (d - 4)(d-2)^2}{n(d - 6)(d - 8)(n + d - 2)}\]

    En la simulación del simulador de distribución especial, seleccione la\(F\) distribución. Varíe los parámetros con la barra de desplazamiento y anote la forma de la función de densidad de probabilidad a la luz de los resultados previos sobre asimetría y curtosis. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

    Relaciones

    La relación más importante es la que se encuentra en la definición, entre la\( F \) distribución y la distribución chi-cuadrada. Además, la\( F \) distribución está relacionada con varias otras distribuciones especiales.

    Supongamos que\(X\) tiene la\(F\) distribución con\(n \in (0, \infty)\) grados de libertad en el numerador y\(d \in (0, \infty)\) grados de libertad en el denominador. Después\(1 / X\) tiene la\(F\) distribución con\(d\) grados de libertad en el numerador y\(n\) grados de libertad en el denominador.

    Prueba

    Esto se desprende fácilmente de la interpretación de variables aleatorias en la definición. Podemos escribir\[ X = \frac{U/n}{V/d} \] donde\( U \) y\( V \) somos independientes y tener distribuciones chi-cuadradas con\( n \) y\( d \) grados de libertad, respectivamente. De ahí\[ \frac{1}{X} = \frac{V/d}{U/n} \]

    Supongamos que\(T\) tiene la\(t\) distribución con\(n \in (0, \infty)\) grados de libertad. Después\(X = T^2\) tiene la\(F\) distribución con 1 grado de libertad en el numerador y\(n\) grados de libertad en el denominador.

    Prueba

    Esto se desprende fácilmente de las representaciones de variables aleatorias de \( F \)las distribuciones\( t \) y. Podemos escribir\[ T = \frac{Z}{\sqrt{V/n}} \] donde\( Z \) tiene la distribución normal estándar,\( V \) tiene la distribución chi-cuadrada con\( n \) grados de libertad, y\( Z \) y\( V \) son independientes. De ahí\[ T^2 = \frac{Z^2}{V/n} \] Recordemos que\( Z^2 \) tiene la distribución chi-cuadrada con 1 grado de libertad.

    Nuestra siguiente relación es entre la\( F \) distribución y la distribución exponencial.

    Supongamos que\( X \) y\( Y \) son variables aleatorias independientes, cada una con la distribución exponencial con parámetro rate\( r \in (0, \infty) \). Entonces\(Z = X / Y\). tiene la\( F \) distribución con\( 2 \) grados de libertad tanto en el numerador como en el denominador.

    Prueba

    Primero encontramos la función\( F \) de distribución de\( Z \) condicionando a\( X \):\[ F(z) = \P(Z \le z) = \P(Y \ge X / z) = \E\left[\P(Y \ge X / z \mid X)\right] \] Pero\( \P(Y \ge y) = e^{-r y} \) para\( y \ge 0 \) eso\( F(z) = \E\left(e^{-r X / z}\right) \). También,\( X \) tiene PDF\( g(x) = r e^{-r x} \) por\( x \ge 0 \) lo\[ F(z) = \int_0^\infty e^{- r x / z} r e^{-r x} \, dx = \int_0^\infty r e^{-r x (1 + 1/z)} \, dx = \frac{1}{1 + 1/z} = \frac{z}{1 + z}, \quad z \in (0, \infty) \] Diferenciante da el PDF del\( Z \)\[ f(z) = \frac{1}{(1 + z)^2}, \quad z \in (0, \infty) \] que reconocemos como el PDF de la\( F \) distribución con 2 grados de libertad en el numerador y el denominador.

    Una transformación simple puede cambiar una variable con la\( F \) distribución en una variable con la distribución beta, y a la inversa.

    Conexiones entre la\( F \) distribución y la distribución beta.

    1. Si\( X \) tiene la\( F \) distribución con\( n \in (0, \infty) \) grados de libertad en el numerador y\( d \in (0, \infty) \) grados de libertad en el denominador, entonces\[ Y = \frac{(n/d) X}{1 + (n/d) X} \] tiene la distribución beta con parámetro izquierdo\( n/2 \) y parámetro derecho\( d/2 \).
    2. Si\( Y \) tiene la distribución beta con parámetro izquierdo\( a \in (0, \infty) \) y parámetro derecho\( b \in (0, \infty) \) entonces\[ X = \frac{b Y}{a(1 - Y)} \] tiene la\( F \) distribución con\( 2 a \) grados de libertad en el numerador y\( 2 b \) grados de libertad en el denominador.
    Prueba

    Las dos declaraciones son equivalentes y siguen de la fórmula estándar de cambio de variables. La función\[ y = \frac{(n/d) x}{1 + (n/d) x} \] mapea\( (0, \infty) \) uno a uno en (0, 1), con inversa\[ x = \frac{d}{n}\frac{y}{1 - y} \] Let\( f \) denota el PDF de la\( F \) distribución con\( n \) grados de libertad en el numerador y\( d \) grados de libertad en el denominador, y let\( g \) denotar el PDF de la beta distribución con parámetro izquierdo\( n/2 \) y parámetro derecho\( d/2 \). Entonces\( f \) y\( g \) están relacionados por

    1. \( g(y) = f(x) \frac{dx}{dy} \)
    2. \( f(x) = g(y) \frac{dy}{dx} \)

    La\( F \) distribución está estrechamente relacionada con la distribución beta prime mediante una simple transformación a escala.

    Conexiones con las distribuciones beta prime.

    1. Si\( X \) tiene la\( F \) distribución con\( n \in (0, \infty) \) grados de libertad en el numerador y\( d \in (0, \infty) \) grados de libertad en el denominador, entonces\( Y = \frac{n}{d} X \) tiene la distribución beta prime con parámetros\( n/2 \) y\( d/2 \).
    2. Si\( Y \) tiene la distribución beta prime con parámetros\( a \in (0, \infty) \) y\( b \in (0, \infty) \) luego\( X = \frac{b}{a} X \) tiene la\( F \) distribución con\( 2 a \) grados de la libertad en el numerador y\( 2 b \) grados de libertad en el denominador.
    Prueba

    Dejar\( f \) denotar el PDF de\( X \) y\( g \) el PDF de\( Y \).

    1. Por el cambio de fórmula de variables,\[ g(y) = \frac{d}{n} f\left(\frac{d}{n} y\right), \quad y \in (0, \infty) \] Sustituir en el\( F \) PDF beta muestra que\( Y \) tiene la distribución beta prime apropiada.
    2. Nuevamente usando la fórmula de cambio de variables,\[ f(x) = \frac{a}{b} g\left(\frac{a}{b} x\right), \quad x \in (0, \infty) \] Sustituyendo en el PDF beta prime muestra que\( X \) tiene el\( F \) PDF apropiado.

    La\( F \) distribución no central

    La\( F \) distribución puede generalizarse de manera natural reemplazando la variable chi-cuadrada ordinaria en el numerador en la definición anterior por una variable que tenga una distribución chi-cuadrada no central. Esta generalización es importante en el análisis de varianza.

    Supongamos que\(U\) tiene la distribución chi-cuadrada no central con\(n \in (0, \infty) \) grados de libertad y parámetro de no centralidad\(\lambda \in [0, \infty)\),\(V\) tiene la distribución chi-cuadrada con\(d \in (0, \infty)\) grados de libertad, y eso\(U\) y\(V\) son independientes. La distribución de\[ X = \frac{U / n}{V / d} \] es la \(F\)distribución no central con\(n\) grados de libertad en el numerador,\(d\) grados de libertad en el denominador y parámetro de no centralidad\( \lambda \).

    Uno de los resultados más interesantes e importantes para la distribución de chi-cuadrado no central es que es una mezcla Poisson de distribuciones ordinarias de chi-cuadrado. Esto lleva a un resultado similar para la\( F \) distribución no central.

    Supongamos que\( N \) tiene la distribución de Poisson con parámetro\( \lambda / 2 \), y que la distribución condicional de\( X \) dado\( N \) es la\( F \) distribución con\( N + 2 n \) grados de libertad en el numerador y\( d \) grados de libertad en el denominador, donde\( \lambda \in [0, \infty) \) y \( n, \, d \in (0, \infty) \). Luego\( X \) tiene la\( F \) distribución no central con\( n \) grados de libertad en el numerador,\( d \) grados de libertad en el denominador y parámetro de no centralidad\( \lambda \).

    Prueba

    Al igual que en el teorema, vamos a\( N \) tener la distribución de Poisson con parámetro\( \lambda / 2 \), y supongamos también que la distribución condicional de\( U \) dado\( N \) es chi-cuadrado con\( n + 2 N \) grados de libertad, y que\( V \) tiene la distribución chi-cuadrada con\( d \) grados de libertad y es independiente de\( (N, U) \). Vamos\( X = (U / n) \big/ (V / d) \). Ya que\( V \) es independiente de\( (N, U) \), la variable\( X \) satisface la condición en el teorema; es decir, la distribución condicional de\( X \) dado\( N \) es la\( F \) distribución con\( n + 2 N \) grados de libertad en el numerador y\( d \) grados de libertad en el denominador. Pero entonces también, (incondicionalmente)\( U \) tiene la distribución chi-cuadrada no central con\( n \) grados de libertad en el numerador y parámetro de no centralidad\( \lambda \),\( V \) tiene la distribución chi-cuadrada con\( d \) grados de libertad, y\( U \) y\( V \) son independiente. Entonces por definición\( X \) tiene la\( F \) distribución con\( n \) grados de libertad en el numerador,\( d \) grados de libertad en el denominador, y parámetro de no centralidad\( \lambda \).

    A partir del último resultado, podemos expresar la función de densidad de probabilidad y la función de distribución de la\( F \) distribución no central como una serie en términos de\( F \) densidad ordinaria y funciones de distribución. Para configurar la notación, para\( j, k \in (0, \infty) \) let\( f_{j k} \) be la función de densidad de probabilidad y\( F_{j k} \) la función de distribución de la\( F \) distribución con\( j \) grados de libertad en el numerador y\( k \) grados de libertad en el denominador. Para el resto de esta discusión,\( \lambda \in [0, \infty) \) y\( n, \, d \in (0, \infty) \) como es habitual.

    La función\( g \) de densidad de probabilidad de la\( F \) distribución no central con\( n \) grados de libertad en el numerador,\( d \) grados de libertad en el denominador y parámetro de no centralidad\( \lambda \) viene dada por\[ g(x) = \sum_{k = 0}^\infty e^{-\lambda / 2} \frac{(\lambda / 2)^k}{k!} f_{n + 2 k, d}(x), \quad x \in (0, \infty) \]

    La función\( G \) de distribución de la\( F \) distribución no central con\( n \) grados de libertad en el numerador,\( d \) grados de libertad en el denominador y parámetro de no centralidad\( \lambda \) viene dada por\[ G(x) = \sum_{k = 0}^\infty e^{-\lambda / 2} \frac{(\lambda / 2)^k}{k!} F_{n + 2 k, d}(x), \quad x \in (0, \infty) \]


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