5.19: La distribución del arcoseno

\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\sd}{\text{sd}}\)\(\newcommand{\cov}{\text{cov}}\)\(\newcommand{\cor}{\text{cor}}\)\(\newcommand{\skw}{\text{skew}}\)\(\newcommand{\kur}{\text{kurt}}\)

La distribución del arcoseno es importante en el estudio del movimiento browniano y números primos, entre otras aplicaciones.

La distribución estándar de arcoseno

Funciones de distribución

La distribución estándar de arcoseno es una distribución continua en el intervalo\((0, 1)\) con la función de densidad de probabilidad\(g\) dada por\[g(x) = \frac{1}{\pi \sqrt{x (1 - x)}}, \quad x \in (0, 1)\]

Prueba

Hay un par de formas de ver que\( g \) es un PDF válido. Primero, es el PDF beta con parámetros\( a = b = \frac{1}{2} \):\[ g(x) = \frac{1}{B(1/2, 1/2)} x^{-1/2} (1 - x)^{-1/2}, \quad x \in (0, 1) \] ya que recordamos eso\( B\left(\frac 1 2, \frac 1 2\right) = \pi \). Una prueba directa también es fácil: La sustitución\(u = \sqrt{x}\),\(x = u^2\),\(dx = 2 u \, du\) da\[\int_0^1 \frac{1}{\pi \sqrt{x (1 - x)}} dx = \int_0^1 \frac{2}{\pi \sqrt{1 - u^2}} du = \frac{2}{\pi} \arcsin u \biggm\vert_0^1 = \frac{2}{\pi} \left(\frac{\pi}{2} - 0\right) = 1\]

La aparición de la función arcoseno en la prueba de que\( g \) es una función de densidad de probabilidad explica el nombre.

La función estándar de densidad de probabilidad de arcoseno\(g\) satisface las siguientes propiedades:

1. \(g\)es simétrico sobre\(x = \frac{1}{2}\).
2. \(g\)disminuye y luego aumenta con el valor mínimo en\( x = \frac{1}{2} \).
3. \( g \)es cóncavo hacia arriba
4. \(g(x) \to \infty\)como\(x \downarrow 0\) y como\(x \uparrow 1\).

Prueba

1. Tenga en cuenta que\(g\) es una función de\(x\) solo a través\(x (1 - x)\).
2. Esto se deduce del cálculo estándar:\[g^\prime(x) = \frac{2 x - 1}{2 \pi [x (1 - x)]^{3/2}}\]
3. Esto también se deduce del cálculo estándar:\[ g^{\prime\prime}(x) = \frac{3 - 8 x + 8 x^2}{4 \pi [x (1 - x)]^{5/2}} \]
4. Los límites son claros.

En particular, la distribución estándar del arcoseno es en forma de U y no tiene modo.

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución de arcoseno. Mantenga los valores de los parámetros predeterminados y anote la forma de la función de densidad de probabilidad. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad emprical con la función de densidad de probabilidad.

La función de distribución tiene una expresión simple en términos de la función arcoseno, justificando nuevamente el nombre de la distribución.

La función de distribución de arcoseno estándar\(G\) viene dada por\(G(x) = \frac{2}{\pi} \arcsin\left(\sqrt{x}\right)\) for\(x \in [0, 1]\).

Prueba

Nuevamente, utilizando la sustitución\(u = \sqrt{t}\),\(t = u^2\),\(dt = 2 u \, du\):\[G(x) = \int_0^x \frac{1}{\pi \sqrt{t (1 - t)}} dt = \int_0^{\sqrt{x}} \frac{2}{\pi \sqrt{1 - u^2}} du = \frac{2}{\pi}\arcsin(t) \biggm\vert_0^{\sqrt{x}} = \frac{2}{\pi} \arcsin\left(\sqrt{x}\right) \]

No es sorprendente que la función cuantil tenga una expresión simple en términos de la función sinusoidal.

La función estándar de cuantil de\(G^{-1}\) arcinse viene dada por\(G^{-1}(p) = \sin^2\left(\frac{\pi}{2} p\right)\) for\(p \in [0, 1]\). En particular, los cuartiles son

1. \(q_1 = \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{4}(2 - \sqrt{2}) \approx 0.1464\), el primer cuartil
2. \(q_2 = \frac{1}{2}\), la mediana
3. \(q_3 = \sin^2\left(\frac{3 \pi}{8}\right) = \frac{1}{4}(2 + \sqrt{2}) \approx 0.8536\), el tercer cuartil

Prueba

La fórmula para la función cuantil se desprende de la función de distribución resolviendo\(p = G(x)\) para\(x\) en términos de\(p \in [0, 1]\).

Abra la Calculadora de Distribución Especial y seleccione la distribución de arcoseno. Mantenga los valores de los parámetros predeterminados y anote la forma de la función de distribución. Calcular los valores seleccionados de la función de distribución y la función cuantil.

Momentos

Supongamos que la variable aleatoria\( Z \) tiene la distribución estándar de arcoseno. Primero damos la media y varianza.

La media y varianza de\(Z\) son

1. \(\E(Z) = \frac{1}{2}\)
2. \(\var(Z) = \frac{1}{8}\)

Prueba

1. La media es\(\frac{1}{2}\) por simetría.
2. Usando la sustitución habitual\(u = \sqrt{x}\),\(x = u^2\)\(dx = 2 u \, du\) y luego la sustitución\(u = \sin \theta\),\(du = \cos \theta \, d\theta\) da\[\E\left(Z^2\right) = \int_0^1 \frac{1}{\pi \sqrt{x (1 - x)}} dx = \int_0^1 \frac{2 u^4}{\pi \sqrt{1 - u^2}} = \int_0^{\pi/2} \frac{2}{\pi} \sin^4(\theta) d\theta = \frac{2}{\pi} \frac{3 \pi}{16} = \frac{3}{8}\]

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución de arcoseno. Mantener los valores predeterminados de los parámetros. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación stadard con la media verdadera y la desviación estándar.

Los momentos generales alrededor de 0 se pueden expresar como productos.

Para\( n \in \N \),\[\E\left(Z^n\right) = \prod_{j=0}^{n-1} \frac{2 j + 1}{2 j + 2}\]

Prueba

Las mismas sustituciones integrales que antes dan\[\E(Z^n) = \int_0^{\pi/2} \frac{2}{\pi} \sin^{2 n}(\theta) d\theta = \prod_{j=0}^{n-1} \frac{2 j + 1}{2 j + 2}\]

Por supuesto, los momentos pueden ser utilizados para dar una fórmula para el momento generando función, pero esta fórmula no es particularmente útil ya que no está en forma cerrada.

\(Z\)tiene función de generación de momento\(m\) dada por\[m(t) = \E\left(e^{t Z}\right) = \sum_{n=0}^\infty \left(\prod_{j=0}^{n-1} \frac{2 j + 1}{2 j + 2}\right) \frac{t^n}{n!}, \quad t \in \R\]

Finalmente damos la asimetría y curtosis.

La asimetría y curtosis de\(Z\) son

1. \(\skw(Z) = 0\)
2. \(\kur(Z) = \frac{3}{2}\)

Prueba

1. La asimetría es 0 por la simetría de la distribución.
2. El resultado de la curtosis se desprende de la fórmula estándar para curtosis en términos de los momentos:\(\E(Z) = \frac{1}{2}\),\(\E\left(Z^2\right) = \frac{3}{8}\),\(\E\left(Z^3\right) = \frac{5}{16}\), y\(\E\left(Z^4\right) = \frac{35}{128}\).

Distribuciones Relacionadas

Como se señaló anteriormente, la distribución estándar de arcoseno es un caso especial de la distribución beta.

La distribución estándar de arcoseno es la distribución beta con parámetro izquierdo\(\frac{1}{2}\) y parámetro derecho\(\frac{1}{2}\).

Prueba

La distribución beta con parámetros\(a = b = \frac{1}{2}\) tiene PDF\[x \mapsto \frac{1}{B(1/2, 1/2)} x^{-1/2}(1 - x)^{-1/2}, \quad x \in (0, 1)\] Pero\(B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \pi\), así que esta es la arcoseno estándar PDF.

Dado que la función cuantil está en forma cerrada, la distribución estándar del arcoseno se puede simular mediante el método de cuantil aleatorio.

Conexiones con la distribución uniforme estándar.

1. Si\(U\) tiene la distribución uniforme estándar (un número aleatorio) entonces\(X = \sin^2\left(\frac{\pi}{2} U\right)\) tiene la distribución estándar de arcoseno.
2. Si\(X\) tiene la distribución estándar de arcoseno entonces\(U = \frac{2}{\pi} \arcsin\left(\sqrt{X}\right)\) tiene la distribución uniforme estándar.

Abra el simulador de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución de arcoseno. Mantener los parámetros predeterminados. Ejecute el experimento 1000 veces y compare la función de densidad de probabilidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales. Observe cómo los cuantiles aleatorios simulan la distribución.

El siguiente ejercicio ilustra la conexión entre el proceso de movimiento browniano y la distribución estándar del arcoseno.

Abre el simulador de movimiento browniano. Mantenga el parámetro de tiempo predeterminado y seleccione la última variable aleatoria cero. Tenga en cuenta que esta variable aleatoria tiene la distribución estándar de arcoseno. Ejecute el experimento 1000 veces y compare la función de densidad de probabilidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales. Observe cómo el último cero simula la distribución.

La distribución general del arcoseno

La distribución estándar del arcoseno se generaliza mediante la adición de parámetros de ubicación y escala.

Definición

Si\(Z\) tiene la distribución de arcoseno estándar, y si\(a \in \R\) y\(b \in (0, \infty)\), entonces\(X = a + b Z\) tiene la distribución de arcoseno con parámetro de ubicación\(a\) y parámetro de escala\(b\).

Así\(X\) tiene una distribución continua en el intervalo\( (a, a + b) \).

Funciones de distribución

Supongamos que\(X\) tiene la distribución de arcoseno con parámetro de ubicación\(a \in \R\) y parámetro de escala\(w \in (0, \infty)\).

\( X \)tiene la función de densidad de probabilidad\(f\) dada por\[f(x) = \frac{1}{\pi \sqrt{(x - a)(a + w - x)}}, \quad x \in (a, a + w)\]

1. \(f\)es simétrico sobre\(a + \frac{1}{2} w\).
2. \(f\)disminuye y luego aumenta con el valor mínimo en\( x = a + \frac{1}{2} w \).
3. \( f \)es cóncavo hacia arriba.
4. \(f(x) \to \infty\)como\(x \downarrow a\) y como\(x \uparrow a + w\).

Prueba

Recordemos que\(f(x) = \frac{1}{w} g\left(\frac{x - a}{w}\right)\) dónde\(g\) está el PDF de la distribución estándar del arcoseno.

Una parametrización alternativa de la distribución general del arcoseno es por los puntos finales del intervalo de soporte: el punto final izquierdo (parámetro de ubicación)\(a\) y el punto final derecho\(b = a + w\).

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución de arcoseno. Varíe los parámetros de ubicación y escala y anote la forma y ubicación de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad emprical con la función de densidad de probabilidad.

Una vez más, la función de distribución tiene una representación simple en términos de la función arcoseno.

\(X\)tiene función de distribución\(F\) dada por\[F(x) = \frac{2}{\pi} \arcsin\left(\sqrt{\frac{x - a}{w}}\right), \quad x \in [a, a + w]\]

Prueba

Recordemos que\(F(x) = G[(x - a) / w)\) dónde\(G\) está el CDF de la distribución estándar de arcoseno.

Como antes, la función quantile tiene una representación simple en términos de la función sinusoidal

\(X\)tiene función cuantil\(F^{-1}\) dada por\(F^{-1}(p) = a + w \sin^2\left(\frac{\pi}{2} p\right)\) para\(p \in [0, 1]\) En particular, los cuartiles de\(X\) son

1. \(q_1 = a + w \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right) = a + \frac{1}{4}\left(2 - \sqrt{2}\right) w\), el primer cuartil
2. \(q_2 = a + \frac{1}{2} w\), la mediana
3. \(q_3 = a + w \sin^2\left(\frac{3 \pi}{8}\right) = a + \frac{1}{4}\left(2 + \sqrt{2}\right) w\), el tercer cuartil

Prueba

Recordemos que\(F^{-1}(p) =a + w G^{-1}(p)\) donde\(G^{-1}\) está la función cuantil de la distribución estándar de arcoseno.

Abra la Calculadora de Distribución Especial y seleccione la distribución de arcoseno. Varíe los parámetros y anote la forma y ubicación de la función de distribución. Para diversos valores de los parámetros, compute los valores seleccionados de la función de distribución y la función cuantil.

Momentos

Nuevamente, asumimos que\(X\) tiene la distribución de arcoseno con parámetro de ubicación\(a \in \R\) y parámetro de escala\(w \in (0, \infty)\). Primero damos la media y varianza.

La media y varianza de\(X\) son

1. \(\E(X) = a + \frac{1}{2} w\)
2. \(\var(X) = \frac{1}{8} w^2\)

Prueba

Estos resultados de la representación\(X = a + w Z\) y los resultados para la media y varianza de\( Z \).

Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución de arcoseno. Varíe los parámetros y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación\(\pm\) estándar media. Para diversos valores de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación stadard con la media verdadera y la desviación estándar.

Los momentos de se\(X\) pueden obtener a partir de los momentos de\(Z\), pero los resultados son desordenados, excepto cuando el parámetro de ubicación es 0.

Supongamos que el parámetro de ubicación\(a = 0\). Para\( n \in \N \),\[\E(X^n) = w^n \prod_{j=0}^{n-1} \frac{2 j + 1}{2 j + 2}\]

Prueba

Esto se desprende de la representación\(X = w Z\) y los resultados para los momentos de\( Z \).

La función de generación de momento se puede expresar como una serie con coeficientes de producto, por lo que no es particularmente útil.

\(X\)tiene función de generación de momento\(M\) dada por\[M(t) = \E\left(e^{t X}\right) = e^{a t} \sum_{n=0}^\infty \left(\prod_{j=0}^{n-1} \frac{2 j + 1}{2 j + 2}\right) \frac{w^n t^n}{n!}, \quad t \in \R\]

Prueba

Recordemos que\(M(t) = e^{a t} m(w t)\) donde\(m\) esta la función generadora de momento de\( Z \).

Finalmente, la asimetría y curtosis se mantienen inalteradas.

La asimetría y curtosis de\(X\) son

1. \(\skw(X) = 0\)
2. \(\kur(X) = \frac{3}{2}\)

Prueba

Recordemos que la asimetría y curtosis se definen en términos de la puntuación estándar de\(X\) y por lo tanto son invariantes bajo una transformación de escala de ubicación.

Distribuciones Relacionadas

Por construcción, la distribución general del arcoseno es una familia de escala de ubicación y, por lo tanto, se cierra bajo transformaciones a escala de ubicación.

Si\(X\) tiene la distribución de arcoseno con parámetro de ubicación\(a \in \R\) y parámetro de escala\(w \in (0, \infty)\) y if\(c \in \R\) y\(d \in (0, \infty)\) luego\(c + d X\) tiene la distribución de arcoseno con parámetro de ubicación parámetro de\(c + a d\) escala\(d w\).

Prueba

Por definición podemos tomar\( X = a + w Z \) donde\( Z \) tiene la distribución estándar del arcoseno. De ahí\( c + d X = (c + d a) + (d w) Z \).

Dado que la función cuantil está en forma cerrada, la distribución del arcoseno se puede simular mediante el método de cuantil aleatorio.

Supongamos que\( a \in \R \) y\( w \in (0, \infty) \).

1. Si\(U\) tiene la distribución uniforme estándar (un número aleatorio) entonces\(X = a + w \sin^2\left(\frac{\pi}{2} U\right)\) tiene la distribución de arcoseno con parámetro de ubicación\(a\) y parámetro de escala\(b\).
2. Si\(X\) tiene la distribución de arcoseno con parámetro de ubicación\(a\) y parámetro de escala\(b\) entonces\(U = \frac{2}{\pi} \arcsin\left(\sqrt{\frac{X - a}{w}}\right)\) tiene la distribución uniforme estándar.

Abra el simulador de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución de arcoseno. Varíe los parámetros y anote la ubicación y forma de la función de densidad de probabilidad. Para los valores de parámetros seleccionados, ejecute el experimento 1000 veces y compare la función de densidad de probabilidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales. Observe cómo los cuantiles aleatorios simulan la distribución.

El siguiente ejercicio ilustra la conexión entre el proceso de movimiento browniano y la distribución del arcoseno.

Abre el simulador de movimiento browniano y selecciona la última variable aleatoria cero. Varíe el parámetro de tiempo\( t \) y tenga en cuenta que el último cero tiene la distribución de arcoseno en el intervalo\( (0, t) \). Ejecute el experimento 1000 veces y compare la función de densidad de probabilidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales. Observe cómo el último cero simula la distribución.