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5.35: La distribución log-logística

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\sd}{\text{sd}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\sinc}{\text{sinc}}\)

    Como su nombre indica, la distribución log-logística es la distribución de una variable cuyo logaritmo tiene la distribución logística. La distribución log-logística se utiliza a menudo para modelar tiempos de vida aleatorios y, por lo tanto, tiene aplicaciones en confiabilidad.

    La distribución log-logística básica

    Funciones de distribución

    La distribución log-logística básica con parámetro de forma\( k \in (0, \infty) \) es una distribución continua\( [0, \infty) \) con función de distribución\( G \) dada por\[ G(z) = \frac{z^k}{1 + z^k}, \quad z \in [0, \infty) \] En el caso especial de que\( k = 1 \), la distribución es la distribución log-logística estándar.

    Prueba

    Tenga en cuenta que\( G \) es continuo\( [0, \infty) \) con\( G(0) = 0 \) y\( G(z) \to 1 \) como\( z \to \infty \). Por otra parte,\[ g(z) = G^\prime(z) = \frac{k z^{k-1}}{(1 + z^k)^2} \gt 0, \quad z \in (0, \infty) \] por lo que\( G \) está aumentando estrictamente en\( [0, \infty) \).

    La función de la función de densidad de probabilidad\( g \) viene dada por\[ g(z) = \frac{k z^{k-1}}{(1 + z^k)^2}, \quad z \in (0, \infty) \]

    1. Si\( 0 \lt k \lt 1 \),\( g \) es decreciente con\( g(z) \to \infty \) as\( z \downarrow 0 \).
    2. Si\( k = 1 \),\( g \) es defraudar con modo\( z = 0 \).
    3. Si\( k \gt 1 \),\( g \) aumenta y luego disminuye con el modo\( z = \left(\frac{k - 1}{k + 1}\right)^{1/k}. \)
    4. Si\( k \le 1 \),\( g \) es cóncava hacia arriba.
    5. Si\( 1 \lt k \le 2 \),\( g \) es cóncavo hacia abajo y luego hacia arriba, con punto de inflexión en\[ z = \left[\frac{2 (k^2 - 1) + 2 k \sqrt{3(k^2 - 1)}}{(k + 1)(k + 2)}\right]^{1/k} \]
    6. Si\( k \gt 2 \),\( g \) es cóncavo hacia arriba luego hacia abajo y luego hacia arriba nuevamente, con puntos de inflexión en\[ z = \left[\frac{2 (k^2 - 1) \pm 2 k \sqrt{3(k^2 - 1)}}{(k + 1)(k + 2)}\right]^{1/k} \]
    Prueba

    El PDF\( g = G^\prime \) se computó en la prueba del resultado de CDF. El resto sigue de\ begin {align} g^ {\ prime} (z) & =\ frac {k z^ {k-2} [(k - 1) - (k + 1) z^k]} {(1 + z^k) ^3},\ quad z\ in (0,\ infty)\\ g^ {\ prime\ prime} (z) & =\ frac {k z^ {k - 3}\ izquierda [(k - 1) (k - 2) - 4 (k^2 -1) z^k + (k + 1) (k + 2) z^ {2 k}\ derecha]} {(1 + z^k) ^4},\ quad z\ in (0,\ infty)\ end {align}

    Así que\( g \) tiene una rica variedad de formas, y es unimodal si\( k \gt 1 \). Cuando\( k \ge 1 \), también\( g \) se define en 0.

    Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución log-logística. Variar el parámetro shape y anotar la forma de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados del parámetro shape, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

    La función quantile\( G^{-1} \) viene dada por\[ G^{-1}(p) = \left(\frac{p}{1 - p}\right)^{1/k}, \quad p \in [0, 1) \]

    1. El primer cuartil es\( q_1 = (1/3)^{1/k} \).
    2. La mediana es\( q_2 = 1 \).
    3. El tercer cuartil es\( q_3 = 3^{1/k} \).
    Prueba

    La fórmula para\( G^{-1} \) se desprende de la función de distribución resolviendo\( p = G(z) \) para\( z \) en términos de\( p \).

    Recordemos que\( p \big/ (1 - p) \) es la razón de probabilidades asociada con la probabilidad\( p \in (0, 1) \). Así, la función cuantil de la distribución log-logística básica con parámetro shape\( k \) es la raíz\( k \) th de la función odds ratio. En particular, la función cuantil de la distribución log-logística estándar es la propia función odds ratio. También es de interés que la mediana sea 1 por cada valor del parámetro shape.

    Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución log-logística. Variar el parámetro shape y anotar la forma de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para los valores seleccionados del parámetro shape, computar algunos valores de la función de distribución y la función cuantil.

    La función de confiabilidad\( G^c \) viene dada por\[ G^c(z) = \frac{1}{1 + z^k}, \quad z \in [0, \infty) \]

    Prueba

    Esto se desprende trivialmente de la función de distribución desde\( G^c = 1 - G \).

    La distribución log-logística básica tiene una tasa de falla decreciente o una tasa de falla mixta decreciente y creciente, dependiendo del parámetro de forma.

    La función de tasa de fallas\( r \) viene dada por\[ r(z) = \frac{k z^{k-1}}{1 + z^k}, \quad z \in (0, \infty) \]

    1. Si\( 0 \lt k \le 1 \),\( r \) es decreciente.
    2. Si\( k \gt 1 \),\( r \) disminuye y luego aumenta con mínimo en\( z = (k - 1)^{1/k} \).
    Prueba

    Recordemos que el es\( r(z) = g(z) \big/ G^c(z) \) por\(z \in (0, \infty)\) lo que la fórmula se desprende del PDF y la función de confiabilidad anterior. Las partes (a) y (b) siguen de\[ r^\prime(z) = \frac{k z^{k-1}[(k - 1) - z^k]}{(1 + z^k)^2}, \quad z \in (0, \infty) \]

    Si\( k \ge 1 \),\( r \) se define en 0 también.

    Momentos

    Supongamos que\( Z \) tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape\( k \in (0, \infty) \). Los momentos (aproximadamente 0) del\( Z \) tienen una expresión interesante en términos de la función beta\( B \) y en términos de la función seno. La representación más simple es en términos de una nueva función especial construida a partir de la función sinusoidal.

    La función senoidal cardinal (normalizada) sinc se define por\[ \sinc(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}, \quad x \in \R \] donde se entiende eso\( \sinc(0) = 1 \) (el valor limitante).

    Gráfica de la función sinc
    Figura\(\PageIndex{1}\): La gráfica de la función sinc en el intervalo\( [-10, 10] \)

    Si\( n \ge k \) entonces\( \E(Z^n) = \infty \). Si\( 0 \le n \lt k \) entonces\[ \E(Z^n) = B\left(1 - \frac{n}{k}, 1 + \frac{n}{k}\right) = \frac{1}{\sinc(n / k)} \]

    Prueba

    Usando el PDF,\[ \E(Z^n) = \int_0^\infty z^n \frac{k z^{k-1}}{(1 + z^k)^2} dz \] La sustitución\( u = 1 / (1 + z^k) \),\( du = -k z^{k-1}/(1 + z^k)^2 \) da\[ \E(Z^n) = \int_0^1 (1/u - 1)^{n/k} du = \int_0^1 u^{-n/k} (1 - u)^{n/k} du \] El resultado ahora se desprende de la definición de la función beta.

    En particular, podemos dar la media y varianza.

    Si\( k \gt 1 \) entonces\[ \E(Z) = \frac{1}{\sinc(1/k)} \]

    Si\(k \gt 2 \) entonces\[ \var(Z) = \frac{1}{\sinc(2 / k)} - \frac{1}{\sinc^2(1 / k)} \]

    Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución log-logística. Varíe el parámetro de forma y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación\( \pm \) estándar media. Para los valores seleccionados del parámetro shape, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

    Distribuciones Relacionadas

    La distribución log-logística básica se conserva bajo transformaciones de poder.

    Si\( Z \) tiene la distribución log-logística básica con el parámetro shape\( k \in (0, \infty) \) y if\( n \in (0, \infty) \), entonces\( W = Z^n \) tiene la distribución log-logística básica con el parámetro shape\( k / n \).

    Prueba

    Para\( w \in [0, \infty) \),\[ \P(W \le w) = \P(Z \le w^{1/n}) = G\left(w^{1/n}\right) = \frac{w^{k/n}}{1 + w^{k/n}} \] En función de\( w \), esta es la CDF de la distribución log-logística básica con parámetro shape\( k/n \).

    En particular, se deduce que si\( V \) tiene la distribución log-logística estándar y\( k \in (0, \infty) \), entonces\( Z = V^{1/k} \) tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape\( k \).

    La distribución log-logística tiene las conexiones habituales con la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil dada anteriormente.

    Supongamos que\( k \in (0, \infty) \).

    1. Si\( U \) tiene la distribución uniforme estándar entonces\( Z = G^{-1}(U) = \left[U \big/ (1 - U)\right]^{1/k} \) tiene la distribución log-logística básica con el parámetro shape\( k \).
    2. Si\( Z \) tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape\( k \) entonces\( U = G(Z) = Z^k \big/ (1 + Z^k) \) tiene la distribución uniforme estándar.

    Dado que la función cuantil de la distribución log-logística básica tiene una forma cerrada simple, la distribución se puede simular utilizando el método de cuantil aleatorio.

    Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución log-logística. Variar el parámetro shape y anotar la forma de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para los valores seleccionados del parámetro, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.

    Por supuesto, como se mencionó en la introducción, la distribución log-logística está relacionada con la distribución logística.

    Supongamos que\( k, \, b \in (0, \infty) \).

    1. Si\( Z \) tiene la distribución log-logística básica con el parámetro shape\( k \) entonces\( Y = \ln Z \) tiene la distribución logística con el parámetro de ubicación 0 y el parámetro de escala\( 1/k \).
    2. Si\( Y \) tiene la distribución logística con parámetro de ubicación\( 0 \) y parámetro de escala\( b \) entonces\( Z = e^Y \) tiene la distribución log-logística básica con parámetro de forma\( 1 / b \).
    Prueba
    1. Supongamos primero que\( Z \) tiene la distribución log-logística estándar. Entonces\[ \P(Y \le y) = \P\left(Z \le e^y\right) = \frac{e^y}{1 + e^y}, \quad y \in \R \] y en función de\( y \), este es el CDF de la distribución logística estándar. Supongamos ahora que\( Z \) tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape\( k \). A partir del resultado de potencia, podemos tomar\( Z = W^{1/k} \) donde\( W \) tiene la distribución log-logística estándar. Entonces\( Y = \ln Z = \frac{1}{k} \ln W \). Pero\( \ln(W) \) tiene la distribución logística estándar, y por lo tanto\( \frac{1}{k} \ln W \) tiene la distribución logística con parámetro de ubicación\( 0 \) y parámetro de escala\( 1/k \)
    2. Supongamos primero que\( Y \) tiene la distribución logística estándar. Entonces\[ \P(Z \le z) = \P[Y \le \ln(z)] = \frac{e^{\ln z}}{1 + e^{\ln z }} = \frac{z}{1 + z}, \quad z \in (0, \infty) \] y en función de\( z \), este es el CDF de la distribución log-logística estándar. Supongamos ahora que\( Y \) tiene la distribución logística con el parámetro de ubicación 0 y el parámetro de escala\( b \). Podemos tomar\( Y = b V \) donde\( V \) tiene la distribución logística estándar. De ahí\( Z = e^Y = e^{b V} = \left(e^V\right)^b \). Pero\( e^V \) tiene la distribución log-logística estándar, y nuevamente por el resultado de potencia\( \left(e^V\right)^b \) tiene la distribución log-logística con parámetro de forma\( 1 / b \).

    Como caso especial, (y como se señala en la prueba), si\( Z \) tiene la distribución log-logística estándar, entonces\( Y = \ln Z \) tiene la distribución logística estándar, y si\( Y \) tiene la distribución logística estándar, entonces\( Z = e^Y \) tiene la distribución log-logística estándar.

    La distribución log-logística estándar es la misma que la distribución estándar beta prime.

    Prueba

    El PDF de la distribución log-logística estándar es\( g(z) = 1 \big/ (1 + z)^2 \) para\( z \in [0, \infty) \), que es el mismo que el PDF de la distribución beta prime estándar.

    Por supuesto, limitar las distribuciones con respecto a los parámetros siempre son interesantes.

    La distribución log-logística básica con parámetro de forma\( k \in (0, \infty) \) converge a masa puntual en 1 as\( k \to \infty \).

    Prueba de la definición

    Tenga en cuenta que la función de distribución satisface en\( G(z) \to 0 \) cuanto a\( 0 \le z \lt 1 \),\( k \to \infty \)\( G(1) = \frac{1}{2} \) para todos\( k \gt 1 \), y en\( G(z) \to 1 \)\( k \to \infty \) cuanto a\( z \gt 1 \). Excepto por el punto de discontinuidad\( z = 1 \), los valores limitantes son la función de distribución de la masa puntual en 1.

    Prueba de variables aleatorias

    Supongamos que\( V \) tiene la distribución log-logística estándar, y for\( k \in (0, \infty) \), let\( Z_k = V^{1/k} \), así que\( Z_k \) tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape\( k \). El evento\( \{V \gt 0\} \) tiene probabilidad 1, y sobre este evento,\( Z_k \to 1 \) como\( k \to \infty \). Pero la convergencia con probabilidad 1 implica convergencia en la distribución.

    La distribución log-logística general

    La distribución log-logística básica se generaliza, como tantas distribuciones en\( [0, \infty) \), agregando un parámetro de escala. Recordemos que una transformación de escala a menudo corresponde a un cambio de unidades (galones en litros, por ejemplo), por lo que tales transformaciones son de importancia básica.

    Si\( Z \) tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape\( k \in (0, \infty) \) y si\( b \in (0, \infty) \) entonces\( X = b Z \) tiene la distribución log-logística con parámetro shape\( k \) y parámetro scale\( b \).

    Funciones de distribución

    Supongamos que\(X\) tiene la distribución log-logística con parámetro shape\(k \in (0, \infty)\) y parámetro scale\(b \in (0, \infty)\).

    \( X \)tiene función de distribución\( F \) dada por\[ F(x) = \frac{x^k}{b^k + x^k}, \quad x \in [0, \infty) \]

    Prueba

    Recordemos que\( F(x) = G(x / b) \) donde\( G \) está la función de distribución de la distribución log-logística básica con parámetro shape\( k \).

    \( X \)tiene función de densidad de probabilidad\( f \) dada por\[ f(x) = \frac{b^k k x^{k-1}}{(b^k + x^k)^2}, \quad x \in (0, \infty) \] Cuando\( k \ge 1 \),\( f \) se define en 0 también. \( f \)satisface las siguientes propiedades:

    1. Si\( 0 \lt k \lt 1 \),\( f \) es decreciente con\( f(x) \to \infty \) as\( x \downarrow 0 \).
    2. Si\( k = 1 \),\( f \) es defraudar con modo\( x = 0 \).
    3. Si\( k \gt 1 \),\( f \) aumenta y luego disminuye con el modo\( x = b \left(\frac{k - 1}{k + 1}\right)^{1/k}. \)
    4. Si\( k \le 1 \),\( f \) es cóncava hacia arriba.
    5. Si\( 1 \lt k \le 2 \),\( f \) es cóncavo hacia abajo y luego hacia arriba, con punto de inflexión en\[ x = b \left[\frac{2 (k^2 - 1) + 2 k \sqrt{3(k^2 - 1)}}{(k + 1)(k + 2)}\right]^{1/k} \]
    6. Si\( k \gt 2 \),\( f \) es cóncavo hacia arriba luego hacia abajo y luego hacia arriba nuevamente, con puntos de inflexión en\[ x = b \left[\frac{2 (k^2 - 1) \pm 2 k \sqrt{3(k^2 - 1)}}{(k + 1)(k + 2)}\right]^{1/k} \]
    Prueba

    Recordemos que\( f(x) = \frac{1}{b} g\left(\frac{x}{b}\right) \) donde\( g \) está la función de densidad de probabilidad de la distribución log-logística básica con parámetro shape\(k\). También por supuesto,\( f = F^\prime \).

    Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución log-logística. Varíe los parámetros de forma y escala y anote la forma de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

    \( X \)tiene función cuantil\( F^{-1} \) dada por\[ F^{-1}(p) = b \left(\frac{p}{1 - p}\right)^{1/k}, \quad p \in [0, 1) \]

    1. El primer cuartil es\( q_1 = b (1/3)^{1/k} \).
    2. La mediana es\( q_2 = b \).
    3. El tercer cuartil es\( q_3 = b 3^{1/k} \).
    Prueba

    Recordemos que\( F^{-1}(p) = b G^{-1}(p) \) para\( p \in [0, 1) \) donde\( G^{-1} \) está la función quantlie de la distribución log-logística básica con parámetro shape\(k\).

    Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución log-logística. Varíe los parámetros de forma y esclae y anote la forma de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, computar algunos valores de la función de distribución y la función cuantil.

    \( X \)tiene la función de confiabilidad\( F^c \) dada por\[ F^c(x) = \frac{b^k}{b^k + x^k}, \quad x \in [0, \infty) \]

    Prueba

    Esto se desprende trivialmente de la función de distribución, ya que\( F^c = 1 - F \).

    La distribución log-logística tiene una tasa de falla decreciente o una tasa de falla mixta decreciente y creciente, dependiendo del parámetro de forma.

    \( X \)tiene función de tasa de fallas\( R \) dada por\[ R(x) = \frac{k x^{k-1}}{b^k + x^k}, \quad x \in (0, \infty) \]

    1. Si\( 0 \lt k \le 1 \),\( R \) es decreciente.
    2. Si\( k \gt 1 \),\( R \) disminuye y luego aumenta con mínimo en\( x = b (k - 1)^{1/k} \).
    Prueba

    Recordemos que\( R(x) = \frac{1}{b} r\left(\frac{x}{b}\right) \) donde\( r \) está la función de tasa de fallas de la distribución log-logística básica con parámetro shape\(k\). También,\( R = f \big/ F^c \) donde\( f \) esta el PDF y\( F^c \) es la función de confiabilidad,.

    Momentos

    Supongamos nuevamente que\( X \) tiene la distribución log-logística con parámetro shape\( k \in (0, \infty) \) y parámetro scale\( b \in (0, \infty) \). Los momentos de\( X \) pueden ser calculados fácilmente a partir de la representación\( X = b Z \) donde\( Z \) tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape\( k \). Nuevamente, las expresiones son más simples en términos de la función beta\( B \) y en términos de la función sinusoidal cardinal normalizada sinc.

    Si\( n \ge k \) entonces\( \E(X^n) = \infty \). Si\( 0 \le n \lt k \) entonces\[ \E(X^n) = b^n B\left(1 - \frac{n}{k}, 1 + \frac{n}{k}\right) = \frac{b^n}{\sinc(n / k)} \]

    Si\( k \gt 1 \) entonces\[ \E(X) = \frac{b}{\sinc(1/k)} \]

    Si\(k \gt 2 \) entonces\[ \var(X) = b^2 \left[\frac{1}{\sinc(2 / k)} - \frac{1}{\sinc^2(1 / k)} \right] \]

    Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución log-logística. Varíe los parámetros de forma y escala y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación media/estándar. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecutar la simulación 1000 veces compara la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y desviación estándar.

    Distribuciones Relacionadas

    Dado que la distribución log-logística es una familia de escalas para cada valor del parámetro shape, se cierra trivialmente bajo transformaciones de escala.

    Si\( X \) tiene la distribución log-logística con parámetro de forma\( k \in (0, \infty) \) y parámetro de escala\( b \in (0, \infty) \), y si\( c \in (0, \infty) \), entonces\( Y = c X \) tiene la distribución log-logística con parámetro de forma\( k \) y parámetro de escala\( b c \).

    Prueba

    Por definición podemos tomar\(X = b Z\) donde\(Z\) tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape\(k\). Pero entonces\(Y = c X = (b c) Z\).

    La distribución log-logística se conserva bajo transformaciones de potencia.

    Si\( X \) tiene la distribución log-logística con parámetro de forma\( k \in (0, \infty) \) y parámetro de escala\( b \in (0, \infty) \), y si\( n \in (0, \infty) \), entonces\( Y = X^n \) tiene la distribución log-logística con parámetro de forma\( k / n \) y parámetro de escala\( b^n \).

    Prueba

    Nuevamente podemos tomar\( X = b Z \) donde\( Z \) tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape\( k \). Entonces\( X^n = b^n Z^n \). Pero por el resultado de potencia para la distribución estándar,\( Z^n \) tiene la distribución log-logística básica con parámetro de forma\( k / n \) y por lo tanto\( X \) tiene la distribución log-logística con parámetro de forma\( k / n \) y parámetro de escala\( b^n \).

    En particular, si\( V \) tiene la distribución log-logística estándar, entonces\( X = b V^{1/k} \) tiene la distribución log-logística con parámetro de forma\( k \) y parámetro de escala\( b \).

    Como antes, la distribución log-logística tiene las conexiones habituales con la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil calculada anteriormente.

    Supongamos que\( k, \, b \in (0, \infty) \).

    1. Si\( U \) tiene la distribución uniforme estándar, entonces\( X = F^{-1}(U) = b \left[U \big/ (1 - U)\right]^{1/k} \) tiene la distribución log-logística con parámetro de forma\( k \) y parámetro de escala\( b \).
    2. Si\( X \) tiene la distribución log-logística con parámetro de forma\( k \) y parámetro de escala\( b \), entonces\( U = F(X) = X^k \big/ (b^k + X^k) \) tiene la distribución uniforme estándar.

    Nuevamente, dado que la función cuantil de la distribución log-logística tiene una forma simple cerrada, la distribución se puede simular utilizando el método de cuantil aleatorio.

    Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución log-logística. Varíe los parámetros de forma y escala y anote la forma y ubicación de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica, media y desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.

    Nuevamente, el logaritmo de una variable log-logística tiene la distribución logística.

    Supongamos que\( k, \, b, \, c \in (0, \infty) \) y\( a \in \R \).

    1. Si\( X \) tiene la distribución log-logística con parámetro de forma\( k \) y parámetro de escala\( b \) entonces\( Y = \ln X \) tiene la distribución logística con parámetro de ubicación\( \ln b \) y parámetro de escala\( 1 / k \).
    2. Si\( Y \) tiene la distribución logística con parámetro de ubicación\( a \) y parámetro de escala\( c \) entonces\( X = e^Y \) tiene la distribución log-logística con parámetro de forma\( 1/c \) y parámetro de escala\( e^a \).
    Prueba
    1. Como se señaló anteriormente, podemos tomar\( X = b V^{1/k} \) donde\( V \) tiene la distribución log-logística estándar. Entonces\( Y = \ln X = \ln b + \frac{1}{k} \ln V \). Pero por el resultado correspondiente para la distribución básica,\( \ln V \) tiene la distribución logística estándar, también lo\( Y \) tiene la distribución logística con parámetro de ubicación\( \ln b \) y parámetro de escala\( 1/k \).
    2. Podemos tomar\( Y = a + c U \) donde\( U \) tiene la distribución logística estándar. De ahí\( X = e^Y = e^a e^{c U} = e^a \left(e^U\right)^c \). Pero por el resultado resultado correspondiente para la distribución estándar,\( e^U \) tiene la distribución log-logística estándar así lo\( X \) tiene la distribución log-logística con parámetro de forma\( 1/c \) y parámetro de escala\( e^a \).

    Una vez más, la distribución limitante también es de interés.

    Para fijo\( b \in (0, \infty) \), la distribución log-logística con parámetro de forma\( k \in (0, \infty) \) y parámetro de escala\( b \) converge para señalar la masa en\( b \) as\( k \to \infty \).

    Prueba

    Si\( X \) tiene la distribución log-logística con parámetro shape\( k \) y parámetro scale\( b \), entonces como de costumbre, podemos escribir\( X = b Z \) donde\( Z \) tiene la distribución log-logística básica con parámetro shape\( k \). A partir del resultado límite para la distribución básica, sabemos que la distribución de\( Z \) converge a masa puntual en 1 as\( k \to \infty \), por lo que sigue por el teorema de continuidad que la distribución de\( X \) converge a punto masa en\( b \) as\( k \to \infty \).


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