13.7: Loterías

\(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\sd}{\text{sd}}\)

Te das cuenta de que las probabilidades de ganar [la lotería] son las mismas que ser mutilado por un oso polar y un oso regular en el mismo día.

— E*TRADE baby, enero de 2010.

Las loterías se encuentran entre los juegos más simples y jugados de todos los juegos de azar, y desafortunadamente para el jugador, entre los peores en términos de valor esperado. Las loterías vienen en una cantidad tan increíble de variaciones que no es práctico analizarlas todas. Entonces, en esta sección, estudiaremos algunos de los formatos de lotería más comunes.

Figura\(\PageIndex{1}\): Un boleto de lotería emitido por el Congreso Continental en 1776 para recaudar dinero para la Guerra Revolucionaria Americana. Fuente: Wikipedia

La Lotería Básica

Formato Básico

La lotería básica es un experimento aleatorio en el que la casa de juego (en muchos casos una agencia gubernamental) selecciona\(n\) números al azar, sin reemplazo, de los enteros del 1 al\(N\). Los parámetros enteros\(N\) y\(n\) varían de una lotería a otra, y por supuesto,\(n\) no puede ser mayor que\(N\). El orden en que se eligen los números generalmente no importa, y así en este caso, el espacio muestral\(S\) del experimento consiste en todos los subconjuntos (combinaciones) de tamaño\(n\) elegidos de la población\(\{1, 2, \ldots, N\}\). \[ S = \left\{ \bs{x} \subseteq \{1, 2, \ldots, N\}: \#(\bs{x}) = n\right\} \]

Recordemos que\[ \#(S) = \binom{N}{n} = \frac{N!}{n! (N - n)!}\]

Naturalmente, asumimos que todas esas combinaciones son igualmente probables y, por lo tanto, la combinación elegida\(\bs{X}\), la variable aleatoria básica del experimento, se distribuye uniformemente en\(S\). \[ \P(\bs{X} = \bs{x}) = \frac{1}{\binom{N}{n}}, \quad \bs{x} \in S \]El jugador de la lotería paga una cuota y llega a seleccionar\(m\) números, sin reemplazo, de los enteros del 1 al\(N\). Nuevamente, el orden no importa, por lo que el jugador esencialmente elige una combinación\(\bs{y}\) de tamaño\(m\) de la población\(\{1, 2, \ldots, N\}\). En muchos casos\(m = n\), para que el jugador pueda elegir el mismo número de números que la casa. En general entonces, hay tres parámetros en la \((N, n, m)\)lotería básica.

El objetivo del jugador, por supuesto, es maximizar el número de partidos (a menudo llamados capturas por los jugadores) entre su combinación\(\bs{y}\) y la combinación aleatoria\(\bs{X}\) elegida por la casa. Esencialmente, el jugador está tratando de adivinar el resultado del experimento aleatorio antes de que se ejecute. Así, vamos a\(U = \#(\bs{X} \cap \bs{y})\) denotar el número de capturas.

El número de capturas\(U\) en el\((N, n, m)\), lotería tiene función de densidad de probabilidad dada por\[ \P(U = k) = \frac{\binom{m}{k} \binom{N - m}{n - k}}{\binom{N}{n}}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, m\} \]

La distribución de\(U\) es la distribución hipergeométrica con parámetros\(N\), y\(n\)\(m\), y se estudia en detalle en el capítulo sobre Modelos de Muestreo Finito. En particular, de esta sección, se deduce que la media y varianza del número de capturas\(U\) son\ begin {align}\ E (U) = & n\ frac {m} {N}\\ var (U) = & n\ frac {m} {N}\ left (1 -\ frac {m} {N}\ right)\ frac {N - n} {N - 1}\ end {align} Tenga en cuenta que\(\P(U = k) = 0\) si\(k \gt n\) o\(k \lt n + m - N\). Sin embargo, en la mayoría de loterías,\(m \le n\) y\(N\) es mucho más grande que\(n + m\). En estos casos comunes, la función de densidad es positiva para los valores de\(k\) dados anteriormente.

Nos referiremos al caso especial donde\(m = n\) como la \((N, n)\)lotería; este es el caso en la mayoría de las loterías estatales. En este caso, la función de densidad de probabilidad del número de capturas\(U\) es\[ \P(U = k) = \frac{\binom{n}{k} \binom{N - n}{n - k}}{\binom{N}{n}}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, n\} \] La media y varianza del número de capturas\(U\) en este caso especial son\ begin {align}\ E (U) & =\ frac {n^2} {N}\\\ var (U) & =\ frac {n^2 (N - n) ^2} {N^2 (N - 1)}\ end {align}

Dé explícitamente la función de densidad de probabilidad, la media y la desviación estándar del número de capturas en la\((47, 5)\) lotería.

Responder

\(\E(U) = 0.5319148936\),\(\sd(U) = 0.6587832083\)

\(k\)	\(\P(U = k)\)
0	0.5545644253
1	0.3648450167
2	0.0748400034
3	0.0056130003
4	0.0001369024
5	0.0000006519

Dé explícitamente la función de densidad de probabilidad, la media y la desviación estándar del número de capturas en la\((49, 5)\) lotería.

Responder

\(\E(U) = 0.5102040816\),\(\sd(U) = 0.6480462207\)

\(k\)	\(\P(U = k)\)
0	0.5695196981
1	0.3559498113
2	0.0694536217
3	0.0049609730
4	0.0001153715
5	0.0000005244

Dé explícitamente la función de densidad de probabilidad, la media y la desviación estándar del número de capturas en la\((47, 7)\) lotería.

Responder

\(\E(U) = 1.042553191\),\(\sd(U) = 0.8783776109\)

\(k\)	\(\P(U = k)\)
0	0.2964400642
1	0.4272224454
2	0.2197144005
3	0.0508598149
4	0.0054983583
5	0.0002604486
6	0.0000044521
7	0.0000000159

El análisis anterior se basó en el supuesto de que la combinación del jugador\(\bs{y}\) se selecciona determinísticamente. ¿Importa si el jugador escogió la combinación de manera aleatoria? Así, supongamos que la combinación seleccionada del jugador\(\bs{Y}\) es una variable aleatoria que toma valores\(S\). (Por ejemplo, en muchas loterías, los jugadores pueden comprar boletos con combinaciones seleccionadas aleatoriamente por una computadora; esto se conoce típicamente como Quick Pick). Claramente,\(\bs{X}\) y\(\bs{Y}\) debe ser independiente, ya que el jugador (y su dispositivo de aleatorización) no pueden tener conocimiento de la combinación ganadora\(\bs{X}\). Como se puede adivinar, tal aleatorización no hace ninguna diferencia.

Dejar\(U\) denotar el número de capturas en la\((N, n, m)\) lotería cuando la combinación del jugador\(\bs{Y}\) es una variable aleatoria, independiente de la combinación ganadora\(\bs{X}\). Entonces\(U\) tiene la misma distribución que en el caso determinista anterior.

Prueba

Esto sigue condicionando el valor de\(\bs{Y}\):\[ \P(U = k) = \sum_{\bs{y} \in S} \P(U = k \mid \bs{Y} = \bs{y}) \P(\bs{Y} = \bs{y}) = \sum_{\bs{y} \in S} \P(U = k) \P(\bs{Y} = \bs{y}) = \P(U = k) \]

Son muchos los sitios web que publican datos sobre la frecuencia de ocurrencia de números en diversas loterías estatales. Algunos jugadores evidentemente sienten que algunos números son más afortunados que otros.

Dados los supuestos y análisis anteriores, ¿cree que algunos números tienen más suerte que otros? ¿Tiene algún sentido matemático estudiar datos históricos para una lotería?

El dinero del premio en la mayoría de las loterías estatales depende de las ventas de los boletos de lotería. Por lo general, alrededor del 50% del dinero de las ventas se devuelve como dinero del premio; el resto va para gastos administrativos y ganancias para el estado. El dinero total del premio se divide entre los boletos ganadores, y el premio para un boleto determinado depende del número de capturas\(U\). Por todas estas razones, es imposible dar un simple análisis matemático del valor esperado de jugar una lotería estatal dada. Tenga en cuenta sin embargo, que dado que el estado mantiene un porcentaje fijo de las ventas, esencialmente no hay riesgo para el estado.

Desde el punto de vista del juego puro, las loterías estatales son malos juegos. En la mayoría de los juegos de casino, en comparación, el 90% o más del dinero que entra se devuelve a los jugadores como premio en efectivo. Por supuesto, las loterías estatales deben ser vistas como una forma de tributación voluntaria, no simplemente como juegos. Las ganancias de las loterías generalmente se utilizan para educación, atención médica y otros servicios esenciales. Una discusión sobre el valor y los costos de las loterías desde un punto de vista político y social (a diferencia de uno matemático) está fuera del alcance de este proyecto.

Números de bonificación

Muchas loterías estatales ahora aumentan el formato básico\((N, n)\), con un número de bono. El número de bonificación\(T\) se selecciona de un conjunto específico de enteros, además de la combinación\(\bs{X}\), seleccionados como antes. El jugador también elige un número de bonificación\(s\), además de una combinación\(\bs{y}\). El premio del jugador entonces depende del número de capturas\(U\) entre\(\bs{X}\) y\(\bs{y}\), como antes, y además de si el número de bonificación del jugador\(s\) coincide con el número de bonificación aleatorio\(T\) elegido por la casa. Vamos a dejar\(I\) denotar la variable indicadora de este último evento. Así, nuestro interés ahora está en la distribución conjunta de\((I, U)\).

En un formato común, el número de bono\(T\) se selecciona al azar del conjunto de números enteros\(\{1, 2, \ldots, M\}\), independientemente de la combinación\(\bs{X}\) de tamaño\(n\) elegida\(\{1, 2, \ldots, N\}\). Por lo general\(M \lt N\). Tenga en cuenta que con este formato, el juego es esencialmente dos loterías independientes, una en el formato\((N, n)\), y la otra en el\((M, 1)\), formato.

Calcular explícitamente la función de densidad de probabilidad conjunta de\((I, U)\) para la\((47, 5)\) lotería con número de bonificación independiente del 1 al 27. Este formato se utiliza en la lotería de California, entre otros.

Responder

Distribución conjunta de\((I, U)\)

\(\P(I = i, U = k)\)	\(i = 0\)	1
\(k = 0\)	0.5340250022	0.0205394232
1	0.3513322383	0.0135127784
2	0.0720681514	0.0027718520
3	0.0054051114	0.0002078889
4	0.0001318320	0.0000050705
5	0.0000006278	0.0000000241

Calcular explícitamente la función de densidad de probabilidad conjunta de\((I, U)\) para la\((49, 5)\) lotería con número de bonificación independiente del 1 al 42. Este formato se utiliza en la lotería Powerball, entre otros.

Responder

Distribución conjunta de\((I, U)\)

\(\P(I = i, U = k)\)	\(i = 0\)	1
\(k = 0\)	0.5559597053	0.0135599928
1	0.3474748158	0.0084749955
2	0.0677999641	0.0016536577
3	0.0048428546	0.0001181184
4	0.0001126245	0.0000027469
5	0.0000005119	0.0000000125

En otro formato, el número de bonificación\(T\) se elige del 1 al\(N\), y es distinto de los números en la combinación\(\bs{X}\). Para modelar este juego, asumimos que\(T\) se distribuye uniformemente en\(\{1, 2, \ldots, N\}\), y dado\(T = t\),\(\bs{X}\) se distribuye uniformemente en el conjunto de combinaciones de tamaño\(n\) elegido de\(\{1, 2, \ldots, N\} \setminus \{t\}\). Para este formato, la función de densidad de probabilidad conjunta es más difícil de calcular.

La función de densidad de\((I, U)\) probabilidad de viene dada por\ begin {align}\ P (I = 1, U = k) & =\ frac {\ binom {n} {k}\ binom {N - 1 - n} {n - k}} {N\ binom {N - 1} {n}},\ quad k\ in\ {0, 1,\ ldots, n\}\\ P (I = 0, U = k) & = (N - n + 1)\ frac {\ binom {n} {k}\ binom {N - 1 - n} {n - k}} {N\ binom {N - 1} {n}} + n\ frac {\ binom {n - 1} {k}\ binom {N - n} {n - k}} {N\ binom {N - 1} {n}},\ quad k\ in\ {0, 1,\ ldots, n\}\ end {align}

Prueba

La segunda ecuación se obtiene condicionando si\(T \in \{y_1, y_2, \ldots, y_n\}\).

Calcular explícitamente la función de densidad de probabilidad conjunta de\((I, U)\) para la\((47, 7)\) lotería con el número de bono elegido como se describió anteriormente. Este formato se utiliza en la lotería Super 7 Canadá, entre otros.

Keno

Keno es un juego de lotería que se juega en los casinos. Para un fijo\(N\) (generalmente 80) y\(n\) (generalmente 20), el jugador puede jugar una variedad de\((N, n, m)\) juegos básicos, como se describe en la primera subsección. Por lo general,\(m\) varía de 1 a 15, y el pago depende de\(m\) y el número de capturas\(U\). En esta sección, calcularás la función de densidad, media y desviación estándar del pago aleatorio, basado en una apuesta unitaria, para un juego típico de keno con\(N = 80\),\(n = 20\), y\(m \in \{1, 2, \ldots, 15\}\). Las mesas de pago se basan en el juego de keno en el casino Tropicana en Atlantic City, Nueva Jersey.

Recordemos que la función de densidad de probabilidad del número de capturas\(U\) anteriores, viene dada por\[ \P(U = k) = \frac{\binom{m}{k} \binom{80 - m}{20 - k}}{\binom{80}{20}}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, m\} \]

La tabla de pago para\(m = 1\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.

Pick\(m = 1\)

Atrapa	0	1
Payoff	0	3

Responder

Escoger\(m = 1\),\(\E(V) = 0.75\),\(\sd(V) = 1.299038106\)

\(v\)	\(\P(V = v)\)
0	0.75
3	0.25

La tabla de pago para\(m = 2\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.

Pick\(m = 2\)

Atrapa	0	1	2
Payoff	0	0	12

Responder

Escoger\(m = 2\),\(E(V) = 0.7353943525\),\(\sd(V) = 5.025285956\)

\(v\)	\(\P(V = v)\)
12	0.0601265822

La tabla de pago para\(m = 3\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.

Pick\(m = 3\)

Atrapa	0	1	2	3
Payoff	0	0	1	43

Responder

Escoger\(m = 3\),\(\E(V) = 0.7353943525\),\(\sd(V) = 5.025285956\)

\(v\)	\(\P(V = v)\)
0	0.8473709834
1	0.1387536514
43	0.0138753651

La tabla de pago para\(m = 4\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.

Pick\(m = 4\)

Atrapa	0	1	2	3	4
Payoff	0	0	1	3	130

Responder

Escoger\(m = 4\),\(\E(V) = 0.7406201394\),\(\sd(V) = 7.198935911\)

\(v\)	\(\P(V = v)\)
0	0.7410532505
1	0.2126354658
3	0.0432478914
130	0.0030633923

La tabla de pago para\(m = 5\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.

Pick\(m = 5\)

Atrapa	0	1	2	3	4	5
Payoff	0	0	0	1	10	800

Responder

Escoger\(m = 5\),\(\E(V) = 0.7207981892\),\(\sd(V) = 20.33532453\)

\(v\)	\(\P(V = v)\)
0	0.9033276850
1	0.0839350523
10	0.0120923380
800	0.0006449247

La tabla de pago para\(m = 6\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.

Pick\(m = 6\)

Atrapa	0	1	2	3	4	5	6
Payoff	0	0	0	1	4	95	1500

Responder

Escoger\(m = 6\),\(\E(V) = 0.7315342885\),\(\sd(V) = 17.83831647\)

\(v\)	\(\P(V = v)\)
0	0.8384179112
1	0.1298195475
4	0.0285379178
95	0.0030956385
1500	0.0001289849

La tabla de pago para\(m = 7\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.

Pick\(m = 7\)

Atrapa	0	1	2	3	4	5	6	7
Payoff	0	0	0	0	1	25	350	8000

Responder

Escoger\(m = 7\),\(\E(V) = 0.7196008747\),\(\sd(V) = 40.69860455\)

\(v\)	\(\P(V = v)\)
0	0.9384140492
1	0.0521909668
25	0.0086385048
350	0.0007320767
8000	0.0000244026

La tabla de pago para\(m = 8\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.

Pick\(m = 8\)

Atrapa	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Payoff	0	0	0	0	0	9	90	1500	25,000

Responder

Escoger\(m = 8\),\(\E(V) = 0.7270517606\),\(\sd(V) = 55.64771986\)

\(v\)	\(\P(V = v)\)
0	0.9791658999
9	0.0183025856
90	0.0023667137
1500	0.0001604552
25,000	0.0000043457

La tabla de pago para\(m = 9\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.

Pick\(m = 9\)

Atrapa	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Payoff	0	0	0	0	0	4	50	280	4000	50,000

Responder

Escoger\(m = 9\),\(\E(V) = 0.7270517606\),\(\sd(V) = 55.64771986\)

\(v\)	\(\P(V = v)\)
0	0.9791658999
9	0.0183025856
90	0.0023667137
1500	0.0001604552
25,000	0.0000043457

La tabla de pago para\(m = 10\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.

Pick\(m = 10\)

Atrapa	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Payoff	0	0	0	0	0	1	22	150	1000	5000	100,000

Responder

Escoger\(m = 10\),\(\E(V) = 0.7228896221\),\(\sd(V) = 38.10367609\)

\(v\)	\(\P(V = v)\)
0	0.9353401224
1	0.0514276877
22	0.0114793946
150	0.0016111431
1000	0.0001354194
5000	0.0000061206
100,000	0.0000001122

La tabla de pago para\(m = 11\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.

Pick\(m = 11\)

Atrapa	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Payoff	0	0	0	0	0	0	8	80	400	2500	25,000	100,000

Responder

Escoger\(m = 11\),\(\E(V) = 0.7138083347\),\(\sd(V) = 32.99373346\)

\(v\)	\(\P(V = v)\)
0	0.9757475913
8	0.0202037345
80	0.0036078097
400	0.0004114169
2500	0.0000283736
25,000	0.0000010580
100,000	0.0000000160

La tabla de pago para\(m = 12\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.

Pick\(m = 12\)

Atrapa	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Payoff	0	0	0	0	0	0	5	32	200	1000	5000	25,000	100,000

Responder

Escoger\(m = 12\),\(\E(V) = 0.7167721544\),\(\sd(V) = 20.12030014\)

\(v\)	\(\P(V = v)\)
0	0.9596431653
5	0.0322088520
32	0.0070273859
200	0.0010195984
1000	0.0000954010
5000	0.0000054280
25,000	0.0000001673
100,000	0.0000000021

La tabla de pago para\(m = 13\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.

Pick\(m = 13\)

Atrapa	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Payoff	1	0	0	0	0	0	1	20	80	600	3500	10,000	50,000	100,000

Prueba

Escoger\(m = 13\),\(\E(V) = 0.7216651326\),\(\sd(V) = 22.68311303\)

\(v\)	\(\P(V = v)\)
0	0.9213238456
1	0.0638969375
20	0.0123151493
80	0.0021831401
600	0.0002598976
3500	0.0000200623
10,000	0.0000009434
50,000	0.0000000240
100,000	0.0000000002

La tabla de pago para\(m = 14\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.

Pick\(m = 14\)

Atrapa	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Payoff	1	0	0	0	0	0	1	9	42	310	1100	8000	25,000	50,000	100,000

Responder

Escoger\(m = 14\),\(\E(V) = 0.7194160496\),\(\sd(V) = 21.98977077\)

\(v\)	\(\P(V = v)\)
0	0.898036333063
1	0.077258807301
9	0.019851285448
42	0.004181636518
310	0.000608238039
1100	0.000059737665
8000	0.000003811015
25,000	0.000000147841
50,000	0.000000003084
100,000	0.000000000026

La tabla de pago para\(m = 15\) se da a continuación. Calcular la función de densidad de probabilidad, media y desviación estándar del pago.

Pick\(m = 15\)

Atrapa	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Payoff	1	0	0	0	0	0	0	10	25	100	300	2800	25,000	50,000	100,000	100,000

Responder

Escoger\(m = 15\),\(\E(V) = 0.7144017020\),\(\sd(V) = 24.31901706\)

\(v\)	\(\P(V = v)\)
0	0.95333046038902
1	0.00801614417729
10	0.02988971956684
25	0.00733144064847
100	0.00126716258122
300	0.00015205950975
2800	0.00001234249267
25,000	0.00000064960488
50,000	0.00000002067708
100,000	0.00000000035046
100,000	0.00000000000234

En los ejercicios anteriores, deberías haber notado que el pago esperado en una apuesta unitaria varía de aproximadamente 0.71 a 0.75, por lo que la ganancia esperada (para el jugador) varía de aproximadamente\(-0.25\) a\(-0.29\). Esto es bastante malo para el jugador que juega un juego de casino, pero como siempre, el atractivo de una ganancia muy alta en una apuesta pequeña para un evento extremadamente raro anula el análisis de valor esperado para la mayoría de los jugadores.

Con\(m = 15\), demostrar que los 4 primeros premios (25,000, 50,000, 100,000, 100,000) aportan solo alrededor de 0.017 (menos de 2 centavos) al valor total esperado de alrededor de 0.714.

Por otro lado, la desviación estándar del pago varía bastante, de aproximadamente 1 a aproximadamente 55.

Si bien el juego es altamente desfavorable para cada uno\(m\), con un valor esperado que es casi constante, ¿cuál crees que es mejor para el jugador, un formato con alta desviación estándar o uno con baja desviación estándar?