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14.8: Procesos de Poisson en Espacios Generales

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    152248
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    Teoría Básica

    El Proceso

    Hasta el momento, hemos estudiado el proceso de Poisson como modelo para puntos aleatorios en el tiempo. Sin embargo, también existe un modelo de Poisson para puntos aleatorios en el espacio. Algunos ejemplos específicos de tales puntos aleatorios son

    • Defectos en una lámina de material.
    • Pasas en un pastel.
    • Estrellas en el cielo.

    El proceso de Poisson para puntos aleatorios en el espacio se puede definir en un entorno muy general. Todo lo que realmente se necesita es un espacio de medida\( (S, \mathscr{S}, \mu) \). Así,\( S \) es un conjunto (el espacio subyacente para nuestros puntos aleatorios),\( \mathscr{S} \) es un\( \sigma \) -álgebra de subconjuntos de\( S \) (como siempre, los conjuntos permitidos), y\( \mu \) es una medida positiva on\( (S, \mathscr{S}) \) (una medida del tamaño de los conjuntos). El caso especial más importante es cuando\( S \) es un subconjunto medible (Lebesgue) de\( \R^d \) para algunos\( d \in \N_+ \),\( \mathscr{S} \) es el\( \sigma \) álgebra de subconjuntos medibles de\( S \), y\( \mu = \lambda_d \) es\( d \) -dimensional medida de Lebesgue. Especializándose más, recordar los espacios de menor dimensión:

    1. Cuando\( d = 1 \),\( S \subseteq \R \) y\( \lambda_1 \) es medida de longitud.
    2. Cuando\( d = 2 \),\( S \subseteq \R^2 \) y\( \lambda_2 \) es medida de área.
    3. Cuándo\( d = 3 \),\( S \subseteq \R^3 \) y\( \lambda_3 \) es medida de volumen.

    Por supuesto, las caracterizaciones del proceso de Poisson sobre\([0, \infty)\), en términos de los tiempos entre llegadas y la caracterización en términos de los tiempos de llegada no se generalizan porque dependen críticamente de la relación de orden de\( [0, \infty) \). Sin embargo, la caracterización en términos del proceso de conteo se generaliza perfectamente a nuestro nuevo escenario. Así, consideremos un proceso que produce puntos aleatorios en\( S \), y como de costumbre, vamos a\( N(A) \) denotar el número de puntos aleatorios en\( A \in \mathscr{S} \). Así\( N \) es una medida aleatoria, contando en\( (S, \mathscr{S}) \)

    La medida aleatoria\(N\) es un proceso de Poisson o una medida aleatoria de Poisson\(S\) con parámetro de densidad\(r \gt 0\) si se cumplen los siguientes axiomas:

    1. Si\( A \in \mathscr{S} \) entonces\(N(A)\) tiene la distribución de Poisson con parámetro\(r \mu(A)\).
    2. Si\( \{A_i: i \in I\} \) es una colección contable y disjunta de conjuntos en\( \mathscr{S} \) entonces\( \{N(A_i): i \in I\} \) es un conjunto de variables aleatorias independientes.

    Para trazar paralelismos con el proceso Veneno\( [0, \infty) \), tenga en cuenta que el axioma (a) es la generalización de incrementos estacionarios distribuidos en Poisson, y el axioma (b) es la generalización de incrementos independientes. Por convención, si\(\mu(A) = 0\) entonces\(N(A) = 0\) con probabilidad 1, y si\(\mu(A) = \infty\) entonces\(N(A) = \infty\) con probabilidad 1. (Estas distribuciones se consideran miembros degenerados de la familia Poisson.) Por otro lado, tenga en cuenta que si\(0 \lt \mu(A) \lt \infty\) entonces\(N(A)\) tiene soporte\(\N\).

    En el proceso bidimensional de Poisson, variar el ancho\(w\) y la tasa\(r\). Tenga en cuenta la ubicación y forma de la función de densidad de probabilidad de\(N\). Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad verdadera.

    Para\(A \subseteq D\)

    1. \(\E\left[N(A)\right] = r \mu(A)\)
    2. \(\var\left[N(A)\right] = r \mu(A)\)
    Prueba

    Estos resultados siguen, por supuesto, de nuestro estudio previo de la distribución de Poisson. Recordemos que el parámetro de la distribución de Poisson es tanto la media como la varianza.

    En particular, se\(r\) puede interpretar como la densidad esperada de los puntos aleatorios (es decir, el número esperado de puntos en una región de tamaño unitario), justificando el nombre del parámetro.

    En el proceso bidimensional de Poisson, variar el ancho\(w\) y el parámetro de densidad\(r\). Anote el tamaño y ubicación de la barra de desviación\(\pm\) estándar media de\(N\). Para diversos valores de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media verdadera y la desviación estándar.

    La distribución de los puntos aleatorios

    Como antes, el modelo de Poisson define la forma más aleatoria de distribuir puntos en el espacio, en cierto sentido. Supongamos que tenemos un proceso de Poisson\( N \) encendido\( (S, \mathscr{S}, \mu) \) con parámetro de densidad\( r \in (0, \infty) \).

    Dado que\(A \in \mathscr{S}\) contiene exactamente un punto aleatorio, la posición\(X\) del punto se distribuye uniformemente en\(A\).

    Prueba

    Para\(B \in \mathscr{S}\) con\( B \subseteq A \),\[ \P\left[N(B) = 1 \mid N(A) = 1\right] = \frac{\P\left[N(B) = 1, N(A) = 1\right]}{\P\left[N(A) = 1\right]} = \frac{\P\left[N(B) = 1, N(A \setminus B) = 0\right]}{\P\left[N(A) = 1\right]} = \frac{\P\left[N(B) = 1\right] \P\left[N(A \setminus B) = 0\right]}{\P\left[N(A) = 1\right]} \] Usando las distribuciones de Poisson\[ \P\left[N(B) = 1 \mid N(A) = 1\right] = \frac{\exp\left[-r \mu(B)\right] \left[r \mu(B)\right] \exp\left[-r \mu(A \setminus B)\right]} {\exp\left[-r \mu(A)\right] \left[r \mu(A)\right]} = \frac{\mu(B)}{\mu(A)}\] que tenemos En función de\( B \), esta es la distribución uniforme en\( A \) (con respecto a\( \mu \)).

    De manera más general, si\(A\) contiene\(n\) puntos, entonces las posiciones de los puntos son independientes y cada una se distribuye uniformemente en\(A\).

    Supongamos que\(A, \, B \in \mathscr{S}\) y\(B \subseteq A\). Para\( n \in \N_+ \), la distribución condicional de\(N(B)\) dado\(N(A) = n\) es la distribución binomial con parámetro de ensayo\(n\) y parámetro de éxito\(p = \mu(B) \big/ \mu(A)\).

    Prueba

    Para\(k \in \{0, 1, \ldots, n\}\),\[ \P\left[N(B) = k \mid N(A) = n\right] = \frac{\P\left[N(B) = k, N(A) = n\right]}{\P\left[N(A) = n\right]} = \frac{\P\left[N(B) = k, N(A \setminus B) = n - k\right]}{\P\left[N(A) = n\right]} = \frac{\P\left[N(B) = k\right] \P\left[N(A \setminus B) = n - k\right]}{\P\left[N(A) = n\right]} \] Usando los distritos de Poisson, Factores\[ \P\left[N(B) = k \mid N(A) = n\right] = \frac{\exp\left[-r \mu(B)\right] \left(\left[r \mu(B)\right]^k \big/ k!\right) \exp\left[-r \mu(A \setminus B)\right] \left(\left[r \mu(A \setminus B)\right]^{n-k} \big/ (n - k)!\right)}{\exp\left[-r \mu(A)\right] \left[r \mu(A)\right]^n \big/ n!} \] de cancelación y arrendamiento\(p = \mu(B) \big/ \mu(A)\), tenemos\[ \P\left[N(B) = k \mid N(A) = n\right] = \frac{n!}{k! (n-k)!} p^k (1 - p)^{n-k} \]

    Así, dado\( N(A) = n \), cada uno de los puntos\( n \) aleatorios cae en\( B \), independientemente, con probabilidad\(p = \mu(B) \big/ \mu(A)\), independientemente del parámetro de densidad\( r \).

    De manera más general, supongamos que\(A \in \mathscr{S}\) y que\(A\) se divide en\(k\) subconjuntos\((B_1, B_2, \ldots, B_k)\) en\( \mathscr{S} \). Entonces la distribución condicional de\(\left(N(B_1), N(B_2), \ldots, N(B_k)\right)\) dado\(N(A) = n\) es la distribución multinomial con parámetros\(n\) y\((p_1, p_2, \ldots p_k)\), donde\(p_i = \mu(B_i) \big/ \mu(A)\) para\(i \in \{1, 2, \ldots, k\}\).

    Adelgazamiento y combinación

    Supongamos que\(N\) es un proceso aleatorio de Poisson encendido\((S, \mathscr{S}, \mu)\) con parámetro de densidad\(r \in [0, \infty)\). Adelgazamiento (o división) de este proceso funciona igual que el adelgazamiento del proceso de Poisson\( [0, \infty) \). En concreto, supongamos que el cada punto aleatorio, independientemente de los demás es de tipo 1 con probabilidad\(p\) o tipo 0 con probabilidad\(1 - p\), donde\(p \in (0, 1)\) es un nuevo parámetro. Dejar\(N_1\) y\(N_0\) denotar las medidas de conteo aleatorio asociadas con los puntos tipo 1 y tipo 0, respectivamente. Es decir,\( N_i(A) \) es el número de puntos\( i \) aleatorios de tipo en\( A \), para\( A \in \mathscr{S} \) y\( i \in \{0, 1\} \).

    \( N_0 \)y\( N_1 \) son procesos independientes de Poisson\( (S, \mathscr{S}, \mu) \) con parámetros de densidad\( p r \) y\( (1 - p) r \), respectivamente.

    Prueba

    La prueba es como la del proceso de Poisson en adelante\( [0, \infty) \). Para\(j, \; k \in \N\),\[ \P\left[N_0(A) = j, N_1(A) = k\right] = \P\left[N_1(A) = k, N(A) = j + k\right] = \P\left[N(A) = j + k\right] \P\left[N_1(A) = k \mid N_0(A) = j + k\right] \] Pero dado\(N(A) = n\), el número de puntos tipo 1\(N_1(A)\) tiene la distribución binomial con parámetros\(n\) y\(p\). De ahí dejar\(t = \mu(A)\) simplificar la notación, tenemos\[ \P\left[N_0(A) = j, N_1(A) = k\right] = e^{-r t} \frac{(r t)^{j+k}}{(j + k)!} \frac{(j + k)!}{j! k!} p^k (1 - p)^j = e^{-p r t} \frac{(p r t)^k}{k!} e^{-(1 - p) r t} \frac{\left[(1 - p) r t\right]^j}{j!} \] Se desprende del teorema de factorización que\( N_0(A) \) tiene la distribución de Poisson con parámetro\( p \mu(A) \),\( N_1(A) \) tiene la distribución de Poisson con parámetro\( (1 - p) \mu(A) \), y\( N_0(A) \) y\( N_1(A) \) son independientes. A continuación supongamos que\( \{A_i: i \in I\} \) es una colección contable y disjunta de conjuntos en\( \mathscr{S} \). Entonces\( \{N_0(A_i): i \in I\} \) y cada uno\( \{N_1(A_i): i \in I\} \) son conjuntos independientes de variables aleatorias, y los dos conjuntos son independientes entre sí.

    Este resultado se extiende naturalmente a\(k \in \N_+\) los tipos. Como en el caso estándar, la combinación de procesos independientes de Poisson produce un nuevo proceso de Poisson, y los parámetros de densidad se suman.

    Supongamos que\( N_0 \) y\( N_1 \) son procesos independientes de Poisson sobre\( (S, \mathscr{S}, \mu) \), con parámetros de densidad\( r_0 \) y\( r_1 \), respectivamente. Entonces el proceso obtenido al combinar los puntos aleatorios también es un proceso de Poisson\( (S, \mathscr{S}, \mu) \) con parámetro de densidad\( r_0 + r_1 \).

    Prueba

    La nueva medida aleatoria, por supuesto, es simplemente\( N = N_1 + N_2 \). Así para\( A \in \mathscr{S} \),\( N(A) = N_1(A) + N_2(A) \). Pero\( N_i(A) \) tiene la distribución de Poisson con parámetro\( r_i \mu(A) \) for\( i \in \{1, 2\} \), y las variables son independientes, también lo\( N(A) \) ha hecho la distribución de Poisson con parámetro\( r_0 \mu(A) + r_1 \mu(A) = (r_0 + r_1)\mu(A) \). A continuación supongamos que\( \{A_i: i \in I\} \) es una colección contable y disjunta de conjuntos en\( \mathscr{S} \). Entonces\( \{N(A_i): i \in I\} = \left\{N_0(A_i) + N_1(A_i): i \in I\right\} \) es un conjunto de variables aleatorias independientes.

    Aplicaciones y Casos Especiales

    Procesos Poisson no homogéneos

    Un proceso de Poisson no homogéneo\( [0, \infty) \) puede considerarse simplemente como un proceso de Poisson\( [0, \infty) \) con respecto a una medida que no es la medida estándar de Lebesgue\( \lambda_1 \) en\( [0, \infty) \). Por lo tanto, supongamos que\( r: [0, \infty) \to (0, \infty) \) es continuo por partes con\( \int_0^\infty r(t) \, dt = \infty \), y vamos\[ m(t) = \int_0^t r(s) \, ds, \quad t \in [0, \infty) \] Considerar el proceso de Poisson no homogéneo con función de tasa\( r \) (y por lo tanto la función media\( m \)). Recordemos que la medida de Lebesgue-Stieltjes en\( [0, \infty) \) asociada con\( m \) (que también denotamos por\( m \)) se define por la condición\[ m(a, b] = m(b) - m(a), \quad a, \, b \in [0, \infty), \; a \lt b \] Equivalentemente,\( m \) es la medida que es absolutamente continua con respecto a\( \lambda_1 \), con función de densidad\( r \). Es decir, si\( A \) es un subconjunto medible de\( [0, \infty) \) entonces\[ m(A) = \int_A r(t) \, dt \]

    El proceso de Poisson no homogéneo\( [0, \infty) \) con función de tasa\( r \) es el proceso de Poisson encendido\( [0, \infty) \) con respecto a la medida\( m \).

    Prueba

    Esto se desprende directamente de las definiciones. Si\( N \) denota el proceso de conteo asociado con el proceso de Poisson no homogéneo, entonces\( N \) tiene incrementos estacionarios, y para\( s, \, t \in [0, \infty) \) con\( s \lt t \),\( N(s, t] \) tiene la distribución de Poisson con parámetro\( m(t) - m(s) = m(s, t] \).

    Puntos más cercanos en\( \R^d \)

    En esta subsección, consideramos un tema bastante especializado, pero divertido e interesante. Considere el proceso de Poisson\(\left(\R^d, \mathscr{R}_d, \lambda_d\right)\) con parámetro de densidad\(r \gt 0\), donde como de costumbre,\( \mathscr{R}_d \) es el\( \sigma \) -álgebra de los subconjuntos medibles de\( \R_d \) Lebesgue y\( \lambda_d \) es la medida\( d \) -dimensional de Lebesgue. Utilizamos la norma euclidiana habitual en\( \R^d \):\[ \|\bs{x}\|_d = \left(x_1^d + x_2^d \cdots + x_d^d\right)^{1/d}, \quad \bs{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_d) \in \R^d \] Para\(t \gt 0\), vamos a\( B_t = \left\{\bs{x} \in \R^d: \|\bs{x}\|_d \le t\right\} \) denotar la bola de radio\( t \) centrada en el origen. Recordemos que\( \lambda_d(B_t) = c_d t^d \) dónde\[ c_d = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2 + 1)} \] está la medida de la bola unitaria en\( \R^d \), y dónde\( \Gamma \) está la función gamma. Por supuesto,\( c_1 = 2 \),\( c_2 = \pi \),\( c_3 = 4 \pi / 3 \).

    Para\( t \ge 0 \), let\( M_t = N(B_t) \), el número de puntos aleatorios en la pelota\( B_t \), o equivalentemente, el número de puntos aleatorios a distancia\( t \) del origen. De nuestra fórmula para la medida de\( B_t \) arriba, se deduce que\(M_t\) tiene la distribución de Poisson con parámetro\(r c_d t^d\).

    Ahora vamos\(Z_0 = 0\) y para\(n \in \N_+\) let\(Z_n\) denotan la distancia del\(n\) th punto aleatorio más cercano al origen. Tenga en cuenta que\(Z_n\) es análogo a la hora de llegada\(n\) th para el proceso de Poisson en\([0, \infty)\). Claramente los procesos\(\bs{M} = (M_t: t \ge 0)\) y\( \bs{Z} = (Z_0, Z_1, \ldots) \) son inversos el uno del otro en el sentido de que\(Z_n \le t\) si y solo si\(M_t \ge n\). Ambos eventos significan que hay al menos puntos\( n \) aleatorios a la distancia\( t \) del origen.

    Distribuciones

    1. \(c_d Z_n^d\)tiene la distribución gamma con el parámetro shape\(n\) y el parámetro rate\(r\).
    2. \(Z_n\)tiene la función de densidad de probabilidad\( g_n \) dada por\[ g_n(z) = \frac{d \left(c_d r\right)^n z^{n d - 1}}{(n-1)!} \exp\left(-r c_d z^d\right), \quad 0 \le z \lt \infty \]
    Prueba

    Vamos\( T_n = c_d Z_n^d \).

    1. De la relación inversa anterior,\[ \P(T_n \le t) = \P\left[Z_n \le \left(t / c_d\right)^{1/d}\right] = \P\left\{M\left[\left(t / c_d\right)^{1/d}\right] \ge n\right\}\] Pero\( M\left[\left(t / c_d\right)^{1/d}\right] \) tiene la distribución de Poisson con parámetro\( r c_d \left[\left(t / c_d\right)^{1/d}\right]^d = r t \) así\[ \P(T_n \le t) = \sum_{k=n}^\infty e^{-r t} \frac{(r t)^k}{k!} \] que sabemos que es el CDF gamma con parámetros\( n \) y\( r \)
    2. Dejar\( f_n \) denotar el PDF gamma con parámetros\( n \) y\( r \) y dejar\( t = c_d z^d \). A partir de la fórmula estándar de cambio de variables,\[ g_n(z) = f_n(t) \frac{dt}{dz} \] Sustituir y simplificar da el resultado.

    \(c_d Z_n^d - c_d Z_{n-1}^d\)son independientes para\(n \in \N_+\) y cada uno tiene la distribución exponencial con parámetro de tasa\(r\).

    Ejercicios Computacionales

    Supongamos que los defectos en una lámina de material siguen el modelo de Poisson con un promedio de 1 defecto por 2 metros cuadrados. Considera una lámina de material de 5 metros cuadrados.

    1. Encuentra la probabilidad de que haya al menos 3 defectos.
    2. Encuentra la media y desviación estándar del número de defectos.
    Contestar
    1. 0.4562
    2. 2.5, 1.581

    Supongamos que las pasas en un pastel siguen el modelo de Poisson con un promedio de 2 pasas por pulgada cúbica. Considera una losa de pastel que mida 3 por 4 por 1 pulgadas.

    1. Encuentra la probabilidad de que no haya más de 20 pasas.
    2. Encuentra la media y desviación estándar del número de pasas.
    Contestar
    1. 0.2426
    2. 24, 4.899

    Supongamos que la ocurrencia de árboles en un bosque de cierto tipo que superan cierto tamaño crítico sigue el modelo de Poisson. En una región de media milla cuadrada del bosque hay 40 árboles que superan el tamaño especificado.

    1. Estimar el parámetro de densidad.
    2. Usando el parámetro de densidad estimada, encuentra la probabilidad de encontrar al menos 100 árboles que excedan el tamaño especificado en una región de milla cuadrada del bosque
    Contestar
    1. \(r = 80\)por milla cuadrada
    2. 0.0171

    Supongamos que los defectos en un tipo de material siguen el modelo de Poisson. Se sabe que una lámina cuadrada con longitud lateral de 2 metros contiene un defecto. Encuentra la probabilidad de que el defecto esté en una región circular del material con\(\frac{1}{4}\) medidor de radio.

    Contestar

    0.0491

    Supongamos que las pasas en un pastel siguen el modelo de Poisson. Un trozo de 6 pulgadas cúbicas del pastel con 20 pasas se divide en 3 partes iguales. Encuentra la probabilidad de que cada pieza tenga al menos 6 pasas.

    Contestar

    0.2146

    Supongamos que los defectos en una lámina de material siguen el modelo de Poisson, con un promedio de 5 defectos por metro cuadrado. Cada defecto, independientemente de los demás, es leve con probabilidad 0.5, moderado con probabilidad 0.3, o severo con probabilidad 0.2. Considera una pieza circular del material con radio de 1 metro.

    1. Dar la media y desviación estándar del número de defectos de cada tipo en la pieza.
    2. Encuentra la probabilidad de que haya al menos 2 defectos de cada tipo en la pieza.
    Contestar
    1. Leve: 7.854, 2.802; Moderado: 4.712, 2.171; Grave: 3.142, 1.772
    2. 0.7762

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