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18.4: Movimiento Browniano Geométrico

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    Teoría Básica

    El movimiento browniano geométrico, y otros procesos estocásticos construidos a partir de él, a menudo se utilizan para modelar el crecimiento de la población, los procesos financieros (como el precio de una acción a lo largo del tiempo), sujetos a ruido aleatorio.

    Definición

    Supongamos que\( \bs{Z} = \{Z_t: t \in [0, \infty)\} \) es el movimiento browniano estándar y eso\( \mu \in \R \) y\( \sigma \in (0, \infty) \). Dejar\[ X_t = \exp\left[\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) t + \sigma Z_t\right], \quad t \in [0, \infty) \] El proceso estocástico\( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) es el movimiento browniano geométrico con parámetro de deriva\( \mu \) y parámetro de volatilidad\( \sigma \).

    Tenga en cuenta que el proceso estocástico\[ \left\{\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) t + \sigma Z_t: t \in [0, \infty) \right\} \] es el movimiento browniano con parámetro de deriva\( \mu - \sigma^2 / 2 \) y parámetro de escala\( \sigma \), por lo que el movimiento browniano geométrico es simplemente el exponencial de este proceso. En particular, el proceso siempre es positivo, una de las razones por las que se utiliza el movimiento browniano geométrico para modelar procesos financieros y de otro tipo que no pueden ser negativos. Tenga en cuenta también que\( X_0 = 1 \), por lo que el proceso comienza en 1, pero podemos cambiar esto fácilmente. Para\( x_0 \in (0, \infty) \), el proceso\(\{x_0 X_t: t \in [0, \infty)\}\) es el movimiento browniano geométrico a partir de\( x_0 \). Bien puede preguntarse sobre la combinación particular de parámetros\( \mu - \sigma^2 / 2 \) en la definición. La respuesta corta a la pregunta se da en el siguiente teorema:

    El movimiento browniano geométrico\( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) satisface la ecuación diferencial estocástica\[ d X_t = \mu X_t \, dt + \sigma X_t \, dZ_t \]

    Obsérvese que la parte determinista de esta ecuación es la ecuación diferencial estándar para crecimiento exponencial o decaimiento, con parámetro de tasa\( \mu \).

    Ejecute la simulación del movimiento browniano geométrico varias veces en modo de un solo paso para varios valores de los parámetros. Tenga en cuenta el comportamiento del proceso.

    Distribuciones

    Para\( t \in (0, \infty) \),\( X_t \) tiene la distribución lognormal con parámetros\( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t \) y\( \sigma \sqrt{t} \). La función de densidad de probabilidad\( f_t \) viene dada por\[ f_t(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi t} \sigma x} \exp \left(-\frac{\left[\ln(x) - \left(\mu - \sigma^2 / 2\right)t \right]^2}{2 \sigma^2 t} \right), \quad x \in (0, \infty) \]

    1. \( f \)aumenta y luego disminuye con el modo en\( x = \exp\left[\left(\mu - \frac{3}{2} \sigma^2\right)t\right]\)
    2. \( f \)es cóncavo hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba nuevamente con puntos de inflexión en\( x = \exp\left[(\mu - \sigma^2) t \pm \frac{1}{2} \sigma \sqrt{\sigma^2 t^2 + 4 t}\right] \)
    Prueba

    Dado que la variable\(U_t = \left(\mu - \sigma^2 / 2\right) t + \sigma Z_t\) tiene la distribución normal con media\( (\mu - \sigma^2/2)t \) y desviación estándar\( \sigma \sqrt{t} \), se deduce que\( X_t = \exp(U_t) \) tiene la distribución lognormal con estos parámetros. Estos resultados para el PDF luego siguen directamente de los resultados correspondientes para el PDF lognormal.

    En particular, el movimiento browniano geométrico no es un proceso gaussiano.

    Abrir la simulación del movimiento browniano geométrico. Varíe los parámetros y anote la forma de la función de densidad de probabilidad de\( X_t \). Para varios valores de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad verdadera.

    Para\( t \in (0, \infty) \), la función\( F_t \) de distribución de\( X_t \) viene dada por\[ F_t(x) = \Phi\left[\frac{\ln(x) - (\mu - \sigma^2/2)t}{\sigma \sqrt{t}}\right], \quad x \in (0, \infty) \] donde\( \Phi \) está la función de distribución normal estándar.

    Prueba

    Nuevamente, esto se desprende directamente del CDF de la distribución lognormal.

    Para\( t \in (0, \infty) \), la función cuantil\( F_t^{-1} \) de\( X_t \) viene dada por\[ F_t^{-1}(p) = \exp\left[(\mu - \sigma^2 / 2)t + \sigma \sqrt{t} \Phi^{-1}(p)\right], \quad p \in (0, 1) \] donde\( \Phi^{-1} \) está la función cuantil normal estándar.

    Prueba

    Esto se desprende directamente de la función de cuantil lognormal.

    Momentos

    Para\( n \in \N \) y\( t \in [0, \infty) \),\[ \E\left(X_t^n\right) = \exp\left\{\left[n \mu + \frac{\sigma^2}{2}(n^2 - n)\right] t\right\} \]

    Prueba

    Esto se desprende de la fórmula para los momentos de la distribución logarítmica normal.

    En cuanto al orden del momento\( n \), el término dominante dentro de lo exponencial es\( \sigma^2 n^2 / 2 \). Si\( n \gt 1 - 2 \mu / \sigma^2 \) entonces\( n \mu + \frac{\sigma^2}{2}(n^2 - n) \gt 0 \) así\( \E(X_t^n) \to \infty \) como\( t \to \infty \). La media y varianza siguen fácilmente desde el resultado del momento general.

    Para\( t \in [0, \infty) \),

    1. \( \E(X_t) = e^{\mu t} \)
    2. \( \var(X_t) = e^{2 \mu t} \left(e^{\sigma^2 t} - 1\right) \)

    En particular, tenga en cuenta que la función media\( m(t) = \E(X_t) = e^{\mu t} \) para\( t \in [0, \infty) \) satisface la parte determinista de la ecuación diferencial estocástica anterior. Si\( \mu \gt 0 \) entonces\( m(t) \to \infty \) como\( t \to \infty \). Si\( \mu = 0 \) entonces\( m(t) = 1 \) para todos\( t \in [0, \infty) \). Si\( \mu \lt 0 \) entonces\( m(t) \to 0 \) como\( t \to \infty \).

    Abrir la simulación del movimiento browniano geométrico. La gráfica de la función media\( m \) se muestra como una curva azul en el cuadro gráfico principal. Para diversos valores de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y anote el comportamiento del proceso aleatorio en relación con la función media.

    Abrir la simulación del movimiento browniano geométrico. Varíe los parámetros y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación\( \pm \) estándar media para\( X_t \). Para diversos valores del parámetro, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media verdadera y la desviación estándar.

    Propiedades

    El parámetro\( \mu - \sigma^2 / 2 \) determina el comportamiento asintótico del movimiento browniano geométrico.

    Comportamiento asintótico:

    1. Si\( \mu \gt \sigma^2 / 2 \) entonces\( X_t \to \infty \) como\( t \to \infty \) con probabilidad 1.
    2. Si\( \mu \lt \sigma^2 / 2 \) entonces\( X_t \to 0 \) como\( t \to \infty \) con probabilidad 1.
    3. Si\( \mu = \sigma^2 / 2 \) entonces no\( X_t \) tiene límite como\( t \to \infty \) con probabilidad 1.
    Prueba

    Estos resultados se derivan de la ley del logaritmo iterativo. Asintóticamente, el término\( \left(\mu - \sigma^2 / 2\right) t \) domina el término\( \sigma Z_t \) como\( t \to \infty \).

    Es interesante comparar este resultado con el comportamiento asintótico de la función media, dada anteriormente, que depende únicamente del parámetro\( \mu \). Cuando el parámetro de deriva es 0, el movimiento browniano geométrico es una martingala.

    Si\( \mu = 0 \), el movimiento browniano geométrico\( \bs{X} \) es una martingala con respecto al movimiento browniano subyacente\( \bs{Z} \).

    Prueba de integrales estocásticas

    Esta es la prueba más sencilla. Cuando\( \mu = 0 \),\( \bs{X} \) satisface la ecuación diferencial estocástica\( d X_t = \sigma X_t \, dZ_t \) y por lo tanto\[ X_t = 1 + \sigma \int_0^t X_s \, dZ_s, \quad t \ge 0 \] El proceso asociado a una integral estocástica es siempre una martingala, asumiendo los supuestos habituales sobre el proceso integrando (que aquí se satisfacen).

    Prueba directa

    Dejar\( \mathscr{F}_t = \sigma\{Z_s: 0 \le s \le t\} \)\( t \in [0, \infty) \), así que esa\( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \) es la filtración natural asociada con\( \bs{Z} \). Déjalo\( s, \, t \in [0, \infty) \) con\( s \le t \). Utilizamos nuestro habitual truco de escritura\( Z_t = Z_s + (Z_t - Z_s) \), para aprovechar las propiedades de incrementos estacionarios e independientes del movimiento browniano. Así,\[ X_t = \exp\left[-\frac{\sigma^2}{2} t + \sigma Z_s + \sigma (Z_t - Z_s)\right] \] ya que\( Z_s \) es medible con respecto\( \mathscr{F}_s \) y\( Z_t - Z_s \) es independiente de\( \mathscr{F}_s \) tenemos\[ \E\left(X_t \mid \mathscr{F}_s\right) = \exp\left(-\frac{\sigma^2}{2} t + \sigma Z_s\right) \E\left\{\exp\left[\sigma(Z_t - Z_s)\right]\right\} \] Pero\( Z_t - Z_s \) tiene la distribución normal con media 0 y varianza\( t - s \), así a partir de la fórmula para el momento generando función de la distribución normal, tenemos\[ \E\left\{\exp\left[\sigma(Z_t - Z_s)\right]\right\} = \exp\left[\frac{\sigma^2}{2}(t - s)\right] \] Sustitución da\[ \E\left(X_t \mid \mathscr{F}_s\right) = \exp\left(-\frac{\sigma^2}{2} s + \sigma Z_s\right) = X_s \]


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