4.3: Ensayos compuestos

Ensayos compuestos y eventos de componentes

A menudo, un juicio es compuesto. Es decir, el juicio fundamental se completa realizando varios pasos. En algunos casos, los pasos se llevan a cabo secuencialmente en el tiempo. En otras situaciones, el orden de desempeño no juega un papel significativo. Algunos de los ejemplos en la unidad de Probabilidad Condicional involucran tales ensayos de múltiples pasos. Examinamos de manera más sistemática cómo modelar ensayos compuestos en términos de eventos determinados por los componentes de los ensayos. En la siguiente sección, ilustramos este enfoque en el importante caso especial de los ensayos de Bernoulli, en los que cada resultado resulta en un éxito o fracaso para lograr una condición específica.

Llamamos a los pasos individuales en los ensayos de componentes de prueba compuestos. Por ejemplo, en el experimento de voltear una moneda diez veces, nos referimos al\(i\) th lanzamiento como el\(i\) th componente de prueba. En muchos casos, los ensayos de componentes se realizarán secuencialmente en el tiempo. Pero podemos tener un experimento en el que diez monedas son volteadas simultáneamente. Para fines de análisis, imponemos un ordenamiento, generalmente asignando índices. La pregunta es cómo modelar estas repeticiones. ¿Deberían considerarse como diez ensayos de un solo experimento simple? Resulta que esta no es una formulación útil. Debemos considerar el ensayo compuesto como un único resultado, es decir, representado por un solo punto en el espacio básico\(\omega\).

Algunos autores prestan considerable atención a la naturaleza del espacio básico, describiéndolo como un espacio de producto cartesiano, correspondiendo cada coordenada a uno de los resultados componentes. Eso nos parece innecesario, y muchas veces confuso, en la configuración del modelo básico. Simplemente suponemos que el espacio básico tiene elementos suficientes para considerar cada posible resultado. Para el experimento de voltear una moneda diez veces, debe haber al menos\(2^{10} = 1024\) elementos, uno por cada posible secuencia de cabezas y colas.

De mayor importancia es describir los diversos eventos asociados con el experimento. Comenzamos por identificar los eventos componentes apropiados. Un evento componente se determina mediante proposiciones sobre los resultados del ensayo de componentes correspondiente.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\) Component events

• En el experimento de volteo de monedas, considere el evento de\(H_3\) que el tercer lanzamiento resulte en una cabeza. Cada resultado\(\omega\) del experimento puede estar representado por una secuencia\(H\) de 's y\(T\)' s, representando cabezas y colas. El evento\(H_3\) consiste en aquellos resultados representados por secuencias con\(H\) en la tercera posición. Supongamos que\(A\) es el evento de una cabeza en el tercer lanzamiento y una cola en el noveno lanzamiento. Esto consiste en aquellos resultados correspondientes a secuencias con\(H\) en la tercera posición y\(T\) en la novena. Tenga en cuenta que este evento es la intersección\(H_3 H_9^c\).
• Un ejemplo algo más complejo es el siguiente. Supongamos que hay dos cajas, cada una conteniendo algunas bolas rojas y algunas azules. El experimento consiste en seleccionar al azar una bola de la primera caja, colocarla en la segunda caja, luego hacer una selección aleatoria a partir del contenido modificado de la segunda caja. El ensayo compuesto se compone de dos selecciones de componentes. Podemos dejar que\(R_1\) sea el evento de seleccionar una bola roja en la prueba del primer componente (desde el primer cuadro), y\(R_2\) ser el evento de seleccionar una bola roja en la prueba del segundo componente. Claramente\(R_1\) y\(R_2\) son eventos componentes.

En el primer ejemplo, es razonable suponer que la clase {\(H_i: 1 \le i \le 10\)} es independiente, y la probabilidad de cada componente se suele tomar como 0.5. En el segundo caso, la asignación de probabilidades está algo más involucrada. Por un lado, es necesario conocer los números de bolas rojas y azules en cada caja antes de que comience el juicio compuesto. Cuando se conocen estos, los supuestos habituales y las propiedades de probabilidad condicional bastan para asignar probabilidades. Este enfoque de utilización de eventos componentes se utiliza tácitamente en algunos de los ejemplos de la unidad sobre Probabilidad Condicional.

Cuando se determinan eventos de componentes apropiados, varias combinaciones booleanas de estos se pueden expresar como expansiones minterm.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Cuatro personas realizan un disparo cada una contra un objetivo. Let\(E_i\) Be the event the\(i\) th shooter golpea el centro objetivo. Que\(A_3\) sea el evento exacty tres dieron en el blanco. Entonces\(A_3\) es la unión de esos minterms generados por los\(E_i\) cuales tienen tres lugares sin complementar.

\(A_3 = E_1 E_2 E_3 E_4^c \bigvee E_1 E_2 E_3^c E_4 \bigvee E_1 E_2^c E_3 E_4 \bigvee E_1^c E_2 E_3 E_4^c \)

Por lo general, podríamos asumir la\(E_i\) forma de una clase independiente. Si cada uno\(P(E_i)\) es conocido, entonces todas las probabilidades minterm se pueden calcular fácilmente.

El siguiente es un ejemplo algo más complicado de este tipo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Diez autos de carreras participan en contrarreloj para determinar las pole positions para una próxima carrera. Para calificar, deben publicar una velocidad promedio de 125 mph o más en una carrera de prueba. Que\(E_i\) sea el evento el auto\(i\) th hace velocidad clasificatoria. Parece razonable suponer que la clase {\(E_i: 1 \le i \le 10\)} es independiente. Si las probabilidades de éxito respectivas son 0.90, 0.88, 0.93, 0.77, 0.85, 0.96, 0.72, 0.83, 0.91, 0.84, ¿cuál es la probabilidad de que\(k\) o más califiquen (\(k = 6, 7, 8, 9, 10\))?

Solución

Deja\(A_k\) que el evento\(k\) califique exactamente. La clase {\(E_i: 1 \le i \le 10\)} genera\(2^{10} = 1024\) minterms. El evento\(A_k\) es la unión de esos minterms que tienen exactamente\(k\) lugares sin complementar. El evento\(B_k\) que\(k\) o más califican es dado por

\(B_k = \bigvee_{r = k}^{n} A_r\)

La tarea de computar y sumar las probabilidades minterm a mano sería tediosa, por decir lo menos. Sin embargo, podemos usar la función ckn, introducida en la unidad en MATLAB y Clases Independientes e ilustrada en el Ejemplo 4.4.2, para determinar las probabilidades deseadas de forma rápida y sencilla.

>> P = [0.90, 0.88, 0.93, 0.77, 0.85, 0.96,0.72, 0.83, 0.91, 0.84];
>> k = 6:10;
>> PB = ckn(P,k)
PB =   0.9938    0.9628    0.8472    0.5756    0.2114

Se considera un abordaje alternativo en el tratamiento de variables aleatorias.

Los ensayos de Bernoulli y la distribución binomial

Muchos ensayos compuestos pueden describirse como una secuencia de ensayos de éxito y fracaso. Para cada ensayo componente en la secuencia, el resultado es uno de dos tipos. Uno designamos un éxito y el otro un fracaso. Los ejemplos abundan: cabezas o colas en una secuencia de volteos de monedas, favorecen o desaprueban una proposición en una muestra de encuesta, y los artículos de una línea de producción cumplen o no cumplen con las especificaciones en una secuencia de comprobaciones de control de calidad. Para representar la situación, dejamos\(E_i\) ser el evento de un éxito en el ensayo del componente\(i\) th en la secuencia. El evento de una falla en el juicio del componente\(i\) th es así\(E_i^c\).

En muchos casos, se modela la secuencia como una secuencia de Bernoulli, en la que los resultados de los sucesivos ensayos de componentes son independientes y tienen las mismas probabilidades. Así, formalmente, una secuencia de juicios de éxito-fracaso es Bernoulli iff

La clase {\(E_i: 1 \le i\)} es independiente.
La probabilidad\(P(E_i) = p\), invariante con\(i\).

Simulación de ensayos de Bernoulli

Frecuentemente es deseable simular ensayos de Bernoulli. Al voltear monedas, enrollar un dado con varios números de lados (como se usa en ciertos juegos), o usar hilanderos, es relativamente fácil llevarlo a cabo físicamente. Sin embargo, si el número de ensayos es grande, digamos varios cientos, el proceso puede llevar mucho tiempo. También, existen limitaciones en los valores de\(p\), la probabilidad de éxito. Tenemos un procedimiento m de dos partes conveniente para simular secuencias de Bernoulli. La primera parte, llamada btdata, establece los parámetros. El segundo, llamado\(bt\), utiliza el generador de números aleatorios en MATLAB para producir una secuencia de ceros y unos (para fallas y éxitos). Las llamadas repetidas para bt producen nuevas secuencias.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

>> btdata
Enter n, the number of trials  10
Enter p, the probability of success on each trial  0.37
 Call for bt
 >> bt
n = 10   p = 0.37     % n is kept small to save printout space
Frequency = 0.4
To view the sequence, call for SEQ
>> disp(SEQ)          % optional call for the sequence
     1     1               
     2     1               
     3     0               
     4     0               
     5     0              
     6     0
     7     0
     8     0
     9     1
    10     1

Las llamadas repetidas para bt producen nuevas secuencias con los mismos parámetros.

Para ilustrar el poder del programa, se utilizó para realizar una ejecución de 100,000 ensayos de componentes, con probabilidad\(p\) de éxito 0.37, como arriba. Los sucesivos ciclos dieron frecuencias relativas 0.37001 y 0.36999. A menos que el generador de números aleatorios sea “sembrado” para hacer el mismo punto de partida cada vez, las ejecuciones sucesivas darán diferentes secuencias y generalmente frecuencias relativas diferentes.

La distribución binomial

Un problema básico en las secuencias de Bernoulli es determinar la probabilidad de\(k\) éxitos en ensayos de\(n\) componentes. Dejamos\(S_n\) ser el número de éxitos en los\(n\) ensayos. Se trata de un caso especial de una variable aleatoria simple, que estudiamos con más detalle en el capítulo sobre "Variables y Probabilidades Aleatorias”.

Caracterizemos los acontecimientos\(A_{kn} = \{S_n = k\}\),\(0 \le k \le n\). Como se señaló anteriormente, el evento\(A_{kn}\) de exactamente\(k\) éxitos es la unión de los minterms generados por {\(E_i: 1 \le i\)} en los que hay\(k\) éxitos (representados por\(k\) no complementados\(E_i\)) y\(n - k\) fracasos (representados por\(n - k\) complementados\(E_i^c\)). Las combinatorias simples muestran que hay\(C(n,k)\) formas de elegir los\(k\) lugares a descomplementar. De ahí que entre los\(2^n\) minterms, hay los\(C(n, k) = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}\) que tienen\(k\) lugares sin complementar. Cada uno de esos minterm tiene probabilidad\(p^k (1 - p)^{n -k}\). Dado que los minterms son mutuamente excluyentes, se suman sus probabilidades. Concluimos que

\(P(S_n = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^{n - k} = C(n, k) p^k q^{n - k}\)donde\(q = 1 - p\) para\(0 \le k \le n\)

Estas probabilidades y los valores correspondientes forman la distribución para\(S_n\). Esta distribución se conoce como la distribución binomial, con parámetros (\(n, p\)). Acortamos esto a binomial (\(n, p\)), y a menudo escribimos\(S_n\) ~ binomial (\(n, p\)). Un conjunto relacionado de probabilidades es\(P(S_n \ge k) = P(B_{kn})\),\(0 \le k \le n\). Si el número\(n\) de ensayos de componentes es pequeño, el cálculo directo de las probabilidades es fácil con calculadoras manuales.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\) A reliability problem

Un dispositivo remoto tiene cinco componentes similares que fallan independientemente, con iguales probabilidades. El sistema permanece operativo si tres o más de los componentes están operativos. Supongamos que cada unidad permanece activa por un año con probabilidad 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema permanezca operativo tanto tiempo?

Solución

\(P = C(5, 3) 0.8^3 \cdot 0.2^2 + C(5, 4) 0.8^4 \cdot 0.2 + C(5, 5) 0.8^5 = 10 \cdot 0.8^3 \cdot 0.2^2 + 5 \cdot 0.8^4 \cdot 0.2 + 0.8^5 = 0.9421\)

Debido a que las secuencias de Bernoulli se utilizan en tantas situaciones prácticas como modelos para ensayos de éxito-fracaso, las probabilidades\(P(S_n = k)\) y\(P(S_n \ge k)\) han sido calculadas y tabuladas para una variedad de combinaciones de los parámetros (\(n, p\)). Tales tablas se encuentran en la mayoría de los manuales matemáticos. A las tablas de\(P(S_n = k)\) se les suele dar un título como distribución binomial, términos individuales. Las tablas de\(P(S_n \ge k)\) tienen una designación como distribución binomial, términos acumulativos. Tenga en cuenta, sin embargo, algunas tablas para términos acumulativos dan\(P(S_n \le k)\). Se debe tener cuidado en anotar qué convención se utiliza.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\) A reliability problem

Consideremos nuevamente el sistema del Ejemplo 5, anterior. Supongamos que intentamos ingresar una tabla de Términos Acumulados, Distribución Binomial en\(n = 5\)\(k = 3\), y\(p = 0.8\). La mayoría de las mesas no tendrán probabilidades mayores a 0.5. En este caso, podemos trabajar con fallas. Acabamos de intercambiar el papel de\(E_i\) y\(E_i^c\). Así, el número de fallas tiene la distribución binomial (\(n, p\)). Ahora hay tres o más éxitos si no hay tres o más fracasos. Vamos a la tabla de términos acumulados en\(n = 5\),\(k = 3\), y\(p = 0.2\). La entrada de probabilidad es 0.0579. La probabilidad deseada es 1 - 0.0579 = 0.9421.

En general, hay\(k\) o más éxitos en los\(n\) ensayos si no hay\(n - k + 1\) o más fracasos.

m-funciones para probabilidades binomiales

Si bien las tablas son convenientes para el cálculo, imponen serias limitaciones a los valores de los parámetros disponibles, y cuando los valores se encuentran en una tabla, aún deben ingresarse en el problema. Afortunadamente, tenemos convenientes funciones m para estas distribuciones. Cuando MATLAB está disponible, es mucho más fácil generar las probabilidades necesarias que buscarlas en una tabla, y los números se ingresan directamente en el espacio de trabajo de MATLAB. Y tenemos gran libertad en la selección de valores de parámetros. Por ejemplo podemos usar\(n\) de mil o más, mientras que las mesas suelen estar limitadas a\(n\) 20, o como máximo a 30. Las dos funciones m para calcular\(P(A_{kn}\) y\(P(B_{kn}\) son

\(P(A_{kn})\)se calcula por y = ibinom (n, p, k), donde\(k\) es un vector de fila o columna de enteros entre 0 y\(n\). El resultado\(y\) es un vector de fila del mismo tamaño que\(k\).

\(P(B_{kn})\)se calcula por y = cbinom (n, p, k), donde\(k\) es un vector de fila o columna de enteros entre 0 y\(n\). El resultado\(y\) es un vector de fila del mismo tamaño que\(k\).

Ejemplo\(\PageIndex{7}\) Use of m-functions ibinom and cbinom

Si\(n = 10\) y\(p = 0.39\), determinar\(P(A_{kn})\) y\(P(B_{kn})\) para\(k = 3, 5, 6, 8\).

>> p = 0.39;
>> k = [3 5 6 8];
>> Pi = ibinom(10,p,k)  % individual probabilities
Pi = 0.2237    0.1920    0.1023    0.0090
>> Pc = cbinom(10,p,k)  % cumulative probabilities
Pc = 0.8160    0.3420    0.1500    0.0103

Tenga en cuenta que hemos utilizado la probabilidad\(p = 0.39\). Es bastante improbable que una tabla tenga esta probabilidad. Aunque solo usamos\(n = 10\), frecuentemente es deseable usar valores de varios cientos. Las funciones m funcionan bien para\(n\) hasta 1000 (e incluso mayores para valores pequeños de p o para valores muy cercanos a uno). De ahí que exista una gran libertad de las limitaciones de las mesas. Si se desea una tabla con un rango específico de valores, un procedimiento m llamado binomio produce dicha tabla. El uso de grandes\(n\) plantea la cuestión de la acumulación de errores en sumas o productos. El nivel de precisión en los cálculos de MATLAB es suficiente para que tales errores de redondeo estén muy por debajo de las preocupaciones prácticas.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

>> binomial                              % call for procedure
Enter n, the number of trials  13
Enter p, the probability of success  0.413
Enter row vector k of success numbers  0:4
    n            p
   13.0000    0.4130
       k      P(X=k)    P(X>=k)
         0    0.0010    1.0000
    1.0000    0.0090    0.9990
    2.0000    0.0379    0.9900
    3.0000    0.0979    0.9521
    4.0000    0.1721    0.8542

Observación. Si bien el binomio m-procedimiento es útil para construir una tabla, generalmente no es tan conveniente para problemas como las funciones m ibinom o cbinom. Estos últimos calculan los valores deseados y los ponen directamente en el espacio de trabajo de MATLAB.

Ensayos conjuntos de Bernoulli

Los ensayos de Bernoulli pueden utilizarse para modelar una variedad de problemas prácticos. Uno de ellos es comparar los resultados de dos secuencias de ensayos de Bernoulli realizados de manera independiente. El siguiente ejemplo simple ilustra el uso de MATLAB para esto.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\) A joint Bernoulli trial

Bill y Mary se llevan diez tiros libres de basquetbol cada uno. Suponemos que las dos secuencias de ensayos son independientes entre sí, y cada una es una secuencia de Bernoulli.

María: Tiene probabilidad de 0.80 de éxito en cada ensayo.

Bill: Tiene probabilidad 0.85 de éxito en cada juicio.

¿Cuál es la probabilidad de que Mary realice más tiros libres que Bill?

Solución

Tenemos dos secuencias de Bernoulli, operando de forma independiente.

María:\(n = 10\),\(p = 0.80\)

Factura:\(n = 10\),\(p = 0.85\)

Let

\(M\)ser el evento que Mary gana

\(M_k\)sea el evento que María haga\(k\) o más filas libres.

\(B_j\)sea el evento Bill hace exactamente\(j\) reethrows

Entonces Mary gana si Bill no hace ninguno y Mary hace uno o más, o Bill hace uno y Mary hace dos o más, etc. Así

\(M = B_0 M_1 \bigvee B_1 M_2 \bigvee \cdot \cdot \cdot \bigvee B_9 M_{10}\)

y

\(P(M) = P(B_0) P(M_1) + P(B_1) P(M_2) + \cdot \cdot \cdot + P(B_9) P(M_{10})\)

Utilizamos cbinom para calcular las probabilidades acumuladas para Mary e ibinom para obtener las probabilidades individuales para Bill.

>> pm = cbinom(10,0.8,1:10);     % cumulative probabilities for Mary
>> pb = ibinom(10,0.85,0:9);     % individual probabilities for Bill
>> D = [pm; pb]'                 % display: pm in the first column
   D =                           % pb in the second column
    1.0000    0.0000
    1.0000    0.0000
    0.9999    0.0000             
    0.9991    0.0001
    0.9936    0.0012
    0.9672    0.0085
    0.8791    0.0401
    0.6778    0.1298
    0.3758    0.2759
    0.1074    0.3474

Para encontrar la probabilidad de\(P(M)\) que María gane, necesitamos multiplicar cada una de estas parejas juntas, luego sumar. Esto es solo el producto escalar o punto, que calcula MATLAB con el comando\(pm * pb'\). Podemos combinar la generación de las probabilidades y la multiplicación en un solo comando:

>> P = cbinom(10,0.8,1:10)*ibinom(10,0.85,0:9)'
   P = 0.273

La facilidad y simplicidad del cálculo con MATLAB hacen factible considerar el efecto de diferentes valores de n. ¿Hay un número óptimo de tiros para Mary? ¿Por qué debería haber un óptimo?

Un tratamiento alternativo de este problema en la unidad de Variables Aleatorias Independientes utiliza técnicas para variables aleatorias simples independientes.

Implementaciones alternativas de MATLAB

Implementaciones alternativas de las funciones para cálculos de probabilidad se encuentran en el Paquete Estadístico disponible como paquete complementario. Hemos utilizado nuestra formulación, de modo que solo se necesita el paquete básico de MATLAB.