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5.3: Problemas en la Independencia Condicional

  • Page ID
    151080
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Supongamos\(\{A., B\}\) ci\(|C\) y\(\{A, B\}\) ci\(|C^c\),\(P(C) = 0.7\), y

    \(P(A|C) = 0.4\),\(P(B|C) = 0.6\),\(P(A|C^c) = 0.3\),\(P(B|C^c) = 0.2\)

    Mostrar si el par\(\{A., B\}\) es independiente o no.

    Contestar

    \(P(A) = P(A|C) P(C) + P(A|C^c)P(C^c)\),\(P(B) = P(B|C)P(C)\) + P (B|C^C) P (C^C)\), y

    \(P(AB) = P(A|C) P(B|C) P(C) + P(A|C^c) P(B|C^c) P(B|C^c)P(C^c)\)

    PA = 0.4*0.7 + 0.3*0.3
    PA =  0.3700
    PB = 0.6*0.7 + 0.2*0.3
    PB =  0.4800
    PA*PB
    ans = 0.1776
    PAB = 0.4*0.6*0.7 + 0.3*0.2*0.3
    PAB = 0.1860       % PAB not equal PA*PB;  not independent

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Supongamos\(\{A_1, A_2, A_3\}\) ci\(|C\) y ci\(|C^c\), con\(P(C) = 0.4\), y

    \(P(A_i|C) = 0.90, 0.85, 0.80\)\(P(A_i|C^c) = 0.20, 0.15, 0.20\)para\(i = 1, 2, 3\), respectivamente

    Determinar las probabilidades posteriores\(P(C|A_1A_2^cA_3)/P(C^c|A_1A_2^cA_3)\).

    Contestar

    \(\dfrac{P(C|A_1A_2^cA_3)}{P(C^c|A_1A_2^cA_3)} = \dfrac{P(C)}{P(C^c)} \cdot \dfrac{P(A_1C) P(A_2^c|C) P(A_3|C)}{P(A_1|C^c) P(A_2^c|C^c) P(A_3|C^c)}\)

    \(=\dfrac{0.4}{0.6} \cdot \dfrac{0.9 \cdot 0.15 \cdot 0.80}{0.20 \cdot 0.85 \cdot 0.20} = \dfrac{108}{51} = 2.12\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Cinco velocistas de clase mundial se introducen en un guión de 200 metros. Cada uno tiene una buena oportunidad de romper el récord actual. Hay un treinta por ciento de posibilidades de que un frente frío tardío se mueva adentro, trayendo condiciones que afectan negativamente a los corredores. De lo contrario, se espera que las condiciones sean favorables para una carrera sobresaliente. Sus respectivas probabilidades de romper el récord son:

    • Buen clima (sin frente): 0.75, 0.80, 0.65, 0.70, 0.85
    • Mal clima (delante): 0.60, 0.65, 0.50, 0.55, 0.70

    Las actuaciones son (condicionalmente) independientes, dado el buen clima, y también, dado el mal tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que tres o más rompan el récord?

    Sugerencia. Si\(B_3\) es el evento de tres o más,\(P(B_3) = P(B_3|W) P(W) + P(B_3|W^c) P(W^c)\).

    Contestar
    PW = 0.01*[75 80 65 70 85];
    PWc = 0.01*[60 65 50 55 70];
    P = ckn(PW,3)*0.7 + ckn(PWc,3)*0.3
    P =  0.8353

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Un dispositivo tiene cinco sensores conectados a un sistema de alarma. La alarma se da si tres o más de los sensores activan un interruptor. Si hay una condición peligrosa, cada uno de los interruptores tiene alta (pero no unidad) probabilidad de activación; si la condición peligrosa no existe, cada uno de los interruptores tiene baja (pero no cero) probabilidad de activación (falsamente). Supongamos que\(D =\) el evento de la condición peligrosa y\(A =\) el evento la alarma está activada. El correcto funcionamiento consiste en\(AD \bigvee A^cD^c\). Supongamos que\(E_i =\) el evento se activa la unidad\(i\) th. Dado que los interruptores funcionan de forma independiente, suponemos

    \(\{E_1, E_2, E_3, E_4, E_5\}\)ci\(|D\) y ci\(|D^c\)

    Supongamos que las probabilidades condicionales de la\(E_1\)\(D\), dadas, son 0.91, 0.93, 0.96, 0.87, 0.97, y dadas\(D^c\), son 0.03, 0.02, 0.07, 0.04, 0.01, respectivamente. Si\(P(D) = 0.02\), ¿cuál es la probabilidad de que el sistema de alarma actúe correctamente? Sugerencia. Utilizar la independencia condicional y el procedimiento ckn.

    Contestar
    P1 = 0.01*[91 93 96 87 97];
    P2 = 0.01*[3 2 7 4 1];
    P  = ckn(P1,3)*0.02 + (1 - ckn(P2,3))*0.98
    P =  0.9997

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Siete estudiantes planean completar un trabajo de término sobre el receso de Acción de Gracias. Trabajan de manera independiente; sin embargo, la probabilidad de finalización depende del clima. Si el clima es muy agradable, es más probable que participen en actividades al aire libre y pospongan el trabajo en el papel. Que\(E_i\) sea el evento el\(i\) estudiante complete su trabajo,\(A_k\) sea el evento que\(k\) o más completo durante el receso, y W sea el evento el clima es altamente propicio para la actividad al aire libre. Es razonable suponer\(\{E_i: 1 \le i \le 7\}\) y ci\(|W^c\). Supongamos

    \(P(E_i|W) = 0.4, 0.5, 0.3, 0.7, 0.5, 0.6, 0.2\)

    \(P(E_i|W^c) = 0.7, 0.8, 0.5, 0.9, 0.7, 0.8, 0.5\)

    respectivamente, y\(P(W) = 0.8\). Determinar la probabilidad de\(P(A_4)\) que cuatro nuestros más completen sus trabajos y\(P(A_5)\) que cinco o más terminen.

    Contestar
    PW = 0.1*[4 5 3 7 5 6 2];
    PWc = 0.1*[7 8 5 9 7 8 5];
    PA4 = ckn(PW,4)*0.8 + ckn(PWc,4)*0.2
    PA4 =  0.4993
    PA5 = ckn(PW,5)*0.8 + ckn(PWc,5)*0.2
    PA5 =  0.2482

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Un fabricante afirma haber mejorado la confiabilidad de su producto. Anteriormente, el producto tenía probabilidad 0.65 de operar 1000 horas sin falla. El fabricante afirma que esta probabilidad es ahora de 0.80. Se prueba una muestra de tamaño 20. Determinar las probabilidades que favorecen la nueva probabilidad para varios números de unidades supervivientes bajo el supuesto de que las probabilidades anteriores son de 1 a 1. ¿Cuántos supervivientes se requerirían para acreditar la reclamación?

    Contestar

    \(E_1\)Sea el evento la probabilidad es 0.80 y\(E_2\) ser el evento la probabilidad es 0.65. Asumir\(P(E_1)/P(E_2) = 1\).

    \(\dfrac{P(E_1 |S_n = k)}{P(E_2|S_n = k)} = \dfrac{P(E_1)}{P(E_2)} \cdot \dfrac{P(S_n = k| E_1)}{P(S_n = k|E_2)}\)

    k = 1:20;
    odds = ibinom(20,0.80,k)./ibinom(20,0.65,k);
    disp([k;odds]')
    - - - - - - - - - - - -
       13.0000    0.2958
       14.0000    0.6372
       15.0000    1.3723   % Need at least 15 or 16 successes
       16.0000    2.9558
       17.0000    6.3663
       18.0000   13.7121
       19.0000   29.5337
       20.0000   63.6111

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Un agente de bienes raíces en un barrio densamente poblado por profesionales ricos está trabajando con un cliente. El agente está tratando de evaluar la probabilidad de que el cliente realmente compre. Su experiencia indica lo siguiente: si H es el evento que compra el cliente, S es el evento el cliente es un profesional con buenos ingresos, y E es el evento que el cliente conduce un auto de prestigio, entonces

    \(P(S) = 0.7\)\(P(S|H) = 0.90\)\(P(S|H^c) = 0.2\)\(P(E|S) = 0.95\)\(P(E|S^c) = 0.25\)

    Ya que comprar una casa y poseer un auto de prestigio no están relacionados para un propietario dado, parece razonable suponer\(P(E|HS) = P(E|H^cS)\) y\(P(E|HS^c) = P(E|H^cS^c)\). El cliente maneja un Cadillac. ¿Cuáles son las probabilidades de que compre una casa?

    Contestar

    Los supuestos ascienden a\(\{H, E\}\) ci\(|S\) y ci\(|S^c\).

    \(\dfrac{P(H|S)}{P(H^c|S)} = \dfrac{P(H) P(S|H)}{P(H^c) P(S|H^c)}\)

    \(P(S) = P(H) P(S|H) + [1 - P(H)] P(S|H^c)\)lo que implica

    \(P(H) = \dfrac{P(S) - P(S|H^c)}{P(S|H) - P(S|H^c)} = 5/7\)para que\(\dfrac{P(H|S)}{P(H^c|S)} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{0.9}{0.2} = \dfrac{45}{4}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Al decidir si perforar o no un pozo petrolero en un lugar determinado, una empresa realiza un levantamiento geofísico. Sobre la base de la experiencia pasada, los tomadores de decisiones sienten que las probabilidades son alrededor de cuatro a uno favoreciendo el éxito. Varias otras probabilidades pueden asignarse sobre la base de la experiencia pasada. Let

    • \(H\)ser el evento de que un pozo sería exitoso
    • \(S\)sea el caso de que las condiciones geológicas sean favorables
    • \(E\)sea el caso de que los resultados de la encuesta geofísica sean positivos

    Las probabilidades iniciales, o anteriores, son\(P(H)/P(H^c) = 4\). Experiencia previa indica

    \(P(S|H) = 0.9\)\(P(S|H^c) = 0.20\)\(P(E|S) = 0.95\)\(P(E|S^c) = 0.10\)

    Hacer suposiciones razonables con base en que el resultado del levantamiento geofísico depende de las formaciones geológicas y no de la presencia o ausencia de petróleo. El resultado de la encuesta es favorable. Determinar las probabilidades posteriores\(P(H|E)/P(H^c|E)\).

    Contestar

    \(\dfrac{P(H|E)}{P(H^c|E)} = \dfrac{P(H)}{P(H^c)} \cdot \dfrac{P(S|H) P(E|S) + P(S^c|H) P(E|S^c)}{P(S|H^c) P(E|S) + P(S^c|H^c) P(E|S^c)}\)

    \(= 4 \cdot \dfrac{0.90 \cdot 0.95 + 0.10 \cdot 0.10}{0.20 \cdot 0.95 + 0.80 \cdot 0.10} = 12.8148\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Una firma de software planea entregar un paquete personalizado. La experiencia pasada indica que las probabilidades son al menos cuatro a una de que pase las pruebas de aceptación del cliente. Como comprobación, el programa se somete a dos ejecuciones de referencia diferentes. Ambos son exitosos. Dados los siguientes datos, ¿cuáles son las probabilidades que favorecen una operación exitosa en la práctica? Let

    • \(H\)ser el evento el rendimiento es satisfactorio
    • \(S\)sea el evento en que el sistema satisfaga las pruebas de aceptación del cliente
    • \(E_1\)ser el caso de que las primeras pruebas de referencia sean satisfactorias.
    • \(E_2\)sea el evento que la segunda prueba de referencia esté bien.

    Bajo las condiciones habituales, podemos asumir\(\{H, E_1, E_2\}\) ci\(|S\) y ci\(|S^c\). Demostrar datos de confiabilidad

    \(P(H|S) = 0.95\),\(P(H|S^c) = 0.45\)

    \(P(E_1|S) = 0.90\)\(P(E_1|S^c) = 0.25\)\(P(E_2|S) = 0.95\)\(P(E_2|S^c) = 0.20\)

    Determinar las probabilidades posteriores\(P(H|E_1E_2)/P(H^c|E_1E_2)\).

    Contestar

    \(\dfrac{P(H|E_1 E_2)}{P(H^c|E_1E_2)} = \dfrac{P(HE_1E_2S) + P(HE_1E_2S^c)}{P(H^cE_1E_2 S) + P(H^cE_1E_2S^c)}\)

    \(= \dfrac{P(S) P(H|S) P(E_1|S) P(E_2|S) + P(S^c) P(H|S^c) P(E_1|S^c) P(E_2|S^c)}{P(S) P(H^c|S) P(E_1|S) P(E_2|S) + P(S^c) P(H^c|S^c) P(E_1|S^c) P(E_2|S^c)}\)

    \(= \dfrac{0.80 \cdot 0.95 \cdot 0.90 \cdot 0.95 + 0.20 \cdot 0.45 \cdot 0.25 \cdot 0.20}{0.80 \cdot 0.05 \cdot 0.90 \cdot 0.95 + 0.20 \cdot 0.55 \cdot 0.25 \cdot 0.20} = 16.64811\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Un grupo de investigación está contemplando la compra de un nuevo paquete de software para realizar algunos cálculos especializados. El administrador de sistemas decide hacer dos conjuntos de pruebas de diagnóstico para detectar errores significativos que puedan obstaculizar la operación en la aplicación prevista. Las pruebas se llevan a cabo de manera operacionalmente independiente. Se realiza el siguiente análisis de los resultados.

    • \(H\)= el evento en el que el programa es satisfactorio para la aplicación prevista
    • \(S\)= el evento en el que el programa está libre de errores significativos
    • \(E_1\)= el evento las primeras pruebas diagnósticas son satisfactorias
    • \(E_2\)= el evento las segundas pruebas diagnósticas son satisfactorias

    Dado que las pruebas son para la presencia de bugs, y son operacionalmente independientes, parece razonable asumir\(\{H, E_1, E_2\}\) ci\(|S\) y\(\{H, E_1, E_2\}\) ci\(|S^c\). Debido a la confiabilidad de la compañía de software, piensa el gerente\(P(S) = 0.85\). Además, la experiencia sugiere

    \(P(H|S) = 0.95\) \(P(E_1|S) = 0.90\) \(P(E_2|S) = 0.95\)
    \(P(H|S^c) = 0.30\) \(P(E_1|S^c) = 0.20\) \(P(E_2|S^c) = 0.25\)

    Determinar las probabilidades posteriores favoreciendo\(H\) si los resultados de ambas pruebas diagnósticas son satisfactorios.

    Contestar

    \(\dfrac{P(H|E_1E_2)}{P(H^c|E_1 E_2)} = \dfrac{P(HE_1E_2S) + P(HE_1E_2S^c)}{P(H^cE_1E_2S) + P(H^cE_1E_2S^c)}\)

    \(P(HE_1E_2S) = P(S) P(H|S) P(E_1|SH) P(E_2|SHE_1) = P(S) P(H|S) P(E_1|S) P(E_2|S)\)

    con expresiones similares para los demás términos.

    \(\dfrac{P(H|E_1E_2)}{P(H^c|E_1E_2)} = \dfrac{0.85 \cdot 0.95 \cdot 0.90 \cdot 0.95 + 0.15 \cdot 0.30 \cdot 0.25 \cdot 0.20}{0.85 \cdot 0.05 \cdot 0.90 \cdot 0.95 + 0.15 \cdot 0.70 \cdot 0.25 \cdot 0.20} = 16.6555\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Una empresa está considerando un nuevo producto que ahora está siendo sometido a pruebas de campo. Let

    • \(H\)sea el evento en el que el producto sea introducido y exitoso
    • \(S\)sea el evento en el que el grupo de I+D produzca un producto con las características deseadas.
    • \(E\)ser el caso de que el programa de pruebas indique que el producto es satisfactorio

    La empresa asume\(P(S) = 0.9\) y las probabilidades condicionales

    \(P(H|S) = 0.90\)\(P(H|S^c) = 0.10\)\(P(E|S) = 0.95\)\(P(E|S^c) = 0.15\)

    Dado que las pruebas de la mercancía no se ven afectadas por el éxito o fracaso del mercado, parece razonable suponer\(\{H, E\}\) ci\(|S\) y ci\(|S^c\). Las pruebas de campo son favorables. Determinar\(P(H|E)/P(H^c|E)\).

    Contestar

    \(\dfrac{P(H|E)}{P(H^c |E)} = \dfrac{P(S) P(H|S) P(E|S) + P(S^c) P(H|S^c) P(E|S^c)}{P(S) P(H^c|S) P(E|S) + P(S^c) P(H^c|S^c) P(E|S^c)}\)

    \(= \dfrac{0.90 \cdot 0.90 \cdot 0.95 + 0.10 \cdot 0.10 \cdot 0.15}{0.90 \cdot 0.10 \cdot 0.95 + 0.10 \cdot 0.90 \cdot 0.15} = 7.7879\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Martha se pregunta si obtendrá un aumento anual del cinco por ciento al final del año fiscal. Ella entiende que esto es más probable si las ganancias netas de la compañía aumentan un diez por ciento o más. Estos estarán influenciados por el volumen de ventas de la compañía. Let

    • \(H\)= el evento ella conseguirá el aumento
    • \(S\)= las ganancias de la empresa del evento aumentan en diez por ciento o más
    • \(E\)= el volumen de ventas del evento ha subido un quince por ciento o más

    Dado que la perspectiva de un aumento depende de las ganancias, no directamente de las ventas, ella supone\(\{H, E\}\) ci\(|S\) y\(\{H, E\}\) ci\(|S^c\). Ella piensa que las probabilidades anteriores que favorecen un aumento de ganancias adecuado son de aproximadamente tres a uno. Además, parece razonable suponer

    \(P(H|S) = 0.80\)\(P(H|S^c) = 0.10\)\(P(E|S) = 0.95\)\(P(E|S^c) = 0.10\)

    Los registros de fin de año muestran que las ventas aumentaron dieciocho por ciento. ¿Cuál es la probabilidad de que Martha consiga su aumento?

    Contestar

    \(\dfrac{P(H|E)}{P(H^c |E)} = \dfrac{P(S) P(H|S) P(E|S) + P(S^c) P(H|S^c) P(E|S^c)}{P(S) P(H^c|S) P(E|S) + P(S^c) P(H^c|S^c) P(E|S^c)}\)

    \(= \dfrac{0.75 \cdot 0.80 \cdot 0.95 + 0.25 \cdot 0.10 \cdot 0.10}{0.75 \cdot 0.20 \cdot 0.95 + 0.25 \cdot 0.90 \cdot 0.10} = 3.4697\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Un médico piensa que las probabilidades son de aproximadamente 2 a 1 de que un paciente tenga cierta enfermedad. Busca el asesoramiento “independiente” de tres especialistas. \(H\)Sea el evento en el que la enfermedad esté presente, y\(A, B, C\) sean los eventos los consultores respectivos coincidan en que este es el caso. El médico decide acudir con la mayoría. Dado que los asesores actúan de manera operacionalmente independiente, parece razonable suponer\(\{A, B, C\}\) ci\(|H\) y ci\(|H^c\). La experiencia indica

    \(P(A|H) = 0.8\),\(P(B|H) = 0.7\),\(P(C|H) - 0.75\)

    \(P(A^c|H^c) = 0.85\),\(P(B^c|H^c) = 0.8\),\(P(C^c|H^c) = 0.7\)

    ¿Cuál es la probabilidad de la decisión correcta (es decir, trata la enfermedad si dos o más piensan que está presente, y no si dos o más piensan que la enfermedad no está presente)?

    Contestar
    PH = 0.01*[80 70 75];
    PHc = 0.01*[85 80 70];
    pH = 2/3;
    P  = ckn(PH,2)*pH + ckn(PHc,2)*(1 - pH)
    P =  0.8577

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Una compañía de software ha desarrollado un nuevo juego de computadora diseñado para atraer a adolescentes y adultos jóvenes. Se considera que hay buena probabilidad de que atraiga a los universitarios, y que si apela a los universitarios apelará a un mercado juvenil general. Para verificar la probabilidad de apelación a estudiantes universitarios, se decide probar primero mediante una campaña de ventas en Rice y la Universidad de Texas, Austin. Se realiza el siguiente análisis de la situación.

    • \(H\)= el evento las ventas al mercado general serán buenas
    • \(s\)= el evento que el juego apela a estudiantes universitarios
    • \(E_1\)= el evento las ventas son buenas en Rice
    • \(E_2\)= el evento las ventas son buenas en UT, Austin

    Dado que las pruebas son para la recepción son en dos universidades separadas y son operacionalmente independientes, parece razonable asumir\(\{H, E_1, E_2\}\) ci\(|S\) y\(\{H, E_1, E_2\}\) ci\(|S^c\). Por su experiencia previa en ventas de juegos, piensan los gerentes\(P(S) = 0.80\). Además, la experiencia sugiere

    \(P(H|S) = 0.95\) \(P(E_1|S) = 0.90\) \(P(E_2|S) = 0.95\)
    \(P(H|S^c) = 0.30\) \(P(E_1|S^c) = 0.20\) \(P(E_2|S^c) = 0.25\)

    Determinar las probabilidades posteriores favoreciendo\(H\) si los resultados de ventas son satisfactorios en ambas escuelas.

    Contestar

    \(\dfrac{P(H|E_1E_2)}{P(H^c|E_1E_2)} = \dfrac{P(HE_1E_2S) + P(HE_1E_2S^c)}{P(H^cE_1E_2S) + P(H^cE_1E_2S^c)}\)

    \(= \dfrac{P(S) P(H|S) P(E_1|S) P(E_2|S) + P(S^c) P(H|S^c) P(E_1|S^c) P(E_2|S^c)}{P(S) P(H^c|S) P(E_1|S) P(E_2|S) + P(S^c) P(H^c|S^c) P(E_1|S^c) P(E_2|S^c)}\)

    \(= \dfrac{0.80 \cdot 0.95 \cdot 0.90 \cdot 0.95 + 0.20 \cdot 0.30 \cdot 0.20 \cdot 0.25}{0.80 \cdot 0.05 \cdot 0.90 \cdot 0.95 + 0.20 \cdot 0.70 \cdot 0.20 \cdot 0.25} = 15.8447\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    En una región de la costa del Golfo, es muy probable que los depósitos de petróleo estén asociados con domos subterráneos de sal. Si\(H\) es el evento de que un depósito de petróleo está presente en una zona, y\(S\) es el evento de una cúpula de sal en la zona, la experiencia indica\(P(S|H) = 0.9\) y\(P(S|H^c) = 1\). Ejecutivos de la compañía creen que las probabilidades que favorecen al petróleo en la zona son al menos 1 de cada 10. Decide realizar dos encuestas geofísicas independientes para detectar la presencia de una cúpula de sal. \(E-1, E_2\)Dejen ser los eventos que las encuestas indican una cúpula de sal. Debido a que los levantamientos son pruebas para la estructura geológica, no la presencia de petróleo, y las pruebas se realizan de manera operacionalmente independiente, parece razonable asumir\(\{H, E_1, E_2\}\) ci\(|S\) y ci\(|S^c\). Los datos sobre la confiabilidad de las encuestas arrojan las siguientes probabilidades

    \(P(E_1|S) = 0.95\)\(P(E_1|S^c) = 0.05\)\(P(E_2|S) = 0.90\)\(P(E_2|S^c) = 0.10\)

    Determinar las probabilidades posteriores\(\dfrac{P(H|E_1E_2)}{P(H^c|E_1E_2)}\). ¿Se debe perforar el pozo?

    Contestar

    \(\dfrac{P(H|E_1E_2)}{P(H^c|E_1E_2)} = \dfrac{P(HE_1E_2S) + P(HE_1E_2S^c)}{P(H^cE_1E_2S) + P(H^cE_1E_2S^c)}\)

    \(P(HE_1E_2S) = P(H) P(S|H) P(E_1|SH) P(E_2|SHE_1) = P(H) P(S|H) P(E_1|S) P(E_2|S)\)

    con expresiones similares para los demás términos.

    \(\dfrac{P(H|E_1E_2)}{P(H^c|E_1E_2)} = \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{0.9 \cdot 0.95 \cdot 0.90 + 0.10 \cdot 0.05 \cdot 0.10}{0.1 \cdot 0.95 \cdot 0.90 + 0.90 \cdot 0.05 \cdot 0.10} = 0.8556\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Se toma una muestra de 150 sujetos de una población que tiene dos subgrupos. Se conoce la pertenencia a subgrupos de cada sujeto de la muestra. A cada individuo se le hace una batería de diez preguntas diseñadas para ser independientes, en el sentido de que la respuesta a cualquiera no se ve afectada por la respuesta a ninguna otra. Los sujetos responden de manera independiente. Los datos sobre los resultados se resumen en la siguiente tabla:

    GRUPO 1 (84 miembros) GRUPO 2 (66 miembros)
    Q No Unc No Unc
    1 51 26 7 27 34 5
    2 42 32 10 19 43 4
    3 19 54 11 39 22 5
    4 24 53 7 38 19 9
    5 27 52 5 28 33 5
    6 49 19 16 19 41 6
    7 16 59 9 37 21 8
    8 47 32 5 19 42 5
    9 55 17 12 27 33 6
    10 24 53 7 39 21 6

    Supongamos que los datos representan la población general que consta de estos dos grupos, de manera que los datos puedan ser utilizados para calcular probabilidades y probabilidades condicionales.

    Se entrevistó a varias personas. El resultado de cada entrevista es un “perfil” de respuestas a las preguntas. El objetivo es clasificar a la persona en uno de los dos subgrupos

    Para los siguientes perfiles, clasifique cada individuo en uno de los subgrupos

    1. y, n, y, n, y, u, n, u, y. u
    2. n, n, u, n, y, y, u, n, n, y
    3. y, y, n, y, u, u, n, n, y, y
    Contestar
    % file npr05_16.m
    % Data for Exercise 5.3.16.
    A = [51 26  7; 42 32 10; 19 54 11; 24 53  7; 27 52  5;
         49 19 16; 16 59  9; 47 32  5; 55 17 12; 24 53  7];
    B = [27 34  5; 19 43  4; 39 22  5; 38 19  9; 28 33  5;
         19 41  6; 37 21  8; 19 42  5; 27 33  6; 39 21  6];
    disp('Call for oddsdf')
    npr05_16
    Call for oddsdf
    oddsdf
    Enter matrix A of frequencies for calibration group 1  A
    Enter matrix B of frequencies for calibration group 2  B
    Number of questions = 10
    Answers per question = 3
     Enter code for answers and call for procedure "odds"
    y = 1;
    n = 2;
    u = 3;
    odds
    Enter profile matrix E  [y n y n y u n u y u]
    Odds favoring Group 1:   3.743
    Classify in Group 1
    odds
    Enter profile matrix E  [n n u n y y u n n y]
    Odds favoring Group 1:   0.2693
    Classify in Group 2
    odds
    Enter profile matrix E  [y y n y u u n n y y]
    Odds favoring Group 1:   5.286
    Classify in Group 1

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    Los datos del Ejercicio 5.3.16., anterior, se convierten a probabilidades condicionales y probabilidades, de la siguiente manera (las probabilidades se redondean a dos decimales).

    GRUPO 1\(P(G_1) = 0.56\) GRUPO 2\(P(G_2) = 0.44\)
    Q No Unc No Unc
    1 0.61 0.31 0.08 0.41 0.51 0.08
    2 0.50 0.38 0.12 0.29 0.65 0.06
    3 0.23 0.64 0.13 0.59 0.33 0.08
    4 0.29 0.63 0.08 0.57 0.29 0.14
    5 0.32 0.62 0.06 0.42 0.50 0.08
    6 0.58 0.23 0.19 0.29 0.62 0.09
    7 0.19 0.70 0.11 0.56 0.32 0.12
    8 0.56 0.38 0.06 0.29 0.63 0.08
    9 0.65 0.20 0.15 0.41 0.50 0.09
    10 0.29 0.63 0.08 0.59 0.32 0.09

    Para los siguientes perfiles clasificar a cada individuo en uno de los subgrupos.

    1. y, n, y, n, y, u, n, u, y, u
    2. n, n, u, n, y, y, u, n, n, y
    3. y, y, n, y, u, u, n, n, y, y
    Contestar
    npr05_17
    % file npr05_17.m
    % Data for Exercise 5.3.17.
    PG1 = 84/150;
    PG2 = 66/125;
    A = [0.61 0.31 0.08
         0.50 0.38 0.12
         0.23 0.64 0.13
         0.29 0.63 0.08
         0.32 0.62 0.06
         0.58 0.23 0.19
         0.19 0.70 0.11
         0.56 0.38 0.06
         0.65 0.20 0.15
         0.29 0.63 0.08];
     
    B = [0.41 0.51 0.08
         0.29 0.65 0.06
         0.59 0.33 0.08
         0.57 0.29 0.14
         0.42 0.50 0.08
         0.29 0.62 0.09
         0.56 0.32 0.12
         0.29 0.64 0.08
         0.41 0.50 0.09
         0.59 0.32 0.09];
    disp('Call for oddsdp')
    Call for oddsdp
    oddsdp
    Enter matrix A of conditional probabilities for Group 1  A
    Enter matrix B of conditional probabilities for Group 2  B
    Probability p1 an individual is from Group 1  PG1
    Number of questions = 10
    Answers per question = 3
     Enter code for answers and call for procedure "odds"
    y = 1;
    n = 2;
    u = 3;
    odds
    Enter profile matrix E  [y n y n y u n u y u]
    Odds favoring Group 1:   3.486
    Classify in Group 1
    odds
    Enter profile matrix E  [n n u n y y u n n y]
    Odds favoring Group 1:   0.2603
    Classify in Group 2
    odds
    Enter profile matrix E  [y y n y u u n n y y]
    Odds favoring Group 1:   5.162
    Classify in Group 1
    

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