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9.2: Problemas en Clases Independientes de Variables Aleatorias

  • Page ID
    150963
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    El par\(\{X, Y\}\) tiene la distribución conjunta (en m-file npr08_06.m):

    \(X =\)[-2.3 -0.7 1.1 3.9 5.1]\(Y =\) [1.3 2.5 4.1 5.3]

    \ [P=\ left [\ begin {array} {lllll}
    0.0483 & 0.0357 & 0.0420 & 0.0399 & 0.0441\\
    0.0437 & 0.0323 & 0.0380 & 0.0361 & 0.0399\\
    0.0713 & 0.0527 & 0.0620 & 0.0609 & 0.0551\\
    0.0667 & 0.0493 & 0.0580 & ; 0.0651 & 0.0589
    \ end {array}\ derecho]\]

    Determinar si el par\(\{X, Y\}\) es independiente o no.

    Contestar
    npr08_06
    Data are in X, Y, P
    itest
    Enter matrix of joint probabilities  P
    The pair {X,Y} is NOT independent
    To see where the product rule fails, call for D
    disp(D)
         0     0     0     1     1
         0     0     0     1     1
         1     1     1     1     1
         1     1     1     1     1

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    El par\(\{X, Y\}\) tiene la distribución conjunta (en m-file npr09_02.m):

    \(X =\)[-3.9 -1.7 1.5 2.8 4.1]\(Y =\) [-2 1 2.6 5.1]

    \ [P=\ left [\ begin {array} {lllll}
    0.0589 & 0.0342 & 0.0304 & 0.0456 & 0.0209\\
    0.0961 & 0.0556 & 0.0498 & 0.0744 & 0.0341\\
    0.0682 & 0.0398 & 0.0350 & 0.0528 & 0.0242\\
    0.0868 & 0.0504 & 0.0448 & ; 0.0672 & 0.0308
    \ end {array}\ derecho]\]

    Determinar si el par\(\{X, Y\}\) es independiente o no.

    Contestar
    npr09_02
    Data are in X, Y, P
    itest
    Enter matrix of joint probabilities  P
    The pair {X,Y} is NOT independent
    To see where the product rule fails, call for D
    disp(D)
         0     0     0     0     0
         0     1     1     0     0
         0     1     1     0     0
         0     0     0     0     0

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    El par\(\{X, Y\}\) tiene la distribución conjunta (en m-file npr08_07.m):

    \(P(X = t, Y = u)\)

    t = -3.1 -0.5 1.2 2.4 3.7 4.9
    u = 7.5 0.0090 0.0396 0.0594 0.0216 0.0440 0.0203
    4.1 0.0495 0 0.1089 0.0528 0.0363 0.0231
    -2.0 0.0405 0.1320 0.0891 0.0324 0.0297 0.0189
    -3.8 0.0510 0.0484 0.0726 0.0132 0 0.0077

    Determinar si el par\(\{X, Y\}\) es independiente o no.

    Contestar
    npr08_07
    Data are in X, Y, P
    itest
    Enter matrix of joint probabilities  P
    The pair {X,Y} is NOT independent
    To see where the product rule fails, call for D
    disp(D)
         1     1     1     1     1     1
         1     1     1     1     1     1
         1     1     1     1     1     1
         1     1     1     1     1     1
    

    Para las distribuciones en Ejercicios 4-10 a continuación

    1. Determinar si el par es independiente o no.
    2. Utilice una aproximación discreta y una prueba de independencia para verificar los resultados de la parte (a).

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    \(f_{XY} (t, u) = 1/\pi\)en el círculo con radio uno, centro en (0,0).

    Contestar

    No independiente por la prueba de rectángulo.

    tuappr
    Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [-1 1]
    Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [-1 1]
    Enter number of X approximation points  100
    Enter number of Y approximation points  100
    Enter expression for joint density  (1/pi)*(t.^2 + u.^2<=1)
    Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
    itest
    Enter matrix of joint probabilities  P
    The pair {X,Y} is NOT independent
    To see where the product rule fails, call for D  % Not practical-- too large

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    \(f_{XY} (t, u) = 1/2\)en el cuadrado con vértices en (1, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 1) (ver Ejercicio 11 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “).

    Contestar

    No independiente, por la prueba de rectángulo.

    tuappr
    Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 2]
    Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 2]
    Enter number of X approximation points  200
    Enter number of Y approximation points  200
    Enter expression for joint density  (1/2)*(u<=min(1+t,3-t)).* ...
       (u>=max(1-t,t-1))
    Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
    itest
    Enter matrix of joint probabilities  P
    The pair {X,Y} is NOT independent
    To see where the product rule fails, call for D

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    \(f_{XY} (t, u) = 4t (1 - u)\)para\(0 \le t \le 1\),\(0 \le u \le 1\) (ver Ejercicio 12 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “).

    De la solución para el Ejercicio 12 de “Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas” tenemos

    \(f_X (t) = 2t\),\(0 \le t \le 1\),\(f_Y(u) = 2(1 - u)\),\(0 \le u \le 1\),\(f_{XY} = f_X f_Y\)

    por lo que el par es independiente.

    Contestar
    tuappr
    Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 1]
    Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 1]
    Enter number of X approximation points  100
    Enter number of Y approximation points  100
    Enter expression for joint density  4*t.*(1-u)
    Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
     
     
     
    itest
    Enter matrix of joint probabilities  P
    The pair {X,Y} is independent
    

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    \(f_{XY} = \dfrac{1}{8} (t + u)\)para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le 2\) (ver Ejercicio 13 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “).

    De la solución del Ejercicio 13 de "Problemas sobre Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas" tenemos

    \(f_X (t) = f_Y(t) = \dfrac{1}{4} (t + 1)\),\(0 \le t \le 2\)

    lo\(f_{XY} \ne f_X f_Y\) que implica que el par no es independiente.

    Contestar
    tuappr
    Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 2]
    Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 2]
    Enter number of X approximation points  100
    Enter number of Y approximation points  100
    Enter expression for joint density  (1/8)*(t+u)
    Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
    itest
    Enter matrix of joint probabilities  P
    The pair {X,Y} is NOT independent
    To see where the product rule fails, call for D
    

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    \(f_{XY} (t, u) = 4ue^{-2t}\)para\(0 \le t, 0 \le u \le 1\) (ver Ejercicio 14 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “).

    De la solución para el Ejercicio 14 de "Problemas sobre Vectores Aleatorios y Distribución Conjunta" tenemos

    \(f_X (t) = 2e^{-2t}\),\(0 \le t\),\(f_Y(u) = 2u\),\(0 \le u \le 1\)

    de manera que\(f_{XY} = f_X f_Y\) y el par es independiente.

    Contestar
    tuappr
    Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 5]
    Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 1]
    Enter number of X approximation points  500
    Enter number of Y approximation points  100
    Enter expression for joint density  4*u.*exp(-2*t)
    Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
    itest
    Enter matrix of joint probabilities  P
    The pair {X,Y} is independent       % Product rule holds to within 10^{-9}
    

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    \(f_{XY} (t, u) = 12t^2 u\)en el paralelogramo con vértices (-1, 0), (0, 0), (1, 1), (0, 1)

    (ver Ejercicio 16 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “).

    Contestar

    No independiente por la prueba de rectángulo.

    tuappr
    Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [-1 1]
    Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 1]
    Enter number of X approximation points  200
    Enter number of Y approximation points  100
    Enter expression for joint density  12*t.^2.*u.*(u<=min(t+1,1)).* ...
              (u>=max(0,t))
    Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
    itest
    Enter matrix of joint probabilities  P
    The pair {X,Y} is NOT independent
    To see where the product rule fails, call for D

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \(f_{XY} = \dfrac{24}{11}tu\)para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min} \{1, 2-t\}\) (ver Ejercicio 17 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “).

    Contestar

    Por la prueba de rectángulo, el par no es independiente.

    tuappr
    Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 2]
    Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 1]
    Enter number of X approximation points  200
    Enter number of Y approximation points  100
    Enter expression for joint density  (24/11)*t.*u.*(u<=min(1,2-t))
    Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
    itest
    Enter matrix of joint probabilities  P
    The pair {X,Y} is NOT independent
    To see where the product rule fails, call for D

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Dos empresas de software, MicroWare y BusiCorp, están preparando un nuevo paquete de negocios a tiempo para una feria de informática 180 días en el futuro. Trabajan de manera independiente. MicroWare ha anticipado el tiempo de finalización, en días, exponencial (1/150). BusiCorp tiene tiempo de finalización, en días, exponencial (1/130). ¿Cuál es la probabilidad de que ambos se completen a tiempo; que al menos uno se complete a tiempo; que ninguno se complete a tiempo?

    Contestar
    p1 = 1 - exp(-180/150)
    p1 =  0.6988
    p2 = 1 - exp(-180/130)
    p2 =  0.7496
    Pboth = p1*p2
    Pboth =  0.5238
    Poneormore = 1 - (1 - p1)*(1 - p2) % 1 - Pneither
    Poneormore =  0.9246
    Pneither = (1 - p1)*(1 - p2)
    Pneither =    0.0754

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Ocho unidades similares se ponen en funcionamiento en un momento dado. El tiempo hasta el fracaso (en horas) de cada unidad es exponencial (1/750). Si las unidades fallan independientemente, ¿cuál es la probabilidad de que cinco o más unidades estén operando al final de las 500 horas?

    Contestar
    p = exp(-500/750);  % Probability any one will survive
    P = cbinom(8,p,5)   % Probability five or more will survive
    P =  0.3930

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    La ubicación de diez puntos a lo largo de una línea puede considerarse iid variables aleatorias con distribución simétrica triangular en [1,3]. ¿Cuál es la probabilidad de que tres o más se encuentren dentro de la distancia 1/2 del punto\(t = 2\)?

    Contestar

    Geométricamente\(p = 3/4\),, de manera que P = cbinom (10, p,3) = 0.9996.

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Una exhibición navideña tiene 200 luces. Los tiempos hasta el fracaso son iid, exponenciales (1/10000). La pantalla está encendida continuamente durante 750 horas (aproximadamente un mes). Determinar la probabilidad de que el número de luces que sobreviven a todo el periodo sea de al menos 175, 180, 185, 190.

    Contestar
    p = exp(-750/10000)
    p =  0.9277
    k = 175:5:190;
    P = cbinom(200,p,k);
    disp([k;P]')
      175.0000    0.9973
      180.0000    0.9449
      185.0000    0.6263
      190.0000    0.1381

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Un módulo crítico en un servidor de red tiene tiempo de falla (en horas de tiempo de máquina) exponencial (1/3000). La máquina opera continuamente, excepto por breves tiempos de mantenimiento o reparación. El módulo se reemplaza rutinariamente cada 30 días (720 horas), a menos que ocurra una falla. Si las unidades sucesivas fallan independientemente, ¿cuál es la probabilidad de que no haya averías debido al módulo durante un año?

    Contestar
    p = exp(-720/3000)
    p = 0.7866     % Probability any unit survives
    P = p^12    % Probability all twelve survive (assuming 12 periods)
    P = 0.056

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Joan está tratando de decidir cuál de las dos oportunidades de venta tomar.

    • En la primera, realiza tres llamadas independientes. Los pagos son $570, 525 y 465 dólares, con probabilidades respectivas de 0.57, 0.41 y 0.35.
    • En la segunda, realiza ocho llamadas independientes, con probabilidad de éxito en cada llamada\(p =\) 0.57. Ella se da cuenta de $150 de ganancia por cada venta exitosa.

    \(X\)Sea la ganancia neta en la primera alternativa y\(Y\) sea la ganancia neta en la segunda. Supongamos que el par\(\{X, Y\}\) es independiente.

    1. ¿Qué alternativa ofrece la máxima ganancia posible?
    2. Compare las probabilidades en los dos esquemas de que las ventas totales sean de al menos $600, $900, $1000, $1100.
    3. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo supere al primero, es decir, qué es\(P(Y > X)\)?
    Contestar

    \(X = 570 I_A + 525 I_B + 465I_C\)con\([P(A) P(B) P(C)]\) = [0.57 0.41 0.35]. \(Y = 150 S\). donde\(S~\) binomial (8, 0.57).

    c = [570 525 465 0];
    pm = minprob([0.57 0.41 0.35]);
    canonic                              % Distribution for X
     Enter row vector of coefficients  c
     Enter row vector of minterm probabilities  pm
    Use row matrices X and PX for calculations
    Call for XDBN to view the distribution
    Y = 150*[0:8];                       % Distribution for Y
    PY = ibinom(8,0.57,0:8);
    icalc                                % Joint distribution
    Enter row matrix of X-values  X
    Enter row matrix of Y-values  Y
    Enter X probabilities  PX
    Enter Y probabilities  PY
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    xmax = max(X)
    xmax =   1560
    ymax = max(Y)
    ymax =   1200
    k = [600 900 1000 1100];
    px = zeros(1,4);
     
     
     
    for i = 1:4
        px(i) = (X>=k(i))*PX';
    end
    py = zeros(1,4);
    for i = 1:4
      py(i) = (Y>=k(i))*PY';
    end
    disp([px;py]')
        0.4131    0.7765
        0.4131    0.2560
        0.3514    0.0784
        0.0818    0.0111
    M = u > t;
    PM = total(M.*P)
    PM = 0.5081          % P(Y>X)

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    Margaret considera cinco compras en los montos 5, 17, 21, 8, 15 dólares con probabilidades respectivas 0.37, 0.22, 0.38, 0.81, 0.63. Anne contempla seis compras en los montos 8, 15, 12, 18, 15, 12 dólares. con probabilidades respectivas 0.77, 0.52, 0.23, 0.41, 0.83, 0.58. Supongamos que las once compras posibles forman una clase independiente.

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que Anne gaste al menos el doble que Margaret?
    2. ¿Cuál es la probabilidad de que Anne gaste al menos $30 más que Margaret?
    Contestar
    cx = [5 17 21 8 15 0];
    pmx = minprob(0.01*[37 22 38 81 63]);
    cy = [8 15 12 18 15 12 0];
    pmy = minprob(0.01*[77 52 23 41 83 58]);
    [X,PX] = canonicf(cx,pmx);
    [Y,PY] = canonicf(cy,pmy);
    icalc
    Enter row matrix of X-values  X
    Enter row matrix of Y-values  Y
    Enter X probabilities  PX
    Enter Y probabilities  PY
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    M1 = u >= 2*t;
    PM1 = total(M1.*P)
    PM1 =  0.3448
    M2 = u - t >=30;
    PM2 = total(M2.*P)
    PM2 =  0.2431

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    James está tratando de decidir cuál de las dos oportunidades de venta tomar.

    • En la primera, realiza tres llamadas independientes. Los pagos son $310, $380 y $350, con probabilidades respectivas de 0.35, 0.41 y 0.57.
    • En la segunda, realiza ocho llamadas independientes, con probabilidad de éxito en cada llamada p =0.57. Se da cuenta de 100 dólares de ganancia por cada venta exitosa.

    \(X\)Sea la ganancia neta en la primera alternativa y\(Y\) sea la ganancia neta en la segunda. Supongamos que el par\(\{X, Y\}\) es independiente.

    • ¿Qué alternativa ofrece la máxima ganancia posible?
    • ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo supere al primero, es decir, qué es\(P(Y > X)\)?
    • Compare las probabilidades en los dos esquemas de que las ventas totales sean de al menos $600, $700, $750.
    Contestar
    cx = [310 380 350 0];
    pmx = minprob(0.01*[35 41 57]);
    Y  = 100*[0:8];
    PY = ibinom(8,0.57,0:8);
    canonic
     Enter row vector of coefficients  cx
     Enter row vector of minterm probabilities  pmx
    Use row matrices X and PX for calculations
    Call for XDBN to view the distribution
    icalc
    Enter row matrix of X-values  X
    Enter row matrix of Y-values  Y
    Enter X probabilities  PX
    Enter Y probabilities  PY
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    xmax = max(X)
    xmax =  1040
    ymax = max(Y)
    ymax =   800
    PYgX = total((u>t).*P)
    PYgX =  0.5081
    k = [600 700 750];
    px = zeros(1,3);
    py = zeros(1,3);
    for i = 1:3
        px(i) = (X>=k(i))*PX';
    end
    for i = 1:3
        py(i) = (Y>=k(i))*PY';
    end
    disp([px;py]')
        0.4131    0.2560
        0.2337    0.0784
        0.0818    0.0111

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    Un Colegio residencial planea recaudar dinero vendiendo “chances” en un tablero. Hay dos juegos:

    Juego 1: Paga $5 para jugar; gana $20 con probabilidad\(p_1\) =0.05 (uno de cada veinte)
    Juego 2: Paga $10 para jugar; gana $30 con probabilidad\(p_2\) =0.2 (uno de cada cinco)

    Treinta oportunidades se venden en el Juego 1 y cincuenta oportunidades se venden en el Juego 2. Si\(X\) y\(Y\) son las ganancias en los respectivos juegos, entonces

    \(X = 30 \cdot 5 - 20N_1\)y\(Y = 50 \cdot 10 - 30 N_2\)

    donde\(N_1, N_2\) están los números de ganadores en los respectivos juegos. Es razonable suponer\(N_1 ~\) binomio (30, 0.05) y\(N_2~\) binomial (50, 0.2). Es razonable suponer que el par\(\{N_1, N_2\}\) es independiente, así que eso\(\{X, Y\}\) es independiente. Determinar las distribuciones marginales para\(X\) y\(Y\) luego usar icalc para obtener la distribución conjunta y las matrices de cálculo. El beneficio total para el Colegio es\(Z = X + Y\). ¿Cuál es la probabilidad de que el Colegio pierda dinero? ¿Cuál es la probabilidad de que la ganancia sea de $400 o más, menos de $200, entre $200 y $450?

    Contestar
    N1 = 0:30;
    PN1 = ibinom(30,0.05,0:30);
    x  = 150 - 20*N1;
    [X,PX] = csort(x,PN1);
    N2 = 0:50;
    PN2 = ibinom(50,0.2,0:50);
    y  = 500 - 30*N2;
    [Y,PY] = csort(y,PN2);
    icalc
    Enter row matrix of X-values  X
    Enter row matrix of Y-values  Y
    Enter X probabilities  PX
    Enter Y probabilities  PY
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    G = t + u;
    Mlose = G < 0;
    Mm400  = G >= 400;
    Ml200  = G < 200;
    M200_450  = (G>=200)&(G<=450);
    Plose = total(Mlose.*P)
    Plose =   3.5249e-04
    Pm400 = total(Mm400.*P)
    Pm400 =   0.1957
    Pl200 = total(Ml200.*P)
    Pl200 =
        0.0828
    P200_450 = total(M200_450.*P)
    P200_450 =  0.8636

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    La clase\(\{X, Y, Z\}\) de variables aleatorias es iid (independiente, distribuida idénticamente) con distribución común

    \(X =\)[-5 -1 3 4 7]\(PX =\) 0.01 * [15 20 30 25 10]

    Vamos\(W = 3X - 4Y + 2Z\). Determinar la distribución para\(W\) y a partir de esto determinar\(P(W > 0)\) y\(P(-20 \le W \le 10)\). Haga esto con icalc, luego repita con icalc3 y compare los resultados.

    Contestar

    Dado que icalc usa\(X\) y\(PX\) en su salida, evitamos un problema de cambio de nombre al usar\(x\) y\(px\) para vectores de datos\(X\) y\(PX\).

    x = [-5 -1 3 4 7];
    px = 0.01*[15 20 30 25 10];
    icalc
    Enter row matrix of X-values  3*x
    Enter row matrix of Y-values  -4*x
    Enter X probabilities  px
    Enter Y probabilities  px
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    a = t + u;
    [V,PV] = csort(a,P);
    icalc
    Enter row matrix of X-values  V
    Enter row matrix of Y-values  2*x
    Enter X probabilities  PV
    Enter Y probabilities  px
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    b = t + u;
    [W,PW] = csort(b,P);
    P1 = (W>0)*PW'
    P1 =  0.5300
    P2 = ((-20<=W)&(W<=10))*PW'
    P2 =  0.5514
    icalc3                           % Alternate using icalc3
    Enter row matrix of X-values  x
    Enter row matrix of Y-values  x
    Enter row matrix of Z-values  x
    Enter X probabilities  px
    Enter Y probabilities  px
    Enter Z probabilities  px
    Use array operations on matrices X, Y, Z,
    PX, PY, PZ, t, u, v, and P
    a = 3*t - 4*u + 2*v;
    [W,PW] = csort(a,P);
    P1 = (W>0)*PW'
    P1 = 0.5300
    P2 = ((-20<=W)&(W<=10))*PW'
    P2 = 0.5514

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    La clase\(\{A, B, C, D, E, F\}\) es independiente; las probabilidades respectivas para estos eventos son\(\{0.46, 0.27, 0.33, 0.47, 0.37, 0.41\}\). Considere las variables aleatorias simples

    \(X = 3I_A - 9I_B + 4I_C\),\(Y = -2I_D + 6I_E + 2I_F - 3\), y\(Z = 2X - 3Y\)

    Determinar\(P(Y > X)\),\(P(Z > 0)\),\(P(5 \le Z \le 25)\).

    Contestar
    cx = [3 -9 4 0];
    pmx = minprob(0.01*[42 27 33]);
    cy = [-2 6 2 -3];
    pmy = minprob(0.01*[47 37 41]);
    [X,PX] = canonicf(cx,pmx);
    [Y,PY] = canonicf(cy,pmy);
    icalc
    Enter row matrix of X-values  X
    Enter row matrix of Y-values  Y
    Enter X probabilities  PX
    Enter Y probabilities  PY
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    G = 2*t - 3*u;
    [Z,PZ] = csort(G,P);
    PYgX = total((u>t).*P)
    PYgX =  0.3752
    PZpos = (Z>0)*PZ'
    PZpos = 0.5654
    P5Z25 = ((5<=Z)&(Z<=25))*PZ'
    P5Z25 = 0.4745

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    Dos jugadores, Ronald y Mike, lanzan un par de dados 30 veces cada uno. ¿Cuál es la probabilidad de que Mike arroje más “sietes” que Ronald?

    Contestar

    P = (ibinom (30,1/6, 0:29)) * (cbinom (30,1/6, 1:30)) '= 0.4307

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    Una clase tiene quince niños y quince niñas. Se emparejan y cada uno lanza una moneda 20 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos ocho chicas arrojen más cabezas que sus parejas?

    Contestar
    pg = (ibinom(20,1/2,0:19))*(cbinom(20,1/2,1:20))'
    pg =  0.4373             % Probability each girl throws more
    P = cbinom(15,pg,8)
    P =   0.3100             % Probability eight or more girls throw more

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    Glenn realiza cinco llamadas de ventas, con probabilidades 0.37, 0.52, 0.48, 0.71, 0.63, de éxito en las respectivas llamadas. Margaret realiza cuatro llamadas de ventas con probabilidades 0.77, 0.82, 0.75, 0.91, de éxito en las respectivas llamadas. Supongamos que los nueve eventos forman una clase independiente. Si Glenn obtiene una ganancia de 18.00 dólares por cada venta y Margaret gana 20.00 dólares por cada venta, ¿cuál es la probabilidad de que la ganancia de Margaret sea al menos $10.00 más que la de Glenn?

    Contestar
    cg = [18*ones(1,5) 0];
    cm = [20*ones(1,4) 0];
    pmg = minprob(0.01*[37 52 48 71 63]);
    pmm = minprob(0.01*[77 82 75 91]);
    [G,PG] = canonicf(cg,pmg);
    [M,PM] = canonicf(cm,pmm);
    icalc
    Enter row matrix of X-values  G
    Enter row matrix of Y-values  M
    Enter X probabilities  PG
    Enter Y probabilities  PM
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    H = u-t>=10;
    p1 = total(H.*P)
    p1 =  0.5197

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    Mike y Harry tienen un concurso de tiro de basquetbol.

    • Mike dispara 10 tiros libres ordinarios, valen dos puntos cada uno, con probabilidad 0.75 de éxito en cada disparo.
    • Harry dispara 12 tiros de “tres puntos”, con probabilidad 0.40 de éxito en cada disparo.

    \(X, Y\)Sea el número de puntos anotados por Mike y Harry, respectivamente. Determinar\(P(X \ge 15)\), y\(P(Y \ge 15)\),\(P(X \ge Y)\).

    Responder
    X = 2*[0:10];
    PX = ibinom(10,0.75,0:10);
    Y = 3*[0:12];
    PY = ibinom(12,0.40,0:12);
    icalc
    Enter row matrix of X-values  X
    Enter row matrix of Y-values  Y
    Enter X probabilities  PX
    Enter Y probabilities  PY
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    PX15 = (X>=15)*PX'
    PX15 = 0.5256
    PY15 = (Y>=15)*PY'
    PY15 = 0.5618
    G = t>=u;
    PG = total(G.*P)
    PG =   0.5811

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    Martha tiene la opción de dos juegos.

    Juego 1: Paga diez dólares por cada “jugada”. Si gana, recibe 20 dólares, por una ganancia neta de 10 dólares en la jugada; de lo contrario, pierde sus 10 dólares. La probabilidad de una victoria es de 1/2, por lo que el juego es “justo”.
    Juego 2: Paga cinco dólares para jugar; recibe $15 por una victoria. La probabilidad de ganar en cualquier jugada es de 1/3.

    Martha tiene $100 para apostar. Ella está tratando de decidir si jugar al Juego 1 diez veces o al Juego 2 veinte veces. Dejar\(W1\) y\(W2\) ser las respectivas ganancias netas (pago menos cuota para jugar).

    • Determinar\(P(W2 \ge W1)\)
    • Compara los dos juegos más calculando\(P(W1 > 0)\) y\(P(W2 > 0)\)

    ¿Qué juego parece preferible?

    Responder
    W1 = 20*[0:10] - 100;
    PW1 = ibinom(10,1/2,0:10);
    W2 = 15*[0:20] - 100;
    PW2 = ibinom(20,1/3,0:20);
    P1pos = (W1>0)*PW1'
    P1pos = 0.3770
    P2pos = (W2>0)*PW2'
    P2pos = 0.5207
    icalc
    Enter row matrix of X-values  W1
    Enter row matrix of Y-values  W2
    Enter X probabilities  PW1
    Enter Y probabilities  PW2
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    G = u >= t;
    PG = total(G.*P)
    PG =  0.5182

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    Jim y Bill del equipo masculino de basquetbol desafían a las jugadoras Mary y Ellen a un concurso de tiros libres. Cada uno lleva cinco tiros libres. Hacer los supuestos de independencia habituales. Jim, Bill, Mary y Ellen tienen las probabilidades respectivas de\(p =\) 0.82, 0.87, 0.80 y 0.85 de hacer que cada disparo sea juzgado. ¿Cuál es la probabilidad de que Mary y Ellen hagan un número total de tiros libres al menos tan grande como el total hecho por los chicos?

    Responder
    x = 0:5;
    PJ = ibinom(5,0.82,x);
    PB = ibinom(5,0.87,x);
    PM = ibinom(5,0.80,x);
    PE = ibinom(5,0.85,x);
     
    icalc
    Enter row matrix of X-values  x
    Enter row matrix of Y-values  x
    Enter X probabilities  PJ
    Enter Y probabilities  PB
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    H = t+u;
    [Tm,Pm] = csort(H,P);
    icalc
    Enter row matrix of X-values  x
    Enter row matrix of Y-values  x
    Enter X probabilities  PM
    Enter Y probabilities  PE
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    G = t+u;
    [Tw,Pw] = csort(G,P);
    icalc
    Enter row matrix of X-values  Tm
    Enter row matrix of Y-values  Tw
    Enter X probabilities  Pm
    Enter Y probabilities  Pw
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    Gw = u>=t;
    PGw = total(Gw.*P)
    PGw = 0.5746
     
    icalc4               % Alternate using icalc4
    Enter row matrix of X-values  x
    Enter row matrix of Y-values  x
    Enter row matrix of Z-values  x
    Enter row matrix of W-values  x
    Enter X probabilities  PJ
    Enter Y probabilities  PB
    Enter Z probabilities  PM
    Enter W probabilities  PE
    Use array operations on matrices X, Y, Z,W
    PX, PY, PZ, PW t, u, v, w, and P
    H = v+w >= t+u;
    PH = total(H.*P)
    PH =  0.5746
    

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