Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

10.4: Problemas en las funciones de variables aleatorias

  • Page ID
    150900
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Supongamos que\(X\) es una variable aleatoria no negativa, absolutamente continua. Vamos\(Z = g(X) = Ce^{-aX}\), donde\(a > 0\),\(C > 0\). Entonces\(0 < Z \le C\). Utilice las propiedades de la función logarítmica exponencial y natural para mostrar que

    \(F_Z (v) = 1 - F_X (- \dfrac{\text{In } (v/C)}{a})\)para\(0 < v \le C\)

    Contestar

    \(Z = Ce^{-aX} \le v\)iff\(e^{-aX} \le v/C\) iff\(-aX \le \text{In } (v/C)\) iff\(X \ge - \text{In } (v/C)/a\), para que

    \(F_Z(v) = P(Z \le v) = P(X \ge -\text{In } (v/C)/a) = 1 - F_X (-\dfrac{\text{In } (v/C)}{a})\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Usa el resultado del Ejercicio 10.4.1 para mostrar que si\(X\) ~ exponencial\((\lambda)\), entonces

    \(F_Z (v) = (\dfrac{v}{C})^{\lambda/a}\)\(0 < v \le C\)

    Contestar

    \(F_Z (v) = 1 - [1- exp (-\dfrac{\lambda}{a} \cdot \text{In } (v/C))] = (\dfrac{v}{C})^{\lambda/a}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Valor presente de costos futuros. Supongamos que el dinero puede invertirse a una tasa anual a, agravada continuamente. Entonces un dólar en mano ahora, tiene un valor\(e^{ax}\) al final de los\(x\) años. De ahí que un dólar gastado\(x\) años en el futuro tenga un valor presente e\(^{-ax}\). Supongamos que un dispositivo puesto en funcionamiento tiene tiempo para fallar (en años)\(X\) ~ exponencial (\(\lambda\)). Si el costo del reemplazo al fallar es de\(C\) dólares, entonces el valor presente de la reposición es\(Z = Ce^{-aX}\). Supongamos\(\lambda = 1/10\)\(a = 0.07\),, y\(C =\) $1000.

    1. Utilizar el resultado del Ejercicio 10.4.2. para determinar la probabilidad\(Z \le 700, 500, 200\).
    2. Utilice una aproximación discreta para la densidad exponencial para aproximar las probabilidades en la parte (a). Truncar\(X\) a 1000 y usar 10,000 puntos de aproximación.
    Contestar

    \(P(Z \le v) = (\dfrac{v}{1000})^{10/7}\)

    v = [700 500 200];
    P = (v/1000).^(10/7)
    P =  0.6008    0.3715    0.1003
    tappr
    Enter matrix [a b] of x-range endpoints  [0 1000]
    Enter number of x approximation points  10000
    Enter density as a function of t  0.1*exp(-t/10)
    Use row matrices X and PX as in the simple case
    G = 1000*exp(-0.07*t);
    PM1 = (G<=700)*PX'
    PM1 =  0.6005
    PM2 = (G<=500)*PX'
    PM2 =  0.3716
    PM3 = (G<=200)*PX'
    PM3 =  0.1003

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Almacenado óptimo de mercancía. Un comerciante está planeando para la temporada navideña. Tiene la intención de abastecer m unidades de un determinado artículo a un costo de c por unidad. La experiencia indica que la demanda puede ser representada por una variable aleatoria\(D\) ~ Poisson (\(\mu\)). Si las unidades permanecen en stock al final de la temporada, podrán ser devueltas con recuperación de\(r\) por unidad. Si la demanda excede el número originalmente solicitado, se pueden pedir unidades adicionales a un costo de s cada una. Las unidades se venden a un precio\(p\) por unidad. Si\(Z = g(D)\) es la ganancia de las ventas, entonces

    • Para\(t \le m\),\(g(t) = (p - c) t- (c - r)(m - t) = (p - r)t + (r - c) m\)
    • Para\(t > m\),\(g(t) = (p - c)m + (t - m) (p - s) = (p - s) t + (s - c)m\)

    Vamos\(M = (-\infty, m]\). Entonces

    \(g(t) = I_M(t) [(p - r) t + (r - c)m] + I_M(t) [(p - s) t + (s - c) m]\)

    Supongamos\(\mu = 50\)\(m = 50\)\(c = 30\)\(p = 50\)\(r = 20\)\(s = 40\).

    Aproximar la variable aleatoria de Poisson\(D\) truncando a 100. Determinar\(P(500 \le Z \le 1100)\).

    Contestar
    mu = 50;
    D = 0:100;
    c = 30;
    p = 50;
    r = 20;
    s = 40;
    m = 50;
    PD = ipoisson(mu,D);
    G = (p - s)*D + (s - c)*m +(s - r)*(D - m).*(D <= m);
    M = (500<=G)&(G<=1100);
    PM = M*PD'
    PM =  0.9209
     
    [Z,PZ] = csort(G,PD);         % Alternate: use dbn for Z
    m = (500<=Z)&(Z<=1100);
    pm = m*PZ'
    pm =  0.9209
    

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    (Ver Ejemplo 2 de “Funciones de una Variable Aleatoria”) El comité cultural de una organización estudiantil ha organizado una oferta especial para entradas a un concierto. El acuerdo es que la organización comprará diez boletos a $20 cada uno (independientemente del número de compradores individuales). Los boletos adicionales están disponibles según el siguiente horario:

    • 11-20, $18 cada uno
    • 21-30, $16 cada uno
    • 31-50, $15 cada uno
    • 51-100, $13 cada uno

    Si el número de compradores es una variable aleatoria\(X\), el costo total (en dólares) es una cantidad aleatoria\(Z = g(X)\) descrita por

    \(g(X) = 200 + 18 I_{M1} (X) (X - 10) + (16 - 18) I_{M2} (X) (X - 20) +\)

    \((15 - 16) I_{M_3} (X) (X - 30) + (13 - 15) I_{M4} (X) (X - 50)\)

    donde\(M1 = [10, \infty)\)\(M2 = [20, \infty)\),\(M3 = [30, \infty)\),\(M4 = [50, \infty)\)

    Supongamos\(X\) ~ Poisson (75). Aproximar la distribución de Poisson truncando a 150. Determinar\(P(Z \ge 1000)\),\(P(Z \ge 1300)\) y\(P(900 \le Z \le 1400)\).

    Contestar
    X = 0:150;
    PX = ipoisson(75,X);
    G = 200 + 18*(X - 10).*(X>=10) + (16 - 18)*(X - 20).*(X>=20) + ...
         (15 - 16)*(X- 30).*(X>=30) + (13 - 15)*(X - 50).*(X>=50);
    P1 = (G>=1000)*PX'
    P1 =  0.9288
    P2 = (G>=1300)*PX'
    P2 =  0.1142
    P3 = ((900<=G)&(G<=1400))*PX'
    P3 =  0.9742
    [Z,PZ] = csort(G,PX);         % Alternate: use dbn for Z
    p1 = (Z>=1000)*PZ'
    p1 =  0.9288

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    (Ver Ejercicio 6 de “Problemas en vectores aleatorios y distribuciones conjuntas”, y Ejercicio 1 de “Problemas en clases independientes de variables aleatorias”) El par\(\{X, Y\}\) tiene la distribución conjunta

    (en m-file npr08_06.m):

    \(X = \)[-2.3 -0.7 1.1 3.9 5.1]\(Y = \) [1.3 2.5 4.1 5.3]

    \(P = \begin{bmatrix} 0.0483 & 0.0357 & 0.0420 & 0.0399 & 0.0441 \\ 0.0437 & 0.0323 & 0.0380 & 0.0361 & 0.0399 \\ 0.0713 & 0.0527 & 0.0620 & 0.0609 & 0.0551 \\ 0.0667 & 0.0493 & 0.0580 & 0.0651 & 0.0589 \end{bmatrix}\)

    Determinar\(P(\text{max }\{X, Y\} \le 4)\). Vamos\(Z = 3X^3 + 3X^2 Y - Y^3\).

    Determinar\(P(Z< 0)\) y\(P(-5 < Z \le 300)\).

    Contestar
    npr08_06
    Data are in X, Y, P
    jcalc
    Enter JOINT PROBABILITIES (as on the plane)  P
    Enter row matrix of VALUES of X  X
    Enter row matrix of VALUES of Y  Y
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    P1 = total((max(t,u)<=4).*P)
    P1 =  0.4860
    P2 = total((abs(t-u)>3).*P)
    P2 =  0.4516
    G = 3*t.^3 + 3*t.^2.*u - u.^3;
    P3 = total((G<0).*P)
    P3 =  0.5420
    P4 = total(((-5<G)&(G<=300)).*P)
    P4 =  0.3713
    [Z,PZ] = csort(G,P);          % Alternate: use dbn for Z
    p4 = ((-5<Z)&(Z<=300))*PZ'
    p4 =  0.3713

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    (Consulte el Ejercicio 2 de “Problemas en Clases Independientes de Variables Aleatorias”) El par\(\{X, Y\}\) tiene la distribución conjunta (en m-file npr09_02.m):

    \(X = \)[-3.9 -1.7 1.5 2 8 4.1]\(Y = \) [-2 1 2.6 5.1]

    \(P = \begin{bmatrix} 0.0589 & 0.0342 & 0.0304 & 0.0456 & 0.0209 \\ 0.0962 & 0.056 & 0.0498 & 0.0744 & 0.0341 \\ 0.0682 & 0.0398 & 0.0350 & 0.0528 & 0.0242 \\ 0.0868 & 0.0504 & 0.0448 & 0.0672 & 0.0308 \end{bmatrix}\)

    Determinar\(P(\{X + Y \ge 5\} \cup \{Y \le 2\})\),\(P(X^2 + Y^2 \le 10)\).

    Contestar
    npr09_02
    Data are in X, Y, P
    jcalc
    Enter JOINT PROBABILITIES (as on the plane)  P
    Enter row matrix of VALUES of X  X
    Enter row matrix of VALUES of Y  Y
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    M1 = (t+u>=5)|(u<=2);
    P1 = total(M1.*P)
    P1 =  0.7054
    M2 = t.^2 + u.^2 <= 10;
    P2 = total(M2.*P)
    P2 =  0.3282

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    (Ver Exercsie 7 de “Problemas en vectores aleatorios y distribuciones conjuntas”, y Ejercicio 3 de “Problemas en clases independientes de variables aleatorias”) El par tiene la distribución conjunta

    (en m-file npr08_07.m):

    npr08_07
    Data are in X, Y, P
    jcalc
    Enter JOINT PROBABILITIES (as on the plane)  P
    Enter row matrix of VALUES of X  X
    Enter row matrix of VALUES of Y  Y
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    M1 = t.^2 - 3*t <=0;
    P1 = total(M1.*P)
    P1 =  0.4500
    M2 = t.^3 - 3*abs(u) < 3;
    P2 = total(M2.*P)
    P2 =  0.7876
    G = 3*t.^2 + 2*t.*u - u.^2;  % Determine g(X,Y)
    [Z,PZ] = csort(G,P);         % Obtain dbn for Z = g(X,Y)
    ddbn                         % Call for plotting m-procedure
    Enter row matrix of VALUES  Z
    Enter row matrix of PROBABILITIES  PZ   % Plot not reproduced here
    H = t.*(t+u<=4) + 2*u.*(t+u>4);
    [W,PW] = csort(H,P);
    ddbn
    Enter row matrix of VALUES  W
    Enter row matrix of PROBABILITIES  PW   % Plot not reproduced here
    tuappr
    Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 2]
    Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 3]
    Enter number of X approximation points  200
    Enter number of Y approximation points  300
    Enter expression for joint density  (3/88)*(2*t + 3*u.^2).*(u<=1+t)
    Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
    G = 4*t.*(t<=1) + (t+u).*(t>1);
    [Z,PZ] = csort(G,P);
    PZ2 = (Z<=2)*PZ'
    PZ2 =  0.1010                       % Theoretical = 563/5632 = 0.1000
    tuappr
    Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 2]
    Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 1]
    Enter number of X approximation points  400
    Enter number of Y approximation points  200
    Enter expression for joint density  (24/11)*t.*u.*(u<=min(1,2-t))
    Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
    G = 0.5*t.*(u>t) + u.^2.*(u<t);
    [Z,PZ] = csort(G,P);
    pp = (Z<=1/4)*PZ'
    pp =  0.4844                        % Theoretical = 85/176 = 0.4830
    tuappr
    Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 2]
    Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 2]
    Enter number of X approximation points  300
    Enter number of Y approximation points  300
    Enter expression for joint density  (3/23)*(t + 2*u).*(u<=max(2-t,t))
    Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
    M = max(t,u) <= 1;
    G = M.*(t + u) + (1 - M)*2.*u;
    p = total((G<=1).*P)
    p =  0.1960                         % Theoretical = 9/46 = 0.1957
    tuappr
    Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 2]
    Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 2]
    Enter number of X approximation points  300
    Enter number of Y approximation points  300
    Enter expression for joint density  (12/179)*(3*t.^2 + u).*(u<=min(2,3-t))
    Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
    M = (t<=1)&(u>=1);
    Z = M.*(t + u) + (1 - M)*2.*u.^2;
    G = M.*(t + u) + (1 - M)*2.*u.^2;
    p = total((G<=2).*P)
    p =  0.6662                          % Theoretical = 119/179 = 0.6648
    tuappr
    Enter matrix [a b] of X-range endpoints  [0 2]
    Enter matrix [c d] of Y-range endpoints  [0 2]
    Enter number of X approximation points  400
    Enter number of Y approximation points  400
    Enter expression for joint density  (12/227)*(3*t+2*t.*u).*(u<=min(1+t,2))
    Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P
    Q = (u<=1).*(t<=1) + (t>1).*(u>=2-t).*(u<=t);
    P = total(Q.*P)
    P =  0.5478                        % Theoretical = 124/227 = 0.5463
    % file npr10_16.m  Data for Exercise 16.
    cx = [-2 1 3 0];
    pmx = 0.001*[255  25 375  45 108  12 162  18];
    cy = [1 3 1 -3];
    pmy = minprob(0.01*[32 56 40]);
    Z = [-1.3 1.2 2.7 3.4 5.8];
    PZ = 0.01*[12 24 43 13  8];
    disp('Data are in cx, pmx, cy, pmy, Z, PZ')
    npr10_16                % Call for data
    Data are in cx, pmx, cy, pmy, Z, PZ
    [X,PX] = canonicf(cx,pmx);
    [Y,PY] = canonicf(cy,pmy);
    icalc3
    Enter row matrix of X-values  X
    Enter row matrix of Y-values  Y
    Enter row matrix of Z-values  Z
    Enter X probabilities  PX
    Enter Y probabilities  PY
    Enter Z probabilities  PZ
    Use array operations on matrices X, Y, Z,
    PX, PY, PZ, t, u, v, and P
    M = t.^2 + 3*t.*u.^2 > 3*v;
    PM = total(M.*P)
    PM =  0.3587
    X = [-3.1 -0.5 1.2 2.4 3.7 4.9];
    PX = 0.01*[15 22 33 12 11  7];
    ddbn
    Enter row matrix of VALUES  X
    Enter row matrix of PROBABILITIES  PX  % Plot not reproduced here
    dquanplot
    Enter VALUES for X  X
    Enter PROBABILITIES for X  PX          % Plot not reproduced here
    rand('seed',0)                      % Reset random number generator
    dsample                             % for comparison purposes
    Enter row matrix of VALUES  X
    Enter row matrix of PROBABILITIES  PX
    Sample size n  10000
        Value      Prob    Rel freq
       -3.1000    0.1500    0.1490
       -0.5000    0.2200    0.2164
        1.2000    0.3300    0.3340
        2.4000    0.1200    0.1184
        3.7000    0.1100    0.1070
        4.9000    0.0700    0.0752
    Sample average ex = 0.8792
    Population mean E[X] = 0.859
    Sample variance vx = 5.146
    Population variance Var[X] = 5.112
    

    This page titled 10.4: Problemas en las funciones de variables aleatorias is shared under a CC BY 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Paul Pfeiffer via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.