10.4: Problemas en las funciones de variables aleatorias
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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Supongamos que\(X\) es una variable aleatoria no negativa, absolutamente continua. Vamos\(Z = g(X) = Ce^{-aX}\), donde\(a > 0\),\(C > 0\). Entonces\(0 < Z \le C\). Utilice las propiedades de la función logarítmica exponencial y natural para mostrar que
\(F_Z (v) = 1 - F_X (- \dfrac{\text{In } (v/C)}{a})\)para\(0 < v \le C\)
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\(Z = Ce^{-aX} \le v\)iff\(e^{-aX} \le v/C\) iff\(-aX \le \text{In } (v/C)\) iff\(X \ge - \text{In } (v/C)/a\), para que
\(F_Z(v) = P(Z \le v) = P(X \ge -\text{In } (v/C)/a) = 1 - F_X (-\dfrac{\text{In } (v/C)}{a})\)
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Usa el resultado del Ejercicio 10.4.1 para mostrar que si\(X\) ~ exponencial\((\lambda)\), entonces
\(F_Z (v) = (\dfrac{v}{C})^{\lambda/a}\)\(0 < v \le C\)
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\(F_Z (v) = 1 - [1- exp (-\dfrac{\lambda}{a} \cdot \text{In } (v/C))] = (\dfrac{v}{C})^{\lambda/a}\)
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
Valor presente de costos futuros. Supongamos que el dinero puede invertirse a una tasa anual a, agravada continuamente. Entonces un dólar en mano ahora, tiene un valor\(e^{ax}\) al final de los\(x\) años. De ahí que un dólar gastado\(x\) años en el futuro tenga un valor presente e\(^{-ax}\). Supongamos que un dispositivo puesto en funcionamiento tiene tiempo para fallar (en años)\(X\) ~ exponencial (\(\lambda\)). Si el costo del reemplazo al fallar es de\(C\) dólares, entonces el valor presente de la reposición es\(Z = Ce^{-aX}\). Supongamos\(\lambda = 1/10\)\(a = 0.07\),, y\(C =\) $1000.
- Utilizar el resultado del Ejercicio 10.4.2. para determinar la probabilidad\(Z \le 700, 500, 200\).
- Utilice una aproximación discreta para la densidad exponencial para aproximar las probabilidades en la parte (a). Truncar\(X\) a 1000 y usar 10,000 puntos de aproximación.
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\(P(Z \le v) = (\dfrac{v}{1000})^{10/7}\)
v = [700 500 200]; P = (v/1000).^(10/7) P = 0.6008 0.3715 0.1003 tappr Enter matrix [a b] of x-range endpoints [0 1000] Enter number of x approximation points 10000 Enter density as a function of t 0.1*exp(-t/10) Use row matrices X and PX as in the simple case G = 1000*exp(-0.07*t); PM1 = (G<=700)*PX' PM1 = 0.6005 PM2 = (G<=500)*PX' PM2 = 0.3716 PM3 = (G<=200)*PX' PM3 = 0.1003
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Almacenado óptimo de mercancía. Un comerciante está planeando para la temporada navideña. Tiene la intención de abastecer m unidades de un determinado artículo a un costo de c por unidad. La experiencia indica que la demanda puede ser representada por una variable aleatoria\(D\) ~ Poisson (\(\mu\)). Si las unidades permanecen en stock al final de la temporada, podrán ser devueltas con recuperación de\(r\) por unidad. Si la demanda excede el número originalmente solicitado, se pueden pedir unidades adicionales a un costo de s cada una. Las unidades se venden a un precio\(p\) por unidad. Si\(Z = g(D)\) es la ganancia de las ventas, entonces
- Para\(t \le m\),\(g(t) = (p - c) t- (c - r)(m - t) = (p - r)t + (r - c) m\)
- Para\(t > m\),\(g(t) = (p - c)m + (t - m) (p - s) = (p - s) t + (s - c)m\)
Vamos\(M = (-\infty, m]\). Entonces
\(g(t) = I_M(t) [(p - r) t + (r - c)m] + I_M(t) [(p - s) t + (s - c) m]\)
Supongamos\(\mu = 50\)\(m = 50\)\(c = 30\)\(p = 50\)\(r = 20\)\(s = 40\).
Aproximar la variable aleatoria de Poisson\(D\) truncando a 100. Determinar\(P(500 \le Z \le 1100)\).
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mu = 50; D = 0:100; c = 30; p = 50; r = 20; s = 40; m = 50; PD = ipoisson(mu,D); G = (p - s)*D + (s - c)*m +(s - r)*(D - m).*(D <= m); M = (500<=G)&(G<=1100); PM = M*PD' PM = 0.9209 [Z,PZ] = csort(G,PD); % Alternate: use dbn for Z m = (500<=Z)&(Z<=1100); pm = m*PZ' pm = 0.9209
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
(Ver Ejemplo 2 de “Funciones de una Variable Aleatoria”) El comité cultural de una organización estudiantil ha organizado una oferta especial para entradas a un concierto. El acuerdo es que la organización comprará diez boletos a $20 cada uno (independientemente del número de compradores individuales). Los boletos adicionales están disponibles según el siguiente horario:
- 11-20, $18 cada uno
- 21-30, $16 cada uno
- 31-50, $15 cada uno
- 51-100, $13 cada uno
Si el número de compradores es una variable aleatoria\(X\), el costo total (en dólares) es una cantidad aleatoria\(Z = g(X)\) descrita por
\(g(X) = 200 + 18 I_{M1} (X) (X - 10) + (16 - 18) I_{M2} (X) (X - 20) +\)
\((15 - 16) I_{M_3} (X) (X - 30) + (13 - 15) I_{M4} (X) (X - 50)\)
donde\(M1 = [10, \infty)\)\(M2 = [20, \infty)\),\(M3 = [30, \infty)\),\(M4 = [50, \infty)\)
Supongamos\(X\) ~ Poisson (75). Aproximar la distribución de Poisson truncando a 150. Determinar\(P(Z \ge 1000)\),\(P(Z \ge 1300)\) y\(P(900 \le Z \le 1400)\).
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X = 0:150; PX = ipoisson(75,X); G = 200 + 18*(X - 10).*(X>=10) + (16 - 18)*(X - 20).*(X>=20) + ... (15 - 16)*(X- 30).*(X>=30) + (13 - 15)*(X - 50).*(X>=50); P1 = (G>=1000)*PX' P1 = 0.9288 P2 = (G>=1300)*PX' P2 = 0.1142 P3 = ((900<=G)&(G<=1400))*PX' P3 = 0.9742 [Z,PZ] = csort(G,PX); % Alternate: use dbn for Z p1 = (Z>=1000)*PZ' p1 = 0.9288
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
(Ver Ejercicio 6 de “Problemas en vectores aleatorios y distribuciones conjuntas”, y Ejercicio 1 de “Problemas en clases independientes de variables aleatorias”) El par\(\{X, Y\}\) tiene la distribución conjunta
(en m-file npr08_06.m):
\(X = \)[-2.3 -0.7 1.1 3.9 5.1]\(Y = \) [1.3 2.5 4.1 5.3]
\(P = \begin{bmatrix} 0.0483 & 0.0357 & 0.0420 & 0.0399 & 0.0441 \\ 0.0437 & 0.0323 & 0.0380 & 0.0361 & 0.0399 \\ 0.0713 & 0.0527 & 0.0620 & 0.0609 & 0.0551 \\ 0.0667 & 0.0493 & 0.0580 & 0.0651 & 0.0589 \end{bmatrix}\)
Determinar\(P(\text{max }\{X, Y\} \le 4)\). Vamos\(Z = 3X^3 + 3X^2 Y - Y^3\).
Determinar\(P(Z< 0)\) y\(P(-5 < Z \le 300)\).
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npr08_06 Data are in X, Y, P jcalc Enter JOINT PROBABILITIES (as on the plane) P Enter row matrix of VALUES of X X Enter row matrix of VALUES of Y Y Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P P1 = total((max(t,u)<=4).*P) P1 = 0.4860 P2 = total((abs(t-u)>3).*P) P2 = 0.4516 G = 3*t.^3 + 3*t.^2.*u - u.^3; P3 = total((G<0).*P) P3 = 0.5420 P4 = total(((-5<G)&(G<=300)).*P) P4 = 0.3713 [Z,PZ] = csort(G,P); % Alternate: use dbn for Z p4 = ((-5<Z)&(Z<=300))*PZ' p4 = 0.3713
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
(Consulte el Ejercicio 2 de “Problemas en Clases Independientes de Variables Aleatorias”) El par\(\{X, Y\}\) tiene la distribución conjunta (en m-file npr09_02.m):
\(X = \)[-3.9 -1.7 1.5 2 8 4.1]\(Y = \) [-2 1 2.6 5.1]
\(P = \begin{bmatrix} 0.0589 & 0.0342 & 0.0304 & 0.0456 & 0.0209 \\ 0.0962 & 0.056 & 0.0498 & 0.0744 & 0.0341 \\ 0.0682 & 0.0398 & 0.0350 & 0.0528 & 0.0242 \\ 0.0868 & 0.0504 & 0.0448 & 0.0672 & 0.0308 \end{bmatrix}\)
Determinar\(P(\{X + Y \ge 5\} \cup \{Y \le 2\})\),\(P(X^2 + Y^2 \le 10)\).
- Contestar
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npr09_02 Data are in X, Y, P jcalc Enter JOINT PROBABILITIES (as on the plane) P Enter row matrix of VALUES of X X Enter row matrix of VALUES of Y Y Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P M1 = (t+u>=5)|(u<=2); P1 = total(M1.*P) P1 = 0.7054 M2 = t.^2 + u.^2 <= 10; P2 = total(M2.*P) P2 = 0.3282
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
(Ver Exercsie 7 de “Problemas en vectores aleatorios y distribuciones conjuntas”, y Ejercicio 3 de “Problemas en clases independientes de variables aleatorias”) El par tiene la distribución conjunta
(en m-file npr08_07.m):
npr08_07 Data are in X, Y, P jcalc Enter JOINT PROBABILITIES (as on the plane) P Enter row matrix of VALUES of X X Enter row matrix of VALUES of Y Y Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P M1 = t.^2 - 3*t <=0; P1 = total(M1.*P) P1 = 0.4500 M2 = t.^3 - 3*abs(u) < 3; P2 = total(M2.*P) P2 = 0.7876
G = 3*t.^2 + 2*t.*u - u.^2; % Determine g(X,Y) [Z,PZ] = csort(G,P); % Obtain dbn for Z = g(X,Y) ddbn % Call for plotting m-procedure Enter row matrix of VALUES Z Enter row matrix of PROBABILITIES PZ % Plot not reproduced here
H = t.*(t+u<=4) + 2*u.*(t+u>4); [W,PW] = csort(H,P); ddbn Enter row matrix of VALUES W Enter row matrix of PROBABILITIES PW % Plot not reproduced here
tuappr Enter matrix [a b] of X-range endpoints [0 2] Enter matrix [c d] of Y-range endpoints [0 3] Enter number of X approximation points 200 Enter number of Y approximation points 300 Enter expression for joint density (3/88)*(2*t + 3*u.^2).*(u<=1+t) Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P G = 4*t.*(t<=1) + (t+u).*(t>1); [Z,PZ] = csort(G,P); PZ2 = (Z<=2)*PZ' PZ2 = 0.1010 % Theoretical = 563/5632 = 0.1000
tuappr Enter matrix [a b] of X-range endpoints [0 2] Enter matrix [c d] of Y-range endpoints [0 1] Enter number of X approximation points 400 Enter number of Y approximation points 200 Enter expression for joint density (24/11)*t.*u.*(u<=min(1,2-t)) Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P G = 0.5*t.*(u>t) + u.^2.*(u<t); [Z,PZ] = csort(G,P); pp = (Z<=1/4)*PZ' pp = 0.4844 % Theoretical = 85/176 = 0.4830
tuappr Enter matrix [a b] of X-range endpoints [0 2] Enter matrix [c d] of Y-range endpoints [0 2] Enter number of X approximation points 300 Enter number of Y approximation points 300 Enter expression for joint density (3/23)*(t + 2*u).*(u<=max(2-t,t)) Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P M = max(t,u) <= 1; G = M.*(t + u) + (1 - M)*2.*u; p = total((G<=1).*P) p = 0.1960 % Theoretical = 9/46 = 0.1957
tuappr Enter matrix [a b] of X-range endpoints [0 2] Enter matrix [c d] of Y-range endpoints [0 2] Enter number of X approximation points 300 Enter number of Y approximation points 300 Enter expression for joint density (12/179)*(3*t.^2 + u).*(u<=min(2,3-t)) Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P M = (t<=1)&(u>=1); Z = M.*(t + u) + (1 - M)*2.*u.^2; G = M.*(t + u) + (1 - M)*2.*u.^2; p = total((G<=2).*P) p = 0.6662 % Theoretical = 119/179 = 0.6648
tuappr Enter matrix [a b] of X-range endpoints [0 2] Enter matrix [c d] of Y-range endpoints [0 2] Enter number of X approximation points 400 Enter number of Y approximation points 400 Enter expression for joint density (12/227)*(3*t+2*t.*u).*(u<=min(1+t,2)) Use array operations on X, Y, PX, PY, t, u, and P Q = (u<=1).*(t<=1) + (t>1).*(u>=2-t).*(u<=t); P = total(Q.*P) P = 0.5478 % Theoretical = 124/227 = 0.5463
% file npr10_16.m Data for Exercise 16. cx = [-2 1 3 0]; pmx = 0.001*[255 25 375 45 108 12 162 18]; cy = [1 3 1 -3]; pmy = minprob(0.01*[32 56 40]); Z = [-1.3 1.2 2.7 3.4 5.8]; PZ = 0.01*[12 24 43 13 8]; disp('Data are in cx, pmx, cy, pmy, Z, PZ') npr10_16 % Call for data Data are in cx, pmx, cy, pmy, Z, PZ [X,PX] = canonicf(cx,pmx); [Y,PY] = canonicf(cy,pmy); icalc3 Enter row matrix of X-values X Enter row matrix of Y-values Y Enter row matrix of Z-values Z Enter X probabilities PX Enter Y probabilities PY Enter Z probabilities PZ Use array operations on matrices X, Y, Z, PX, PY, PZ, t, u, v, and P M = t.^2 + 3*t.*u.^2 > 3*v; PM = total(M.*P) PM = 0.3587
X = [-3.1 -0.5 1.2 2.4 3.7 4.9]; PX = 0.01*[15 22 33 12 11 7]; ddbn Enter row matrix of VALUES X Enter row matrix of PROBABILITIES PX % Plot not reproduced here dquanplot Enter VALUES for X X Enter PROBABILITIES for X PX % Plot not reproduced here rand('seed',0) % Reset random number generator dsample % for comparison purposes Enter row matrix of VALUES X Enter row matrix of PROBABILITIES PX Sample size n 10000 Value Prob Rel freq -3.1000 0.1500 0.1490 -0.5000 0.2200 0.2164 1.2000 0.3300 0.3340 2.4000 0.1200 0.1184 3.7000 0.1100 0.1070 4.9000 0.0700 0.0752 Sample average ex = 0.8792 Population mean E[X] = 0.859 Sample variance vx = 5.146 Population variance Var[X] = 5.112