Saltar al contenido principal
Library homepage
 
LibreTexts Español

12.4: Problemas de varianza, covarianza, regresión lineal

  • Page ID
    151004
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    (Consulte el Ejercicio 1 de "Problemas sobre las Funciones de Distribución y Densidad “, y el Ejercicio 1 de" Problemas sobre la Expectativa Matemática “, m-file npr07_01.m). La clase\(\{C_j: 1 \le j \le 10\}\) es una partición. \(X\)La variable aleatoria tiene valores {1, 3, 2, 3, 4, 2, 1, 3, 5, 2} on\(C_1\) through\(C_{10}\), respectivamente, con probabilidades 0.08, 0.13, 0.06, 0.09, 0.14, 0.11, 0.12, 0.07, 0.11, 0.09. Determinar\(\text{Var} [X]\).

    Contestar
    npr07_01
    Data are in T and pc
    EX = T*pc'
    EX =  2.7000
    VX = (T.^2)*pc' - EX^2
    VX =  1.5500
    [X,PX] = csort(T,pc);    % Alternate
    Ex = X*PX'
    Ex =  2.7000
    Vx = (X.^2)*PX' - EX^2
    Vx =  1.5500

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    (Consulte el Ejercicio 2 de "Problemas sobre las Funciones de Distribución y Densidad “, y el Ejercicio 2 de" Problemas sobre la Expectativa Matemática “, m-file npr07_02.m). Una tienda tiene ocho artículos a la venta. Los precios son de $3.50, $5.00, $3.50, $7.50, $5.00, $5.00, $3.50 y $7.50, respectivamente. Entra un cliente. Ella compra uno de los artículos con probabilidades 0.10, 0.15, 0.15, 0.20, 0.10 0.05, 0.10 0.15. Se puede escribir la variable aleatoria que expresa el monto de su compra

    \(X = 3.5 I_{C_1} + 5.0 I_{C_2} + 3.5 I_{C_3} + 7.5 I_{C_4} + 5.0 I_{C_5} + 5.0 I_{C_6} + 3.5 I_{C_7} + 7.5 I_{C_8}\)

    Determinar\(\text{Var} [X]\).

    Contestar
    npr07_02
    Data are in T, pc
    EX = T*pc';
    VX = (T.^2)*pc' - EX^2
    VX =  2.8525

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    (Consulte el Ejercicio 12 de "Problemas sobre variables y probabilidades aleatorias “, Ejercicio 3 de" Problemas sobre la expectativa matemática “, m-file npr06_12.m). La clase\(\{A, B, C, D\}\) tiene probabilidades minterm

    \(pm = \)0,001 * [5 7 6 8 9 14 22 33 21 32 50 75 86 129 201 302]

    Considerar\(X = I_A + I_B + I_C + I_D\), que cuenta el número de estos eventos que ocurren en un juicio. Determinar\(\text{Var} [X]\).

    Contestar
    npr06_12
    Minterm probabilities in pm, coefficients in c
    canonic
     Enter row vector of coefficients  c
     Enter row vector of minterm probabilities  pm
    Use row matrices X and PX for calculations
    Call for XDBN to view the distribution
    VX = (X.^2)*PX' - (X*PX')^2
    VX =  0.7309

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    (Consulte el Ejercicio 4 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “). En una tormenta eléctrica en un parque nacional hay 127 rayos. La experiencia muestra que la probabilidad de que cada rayo inicie un incendio es de aproximadamente 0.0083. Determinar\(\text{Var} [X]\).

    Contestar

    \(X\)~ binomio (127, 0.0083). \(\text{Var} [X] = 127 \cdot 0.0083 \cdot (1-0.0083) = 1.0454\).

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    (Consulte el Ejercicio 5 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “). Dos monedas son volteadas veinte veces. Dejar\(X\) ser el número de coincidencias (ambas cabezas o ambas colas). Determinar\(\text{Var} [X]\).

    Contestar

    \(X\)~ binomio (20, 1/2). \(\text{Var}[X] = 20 \cdot (1/2)^2 = 5\).

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    (Consulte el Ejercicio 6 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “). Un Colegio residencial planea recaudar dinero vendiendo “chances” en un tablero. Se venden cincuenta oportunidades. Un jugador paga $10 para jugar; gana $30 con probabilidad\(p = 0.2\). El beneficio para el Colegio es

    \(X = 50 \cdot 10 - 30 N\), donde\(N\) está el número de ganadores

    Determinar\(\text{Var} [X]\).

    Contestar

    \(N\)~ binomio (50, 0.2). \(\text{Var}[N] = 50 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 8\). \(\text{Var} [X] = 30^2\ \text{Var} [N] = 7200\).

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    (Consulte el Ejercicio 7 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “). El número de pulsos de ruido que llegan a un circuito de alimentación en una hora es una cantidad aleatoria\(X\) que tiene distribución de Poisson (7). Determinar\(\text{Var} [X]\).

    Contestar

    \(X\)~ Poisson (7). \(\text{Var} [X] = \mu = 7\).

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    (Consulte el Ejercicio 24 de "Problemas sobre las Funciones de Distribución y Densidad “, y el Ejercicio 8 de" Problemas sobre la Expectativa Matemática “). El tiempo total de operación para las unidades en el Ejercicio 24 de "Problemas en las Funciones de Distribución y Densidad" es una variable aleatoria\(T\) ~ gamma (20, 0.0002). Determinar\(\text{Var} [T]\).

    Contestar

    \(T\)~ gamma (20, 0.0002). \(\text{Var}[T] = 20/0.0002^2 = 500,000,000\).

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    La clase\(\{A, B, C, D, E, F\}\) es independiente, con respectivas probabilidades

    0.43, 0.53, 0.46, 0.37, 0.45, 0.39. Let

    \(X = 6 I_A + 13 I_B - 8I_C\),\(Y = -3I_D + 4 I_E + I_F - 7\)

    a. Utilizar propiedades de expectativa y varianza para obtener\(E[X]\),\(\text{Var} [X]\),\(E[Y]\), y\(\text{Var}[Y]\). Tenga en cuenta que no es necesario obtener las distribuciones para\(X\) o\(Y\).

    b. vamos\(Z = 3Y - 2X\).

    Determinar\(E[Z]\), y\(\text{Var} [Z]\).

    Contestar
    cx = [6 13 -8 0];
    cy = [-3 4 1 -7];
    px = 0.01*[43 53 46 100];
    py = 0.01*[37 45 39 100];
    EX = dot(cx,px)
    EX =   5.7900
    EY = dot(cy,py)
    EY =  -5.9200
    VX = sum(cx.^2.*px.*(1-px))
    VX =  66.8191
    VY = sum(cy.^2.*py.*(1-py))
    VY =   6.2958
    EZ = 3*EY - 2*EX
    EZ = -29.3400
    VZ = 9*VY + 4*VX
    VZ = 323.9386

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Considerar\(X = -3.3 I_A - 1.7 I_B + 2.3 I_C + 7.6 I_D - 3.4\). La clase\(\{A, B, C, D\}\) tiene probabilidades minterm (los datos están en m-file npr12_10.m)

    \(\text{pmx} =\)[0.0475 0.0725 0.0120 0.0180 0.1125 0.1675 0.0280 0.0420\(\cdot\cdot\cdot\)

    0.0480 0.0720 0.0130 0.0170 0.1120 0.1680 0.0270 0.0430]

    a. Calcular\(E[X]\) y\(\text{Var} [X]\).

    b. vamos\(W = 2X^2 - 3X + 2\).
    Calcular\(E[W]\) y\(\text{Var} [W]\)

    Contestar
    npr12_10
    Data are in cx, cy, pmx and pmy
    canonic
     Enter row vector of coefficients  cx
     Enter row vector of minterm probabilities  pmx
    Use row matrices X and PX for calculations
    Call for XDBN to view the distribution
    EX = dot(X,PX)
    EX =  -1.2200
    VX = dot(X.^2,PX) - EX^2
    VX =  18.0253
    G = 2*X.^2 - 3*X + 2;
    [W,PW] = csort(G,PX);
    EW = dot(W,PW)
    EW =  44.6874
    VW = dot(W.^2,PW) - EW^2
    VW =  2.8659e+03

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Considera una segunda variable aleatoria\(Y = 10 I_E + 17 I_F + 20 I_G - 10\) además de la del Ejercicio 12.4.10. La clase\(\{E, F, G\}\) tiene probabilidades minterm (en mfile npr12_10.m)

    \(\text{pmy} =\)[0.06 0.14 0.09 0.21 0.06 0.14 0.09 0.21]

    El par\(\{X, Y\}\) es independiente.

    a. Calcular\(E[Y]\) y\(\text{Var} [Y]\).

    b. vamos\(Z = X^2 + 2XY - Y\).
    Calcular\(E[Z]\) y\(\text{Var} [Z]\).

    Contestar

    (Continuación del Ejercicio 12.4.10)

    [Y,PY] = canonicf(cy,pmy);
    EY = dot(Y,PY)
    EY =  19.2000
    VY = dot(Y.^2,PY) - EY^2
    VY = 178.3600
    icalc
    Enter row matrix of X-values  X
    Enter row matrix of Y-values  Y
    Enter X probabilities  PX
    Enter Y probabilities  PY
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    H = t.^2 + 2*t.*u - u;
    [Z,PZ] = csort(H,P);
    EZ = dot(Z,PZ)
    EZ = -46.5343
    VZ = dot(Z.^2,PZ) - EZ^2
    VZ =  3.7165e+04

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Supongamos que el par\(\{X, Y\}\) es independiente, con\(X\) ~ gamma (3, 0.1) y

    \(Y\)~ Poisson (13). Vamos\(Z = 2X - 5Y\). Determinar\(E[Z]\) y\(\text{Var} [Z]\).

    Contestar

    \(X\)~ gamma (3, 0.1) implica\(E[X] = 30\) y\(\text{Var} [X] = 300.\)\(Y\) ~ Poisson (13) implica\(E[Y] = \text{Var} [Y] = 13\). Entonces

    \(E[Z] = 2\cdot 30 - 5 \cdot 13 = -5\),\(\text{Var}[Z] = 4 \cdot 300 + 25 \cdot 13 = 1525\).

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    El par\(\{X, Y\}\) se distribuye conjuntamente con los siguientes parámetros:

    \(E[X] = 3\),\(E[Y] = 4\),\(E[XY] = 15\),\(E[X^2] = 11\),\(\text{Var} [Y] = 5\)

    Determinar\(\text{Var} [3X - 2Y]\).

    Contestar
    EX = 3;
    EY = 4;
    EXY = 15;
    EX2 = 11;
    VY = 5;
    VX = EX2 - EX^2
    VX =  2
    CV = EXY - EX*EY
    CV =  3
    VZ = 9*VX + 4*VY - 6*2*CV
    VZ =  2

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    La clase\(\{A, B, C, D, E, F\}\) es independiente, con respectivas probabilidades

    0.47, 0.33, 0.46, 0.27, 0.41, 0.37

    Let

    \(X = 8I_A + 11 I_B - 7I_C\),\(Y = -3I_D + 5I_E + I_F - 3\), y\(Z = 3Y - 2X\)

    a. Utilizar propiedades de expectativa y varianza para obtener\(E[X]\),\(\text{Var} [X]\),\(E[Y]\), y\(\text{Var}[Y]\).

    b. Determinar\(E[Z]\), y\(\text{Var} [Z]\).

    c. Utilizar programas m apropiados para obtener\(E[X]\),\(\text{Var} [X]\),\(E[Y]\)\(\text{Var} [Y]\),\(E[Z]\), y\(\text{Var} [Z]\). Comparar con los resultados de las partes (a) y (b).

    Contestar
    px = 0.01*[47 33 46 100];
    py = 0.01*[27 41 37 100];
    cx = [8 11 -7 0];
    cy = [-3 5 1 -3];
    ex = dot(cx,px)
    ex =   4.1700
    ey = dot(cy,py)
    ey =  -1.3900
    vx = sum(cx.^2.*px.*(1 - px))
    vx =  54.8671
    vy = sum(cy.^2.*py.*(1-py))
    vy =   8.0545
    [X,PX] = canonicf(cx,minprob(px(1:3)));
    [Y,PY] = canonicf(cy,minprob(py(1:3)));
    icalc
    Enter row matrix of X-values  X
    Enter row matrix of Y-values  Y
    Enter X probabilities  PX
    Enter Y probabilities  PY
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    EX = dot(X,PX)
    EX =   4.1700
    EY = dot(Y,PY)
    EY =  -1.3900
    VX = dot(X.^2,PX) - EX^2
    VX =  54.8671
    VY = dot(Y.^2,PY) - EY^2
    VY =   8.0545
    EZ = 3*EY - 2*EX
    EZ = -12.5100
    VZ = 9*VY + 4*VX
    VZ = 291.9589

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Para la distribución Beta (\(r, s\)).

    a. Determinar\(E[X^n]\), donde\(n\) es un entero positivo.

    b. utilizar el resultado de la parte (a) para determinar\(E[X]\) y\(\text{Var} [X]\).

    Contestar

    \(E[X^n] = \dfrac{\Gamma (r + s)}{\Gamma (r) \Gamma (s)} \int_0^1 t^{r + n - 1} dt = \dfrac{\Gamma (r + s)}{\Gamma (r) \Gamma (s)} \cdot \dfrac{\Gamma (r + n) \Gamma (s)}{\Gamma (r + s + n)} =\)

    \(\dfrac{\Gamma (r + n) \Gamma (r + s)}{\Gamma (r + s + n) \Gamma (r)}\)

    Usando\(\Gamma (x + 1) = x \Gamma (x)\) tenemos

    \(E[X] = \dfrac{r}{r + s}\),\(E[X^2] = \dfrac{r(r + 1)}{(r + s) (r + s + 1)}\)

    Algunas manipulaciones algebraicas muestran que

    \(\text{Var} [X] = E[X^2] - E^2[X] = \dfrac{rs} {(r + s)^2 (r + s + 1)}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    El par\(\{X, Y\}\) tiene distribución conjunta. Supongamos

    \(E[X] = 3\),\(E[X^2] = 11\),\(E[Y] = 10\),\(E[Y^2] = 101\),\(E[XY] = 30\)

    Determinar\(\text{Var} [15X - 2Y]\).

    Contestar
    EX = 3;
    EX2 = 11;
    EY = 10;
    EY2 = 101;
    EXY = 30;
    VX = EX2 - EX^2
    VX =    2
    VY = EY2 - EY^2
    VY =    1
    CV = EXY - EX*EY
    CV =    0
    VZ = 15^2*VX + 2^2*VY
    VZ =  454

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    El par\(\{X, Y\}\) tiene distribución conjunta. Supongamos

    \(E[X] = 2\),\(E[X^2] = 5\),\(E[Y] = 1\),\(E[Y^2] = 2\),\(E[XY] = 1\)

    Determinar\(\text{Var} [3X + 2Y]\).

    Contestar
    EX = 2;
    EX2 = 5;
    EY = 1;
    EY2 = 2;
    EXY = 1;
    VX = EX2 - EX^2
    VX =    1
    VY = EY2 - EY^2
    VY =    1
    CV = EXY - EX*EY
    CV =   -1
    VZ = 9*VX + 4*VY + 2*6*CV
    VZ =    1

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    El par\(\{X, Y\}\) es independiente, con

    \(E[X] = 2\),\(E[Y] = 1\),\(\text{Var} [X] = 6\),\(\text{Var} [Y] = 4\)

    Vamos\(Z = 2X^2 + XY^2 - 3Y + 4\).

    Determinar\(E[Z]\).

    Contestar
    EX = 2;
    EY = 1;
    VX = 6;
    VY = 4;
    EX2 = VX + EX^2
    EX2 =  10
    EY2 = VY + EY^2
    EY2 =   5
    EZ = 2*EX2 + EX*EY2 - 3*EY + 4
    EZ =   31

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    (Consulte el Ejercicio 9 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “). La variable aleatoria X tiene función de densidad

    \(f_X (t) = \begin{cases} (6/5) t^2 & \text{for } 0 \le t \le 1 \\ (6/5)(2 - t) & \text{for } 1 < t \le 2 \end{cases} = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{6}{5} t^2 + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{6}{5} (2 - t)\)

    \(E[X] = 11/10\). Determinar\(\text{Var} [X]\).

    Contestar

    \(E[X^2] = \int t^2 f_X (t)\ dt = \dfrac{6}{5} \int_0^1 t^4\ dt + \dfrac{6}{5} \int_1^2 (2t^2 - t^3)\ dt = \dfrac{67}{50}\)

    \(\text{Var} [X] = E[X^2] - E^2[X] = \dfrac{13}{100}\)

    Para las distribuciones en Ejercicios 20-22

    Determinar\(\text{Var} [X]\),\(\text{Cov} [X, Y]\), y la línea de regresión de\(Y\) on\(X\).

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    (Consulte el Ejercicio 7 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 17 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). El par\(\{X, Y\}\) tiene la distribución conjunta (en el archivo npr08_07.m):

    \(P(X = t, Y = u)\)

    t = -3.1 -0.5 1.2 2.4 3.7 4.9
    u = 7.5 0.0090 0.0396 0.0594 0.0216 0.0440 0.0203
    4.1 0.0495 0 0.1089 0.0528 0.0363 0.0231
    -2.0 0.0405 0.1320 0.0891 0.0324 0.0297 0.0189
    -3.8 0.0510 0.0484 0.0726 0.0132 0 0.0077
    Contestar
    npr08_07
    Data are in X, Y, P
    jcalc
    - - - - - - - - - - -
    EX = dot(X,PX);
    EY = dot(Y,PY);
    VX = dot(X.^2,PX) - EX^2
    VX =   5.1116
    CV = total(t.*u.*P) - EX*EY
    CV =   2.6963
    a = CV/VX
    a =    0.5275
    b = EY - a*EX
    b =    0.6924       % Regression line: u = at + b

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    (Consulte el Ejercicio 8 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 18 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). El par\(\{X, Y\}\) tiene la distribución conjunta (en el archivo npr08_08.m):

    \(P(X = t, Y = u)\)

    t = 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
    u = 12 0.0156 0.0191 0.0081 0.0035 0.0091 0.0070 0.0098 0.0056 0.0091 0.0049
    10 0.0064 0.0204 0.0108 0.0040 0.0054 0.0080 0.0112 0.0064 0.0104 0.0056
    9 0.0196 0.0256 0.0126 0.0060 0.0156 0.0120 0.0168 0.0096 0.0056 0.0084
    5 0.0112 0.0182 0.0108 0.0070 0.0182 0.0140 0.0196 0.0012 0.0182 0.0038
    3 0.0060 0.0260 0.0162 0.0050 0.0160 0.0200 0.0280 0.0060 0.0160 0.0040
    -1 0.0096 0.0056 0.0072 0.0060 0.0256 0.0120 0.0268 0.0096 0.0256 0.0084
    -3 0.0044 0.0134 0.0180 0.0140 0.0234 0.0180 0.0252 0.0244 0.0234 0.0126
    -5 0.0072 0.0017 0.0063 0.0045 0.0167 0.0090 0.0026 0.0172 0.0217 0.0223
    Contestar
    npr08_08
    Data are in X, Y, P
    jcalc
    - - - - - - - - - - - -
    EX = dot(X,PX);
    EY = dot(Y,PY);
    VX = dot(X.^2,PX) - EX^2
    VX =  31.0700
    CV = total(t.*u.*P) - EX*EY
    CV =  -8.0272
    a  = CV/VX
    a  =  -0.2584
    b = EY - a*EX
    b  =   5.6110       % Regression line: u = at + b

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    (Ver Ejercicio 9 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y Ejercicio 19 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). Se conservaron datos sobre el efecto del tiempo de capacitación en el tiempo para realizar un trabajo en una línea de producción. \(X\)es la cantidad de entrenamiento, en horas, y\(Y\) es el tiempo para realizar la tarea, en minutos. Los datos son los siguientes (en el archivo npr08_09.m):

    \(P(X = t, Y = u)\)

    t = 1 1.5 2 2.5 3
    u = 5 0.039 0.011 0.005 0.001 0.001
    4 0.065 0.070 0.050 0.015 0.010
    3 0.031 0.061 0.137 0.051 0.033
    2 0.012 0.049 0.163 0.058 0.039
    1 0.003 0.009 0.045 0.025 0.017
    Contestar
    npr08_09
    Data are in X, Y, P
    jcalc
    - - - - - - - - - - - -
    EX = dot(X,PX);
    EY = dot(Y,PY);
    VX = dot(X.^2,PX) - EX^2
    VX =   0.3319
    CV = total(t.*u.*P) - EX*EY
    CV =  -0.2586
    a  = CV/VX
    a  =  -0.77937/6;
    b = EY - a*EX
    b  =   4.3051       % Regression line: u = at + b

    Para las densidades articulares en los Ejercicios 23-30 siguientes

    1. Determinar analíticamente\(\text{Var} [X]\)\(\text{Cov} [X, Y]\), y la línea de regresión de\(Y\) on\(X\).
    2. Compruébalos con una aproximación discreta.

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    (Consulte el Ejercicio 10 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 20 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). \(f_{XY} (t, u) = 1\)para\(0 \le t \le 1\),\(0 \le u \le 2(1 - t)\).

    \(E[X] = \dfrac{1}{3}\),\(E[X^2] = \dfrac{1}{6}\),\(E[Y] = \dfrac{2}{3}\)

    Contestar

    \(E[XY] = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2(1-t)} tu\ dudt = 1/6\)

    \(\text{Cov} [X, Y] = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = -1/18\)\(\text{Var} [X] = 1/6 - (1/3)^2 = 1/18\)

    \(a = \text{Cov} [X, Y] /\text{Var} [X] = -1\)\(b = E[Y] - aE[X] = 1\)

    tuappr: [0 1] [0 2] 200 400  u<=2*(1-t)
    EX = dot(X,PX);
    EY = dot(Y,PY);
    VX = dot(X.^2,PX) - EX^2
    VX =   0.0556
    CV = total(t.*u.*P) - EX*EY
    CV =  -0.0556
    a = CV/VX
    a =   -1.0000
    b = EY - a*EX
    b =    1.0000

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    (Consulte el Ejercicio 13 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 23 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{1}{8} (t + u)\)para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le 2\).

    \(E[X] = E[Y] = \dfrac{7}{6}\),\(E[X^2] = \dfrac{5}{3}\)

    Contestar

    \(E[XY] = \dfrac{1}{8} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} tu (t + u)\ dudt = 4/3\),\(\text{Cov} [X, Y] = -1/36\),\(\text{Var} [X] = 11/36\)

    \(a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = -1/11\),\(b = E[Y] - a E[X] = 14/11\)

    tuappr:  [0 2] [0 2] 200 200 (1/8)*(t+u)
    VX =  0.3055  CV = -0.0278  a = -0.0909  b =  1.2727

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    (Consulte el Ejercicio 15 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 25 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{88} (2t + 3u^2)\)para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le 1 + t\).

    \(E[X] = \dfrac{313}{220}\),\(E[Y] = \dfrac{1429}{880}\),\(E[X^2] = \dfrac{49}{22}\)

    Contestar

    \(E[XY] = \dfrac{3}{88} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1+t} tu (2t + 3u^2)\ dudt = 2153/880\),\(\text{Cov} [X, Y] = 26383/1933600\),\(\text{Var} [X] = 9831/48400\)

    \(a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = 26383/39324\),\(b = E[Y] - a E[X] = 26321/39324\)

    tuappr:  [0 2] [0 3] 200 300  (3/88)*(2*t + 3*u.^2).*(u<=1+t)
    VX =  0.2036  CV = 0.1364 a = 0.6700  b = 0.6736
    

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    (Consulte el Ejercicio 16 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 26 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). \(f_{XY} (t, u) = 12t^2 u\)en el paralelogramo con vértices

    (-1, 0), (0, 0), (1, 1), (0, 1)

    \(E[X] = \dfrac{2}{5}\),\(E[Y] = \dfrac{11}{15}\),\(E[X^2] = \dfrac{2}{5}\)

    Contestar

    \(E[XY] = 12 \int_{-1}^{0} \int_{0}^{t + 1} t^3 u^2\ dudt + 12 \int_{0}^{1} \int_{t}^{1} t^3 u^2 \ dudt = \dfrac{2}{5}\)

    \(\text{Cov} [X, Y] = \dfrac{8}{75}\),\(\text{Var} [X] = \dfrac{6}{25}\)

    \(a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = 4/9\),\(b = E[Y] - a E[X] = 5/9\)

    tuappr: [-1 1] [0 1] 400 200  12*t.^2.*u.*(u>= max(0,t)).*(u<= min(1+t,1))
    VX = 0.2383  CV = 0.1056  a = 0.4432  b = 0.5553

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    (Consulte el Ejercicio 17 de "Problemas en Vectores Aleatorios y Distribuciones Conjuntas “, y el Ejercicio 27 de" Problemas sobre la Expectativa Matemática “). \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{24}{11} tu\)para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min } \{1, 2 - t\}\).

    \(E[X] = \dfrac{52}{55}\),\(E[Y] = \dfrac{32}{55}\),\(E[X^2] = \dfrac{627}{605}\)

    Contestar

    \(E[XY] = \dfrac{24}{11} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} t^2 u^2\ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2-t} t^2 u^2 \ dudt = \dfrac{28}{55}\)

    \(\text{Cov} [X, Y] = -\dfrac{124}{3025}\),\(\text{Var} [X] = \dfrac{431}{3025}\)

    \(a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = -\dfrac{124}{431}\),\(b = E[Y] - a E[X] = \dfrac{368}{431}\)

    tuappr: [0 2] [0 1] 400 200 (24/11)*t.*u.*(u<=min(1,2-t))
    VX = 0.1425  CV =-0.0409  a = -0.2867 b = 0.8535

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

    (Consulte el Ejercicio 18 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 28 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{23} (t + 2u)\), para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{max } \{2 - t, t\}\).

    \(E[X] = \dfrac{53}{46}\),\(E[Y] = \dfrac{22}{23}\),\(E[X^2] = \dfrac{9131}{5290}\)

    Contestar

    \(E[XY] = \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2-t} tu (t + 2u)\ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{1}^{2} \int_{0}^{t} tu (t + 2u) \ dudt = \dfrac{251}{230}\)

    \(\text{Cov} [X, Y] = -\dfrac{57}{5290}\),\(\text{Var} [X] = \dfrac{4217}{10580}\)

    \(a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = -\dfrac{114}{4217}\),\(b = E[Y] - a E[X] = \dfrac{4165}{4217}\)

    tuappr: [0 2] [0 2] 200 200 (3/23)*(t + 2*u).*(u<=max(2-t,t))
    VX = 0.3984 CV = -0.0108  a = -0.0272  b = 0.9909

    Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

    (Consulte el Ejercicio 21 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 31 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{2}{13} (t + 2u)\), para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min } \{2t, 3 - t\}\).

    \(E[X] = \dfrac{16}{13}\),\(E[Y] = \dfrac{11}{12}\),\(E[X^2] = \dfrac{2847}{1690}\)

    Contestar

    \(E[XY] = \dfrac{2}{13} \int_{0}^{1} \int_{0}^{3-t} tu (t + 2u)\ dudt + \dfrac{2}{13} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2t} tu (t + 2u) \ dudt = \dfrac{431}{390}\)

    \(\text{Cov} [X, Y] = -\dfrac{3}{130}\),\(\text{Var} [X] = \dfrac{287}{1690}\)

    \(a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = -\dfrac{39}{297}\),\(b = E[Y] - a E[X] = \dfrac{3733}{3444}\)

    tuappr: [0 2] [0 2] 400 400 (2/13)*(t + 2*u).*(u<=min(2*t,3-t))
    VX = 0.1698  CV = -0.0229  a = -0.1350  b = 1.0839

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

    (Consulte el Ejercicio 22 de "Problemas sobre vectores aleatorios y distribuciones conjuntas “, y el Ejercicio 32 de" Problemas sobre la expectativa matemática “). \(f_{XY} (t, u) = I_{[0, 1]} (t) \dfrac{3}{8} (t^2 + 2u) + I_{(1, 2]} (t) \dfrac{9}{14} t^2u^2\), para\(0 \le u \le 1\).

    \(E[X] = \dfrac{243}{224}\),\(E[Y] = \dfrac{11}{16}\),\(E[X^2] = \dfrac{107}{70}\)

    Contestar

    \(E[XY] = \dfrac{3}{8} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} tu (t^2 + 2u)\ dudt + \dfrac{9}{14} \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} t^3u^3 \ dudt = \dfrac{347}{448}\)

    \(\text{Cov} [X, Y] = -\dfrac{103}{3584}\),\(\text{Var} [X] = \dfrac{88243}{250880}\)

    \(a = \text{Cov} [X, Y]/\text{Var} [X] = -\dfrac{7210}{88243}\),\(b = E[Y] - a E[X] = \dfrac{105691}{176486}\)

    tuappr: [0 2] [0 1] 400 200 (3/8)*(t.^2 + 2*u).*(t<=1) + (9/14)*t.^2.*u.^2.*(t>1)
    VX = 0.3517  CV = 0.0287 a = 0.0817  b = 0.5989

    Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

    La clase\(\{X, Y, Z\}\) de variables aleatorias es iid (independiente, distribuida idénticamente) con distribución común

    \(X =\)[-5 -1 3 4 7]\(PX =\) 0.01 * [15 20 30 25 10]

    Vamos\(W = 3X - 4Y + 2Z\). Determinar\(E[W]\) y\(\text{Var} [W]\). Haga esto usando icalc, luego repita con icalc3 y compare los resultados.

    Contestar
    x = [-5 -1 3 4 7];
    px = 0.01*[15 20 30 25 10];
    EX = dot(x,px)                % Use of properties
    EX =   1.6500
    VX = dot(x.^2,px) - EX^2
    VX =  12.8275
    EW = (3 - 4+ 2)*EX
    EW =   1.6500
    VW = (3^2 + 4^2 + 2^2)*VX
    VW = 371.9975
    icalc                         % Iterated use of icalc
    Enter row matrix of X-values  x
    Enter row matrix of Y-values  x
    Enter X probabilities  px
    Enter Y probabilities  px
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    G = 3*t - 4*u;
    [R,PR] = csort(G,P);
    icalc
    Enter row matrix of X-values  R
    Enter row matrix of Y-values  x
    Enter X probabilities  PR
    Enter Y probabilities  px
     Use array operations on matrices X, Y, PX, PY, t, u, and P
    H = t + 2*u;
    [W,PW] = csort(H,P);
    EW = dot(W,PW)
    EW =   1.6500
    VW = dot(W.^2,PW) - EW^2
    VW = 371.9975
    icalc3                        % Use of icalc3
    Enter row matrix of X-values  x
    Enter row matrix of Y-values  x
    Enter row matrix of Z-values  x
    Enter X probabilities  px
    Enter Y probabilities  px
    Enter Z probabilities  px
    Use array operations on matrices X, Y, Z,
    PX, PY, PZ, t, u, v, and P
    S = 3*t - 4*u + 2*v;
    [w,pw] = csort(S,P);
    Ew = dot(w,pw)
    Ew =   1.6500
    Vw = dot(w.^2,pw) - Ew^2
    Vw = 371.9975

    Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

    \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{88} (2t + 3u^2)\)para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le 1 + t\) (ver Ejercicio 25 y Ejercicio 37 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “).

    \(Z = I_{[0, 1]} (X) 4X + I_{(1, 2]} (X) (X+ Y)\)

    \(E[X] = \dfrac{313}{220}\),\(E[Z] = \dfrac{5649}{1760}\),\(E[Z^2] = \dfrac{4881}{440}\)

    Determinar\(\text{Var} [Z]\) y\(\text{Cov} [X, Z]\). Consultar con aproximación discreta.

    Contestar

    \(E[XZ] = \dfrac{3}{88} \int_0^1 \int_{0}^{1+t} 4t^2 (2t + 2u^2)\ dudt + \dfrac{3}{88} \int_{1}^{2} \int_{0}^{1 + t} t (t + u) (2t + 3u^2)\ dudt = \dfrac{16931}{3520}\)

    \(\text{Var} [Z] = E[Z^2] - E^2[Z] = \dfrac{2451039}{3097600}\)\(\text{Cov} [X,Z] = E[XZ] - E[X] E[Z] = \dfrac{94273}{387200}\)

    tuappr: [0 2] [0 3] 200 300 (3/88)*(2*t+3*u.^2).*(u<=1+t)
    G = 4*t.*(t<=1) + (t+u).*(t>1);
    EZ = total(G.*P)
    EZ = 3.2110
    EX = dot(X,PX)
    EX = 1.4220
    CV = total(G.*t.*P) - EX*EZ
    CV = 0.2445                       % Theoretical 0.2435
    VZ = total(G.^2.*P) - EZ^2
    VZ = 0.7934                       % Theoretical 0.7913

    Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

    \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{24}{11} tu\)para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min } \{1, 2 - t\}\) (ver Ejercicio 27 y Ejercicio 38 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “).

    \(Z = I_M (X,Y) (X + Y) + I_{M^c} (X, Y) 2Y\),\(M = \{(t, u): \text{max } (t, u) \le 1\}\)

    \(E[X] = \dfrac{52}{55}\),\(E[Z] = \dfrac{16}{55}\),\(E[Z^2] = \dfrac{39}{308}\)

    Determinar\(\text{Var} [Z]\) y\(\text{Cov} [X, Z]\). Consultar con aproximación discreta.

    Contestar

    \(E[XZ] = \dfrac{24}{11} \int_0^1 \int_{t}^{1} t (t/2) tu \ dudt + \dfrac{24}{11} \int_{0}^{1} \int_{0}^{t} tu^2tu \ dudt \dfrac{24}{11} \int_1^2 \int_{0}^{2 - t} t tu^2 tu\ dudt= \dfrac{211}{770}\)

    \(\text{Var} [Z] = E[Z^2] - E^2[Z] = \dfrac{3557}{84700}\)\(\text{Cov} [Z,X] = E[XZ] - E[X] E[Z] = -\dfrac{43}{42350}\)

    tuappr:  [0 2] [0 1] 400 200 (24/11)*t.*u.*(u<=min(1,2-t))
    G = (t/2).*(u>t) + u.^2.*(u<=t);
    VZ = total(G.^2.*P) - EZ^2
    VZ =   0.0425
    CV = total(t.*G.*P) - EZ*dot(X,PX)
    CV = -9.2940e-04

    Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

    \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{3}{23} (t + 2u)\)para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{max } \{2 - t, t\}\) (ver Ejercicio 28 y Ejercicio 39 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “).

    \(Z = I_M (X, Y) (X+Y) + I_{M^c} (X, Y) 2Y\),\(M = \{(t, u): \text{max } (t, u) \le 1\}\)

    \(E[X] = \dfrac{53}{46}\),\(E[Z] = \dfrac{175}{92}\),\(E[Z^2] = \dfrac{2063}{460}\)

    Determinar\(\text{Var} [Z]\) y\(\text{Cov} [Z]\). Consultar con aproximación discreta.

    Contestar

    \(E[ZX] = \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} t (t + u) (t + 2u) \ dudt + \dfrac{3}{23} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2 - t} 2tu(t + 2u) \ dudt +\)

    \(\dfrac{3}{23} \int_{1}^{2} \int_{1}^{t} 2tu(t + 2u)\ dudt = \dfrac{1009}{460}\)

    \(\text{Var} [Z] = E[Z^2] - E^2[Z] = \dfrac{36671}{42320}\)\(\text{Cov} [Z, X] = E[ZX] - E[Z] E[X] = \dfrac{39}{21160}\)

    tuappr:  [0 2] [0 2] 400 400 (3/23)*(t+2*u).*(u<=max(2-t,t))
    M = max(t,u)<=1;
    G = (t+u).*M + 2*u.*(1-M);
    EZ = total(G.*P);
    EX = dot(X,PX);
    CV = total(t.*G.*P) - EX*EZ
    CV =  0.0017

    Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

    \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{179} (3t^2 + u)\), para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min } \{2, 3 - t\}\) (ver Ejercicio 29 y Ejercicio 40 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “).

    \(Z = I_M (X, Y) (X+Y) + I_{M^c} (X, Y) 2Y^2\),\(M = \{(t, u): t \le 1, u \ge 1\}\)

    \(E[X] = \dfrac{2313}{1790}\),\(E[Z] = \dfrac{1422}{895}\),\(E[Z^2] = \dfrac{28296}{6265}\)

    Determinar\(\text{Var} [Z]\) y\(\text{Cov} [X, Z]\). Consultar con aproximación discreta.

    Contestar

    \(E[ZX] = \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} t (t + u) (3t^2 + u) \ dudt + \dfrac{12}{179} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 2tu^2 (3t^2 + u) \ dudt +\)

    \(\dfrac{12}{179} \int_{1}^{2} \int_{0}^{3 - t} 2tu^2(3t^2 + u)\ dudt = \dfrac{24029}{12530}\)

    \(\text{Var} [Z] = E[Z^2] - E^2[Z] = \dfrac{11170332}{5607175}\)\(\text{Cov} [Z, X] = E[ZX] - E[Z] E[X] = -\dfrac{1517647}{11214350}\)

    tuappr:  [0 2] [0 2] 400 400 (12/179)*(3*t.^2 + u).*(u <= min(2,3-t))
    M = (t<=1)&(u>=1);
    G = (t + u).*M + 2*u.^2.*(1 - M);
    EZ = total(G.*P);
    EX = dot(X,PX);
    CV = total(t.*G.*P) - EZ*EX
    CV = -0.1347

    Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

    \(f_{XY} (t, u) = \dfrac{12}{227} (3t + 2tu)\), para\(0 \le t \le 2\),\(0 \le u \le \text{min } \{1 + t, 2\}\) (ver Ejercicio 30 y Ejercicio 41 de "Problemas sobre la Expectativa Matemática “).

    \(Z = I_M (X, Y) X + I_{M^c} (X, Y) XY\),\(M = \{(t, u): u \le \text{min } (1, 2 - t)\}\)

    \(E[X] = \dfrac{1567}{1135}\),\(E[Z] = \dfrac{5774}{3405}\),\(E[Z^2] = \dfrac{56673}{15890}\)

    Determinar\(\text{Var} [Z]\) y\(\text{Cov} [X, Z]\). Consultar con aproximación discreta.

    Contestar

    \(E[ZX] = \dfrac{12}{227} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} t^2 (3t + 2tu) \ dudt + \dfrac{12}{227} \int_{1}^{2} \int_{0}^{2-t} t^2(3t + 2tu) \ dudt +\)

    \(\dfrac{12}{227} \int_{0}^{1} \int_{1}^{1 + t} t^2 u(3t + 2tu)\ dudt + \dfrac{12}{227} \int_{1}^{2} \int_{2 - t}^{2} t^2 u(3t + 2tu)\ dudt = \dfrac{20338}{7945}\)

    \(\text{Var} [Z] = E[Z^2] - E^2[Z] = \dfrac{112167631}{162316350}\)\(\text{Cov} [Z, X] = E[ZX] - E[Z] E[X] = \dfrac{5915884}{27052725}\)

    tuappr: [0 2] [0 2] 400 400 (12/227)*(3*t + 2*t.*u).*(u <= min(1+t,2))
    EX = dot(X,PX);
    M = u <= min(1,2-t);
    G = t.*M + t.*u.*(1 - M);
    EZ = total(G.*P);
    EZX = total(t.*G.*P)
    EZX =  2.5597
    CV = EZX - EX*EZ
    CV =   0.2188
    VZ = total(G.^2.*P) - EZ^2
    VZ =   0.6907

    Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

    (Ver Ejercicio 12.4.20, y Ejercicios 9 y 10 de "Problemas sobre Funciones de Variables Aleatorias “). Para el par\(\{X, Y\}\) en el Ejercicio 12.4.20, vamos

    \(Z = g(X, Y) = 3X^2 + 2XY - Y^2\)

    \(W = h(X, Y) = \begin{cases} X & \text{for } X + Y \le 4 \\ 2Y & \text{for } X + Y > 4 \end{cases} = I_M (X, Y) X + I_{M^c} (X, Y) 2Y\)

    Determinar la distribución conjunta para el par\(\{Z, W\}\) y determinar la línea de regresión de\(W\) on\(Z\).

    Contestar
    npr08_07
    Data are in X, Y, P
    jointzw
    Enter joint prob for (X,Y) P
    Enter values for X X
    Enter values for Y Y
    Enter expression for g(t,u) 3*t.^2 + 2*t.*u - u.^2
    Enter expression for h(t,u) t.*(t+u<=4) + 2*u.*(t+u>4)
    Use array operations on Z, W, PZ, PW, v, w, PZW
    EZ = dot(Z,PZ)
    EZ =    5.2975
    EW = dot(W,PW)
    EW =    4.7379
    VZ = dot(Z.^2,PZ) - EZ^2
    VZ =    1.0588e+03
    CZW = total(v.*w.*PZW) - EZ*EW
    CZW = -12.1697
    a = CZW/VZ
    a =   -0.0115
    b = EW - a*EZ
    b =    4.7988                 % Regression line: w = av + b
    

    This page titled 12.4: Problemas de varianza, covarianza, regresión lineal is shared under a CC BY 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Paul Pfeiffer via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.