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17.6: Apéndice F a Probabilidad Aplicada- Propiedades de expectativa condicional, dado un vector aleatorio

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    Suponemos, sin aseveración repetida, que las variables aleatorias y funciones de vectores aleatorios son integrables, según sea necesario.
    (CE1): Definición de condición. \(e(X) = E[g(Y)|X]\)a.s. iff\(E[I_M (X) g(Y)] = E[I_M (X) e(X)]\) para cada conjunto de Borel\(M\) en el codominio de\(X\).
    (CE1a): Si\(P(X \in M) > 0\), entonces\(E[I_M(X) e(X)] = E[g(Y)|X \in M] P(X \in M)\)
    (CE1b): Ley de probabilidad total. \(E[g(Y)] = E\{[g(Y)|X]\}\)
    (CE2): Linealidad. Para cualquier constante\(a, b\)
    \(E[ag(Y) + bh(Z)|X] = aE[g(Y)|X] + bE[h(Z)|X]\) a.s.
    (Se extiende a cualquier combinación lineal finita)
    (CE3): positividad; monotonidad.
    a.\(g(Y) \ge 0\) a.s. implica\(E[g(Y)|X] \ge 0\) a.s.
    b.\(g(Y) \ge h(Z)\) a.s. implica\(E[g(Y)|X] \ge E[h(Z)|X]\) a.s.
    (CE4): Convergencia monótona. \(Y_n \to Y\)a.s. implica monótonamente\(E[Y_n |X] \to E[Y|X]\) a.s.
    (CE5): Independencia. \(\{X, Y\}\)es un par independiente
    a. iff\(E[g(Y)|X] = E[g(Y)]\) a.s. para todas las funciones de Borel\(g\)
    b. iff\(E[I_N (Y)|X] = E[I_N (Y)]\) a.s. para todos los conjuntos de Borel\(N\) en el codominio de\(Y\)
    (CE6):\(e(X) = E[g(Y)|X]\) a.s. iff\(E[h(X)g(Y)] = E[h(X)e(X)]\) a.s. para cualquier Función Borel\(h\)
    (CE7):\(E[h(X)|X] = h(X)\) a.s. para cualquier función Borel\(h\)
    (CE8):\(E[h(X)g(Y)|X] = h(X) E[g(Y)|X]\) a.s. para cualquier función Borel\(h\)
    (CE9): Si\(X = h(W)\) y\(W = k(X)\), con funciones\(h, k\) Borel, entonces\(E[g(Y)|X] = E[g(Y)|W]\) a.s.
    (CE10): Si\(g\) es una función de Borel tal que\(E[g(t, Y)]\) es finita para todos\(t\) en el rango de\(X\) y\(E[g(X, Y)]\) es finita, entonces
    a.\(E[g(X, Y)|X = t] = E[g(t, Y)|X = t]\) a.s.\([P_X]\)
    b. Si\(\{X, Y\}\) es independiente, entonces\(E[g(X, Y)|X = t] = E[g(t, Y)]\) a.s.\([P_X]\)
    (CE11): Supongamos que\(\{X(t): t \in T\}\) es un proceso aleatorio medible de valor real cuyo conjunto de parámetros\(T\) es un subconjunto de Borel de la línea real y\(S\) es una variable aleatoria cuyo rango es un subconjunto de\(T\), por lo que\(X(S)\) es una variable aleatoria.
    Si\(E[X(t)]\) es finito para all\(t\) in\(T\) y\(E[X(S)]\) es finito, entonces
    a.\ 9E [X (S) |S = t] = E [X (t) |S = t]\) a.s\([P_S]\)
    b. Si, además,\(\{S, X_T\}\) es independiente, entonces\(E[X(S)|S = t] = E[X(t)]\) a.s.\([P_S]\)
    (CE12): Aditividad contable y sumas contables.
    a. si\(Y\) es integrable en\(A\) y\(A = \bigvee_{n = 1}^{\infty} A_n\).
    entonces\(E[I_A Y|X] = \sum_{n = 1}^{\infty} E[I_A Y|X]\) a.s.
    b. Si\(\sum_{n = 1}^{\infty} E[|Y_n|] < \infty\), thne\(E[\sum_{n = 1}^{\infty} Y_n|X]\) a.s.
    (CE13): Desigualdad triangular. \(|E[g(Y)|X]| \le E[|g(Y)||X]\)a.s.
    (CE14): La desigualdad de Jensen. Si\(g\) es una función convexa en un intervalo\(I\) que contiene el rango de una variable aleatoria real\(Y\), entonces\(g\{E[Y|X]\} \le E[g(Y)|X]\) a.s.
    (CE15): Supongamos\(E[|Y|^p] < \infty\) y\(E[|Z|^p] < \infty\) para\(1 \le p < \infty\). Entonces\(E\{|E[Y|X] - E[Z|X]|^p\} \le E[|Y - Z|^p] < \infty\)


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