Saltar al contenido principal
Library homepage
 
LibreTexts Español

17.7: Apéndice G a Probabilidad Aplicada- Propiedades de independencia condicional, dado un vector aleatorio

  • Page ID
    151105
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Definición

    El par\(\{X, Y\}\) es condicionalmente independiente, dado Z, denotado\(\{X, Y\}\) ci\(|Z\) iff

    \(E[I_M(X) I_N (Y)|Z] = E[I_M(X)|Z] E[I_N(Y)|Z]\)a.s. para todos los juegos de Borel\(M, N\)

    Una clase arbitraria\(\{X_t: t \in T\}\) de vectores aleatorios es condicionalmente independiente, dar\(Z\), si dicha regla de producto se mantiene para cada subclase finita o dos o más miembros de la clase.

    OBSERVACIÓN. La expresión “para todos los conjuntos de Borel”\(M\)\(N\), aquí y en otros lugares, implica que los conjuntos están en los codominios apropiados. Además, las expresiones a continuación “para todas las funciones de Borel”\(g\), etc., implican que las funciones son de valor real, de tal manera que las expectativas indicadas son finitas.

    Los siguientes son equivalentes. Cada uno es necesario y suficiente que\(\{X, Y\}\) ci\(|Z\).

    (CI1):\(E[I_M (X) I_N (Y)|Z] = E[I_M (X)|Z] E[I_N (Y)|Z]\) a.s. para todos los conjuntos de Borel\(M, N\)
    (CI2):\(E[I_M (X)|Z, Y] = E[I_M(X)|Z]\) a.s. para todos los conjuntos de Borel\(M\)
    (CI3):\(E[I_M (X)I_Q(Z)|Z,Y] = E[I_M(X)I_Q(Z)|Z]\) a.s. para todos los conjuntos de Borel\(M, Q\)
    (CI4):\(E[I_M (X) I_Q(Z)|Y] = E\{E[I_M(X) I_Q (Z)|Z]|Y\}\) a.s. para todos los conjuntos de Borel\(M, Q\)

    ****
    (CI5):\(E[g(X, Z)h(Y, Z)|Z] = E[g(X,Z)|Z]E[h(Y, Z)|Z]\) a.s. para todas las funciones de Borel\(g\),\(h\)
    (CI6):\(E[g(X, Z)|Z, Y] = E[g(X, Z)|Z]\) a.s. para todas las funciones de Borel\(g\)
    (CI7): Para cualquier función de Borel\(g\), existe una función Borel\(e_g\) tal que

    \(E[g(X, Z)|Z,Y] = e_g(Z)\)a.s.

    (CI8):\(E[g(X,Z)|Y] = E\{E[g(X, Z)|Z]|Y\}\) a.s. para todas las funciones de Borel\(g\)

    ****
    (CI9):\(\{U, V\}\) ci\(|Z\), dónde\(U = g(X,Z)\) y\(V =h(Y,Z)\), para cualquier función de Borel\(g, h\).

    Propiedades adicionales de independencia condicional

    (CI10):\(\{X, Y\}\) ci\(|Z\) implica\(\{X, Y\}\) ci\(|(Z, U)\)\(|(Z, V)\),\(\{X, Y\}\) ci y\(\{X, Y\}\) ci\(|(Z, U, V)\), donde\(U = h(X)\) y\(V = k(Y)\), con\(h, k\) Borel.
    (CI11):\(\{X, Z\}\) ci\(|Y\) y\(\{X, W\}\) ci\(|(Y, Z)\) iff\(\{X, (Z, W)\}\) ci\(|Y\).
    (CI12):\(\{X, Z\}\) ci\(|Y\) y\(\{(X, Y), W\}\) ci\(|Z\) implica\(\{X, (Z, W)\}\) es independiente.
    (CI13):\(\{X, Y\}\) es independiente y\(\{X, Y\}\) ci\(|Y\) iff\(\{X, (Y, Z)\}\) es independiente.
    (CI14):\(\{X, Y\}\) ci\(|Z\) implica\(E[g(X, Y)|Y = u, Z = v] = E[g(X, u)|Z = v]\) a.s.\([P_{YZ}]\)
    (CI15):\(\{X, Y\}\) ci\(|Z\) implica
    a.\(E[g(X, Z)h(Y, Z)] = E\{E[g(X, Z)|Z] E[h(Y, Z)|Z]\} = E[e_1(Z)e_2(Z)]\)
    b.\(E[g(Y)|X \in M] P(X \in M) = E\{E[I_M(X)|Z] E[g(Y)|Z]\}\)
    (CI16):\(\{(X, Y), Z\}\) ci\(|W\) iff\(E[I_M(X)I_N(Y)I_Q(Z)|W] = E[I_M(X)I_N (Y)|W] E[I_Q(Z)|W]\) a.s. para todos Borel conjuntos\(M, N, Q\)


    This page titled 17.7: Apéndice G a Probabilidad Aplicada- Propiedades de independencia condicional, dado un vector aleatorio is shared under a CC BY 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Paul Pfeiffer via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.