4.3: Distribución geométrica

La función de densidad de probabilidad geométrica se basa en lo que hemos aprendido de la distribución binomial. En este caso el experimento continúa hasta que se produce un éxito o un fracaso en lugar de un número determinado de ensayos. Hay tres características principales de un experimento geométrico.

1. Hay uno o más juicios de Bernoulli con todos los fracasos excepto el último, lo cual es un éxito. En otras palabras, sigues repitiendo lo que estás haciendo hasta el primer éxito. Entonces te detienes. Por ejemplo, lanzas un dardo a una diana hasta que golpeas la diana. La primera vez que golpeas la diana es un “éxito” así que dejas de lanzar el dardo. Podría tomar seis intentos hasta que golpees la diana. Se puede pensar en los juicios como fracaso, fracaso, fracaso, fracaso, éxito, STOP.
2. En teoría, el número de juicios podría continuar para siempre.
3. La probabilidad,\(p\), de un éxito y la probabilidad,\(q\), de un fracaso es la misma para cada ensayo. \(p + q = 1\)y\(q = 1 − p\). Por ejemplo, la probabilidad de rodar un tres cuando lanzas un dado justo es\(\frac{1}{6}\). Esto es cierto sin importar cuántas veces rodes el dado. Supongamos que quieres saber la probabilidad de conseguir los tres primeros en el quinto rollo. En rollos uno a cuatro, no se obtiene una cara con un tres. La probabilidad para cada uno de los rollos es q =\(\frac{5}{6}\), la probabilidad de un fallo. La probabilidad de conseguir un tres en el quinto rollo es\(\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{1}{6}\right) = 0.0804\)
4. \(X\)= el número de ensayos independientes hasta el primer éxito.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Juegas un juego de azar que puedes ganar o perder (no hay otras posibilidades) hasta que pierdes. Tu probabilidad de perder es\(p = 0.57\). ¿Cuál es la probabilidad de que tarden cinco juegos hasta que pierdes? Let\(X\) = el número de juegos que juegas hasta que pierdes (incluye el juego perdedor). Entonces X toma los valores 1, 2, 3,... (podría continuar indefinidamente). La pregunta de probabilidad es\(P (x = 5)\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Tiras dardos a una tabla hasta que golpeas el área central. Tu probabilidad de golpear el área central es\(p = 0.17\). Quieres encontrar la probabilidad de que tarden ocho lanzamientos hasta que golpees al centro. ¿Qué\(X\) valores adquiere?

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Una ingeniera de seguridad siente que el 35% de todos los accidentes industriales en su planta son causados por el hecho de que los empleados no sigan las instrucciones. Ella decide mirar los reportes de accidentes (seleccionados al azar y reemplazados en la pila después de leer) hasta encontrar uno que muestre un accidente causado por el hecho de que los empleados no sigan las instrucciones. En promedio, ¿cuántos informes esperaría mirar la ingeniera de seguridad hasta que encuentre un reporte que muestre un accidente causado por la falta de seguimiento de las instrucciones de los empleados? ¿Cuál es la probabilidad de que la ingeniera de seguridad tenga que examinar al menos tres reportes hasta que encuentre un reporte que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones del empleado?

Let\(X\) = el número de accidentes que el ingeniero de seguridad debe examinar hasta que encuentre un reporte que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones del empleado. X toma los valores 1, 2, 3,... La primera pregunta te pide encontrar el valor esperado o la media. La segunda pregunta te pide que encuentres\(P (x \geq 3)\). (“Al menos” se traduce como un símbolo “mayor que o igual a”).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Un instructor siente que el 15% de los estudiantes obtienen por debajo de una C en su examen final. Ella decide mirar los exámenes finales (seleccionados aleatoriamente y reemplazados en la pila después de leer) hasta encontrar uno que muestre una calificación por debajo de una C. Queremos saber la probabilidad de que la instructora tenga que examinar al menos diez exámenes hasta que encuentre uno con una calificación por debajo de una C. ¿Cuál es la pregunta de probabilidad expresado matemáticamente?

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Supongamos que estás buscando un estudiante en tu universidad que viva a menos de cinco millas de ti. Sabes que el 55% de los 25 mil estudiantes viven a menos de cinco millas de ti. Se pone en contacto aleatoriamente con estudiantes de la universidad hasta que uno dice que vive a menos de cinco millas de usted. ¿Cuál es la probabilidad de que necesites contactar a cuatro personas?

Este es un problema geométrico porque es posible que tengas una serie de fallas antes de tener el único éxito que deseas. Además, la probabilidad de éxito se mantiene aproximadamente igual cada vez que le preguntas a un estudiante si vive a menos de cinco millas de ti. No hay un número definido de pruebas (número de veces que le preguntas a un estudiante).

a. let\(X\) = el número de ____________ debes preguntar ____________ uno dice que sí.

Contestar

a. let\(X\) = el número de alumnos que debes preguntar hasta que uno diga que sí.

b. ¿Qué\(X\) valores adquiere?

Contestar

b. 1, 2, 3,..., (número total de alumnos)

c. ¿Qué son\(p\) y\(q\)?

Contestar

c.\(p = 0.55; q = 0.45\)

d. La pregunta de probabilidad es\(P\) (_______).

Contestar

d.\(P (x = 4)\)

Notación para la Función Geométrica: G = Distribución de Probabilidad Geométrica

\(X \sim G (p)\)

Lee esto como "\(X\)es una variable aleatoria con una distribución geométrica”. El parámetro es\(p\);\(p\) = la probabilidad de éxito para cada ensayo.

El Pdf Geométrico nos dice la probabilidad de que la primera ocurrencia de éxito requiera\(x\) número de ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito p. Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que el\(x\) th ensayo (fuera de\(x\) los ensayos) sea el primer éxito es:

\[\mathrm{P}(X=x)=(1-p)^{x-1} p\nonumber\]

para\(x = 1, 2, 3\),...
El valor esperado de\(X\), la media de esta distribución, es\(1/p\). Esto nos dice cuántos ensayos tenemos que esperar hasta que consigamos el primer éxito incluyendo en el recuento el ensayo que resulta en éxito. La forma anterior de la distribución Geométrica se utiliza para modelar el número de ensayos hasta el primer éxito. El número de ensayos incluye el que es un éxito:\(x\) = todos los ensayos incluyendo el que es un éxito. Esto se puede ver en la forma de la fórmula. Si\(X\) = número de ensayos incluyendo el éxito, entonces debemos multiplicar la probabilidad de fracaso,\((1-p)\), multiplicado por el número de fracasos, es decir\(X-1\).

Por el contrario, se utiliza la siguiente forma de distribución geométrica para modelar el número de fallas hasta el primer éxito:

\[\mathrm{P}(X=x)=(1-p)^{x} p\nonumber\]

para\(x = 0, 1, 2, 3\),...
En este caso el juicio que es un éxito no se cuenta como un juicio en la fórmula:\(x\) = número de fracasos. El valor esperado, media, de esta distribución es\(\mu=\frac{(1-p)}{p}\). Esto nos dice cuántos fracasos esperar antes de que tengamos un éxito. En cualquier caso, la secuencia de probabilidades es una secuencia geométrica.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Supongamos que la probabilidad de un componente informático defectuoso es 0.02. Los componentes se seleccionan aleatoriamente. Encuentra la probabilidad de que el primer defecto sea causado por el séptimo componente probado. ¿Cuántos componentes espera probar hasta que uno se encuentre defectuoso?

Let\(X\) = el número de componentes de computadora probados hasta que se encuentre el primer defecto.

X toma los valores\(1, 2, 3\),... donde\(p = 0.02. X \sim G(0.02)\)

Encuentra\(P (x = 7)\). Respuesta:\(P (x = 7) = (1 - 0.02)7-1 \times 0.02 = 0.0177\).

La probabilidad de que el séptimo componente sea el primer defecto es 0.0177.

La gráfica de\(X \sim G(0.02)\) es:

Figura\(\PageIndex{2}\)

El\(y\) eje -contiene la probabilidad de\(x\), donde\(X\) = el número de componentes de computadora probados. Observe que las probabilidades disminuyen en un incremento común. Este incremento es la misma relación entre cada número y se denomina progresión geométrica y por lo tanto el nombre de esta función de densidad de probabilidad.

El número de componentes que esperaría probar hasta encontrar el primer componente defectuoso es la media,\(\mu = 50\).

La fórmula para la media de la variable aleatoria definida como número de fallas hasta el primer éxito es\(\mu=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.02}=50\)

Ver Ejemplo\(\PageIndex{9}\) para un ejemplo donde la variable aleatoria geométrica se define como número de ensayos hasta el primer éxito. El valor esperado de esta fórmula para la geometría será diferente de esta versión de la distribución.

La fórmula para la varianza es\(\sigma^2 =\left(\frac{1}{p}\right)\left(\frac{1}{p}-1\right)=\left(\frac{1}{0.02}\right)\left(\frac{1}{0.02}-1\right)= 2,450\)

La desviación estándar es\(\sigma = \sqrt{\left(\frac{1}{p}\right)\left(\frac{1}{p}-1\right)}=\sqrt{\left(\frac{1}{0.02}\right)\left(\frac{1}{0.02}-1\right)} = 49.5\)

El riesgo de por vida de desarrollar cáncer de páncreas es aproximadamente uno de cada 78 (1.28%). Deja que X = el número de personas que preguntes antes de que una diga que tiene cáncer de páncreas. La variable aleatoria X en este caso incluye solo el número de ensayos que fueron fracasos y no cuenta el ensayo que fue un éxito para encontrar a una persona que tuviera la enfermedad. La fórmula apropiada para esta variable aleatoria es la segunda presentada anteriormente. Entonces X es una variable aleatoria discreta con una distribución geométrica: X ~ G\(\left(\frac{1}{78}\right)\) o X ~ G (0.0128).

1. ¿Cuál es la probabilidad de que le preguntes a 9 personas antes de que una diga que tiene cáncer de páncreas? Esto es preguntar, ¿cuál es la probabilidad de que le preguntes a 9 personas sin éxito y la décima persona sea un éxito?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que debas preguntar a 20 personas?
3. Encuentra la (i) media y (ii) desviación estándar de X.

Contestar

a.\(P(x=9)=(1-0.0128)^{9} \cdot 0.0128=0.0114\)

b.\(P(x=20)=(1-0.0128)^{19} \cdot 0.0128=0.01\)

1. Media =\(\mu =\frac{(1-p)}{p}=\frac{(1-0.0128)}{0.0128}=77.12\)
2. Desviación estándar =\(\sigma =\sqrt{\frac{1-p}{p^{2}}}=\sqrt{\frac{1-0.0128}{0.0128^{2}}} \approx 77.62\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

La tasa de alfabetización de una nación mide la proporción de personas mayores de 15 años que pueden leer y escribir. El índice de alfabetización de las mujeres en Las Colonias Unidas de la Independencia es de 12%. Deja\(X\) = el número de mujeres que pides hasta que una diga que está alfabetizada.

1. ¿Cuál es la distribución de probabilidad\(X\)?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que le preguntes a cinco mujeres antes de que una diga que está alfabetizada?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que debas preguntar a diez mujeres?

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Un beisbolista tiene un promedio de bateo de 0.320. Esta es la probabilidad general de que reciba un golpe cada vez que esté al bate.

¿Cuál es la probabilidad de que consiga su primer golpe en el tercer viaje para batear?

Contestar

\(P(x=3)=(1-0.32)^{3-1} \times .32=0.1480\)

En este caso la secuencia es fracaso, fracaso éxito.

¿Cuántos viajes para batear esperas que necesite el bateador antes de recibir un hit?

Contestar

\(\mu=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.320}=3.125 \approx 3\)

Esto es simplemente el valor esperado de los éxitos y por lo tanto la media de la distribución.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Hay un 80% de posibilidades de que un perro dálmata tenga 13 puntos negros. Acudes a una exposición canina y cuentas los spots en dálmatas. ¿Cuál es la probabilidad de que revises las manchas en 3 perros antes de encontrar uno que tenga 13 puntos negros?

Contestar

\(P(x=3)=(1-0.80)^{3} \times 0.80=0.0064\)

Notas al pie

1” Prevalencia del VIH, total (% de poblaciones entre 15 y 49 años)” El Banco Mundial, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/...last&sort=desc (consultado el 15 de mayo de 2013).