9.7: Términos clave del capítulo

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Distribución binomial: una variable aleatoria discreta (RV) que surge de los ensayos de Bernoulli. Hay un número fijo, n, de juicios independientes. “Independiente” significa que el resultado de cualquier ensayo (por ejemplo, el ensayo 1) no afecta los resultados de los siguientes ensayos, y todos los ensayos se llevan a cabo en las mismas condiciones. En estas circunstancias, el binomio RV XY se define como el número de éxitos en los\(n\) ensayos. La notación es:\(X \sim B(n, p) \mu = np\) y la desviación estándar es\(\sigma=\sqrt{n p q}\). La probabilidad de exactamente\(x\) éxitos en los\(n\) ensayos es\(P(X=x)=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right) p^{x} q^{n-x}\).

Teorema de Límite Central: Dada una variable aleatoria (RV) con media conocida\(\mu\) y desviación estándar conocida\(\sigma\). Estamos muestreando con tamaño n y estamos interesados en dos nuevas RV - la media muestral,\(\overline X\). Si el tamaño n de la muestra es suficientemente grande, entonces\(\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\). Si el tamaño n de la muestra es suficientemente grande, entonces la distribución de las medias de la muestra se aproximará a una distribución normal independientemente de la forma de la población. El valor esperado de la media de las medias de la muestra será igual a la media poblacional. La desviación estándar de la distribución de las medias muestrales\(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\),, se denomina error estándar de la media.

Intervalo de confianza (CI)

una estimación de intervalo para un parámetro de población desconocido. Esto depende de:

El nivel de confianza deseado.
Información que se conoce sobre la distribución (por ejemplo, desviación estándar conocida).
La muestra y su tamaño.

Valor Crítico: El\(t\) o\(Z\) valor establecido por el investigador que mide la probabilidad de un error Tipo I,\(\sigma\).

Hipótesis: una declaración sobre el valor de un parámetro de población, en caso de dos hipótesis, la afirmación que se supone que es verdadera se llama hipótesis nula (notación\(H_0\)) y la declaración contradictoria se denomina hipótesis alternativa (notación\(H_a\)).

Prueba de Hipótesis: Con base en pruebas de muestra, un procedimiento para determinar si la hipótesis planteada es una afirmación razonable y no debe ser rechazada, o es irrazonable y debe ser rechazada.

Distribución Normal: una variable aleatoria continua (RV) con pdf\(f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}\), donde\(\mu\) es la media de la distribución, y\(\sigma\) es la desviación estándar, notación:\(X \sim N(\mu, \sigma)\). Si\(\mu = 0\) y\(\sigma = 1\), el RV se llama la distribución normal estándar.

Desviación estándar: un número que es igual a la raíz cuadrada de la varianza y mide qué tan lejos están los valores de los datos de su media; notación: s para la desviación estándar de la muestra y σ para la desviación estándar de la población.

Distribución T de Student

investigado y reportado por William S. Gossett en 1908 y publicado bajo el seudónimo de Student. Las principales características de la variable aleatoria (RV) son:

Es continuo y asume cualquier valor real.
El pdf es simétrico sobre su media de cero. Sin embargo, está más extendido y más plano en el ápice que en la distribución normal.
Se acerca a la distribución normal estándar a medida que n se hace más grande.
Hay una “familia” de t distribuciones: cada representante de la familia está completamente definido por el número de grados de libertad que es uno menos que el número de elementos de datos.

Estadística de prueba: La fórmula que cuenta el número de desviaciones estándar en la distribución relevante que el parámetro estimado está lejos del valor hipotético.

Error de tipo I: La decisión es rechazar la hipótesis nula cuando, de hecho, la hipótesis nula es cierta.

Error de tipo II: La decisión es no rechazar la hipótesis nula cuando, de hecho, la hipótesis nula es falsa.