3.18: Ley de Suma de Varianza I - Variables no Correlacionadas

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Objetivos de aprendizaje

Calcula la varianza de la suma de dos variables no correlacionadas
Calcula la varianza de la diferencia entre dos variables no correlacionadas

Como verás en secciones posteriores, son muchas las ocasiones en las que es importante conocer la varianza de la suma de dos variables. Considera la siguiente situación:

tienes dos poblaciones,
muestres un número de cada población, y
sumas los dos números juntos.

La pregunta es: “¿Cuál es la varianza de esta suma?” Por ejemplo, supongamos que las dos poblaciones son las poblaciones de machos\(8\) de un año y hembras\(8\) de un año en Houston, Texas, y que la variable de interés es la duración de la memoria. Repite los siguientes pasos miles de veces:

muestra un macho y una hembra
medir el lapso de memoria de cada
suma los dos tramos de memoria.

Después de haber hecho esto miles de veces, computas la varianza de la suma. Resulta que la varianza de esta suma se puede calcular de acuerdo con la siguiente fórmula:

\[ \sigma_{sum}^2 = \sigma_{M}^2 + \sigma_{F}^2\]

donde el primer término es la varianza de la suma, el segundo término es la varianza de los machos y el tercer término es la varianza de las hembras. Por lo tanto, si las varianzas en la prueba de lapso de memoria para los machos\(0.9\) y hembras fueran y\(0.8\) respectivamente, entonces la varianza de la suma sería\(1.7\).

La fórmula para la varianza de la diferencia entre las dos variables (lapso de memoria en este ejemplo) se muestra a continuación. Observe que la expresión para la diferencia es la misma que la fórmula para la suma.

\[ \sigma_{difference}^2 = \sigma_{M}^2 + \sigma_{F}^2\]

De manera más general, la ley de suma de varianza se puede escribir de la siguiente manera

\[ \sigma_{Z \pm Y}^2 = \sigma_{X}^2 + \sigma_{Y}^2\]

que se lee: La varianza de\(X\) más o menos\(Y\) es igual a la varianza de\(X\) más la varianza de\(Y\).

Estas fórmulas para la suma y diferencia de variables dadas anteriormente solo se aplican cuando las variables son independientes.

En este ejemplo, tenemos miles de puntuaciones emparejadas aleatoriamente. Dado que las puntuaciones se emparejan aleatoriamente, no hay relación entre el lapso de memoria de un miembro del par y el lapso de memoria del otro. Por lo tanto los dos puntajes son independientes. Contraste esta situación con una en la que se muestrean miles de personas y se toman dos medidas (como SAT verbal y cuantitativo) de cada una. En este caso, habría una relación entre las dos variables ya que las puntuaciones más altas en el SAT verbal se asocian con puntuaciones más altas en el SAT cuantitativo (aunque hay muchos ejemplos de personas que obtienen puntajes altos en una prueba y bajos en la otra). Así, las dos variables no son independientes y la varianza del puntaje SAT total no sería la suma de las varianzas del SAT verbal y el SAT cuantitativo. La forma general de la ley de suma de varianza se presenta en la Sección 4.7 del capítulo sobre correlación.